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高中数学竞赛几何专题(1)从调和点列到Apollonius圆到极线


从交比到调和点列到 Apollonius 圆到极线极点
2010 年 10 月 17 日结束的 2010 年全国高中数学联赛平面几何题目为:如图 1,锐角三 角形 ABC 的外心为 O,K 是边 BC 上一点(不是边 BC 的中点) ,D 是线段 AK 延长线 上一点,直线 BD 与 AC 交于点 N,直线 CD 与 AB 交于点 M. 求证:若 OK⊥MN,则 ABD

C 四点共圆.
A

O

B D M

K

C

N

图 1

本题颇有难度,参考答案的反证法让有些人“匪夷所思” ,其实这是一系列射影几何中 常见而深刻结论的自然“结晶” ,此类问题在国家队选拔考试等大赛中屡见不鲜。本文拟系 统的介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius 圆、极线等射影几何的重要概念及应用, 抽丝剥茧、溯本求源,揭示此类问题的来龙去脉,并在文中给出上题的一种简洁明了的直接 证明。 知识介绍 定义 1 线束和点列的交比:如图 2,共点于 O 的四条直线被任意直线所截的有向线段比

???? ??? ? AC BC ???? / ??? ? 称为线束 OA、OC、OB、OD 或点列 ACBD 的交比。[1] AD BD
定理 1 线束的交比与所截直线无关。
O

D B A C

图 2 证明:本文用[ABC]表示 ABC 面积,则

???? ??? ? AC BC [ AOC ] [ BOC ] ???? / ??? ?? / AD BD [ AOD] [ BOD]

CO sin ?AOC CO sin ?COB / DO sin ?AOD DO sin ?BOD sin ?AOC sin ?COB ? / sin ?AOD sin ?BOD ?
从而可知线束交比与所截直线无关。

???? ??? ? AC BC ? 的线束称为调和线束,点列称为 定义 2 调和线束与调和点列:交比为-1,即 ???? ? ? ??? AD BD
调和点列。 显然调和线束与调和点列是等价的, 即调和线束被任意直线截得的四点均为调和 点列,反之,调和点列对任意一点的线束为调和线束。 定理 2 调和点列常见形式: (O 为 CD 中点) (1) 、

2 1 1 ? ? AD AB AC
2

C (2) 、O

O ? BO A*

(3)、 AC*AD=AB*AO (4)、 AB*OD=AC*BD 证明:由基本关系式变形即得,从略。 定理 3 一直线被调和线束中的三条平分当且仅当它与第四边平行(由定义即得,证略) 定义 3 完全四边形:如图 3 ,凸四边形 ABCD 各边延长交成的图形称为完全四边形 ABCDEF,AC、BD、EF 称为其对角线(一般的四条直线即交成完全四边形)[2]。 定理 4 完全四边形对角线互相调和分割。即 AGCH、BGDI、EHFI 分别构成调和点列。
A

B G D C E H F I

图 3 分析:只需证 EHFI 为调和点列,其余可类似证得,也可由线束的交比不变性得到。 证法一:面积法

HE IF [ AEC ] [ BDF ] ? ? HF IE [ AFC ] [ BDE ]

?
?

[ AEC ] [ ACD] [ BDF ] [ BEF ] [ ACD] [ AFC ] [ BEF ] [ BDE ]

EC AD DC AF HE IE ? ? ? 1 ,即 ? 。 CD AF EC AD HF IF EH FD AB EI FD AB ? ? ? 1 ,由 Menelaus 定理得到 ? ? ? 1 ,故 证法二:由 Ceva 定理 HF DA BE IF DA BE HE IE ? ,即 EHFI 为调和点列。 HF IF

定理 5 完全四边形 ABCDEF 中,四个三角形 AED、ABF、EBC、FDC 的外接圆共点,称 为完全四边形的密克(Miquel)点。 证明:设出两圆交点,证它在其余圆上即可。
P

A

C

B O

D

图 4 定义 4 阿波罗尼斯(Apollonius)圆:到两定点 A、B 距离之比为定值 k( k ? 0且k ? 1 )的 点的轨迹为圆,称为 Apollonius 圆,为古希腊数学家 Apollonius 最先提出并解决[2](注: 当 k=1 时轨迹为 AB 中垂线也可看成半径为无穷大的圆) 。 证明:如图 4 由 AP=kPB,则在 AB 直线上有两点 C、D 满足

AC BC

?

AD BD

?

AP BP

, 故 PC、

PD 分别为∠APB 的内外角平分线,则 CP⊥DP,即 P 点的轨迹为以 CD 为直径的圆 O(O 为 CD 中点)。 (注:解析法亦可证得) 显然图 4 中 ACBD 为调和点列。 定理 6 在图 4 中,当且仅当 PB⊥AB 时,AP 为圆 O 的切线。 证明:当 PB⊥AB 时∠APC=∠BPC=∠CDP 故 AP 为圆 O 的切线,反之亦然。 定理 7 Apollonius 圆与调和点列的互推 如下三个条件由其中两个可推得第三个: 1.PC(或 PD)为∠APB 内(外)角平分线 2. CP⊥PD 3.ACBD 构成调和点列(证略) 定义 5 反演:设 A 为○O(r)平面上点,B 在射线 OA 上,且满足 OA*OB=r*r,则称 A、 B 以○O 为基圆互为反演点。 定理 8 图 4 中,以 Apollonius 圆为基圆,AB 互为反演点。 (由定理 2(2)即得。 ) 定义 6 极线与极点:设 A、 B 关于○O(r)互为反演点,过 B 做 OA 的垂线 l 称为 A 点 对圆 O 的极线;A 点称为 l 的极点。[3] 定理 9 当 A 点在○O 外时,A 的极线为 A 的切点弦。 (由定理 6 即得。 )

A

C P B O Q

D

图 5

定理 10 若 A 的极线为 l,过 A 的圆的割线 ACD 交 l 于 B 点,则 ACBD 为调和点列。 证明:如图 5,设 A 的切点弦为 PQ,则 BC [QPC ] CP CQ AP AC AC 即 ACBD 为调和点列。 ? ? ? ? ? ? BD [QPD] DP DQ AD AQ AD 定理 11 配极定理:如图 6,若 A 点的极线通过另一点 D,则 D 点的极线也通过 A。一般 的称 A、D 互为共轭点。 证法一:几何法,作 AF⊥OD 于 F,则 DFGA 共圆,得 OF*OD= OG*OA = OI ,由定义 6 知 AF 即为 D 的极线。
A
2

H D B J G F O I C

图 6 证法二: 解析法, 设圆 O 为单位圆, A ( x1 , y1 ) ,D ( x2 , y2 ) , A 的极线方程为 xx1 ? yy1 ? 1 , 由 D 在其上,得 x2 x1 ? y2 y1 ? 1 ,则 A 在 xx2 ? yy2 ? 1 上,即 A 在 D 的极线上。 定理 12
2

在图 6 中,若 A、D 共轭,则

AD ? A的幂+D的幂(对圆O) 证明:AD 2 ? AG 2 +DG 2 ? ( AG 2 +BG 2 )+(DG 2 ? BG 2 ) =A的幂+D的幂(对圆O)
定义 7 调和四边形:对边积相等的圆内接四边形称为调和四边形。 (因圆上任意一点对此

四点的线束为调和线束,故以此命名) 定理 13 图 5 中 PDQC 为调和四边形。 证明:由定理 9 的证明过程即得。 例题选讲 例 1 如图 7,过圆 O 外一点 P 作其切线 PA、PB,OP 与圆和 AB 分别交于 I、M,DE 为过 M 的任意弦。求证:I 为△PDE 内心。 (2001 年中国西部数学奥林匹克) 分析:其本质显然为 Apollonius 圆。 证明:由定理 6 知圆 O 为 P、M 的 Apollonius 圆,则 DI、EI 分别为△PDE 的内角平分线, 即 I 为△PDE 内心。

P I A M D O E B

图 7 例 2 如图 8,△ABC 中,AD⊥BC,H 为 AD 上任一点,则∠ADF=∠ADE(1994 年加拿大 数学奥林匹克试题)
A F L E H

B D C K

图 8 证明:对完全四边形 AFHEBC,由定理 4 知 FLEK 为调和点列。又 AD⊥BC,由定理 7 得 ∠ADF=∠ADE。
A

B

G C D

E

J

H

F

I

图 9 例 3 如图 9,完全四边形 ABCDEF 中,GJ⊥EF 与 J,则∠BJA=∠DJC(2002 年中国国家 集训队选拔考试题)

证明:由定理 4 及定理 7 有∠BJG=∠DJG 且∠AJG=∠CJG,则∠BJA=∠DJC。
A

F

Q I

D' X

E

2 B 1 D P Y C

图 10 例 4 已知:如图 10,△ABC 内角平分线 BE、CF 交于 I,过 I 做 IQ⊥EF 交 BC 于 P,且 IP=2IQ。求证:∠BAC=60°

? ? ? , 证明: 做 AX⊥EF 交 BC 于 Y, 由定理 4 知 AD’ID 为调和点列, 故 AX D ' A DA YA 又 IP=2IQ , 则 AX=XY , 即 EF 为 AY 中 垂 线 , 由 正 弦 定 理 CF FY FA CF , 则 AFYC 共圆, 同理 AEYB 共圆, 故∠BYF=∠BAC= ? ? ? sin?FYC sin?1 sin?2 sin?FAC
∠CYE=∠EYF,故∠BAC=60°。
P

IQ

D'I

DI

PI

C A F O E G B

D

图 9

例 5 如图 11,P 为圆 O 外一点,PA、PB 为圆 O 的两条切线。PCD 为任意一条割线,CF 平行 PA 且交 AB 于 E。求证:CE=EF(2006 国家集训队培训题) 证明:由定理 10 及定理 3 即得。 例 6 如图 12,PAB、PCD 为圆 O 割线,AD 交 BC 于 E,AC 交 BD 于 F,则 EF 为 P 的极 线。 (1997 年 CMO 试题等价表述) 证法一:作 AEB 外接圆交 PE 于 M,则 PE*PM=PA*PB=PC*PD,故 CDME 共圆(其实 P 为三圆根心且 M 为 PAECBD 密克点) ,从而∠BMD=∠BAE+∠BCD=∠BOD, BOMD 共 圆 。 ∠ OMT= ∠ OMB+ ∠ BMT= ∠ ODB+ ∠ BAE=90 ° 故 M 为 ST 中 点 , PS*PT= PA*PB=PE*PM,由定理 2(3)知 E 在 P 极线上,同理 F 亦然,故 EF 为 P 的极线。

P

A

S C E M O D

B

T

图 10
P

A S U O E W

C T

V D

B

图 11 证法二:如图 13,设 PS、PT 为圆 O 切线。在△ABT 中,可以得到

AU BV TW * * ? UB VT WA AS BD TC PS PB PC AS sin ?AST BD sin ?BDA TC sin ?TCB ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? PB PC PT BS sin ?BST DT sin ?TDA AC sin ?ACB BS AC DT

由塞瓦定理逆定理知 ST、AD、BC 三线共点于 E,同理 F 亦然,故 EF 为 P 的极线。 至此,点 P 在圆 O 外时,我们得到了 P 点极线的四种常见的等价定义: 1、过 P 反演点做的 OP 的垂线。 2、过 P 任意作割线 PAB,AB 上与 PAB 构成调和点列的点的轨迹所在的直线。 3、P 对圆 O 的切点弦。 4、过 P 任意做两条割线 PAB、PCD,AD、BC 交点与 AC、BD 交点的连线。(注:切线为 割线特殊情形,故 3、4 是统一的) 例 7 △ABC 内切圆 I 分别切 BC、AB 于 D、F,AD、CF 分别交 I 于 G、H。求证:

DF ? GH ? 3 (2010 年东南数学奥林匹克) FG ? DH

A

G F E I H C

B

D

图 12

证明:如图 14,由定理 13 知 GFDE 为调和四边形,据托勒密定理有 GD*EF=2FG*DE, 同 理 HF*DE=2DH*EF 相 乘 得 GD*FH= 4DH*FG 又 由 托 勒 密 定 理 GD*FH= DH*FG+FD*GH,代入即得

DF ? GH ?3 FG ? DH
A

H G F B D K

E

I

C

J

图 13

例 8 已知:如图 15,△ABC 内切圆切 BC 于 D,AD 交圆于 E,作 CF=CD,CF 交 BE 于 G。求证:GF=FC(2008 年国家队选拔) 证明:设另两切点为 H、I,HI 交 BD 于 J,连 JE。由定理 10 知 AEKD 为调和点列,由定 理 11 知 AD 的极点在 HI 上,又 AD 极点在 BD 上,故 J 为 AD 极点;则 JE 为切线,BDCJ 为调和点列,由 CF=CD 且 JD=JE 知 CF//JE,由定理 3 知 GF=FC。 (注:例 8 中 BDCJ 为一组常见调和点列) 例 9 如图 16,圆内接完全四边形 ABCDEF 中 AC 交 BD 于 G,则 EFGO 构成垂心组(即 任意一点是其余三点的垂心) 。 证明:据例 6 知 EG,FG 共轭,由定理 12

EG 2 ? FG 2 ? ( E的幂 ? G的幂)-(F的幂 ? G的幂)=E的幂 ? F的幂=EO2 ? FO2
则 OG⊥EF,其余垂直同理可证。

A

O

B

G C

D

E

P

F

图 14 注:△EFG 称为极线三角形。本题结论优美深刻,初版于 1929 年的[4]已有介绍,它涉 及到调和点列、完全四边形、密克点、极线、Apollonius 圆、垂心组等几何中的核心内容。 本文开头提到的 2010 年联赛题为本题的逆命题,熟悉上述内容的情况下,采用参考答案的 反证法在情理之中:如图 1,设 D 不在圆 O 上,令 AD 交圆 O 于 E,CE 交 AB 于 P,BE 交 AC 于 Q。 由例 9 得 PQ//MN; 由定理 4 得 MN、 AD 调和分割 BC, 同理 PQ 亦然, 则 PQ//MN//BC, 从而 K 为 BC 中点,矛盾!故 ABCD 共圆。 其实本题也可直接证明,如下:如图 17,由例 3 得∠1=∠2;又 K 不是 BC 中点,类似 1 例 4 证明可得 OBJC 共圆;∠MJB=∠NJC= ?BOC =∠BAC,由定理 5 得 J 为 ABDCMN 2 密克点,则∠BDM=∠BJM=∠BAN 故 ABDC 共圆。
A

O

B

C K D 1 J

M

2 N

图 15

以例 9 为背景的赛题层出不穷,再举几例,以飨读者。 例 10 △ADE 中,过 AD 的圆 O 与 AE、DE 分别交于 B、C,BD 交 AC 于 G,直线 OG 与 △ADE 外接圆交于 P。求证:△PBD、△PAC 共内心(2004 年泰国数学奥林匹克) 分析:本题显然为密克点、Apollonius 圆、极线及例 9 等深刻结论的简单组合。 证明:如图 16,由定理 5 及例 9 知 PG 互为反演点,据定理 8 知圆 O 为 PG 的 Apollonius 圆,由例 1 知△PBD 与△PAC 共内心。 例 11 △ABC 中,D 在边 BC 上且使得∠DAC=∠ABC,圆 O 通过 BD 且分别交 AB、AD 于 E、F,DE 交 BF 于 G, M 为 AG 中点,求证:CM⊥AO(2009 年国家队选拔)

A E M K G O L D J C

F

B

图 16

证明:如图 18,设 EF 交 BC 于 J。由定理 3 得 AKGL 为调和点列,由定理 2(4)有 LK*GM=LG*KA,又∠CAD=ABD=∠JFD 故 EJ//CA,则

LJ LK LG ? ? 即 JG//CM 而由 JC KA GM

例 9 有 JG⊥OA,故 CM⊥AO。 例 9 中 OG ? EF 对圆外切四边形亦然。 例 12 如图 19,设圆 O 的外切四边形 A’B’ C’D’对边交于 E’F’,A’C’交 B’D’交于 G’,则 OG’⊥E’F’。 (2009 年土耳其国家队选拔)
A'

A O B B' E' G' C D C' F F' D'

E

图 17 证明:设四边切点为 ABCD,AC 交 BD 于 G,AB 交 CD 于 E,AD 交 BC 于 F,由例 6 知 BD、AC 极点 E’、F’在 EF 上,则 G’与 G 重合,由例 9,即得 OG’⊥E’F’。
A

I F O E L

M

D H

G B

C

图 18 例 13 如图 20,ABCD 为圆 O 的外切四边形,OE⊥AC 于 E,则∠BEC=∠DEC(2006 年协 作题夏令营测试题) 分析:由定理 7 知垂直证等角必为调和点列。 证明:如图 20,做出辅助线,由例 12 知 FI、GH、BD 共点于 M,且为 AC 的极点,从而

OE 也过 M,且 BLDM 构成调和点列,由定理 7 得∠BEC=∠DEC。 最后我们看一道伊朗题及其推广 例 14 △ABC 内切圆 I 切 BC 于 D,AD 交 I 于 K。BK、CK 交 I 于 E、F,求证:BF、AD、 CE 三线共点。 (2002 年伊朗国家队选拔考试题) 分析:本题一般思路为 Ceva 定理计算,计算量较大。而且有人将其推广为对 AD 上任意一 点 K,都有本结论成立(如图 21) 。推广题难度极大,网络上有人用软件大量计算获证,也 有高手通过复杂的计算得证[5]。其实从调和点列、极线角度看本题结论显然,对推广题证 明如下:
A

K

M E I F B D C J

N

图 19

证明:如图 21,设另两个切点 MN 交 BC 于 J,由例 8 得 BDCJ 为调和点列,故对 AD 上 K 点,由定理 1 知 EF 必过 J 点;由定理 4 对完全四边形 BEFCJK 必有 CE、BF、AK 共点。 练习: 1 H 是锐角△ABC 的垂心,以 BC 为直径作圆,自 A 作切线 AS、AT。求证:S、H、T 三 点共线。 (1996CMO 试题) 提示:本题为例 6 特例 2 求证在完全四边形 ABCDEF 中,过 AC、BD 交点做 AB 平行线被 CD、EF 平分。 提示:由定理 4 及定理 3 即得 3 △ABC 中,AD⊥BC,H 为 AD 上一点,BH、CH 分别交对边于 E、F,EF 交 AD 于 K, 任意做过 K 的直线与 CF、CE、CD 交于 M、N、Q,都有∠MDF=∠NDE。 (2003 年保加利亚数学 奥林匹克) 提示:由例 2 及定理 4 类比例 3 即得。 4 设以 O 为圆心的圆经过△ABC 的两个顶点 A、C,且与边 AB、BC 分别交于两个不同的 点 K 和 N,又△ABC 和 KBN 的外接圆交于点 B 及另一点 M,求证:∠OMB 为直角。 (第 22 届 IMO) 提示:由定理 3 及例 9 即得


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