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直线与平面垂直的判定(公开课)


2.3.1直线与平面垂直的判定
1、教学目的
通过联系生活,使学生理解直线与平面垂直的定义, 通过折纸试验,使学生归纳和确认直线与平面垂直 的判定定理,并能简单应用定义和判定定理;

2、教学重点、难点
探究、归纳直线与平面垂直的判定定理, 体会定义和定理中所包含的转化思想.

2.3.1直线与平面垂直的

判定
教学内容:
一、理解直线与平面垂直的定义; 二、探究、归纳直线与平面垂直的判定 定理及应用。

知识探究(一):直线与平面垂直的概念
回顾知识:

空间中一条直线与平面有哪几种位置关系?
(1)直线在平面内,

(2)直线与平面平行,
(3)直线与平面相交 (垂直)

观察实例,发现新知

旗杆与地面的关系, 给人以直线与平面 垂直的形象。

观察实例,发现新知 房屋的屋柱与地面的 关系,给人以直线与 平面垂直的形象。

实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例

大桥的桥柱与水面垂直

思考:AB是旗杆所在直线,? 是地面所在平面,在阳 光下观察旗杆与影子有什么关系。

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

旗杆AB所在直线 与地面内任意一条过点B的直线垂直. 直线AB垂直于平面内 与地面内任意一条不过点B的直线B1C1 的任意一条直线. 也垂直.
A

B B1 C1 C

直线与平面垂直的定义:
文字表示: 如果一条直线 l 与平面? 内的任意一条直线都垂直, ? 则称直线 与平面 垂直.记作 l ?? l
平面? 的垂线
王新敞
奎屯 新疆

l
直线 l 的垂面

图形表示:

?
直线与平面的 一条边垂直

P
垂足

深入理解“线面垂直定义”
判断下列语句是否正确:(若不正确请举反例)
1.如果一条直线与一个平面垂直,那么它与平面 内所有的直线都垂直. ( )

a ? ?, b ? ? ? a ? b
b

2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直,那 么它与平面垂直. ( )

a
α

知识探究(二):直线与平面垂直的判定定理
提出问题:除定义外,有没有比较方便可行的方法来 判断一条直线与一个平面垂直呢?

探究活动:请同学们拿出一块
三角形的纸片,做如图所示的 试验: 过△ABC的顶点A翻折纸片, 得到折痕AD,将翻折后的纸片 A 竖起放置在桌面上(BD、DC与 桌面接触). (1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能保证折痕AD 与桌面所在平面肯定垂直?
B D C

D A

?

B D

C

A

l
?
C B D

m

C

α

O

n

直线与平面垂直的判定定理: 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 则这条直线垂直于这个平面. 关键:线不在多,相交则行

m ?? ? ? n ?? ? ? m?n ? P ??l ?? ? l ? m ? l ?n ? ?

线线垂直

线面垂直

l

α

m

P

n

例题示范,巩固新知 例1、一旗杆高8m,在它的顶点处系两条长10m的 绳子,拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的 两点(与旗杆脚不在同一条直线上)。如果这两 点与旗杆脚距6m,那么旗杆就与地面垂直,为什 么? 解:如图,旗杆PO=8,两绳子长PA= PB=10,OA=OB=6,A,O,B三点不 共线 因此A,O,B三点确定平面α , 因为PO2+AO2=PA2,PO2+BO2=PB2, 所以 PO⊥OA,PO⊥OB 又OA∩OB=O 所以OP⊥α ,因此旗杆与地面垂直。

例题示范,巩固新知
例2.如图,已知a∥b、a⊥α. 求证:b⊥α. 分析:在平面内作两条相交直线, 由直线与平面垂直的定义可知, 直线a与这两条相交直线是垂直的, 又由b平行a,可证b与这两条相交 直线也垂直,从而可证直线与平面 垂直。

a

b

?

a

b

例2.如图,已知a∥b、a⊥α. 求证:b⊥α.

n

证明 : 在平面?内作两条相交直线m,n. 因为直线a ? ? ,根据直线与平面垂直的定义知 a ? m, a ? n. (线面垂直 线线垂直) 又因为 b//a 所以 b ? m, b ? n. 又因为m ? ? ,n ? ? , m, n是两条相交直线, 线面垂直) 所以 b ? ? (线线垂直

?

m

巩固练习
P

1、 如图,PA垂直圆O所在平 面,AC是圆O的直径,B是圆周 上一点,问三棱锥P-ABC中有 几个直角三角形?

O A C B

解:在三棱锥P-ABC中有四个直角三 角形,分别是: △ABC、△PAB、△PAC和△PBC.

巩固练习:
2、如图,在三棱锥V-ABC中 ,VA=VC, AB=BC. A 求证:AC⊥VB.

V
K

C B

证明: 作AC中点K,连接VK,BK; ∵VA=VC,AB=BC, ∴ VK ⊥AC, BK ⊥AC, ∴ AC ⊥ 平面VKB, ∵ VB ? 平面VKB, ∴ AC⊥VB

变式:
V

⑴在练习1.中若E、F分别为AB、 BC 的中点,试判断EF与平面 A VKB的位置关系. ⑵ 在⑴的条件下,有人说 “VB⊥AC,VB⊥EF, VB⊥ 平面ABC”,对吗?

K

C F B

E

知识小结
1.直线与平面垂直的定义 2.直线与平面垂直的判定

线线垂直

线面垂直

3.数学思想方法:转化的思想

空间问题

平面问题

作业布置

1、变式练习; 2、书本上P74 B组 第2题.


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