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均值换元在三角求值中应用


均值换元在三角求值中的应用 解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它, 从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构 造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题 移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复 杂问题简单化,变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以 把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论 联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。它可 以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为 代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛 的应用。 对于任意两个实数 x、y,总存在实数 a、b 使得 x=a+b,y=a-b。 特别当 x+y=2a 时,a 为 x、y 的等差中项,这时可设 x=a+t,y=a-t, 我们把这种变换称为“均值换元” 。运用这种“均值换元”处理一 些三角求值问题,往往能化难为易,变繁为简。下面以几道三角试 题为例来进行说明。 例 1.已知 sinθ +cosθ = ,θ ∈(0,π ) ,则 的值是_______。 解:设 sinθ = +t,cosθ = -t 则 sin2θ +cos2θ =( +t)2+( -t) 2=1,解得 t=± ,因为θ ∈(0,π ) ,所以 sinθ >0,而当 t=- 时 sinθ =- (舍去) ,故 t= ,∴sinθ = ,cosθ =- ,因此 的值是- 。 例 2.已知θ 是第三象限角,且 sin4θ +cos4θ = ,那么 sin2θ 的 值等于? 解:∵sin2θ +cos2θ =1,可设 sin2θ = +t,cos2θ = -t,则( +t) 2+( -t)2= ,∴t=± ∴sin2θ = cos2θ = 或 sin2θ = cos2θ = ∴sin2θ cos2θ = ∵θ 为第三象限角,∴sinθ <0,cosθ <0, ∴sin2θ =2sinθ cosθ = 。 例 3.求 sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值。 解:设 sin20°=a+b,cos50°=a-b 则 a= (sin20°+cos50°)= (cos70°+sin50°)=cos60°cos10° = cos10°, b= (sin20°-cos250°) = (cos70°-sin50°) =-sin60°sin10° =- sin10°则原式= (a+b) 2+ (a-b) 2+ (a+b) (a-b) =3a2+b2= cos210° + sin210°= 。 例 4.已知△abc 的三个内角 a、b、c 满足:a+c=2b, + =- ,求 cos 的值。 解:依题设,b=60°,a+c=120°,可设 a=60°+t,c=60°-t,t ∈(-60°,60°) ,由 + =- 得, = -2 , ∴2cos60°cost=- (cos120°+cos2t) ,即 cost= - (2cos2t-1) , ∴cost=-(舍)或 cost= ,即 cos =cost= 。 例 5.在△abc 中,a、b、c 分别是角 a、b、c 的对边,设 a+c=2b, a-c= ,求 sinb 的值。 解:因为 a-c= ,可设 a= +θ ,-c= -θ (即 c=θ - ) 所以 b=π -(a+c)=π -2θ ,sinb=sin2θ 。 由 a+c=2b 得,sina+sinc=2sinb, ∴sin(

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