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[广东理数一轮]8.5.椭圆


第五节 椭圆

考纲

解读

1.掌握椭圆的定 义、 几何图形、 标 准方程和简单性 质. 2.理解数形结合 的思想. 3.了解椭圆的简 单应用, 了解椭圆 的实际背景, 了解 椭圆在刻画现实 世界和解决实际 问题中的作用.

1.从考查形式上看,每年在选择题、填空 题均会出现,解答题中出现的也比较频 繁. 2.从结合点看,椭圆的定义、标准方程、 几何性质一直是高考命题的热点, 几乎每 年必考. 尤其是离心率问题是各地高考考 查的重点,多在选择、填空中出现,主要 考查学生结合定义,几何性质,分析问题 解决问题的能力以及运算能力. 在解答题 中考查较为全面, 在考查对椭圆基本概念 与性质理解及应用的同时, 又考查直线与 圆锥曲线的位置关系,考查学生分析问 题、解决问题的迁移能力及数形结合思 想、转化与化归思想.

M

一. 椭圆的定义:
|MF1|+|MF2|=2a (|F1F2|=2c,2a>2c)

F1

F2

二.椭圆标准方程
y F1 0

焦点在分母大的轴上
焦 点 在 x 轴 M
F2
F1

M
F2 x

且c =a -b 焦点为F1(-c, 0), F2(c, 0)

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 2 2 2

且c =a -b 焦点为F1(0, -c), F2(0, c)

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 2 2 2

焦 点 在 y 轴

三.椭圆的几何性质
标准方程
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
B2 y

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
A2 y
?

图 形

A1 ?

?
?

O

A ?2 x

B1

?

O

?

B2 x

B1

A? 1

焦点坐标 范 围 对称性 顶 点

(-c,0)和(c,0)

(0,-c)和(0,c)

? a ? x ? a, ? b ? y ? b ? a ? y ? a, ? b ? x ? b
坐标轴是对称轴; 原点是对称中心,叫椭圆的中心.

(±a,0)和(0,±b)

(±b,0)和(0,±a)

A1A2叫长轴, B1B2叫短轴, 且|A1A2|=2a, |B1B2|=2b

离心率

e=c/a (0<e<1,且e越小,椭圆越接近圆)

例题与练习
题型1.椭圆的定义

1.已知动圆P过定点A(-3,0),并且在圆B: (x-3)2+y2=64的内部与其相内切,求动圆圆 y 心P的轨迹方程.

x y ? ?1 16 7

2

2

P A O B x

题型2:圆锥曲线的方程求法(待定系数法)

2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程

x2 y2 且过M(3,-2) (1)与椭圆 ? ? 1共焦点, 9 4

4 5 注:1.当焦点位置不确定时,应分类讨论;

1 5 ( 2 )经 过 点 P ? ) ,离 心 率 为 . 2( 0, 2 5 1 1 1 (3 )经过点P , ),P2 (0 ,? ). 1( 3 3 22 2 2 2 y x x y ? ?1 ? ?1 1 1 15 10

2.椭圆的一般方程为mx2+ny2=1(m,n>0且m≠n) 双曲线的一般方程为mx2+ny2=1(mn<0)

题型3.椭圆的几何性质(离心率) 3.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数 列,则其离心率为 C

3 ( A) 4

5 4或 ? x y 1 4 4.若椭圆 ? ? 1离心率e ? ,则k的值为____ _ k ?8 9 2

1 3 ( B) 2 ( C ) 3 5 2 2

9 ( D) 10

题型3.椭圆的几何性质(焦点三角形问题)

5.已知F1、F2是椭圆的两个焦点 ,P为椭 圆上一点,∠F1PF2=600 (1)求椭圆离心率的范围. (2) 求证△ F1PF2 的面积只与椭圆的短轴 长有关.

题型4.椭圆中的最值

x y 6. 在椭圆 上求一点P, ? ?1 16 9
使它到直线L:3x+4y-50=0的距离最大 或最小,并求出这个最大最小值。 变式. (1)求3x+2y的最大值; (2)求x2+y2的最大值.
小结:1).参数方程法 2).转为二次函数(注变量范围) 3).数形结合

2

2

x y 焦点在 1. 若 24 ? k ? 16 ? k ? 1表示椭圆 , x轴上的椭圆

2

2

课堂检测

(-16,4) 则k的取值范围是 ____________. (16,4)∪(4,24)
2.若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形;且焦点到 2 同 距 x2 侧 y2 顶 点 x的 y2 离 为 3 , 则 椭 圆 的 标 准 方 程 为 + =1 或 + =1 ____________________________ ; 12 9 9 12 3.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 2 在 x 轴上, 离心率为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A, B 两点, 且△ABF2 2 x2 y2 + =1 16 8 的周长为 16,那么椭圆 C 的方程为________________ .

4.已知 F1、F2 是椭圆 C 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,且满足 3 |PF1|=2|PF2|,∠PF1F2=30° ,则椭圆的离心率为________ .
3

题型四

直线与椭圆的位置关系
2 2

5. 椭圆C: x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为F1,F2, a2 b2 4 点P在椭圆C上,且PF1⊥F1F2,|PF1|=

(1)求椭圆C的方程; (2)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆 C于A,B两点,且A,B关于点M对称,求直线l的 方程.

14 |PF2|= . 3

3

x2 y 2 6. 若F1、F2分别是椭圆 2 ? 2 ? 1 a b

(a>b>0)的左、右焦点,P是该椭圆上的一个
动点,且|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=2 3. (1)求出这个椭圆的方程; (2)是否存在过定点N(0,2)的直线l与椭圆

交于不同的两点A、B,使 OA ⊥ OB (其中O为 坐标原点)?若存在,求出直线l的斜率k;若不存
在,说明理由.

x2 y2 7.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为 a b 2 .直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. 2 (1)求椭圆 C 的方程; 10 (2)当△AMN 的面积为 时,求 k 的值. 3

方法与技巧
1.椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中,长轴 端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离, 且最大距离为a+c,最小距离为a-c.

2.过焦点弦的所有弦长中,垂直于长轴的弦是最
2 2 b 短的弦,而且它的长为 .把这个弦叫椭圆 a

的通径.

3.求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个齐次 方程,再结合b2=a2-c2就可求得e (0<e<1).


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