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1-9四川省成都市第七中学2015届高三2月阶段性考试数学试题 Word版含解析


成都七中 2015 届高三 2 月阶段性测试 数 学 试 题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合题目要求的. 1.已知集合 A= A. ? 【解析】

{x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0} , B= {x | x ? 2, x ? N*} , 则 (CR A) B =

r />B.{1} C.{2} D.{1,2}

集合 A= {x | x ? 1或x ? 2} ,

? CR A ? {x |1 ? x ? 2} , B= {x | x ? 2, x ? N *} ,

? (CR A) B ? {1} ,故选 B.
2?i 2 ( ) ?0 i 1 ? mi 2.已知 是虚数单位, 若 (m? R ) ,则 m 的值为
1 A. 2
B. ?2

C. 2

1 D. 2 ?

【 解 析 】

2?i 2?i 2 ( ) ?0 由 1 ? mi , 知 1 ? mi 为 纯 虚 数 ,

开始 输入

?

2 ? i 2 ? m ? (1 ? 2m)i ? 1 ? mi 1 ? m2 为纯虚数,? m ? ?2 ,故选 B.

f 0 ( x)

3.已知命题 p: x ? 1 或 y ? 2 ,命题 q: x ? y ? 3 ,则 p 是 q 的 充分不必要条件 C.充要条件 【解析】 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

i?0
i ? i ?1

因 为 命 题 p: x ? 1 或 y ? 2 , 命 题 q: x ? y ? 3 , 所 以 ?p :

fi ( x ) ? fi ? ?1 (x )
i ? 2015


x ? 1且y ? 2 ,?q: x ? y ? 3 ,所以?p ? ?q,但?q ? ?p,等价于 q ? p,
但 p ? q,所以 p 是 q 的必要不充分条件. 4. 在如图所示的程序框图中,若
x x A. 2016e ? xe x x C. 2014e ? xe

f 0 ( x) ? xe x

,则输出的结果是

输出fi ( x)
结束

x x B. 2015e ? xe
x D. 2013e ? x

【解析】



f 0 ( x) ? xe x 得当 i ? 1 时, f1 ( x) ? f 0? ( x) ? ( xe x )? ? e x ? xe x ,当 i ? 2 时,

-1-

f 2 ( x) ? f1? ( x) ? (e x ? xe x )? ? 2e x ? xe x



……





i ? 2015





? ( x) ? (2014ex ? xex ?) ? 2015 f 2015( x) ? f 2014 ex ? xex ,故选 B. 5.一个边长为 2 m , 宽 1 m 的长方形内画有一个中学生运动会的会标, 在长方形内随机撒入 100
粒豆子,恰有 60 粒落在会标区域内,则该会标的面积约为

3 2 A. 5 m

6 2 B. 5 m

12 2 C. 5 m

18 2 D. 5 m

会标的面积 落在会标区域内豆粒数 ? 总豆粒数 【解析】 由几何概型的概率计算公式可知, 长方形的面积 ,
60 6 ?2 ? 5 ,故选 B. 所以会标的面积约为 100

f ( ? x) ? f ( ? x) 4 4 6.三角函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ,若 ,则直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜
角为

?

?

? A. 4

? B. 3
?

2? C. 3

3? D. 4

【解析】

x? f ( ? x) ? f ( ? x) 4 对称,所以 4 4 由 知 三 角 函 数 f ( x) 的 图 像 关 于

?

?

3? a ? k ? ? ?1 f ( 0) ? f ( ) b 2 所以 a ? ?b , 直线 ax ? by ? c ? 0 的斜率 , 其倾斜角为倾斜角为 4 .
故选 D.

7.已知数列 -6

{an } 满足

a1 ? 2, an?1 ?

1 ? an (n ? N* ) a ?a ?a ? 1 ? an ,则 1 2 3
C.-1

? a2014 ?
D.1

B.6

an ?1 ?
【解析】 由

1 ? an 1 an? 2 ? ? an ,从而可得 an?4 ? an ,所以数列 {an } 是一个周期 1 ? an 可得

1 1 a2 ? ?3, a3 ? ? , a4 ? , a5 ? 2, a ? 2 ,所以 2 3 为 4 的数列.又 1

,所以

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 1,又

2014 ? 503 ? 4 ? 2 ,所以 a1 ? a2 ? a3 ?
8. 已知向量

? a2014 ? a1 ? a2 ? ?6 .

OA ? (4, 0) , B 是圆 C: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 上的一个动点,则两向量

OA与OB 所成角的最大值为
-2-

? A. 12

? B. 6

? C. 3

5? D. 12
B

y

【解析】 如图,过点 O 向圆 C 作切线 OB,连结 CB, ?AOB 为 OA与OB 所

C

成的最大角,因点 C (

2, 2) ,所以

?AOC ?

? 4 , | OC |? 2 , | BC |? 1 ,

O

A

又 OC ? CB ,

??COB ?

? ? ? 5? ??AOB ? ? ? 6, 6 4 12 ,故选 D.
C2 : x2 ? y2 ? 1 C 3 的左焦点的连线交 1 于

9. 已知抛物线

C1 : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点与双曲线
2

第二象限内的点 M,若抛物线

C1 在点 M 处的切线平行于双曲线 C2 的一条渐近线,则 p=
3 C. 8 3 D. 16
p (0, ) 2 ,双曲线

4 3 3

2 3 B. 3

【解析】

C : x2 ? 2 py( p ? 0) 由题意可知,抛物线 1 的焦点坐标为

C2 :

x2 ? y2 ? 1 3 的左焦点坐标为 (?2, 0) ,则过抛物线的焦点与双曲线的左焦点的直线方程为

x y 2 ? ?1 x0 p p ?2 ( x0 , ) x ? 2y ? p ? 0 C 2 p ,则抛 2 ,即 2 .设该直线与抛物线 1 的交点 M 的坐标为
x0 C C C 物线 1 在点 M 的切线斜率为 p ,又抛物线 1 在点 M 处的切线与双曲线 2 的一条渐近线平

x0 b 3 3 3 p ?? ?? p, ) x0 ? ? p M (? a 3 ,解得 3 6 ,又点 M 3 .即 行,点 M 在第二象限,所以 p
p 4 3 p 3 p x ? 2y ? p ? 0 p? ? (? p) ? 2 ? ? p ? 0 3 ,故选 A. 3 6 在直线 2 上,所以 2 ,解得

10.定义区间

[ x1 , x2 ] 长度为 x2 ? x1 , x ? x1 ) ( 2 , 已知函数

f ( x) ?

(a 2 ? a) x ? 1 a2 x ( a ? R, a ? 0 )

的定义域与值域都是 [m, n] ,则区间 [m, n] 取最大长度时 a 的值为

-3-

A.

2 3 3

B.

a ? 1或a ? ?3

C. a ? 1

D. 3

【解析】

设 [m, n] 是 已 知 函 数 定 义 域 的 子 集 .

x ? 0, ?[m, n] ? (??, 0) 或

(a 2 ? a) x ? 1 a ? 1 1 f ( x) ? ? ? 2 [m, n] ? (0, ??) , 故 函 数 a2 x a a x 在 [m, n] 上 单 调 递 增 , 则
? f ( m) ? m a ?1 1 ? ? 2 ?x 2 2 2 f ( n ) ? n m , n ? a x , 故 是方程 a 的同号的相异实数根, 即 a x ? (a ? a ) x ? 1 ? 0
mn ?
的同号的相异实数根.

1 ?1 2 a2 , ?m, n 同 号 , 只 需 ? ? a (a ? 3)(a ?1) ? 0 ,

1 1 4 2 3 n ? m ? (m ? n)2 ? 4mn ? ?3( ? )2 ? a 3 3 , n ? m 取最大值为 3 . ? a ? 1或a ? ?3 ,
此时 a ? 3 . 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁 四个社区做分层抽样调查. 假设四个社区驾驶员的总人数为 N, 其中甲社区有驾驶员 96 人. 若 在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43,则这四个社区驾驶员 的总人数 N 为 .

N ? 96 ?
【解析】 由分层抽样的定义可知,总人数

12 ? 808 12 ? 21 ? 25 ? 43 .

? ? ? ( , ? ), tan ? ? ?2
12.已知

2

cos(
,则

2? ? 2? ) 3 =_______. sin ? ? 2 5 5 cos? ? ? 5 5 , ,

? ? ? ( , ? ), tan ? ? ?2
【解析】 由

2

,得

则 sin 2? ? 2 sin ? cos ? ?

?

3 4 cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ? 5, 5,

cos(
所以

2? 2? 2? 3? 4 3 ? 2? ) ? cos cos 2? ? sin sin 2? ? 3 3 3 10 .

13.设 x 、 满足约束条件

y

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 ?

,若

z ? mx ?y 取得最大值时的最优解有无穷多个,

-4-

则实数 m 的值是 . 【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由于目标函数

z ? mx ? y 的几何意义是直线 取最大值时的最优解有无穷多个, 所以目标函数
mx ? y ? z ? 0 与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 重合,比较得
14. 设 a ? 1, b ? 1 ,若 ab ? e ,则 s ? b
2 ln a

C y

m??

1 2.
.

? 2e 的最大值为

【解析】

2 ln a a ? 1, b ? 1, ? ln a ? 0, ln b ? 0 , 由 ab ? e 得 ln a ? ln b ? 2 为定值, 令t ? b ,

? ln t ? ln b ln a ? ln a ? ln b ? (

ln a ? ln b 2 ) ?1 2 ,当且仅当 a ? b ? e 时等号成立,? ln t ? 1 ,

? t ? e ,? s ? bln a ? 2e ? ?e .
15.在平面直角坐标系中,定义:一条直线经过一个点 ( x, y ) ,若 x, y 都是整数,就称该直线 为完美直线,这个点叫直线的完美点,若一条直线上没有完美点,则就称它为遗憾直线.现有 如下几个命题: ①如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y=kx+b 一定是遗憾直线; ②“直线 y=kx+b 是完美直线”的充要条件是“k 与 b 都是有理数”; ③存在恰有一个完美点的完美直线; ④完美直线 l 经过无穷多个完美点,当且仅当直线 l 经过两个不同的完美点. 其中正确的命题是______. (写出所有正确命题的编号) 【解析】 对于①,如果取 k= 3 ,b= 3 ,那么直线 y= 3 x+ 3 经过完美点(-1,0) ,是 完美直线, 所以①错误; 对于②, 由①知当 k=b= 3 时, k 与 b 均为无理数, 但是直线 y= 3 x+ 3 是完美直线,所以②错误;对于③,设直线方程为 y=

5 x,只经过了一个完美点(0,0) ,

所以③正确;对于④,设 y=kx 为过原点的完美直线,若此直线 l 过不同的完美点(x1,y1)和 (x2,y2) ,把两点代入完美直线 l 的方程得 y1=kx1,y2=kx2,两式相减得 y1-y2=k(x1-x2) , 则(x1-x2,y1-y2)也在完美直线 y=kx 上,且(x1-x2,y1-y2)也为完美点,通过这种方法得 到直线 l 经过无穷多个完美点,所以④正确. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A?C ?
16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a, b, c, 且

2? ,b ? 1 3 .

-5-

(1)记角 A ? x, f ( x) ? a ? c ,若△ABC 是锐角三角形,求 f (x)的取值范围; (2)求△ABC 的面积的最大值. 【解析】 (1)在△ABC 中, A+B+C=π,
A?C ? 2? ? B? 3. 3 ,解得

(1 分)

a b c ? ? sin A sin B sin C ,b=1, ∵ 在△ABC 中,
a?c ?


1 sin

?
3

? sin A ?

1 sin

?
3

sin C

?
?

2 3 2? [sin A ? sin( ? A)] 3 3
2 3 2? 2? [sin A ? sin cos A ? cos sin A] 3 3 3

? 3 sin A ? cos A
? 2 sin(A ?

?

) 6 ,



f ( x) ? 2 sin(x ?

?

) 6 .

(4 分)

?
△ABC 是锐角三角形,

?
6

? A?

?

? ? 2? 2 ,得 3 <x+ 6 < 3 ,于是 3 < f ( x) ≤2,
(6 分)
2 2 2

即 f (x)的取值范围为( 3 ,2]. (2)由(1)知
B?

?

3 , b ? 1 ,由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ,

12 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos


?
3.
(10 分)

?1 ? a2 ? c2 ? ac ? 2ac ? ac ? ac ,当且仅当 a ? c 时,等号成立.

此时

S?ABC ?

1 1 ? 3 3 ac sin B ? ac sin ? ac ? 2 2 3 4 4 ,

3 故当 a ? c 时,△ABC 的面积的最大值为 4 .

(12 分)

17.(本小题满分 12 分)2015 年元月成都市跳伞塔社区要派人参加成都市财政局、水务局、 物价局联合举行的“成都中心城区居民生活用水及特种用水价格调整方案听证会”, 为了解居民 家庭月均用水量(单位:吨) ,从社区 5000 住户中随机抽查 100 户,获得每户 2014 年 12 月

-6-

的用水量,并制作了频率分布表和频率分布直方图(如图) . 分数 (0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) [2.5,3) [3,3.5) [3.5,4] (1)分别求出频率分布表中 a、b 的值,并估计社区内家庭月用水量不超过 3 吨的频率; (2)设 A1,A2,A3 是月用水量为[0,2)的家庭代表.B1,B2 是月用水量为[2,4]的家庭代 表.若从这五位代表中任选两人参加水价听证会,请列举出所有不同的选法,并求家庭代表 B1,B2 至少有一人被选中的概率. 【解析】 (1)由频率分布直方图可得 a=0.5×0.5=0.25, ∴月用水量为[1.5,2)的频数为 25. 故 2b=100﹣92=8,得 b=4. 由频率分布表可知,月用水量不超过 3 吨的频率为 0.92, 所以家庭月用水量不超过 3 吨的频率约为 0.92. (6 分) (2)由 A1、A2、A3、B1、B2 五代表中任选 2 人共有如下 10 种不同选法,分别为: (A1,A2) , (A1,A3) , (A1,B1) , (A1,B2) , (A2,A3) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A3,B1) , (A3,B2) , (B1,B2) . 记“B1、B2 至少有一人被选中”的事件为 A,事件 A 包含的基本事件为: (A1,B1) , (A1,B2) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A3,B1) , (A3,B2) , (B1,B2) , 共包含 7 个基本事件数. 又基本事件的总数为 10,所以 . 20 12 b 频数 5 8 22 频率 0.05 0.08 0.22 a 0.20 0.12

即家庭代表 B1、 B2 至少有一人被选中的概率为 . (12 分) 18.(本小题满分 12 分)已知几何体 A-BCPM 的三视图如图所示,侧视图是直角三角形,正视 图是一个梯形,点 E、F 分别是 AB、AP 的中点. 1 (1)求证: PC ? AB ; (2)求证:EF∥平面 BMC (3)求三棱锥 M-ABC 的体积. 2 F 1 E 俯视图 主视图 1

3 2
侧视图

-7-

【解析】 (1)由三视图可知, 平面 PCBM ? 平面 ABC , 平面 PCBM 平面 ABC ? BC ,且 PC ? BC , (3 分)

∴ PC ? 平面 ABC , 又 AB ? 平面 ABC , ∴ PC ? AB . (2)连接 PB.∵点 E、F 分别是 AB、AP 的中点, ∴EF 是 ?ABP 的中位线, ∴EF∥PB, 又 PB ? 平面 BMC , EF ? 平面 BMC , ∴EF∥平面 BMC .

(5 分)

(8 分)

(3)由(1)知 PC ? 平面 ABC,由三视图可知 PM∥BC, PC= 1,CB=2,AC=1,

3 点 A 到直线 BC 的距离为 AG= 2 ,∴PM∥平面 ABC,∴点 M 到平面 ABC 的距离为 PC=1,



S?ABC ?

1 1 3 3 BC ? AG ? ? 2 ? ? 2 2 2 2 ,

1 1 3 3 VM ? ABC ? S?ABC ? PC ? ? ?1 ? 3 3 2 6 . ∴三棱锥 M-ABC 的体积为
分) 19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列

(12

{an } 的 前 n 项 和 Sn 满 足

S n ? an ?

3 n?2 1 ? ( n ? N* ) bn ? a n ? 4 2n(n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1)(n ? 2) . ,且

求证:数列

{bn }是等比数列,并通项公式 bn ;

{c } T T (2)设 cn ? nan , n 为数列 n 的前 n 项和,求 n .
S n ? an ?
【 解 析 】 ( 1 ) 由

3 n?2 ? 4 2n(n ? 1)(n ? 2)







S n ?1 ? an ?1 ?

3 n ?1 ? 4 2(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ,

-8-

两式作差得

2an ?1 ? an ?

n(n ? 1) (n ? 2)(n ? 3) ? ? 2n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) 2n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)

? 2n ? 6 n?3 ?? 2n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) n(n ? 1)(n ? 2 ( ) n ? 3) ,
分)

(3

bn ? a n ?


1 1 bn ?1 ? an ?1 ? n(n ? 1)(n ? 2) ,则 (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) , 2 1 1 ? b ? b (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) n(n ? 1)(n ? 2) ,整理得 n ?1 2 n ,

bn?1 ? 2bn ? an ?1 ? 2an ?
所以



b1 ? a1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? { b } 6 3 6 2 ,故数列 n 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列,

所以 分)

bn ?

1 2n .

(6

a n ? bn ?
由(1)可得
c n ? nan ?

1 1 1 ? n ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1 ( ) n ? 2) ,

所以

n 1 ? n (n ? 1 ( ) n ? 2) 2 ,

(7 分)

1 2 3 n 1 1 1 Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? ( ? ? ? ? ? n ) ? [ ? ?? ? ] 2 4 8 2 2 ? 3 3? 4 (n ? 1 ( ) n ? 2), 故
Fn ?



1 1 2 3 n 1 2 3 n Fn ? ? ? ? ? ? n ?1 ? ? ?? ? n 4 8 16 2 , 2 4 8 2 ,则 2

1 1 1 1 1 1 n Fn ? ? ? ? ? ? ? n ? n ?1 2 4 8 16 2 2 , 作差得 2
Fn ? 2 ? n?2 2n .

所以

(9 分)

Gn ?


1 1 1 ? ?? ? 2 ? 3 3? 4 (n ? 1 ( ) n ? 2) ,
1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n ? 2 ,



Gn ?

(11 分)

-9-



Tn ? 2 ?

n?2 1 1 3 n?2 1 ? ( ? ) ? ? n ? n 2 2 n?2 2 2 n?2 .

(12

分) 20.(本小题满分 13 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆上的点到焦点的 距离的最小值为 2- 3 ,其离心率 e 是方程 2 x ? 3 3x ? 3 ? 0 的根.
2

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若椭圆 C 长轴的左右端点分别为 A1,A2,设直线 x=4 与 x 轴交 于点 D,动点 M 是直线 x=4 上异于点 D 的任意一点,直线 A1M, A2M 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,问直线 PQ 是否恒过定点?若是,求 出定点;若不是,请说明理由.

y P A1 M x

A2 D Q

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 【解析】 (1) 设椭圆 C 的方程为 a , 则依题意得 a ? c ? 2 ? 3 ,
又离心率 e 是方程的 2 x ? 3 3x ? 3 ? 0 的根,所以
2

e?

c 3 ? a 2 , a ? 2, c ? 3 ,?b2 ? 1 .

x2 ? y2 ? 1 4 ? 椭圆 C 的标准方程为 . x2 ? y2 ? 1 ? A1 (?2,, 0) A2 (2, 0) , 4 (2)由(1)知椭圆 C 的标准方程为 ,
设动点 M (4, m)(m ? R 且m ? 0) ,

(4 分)

P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,



k A1M ?

m m , k A2 M ? 6 2, y? m m ( x ? 2) y ? ( x ? 2) A M 6 2 ,直线 2 的方程为 ,

? 直线 A1M 的方程为

m ? y ? ( x ? 2) ? ? 6 ? 2 ? x ? y2 ? 1 2 2 2 2 ? 由? 4 消去 y 得 (m ? 9) x ? 4m x ? 4m ? 36 ? 0 ,
??2 x1 ?
分)

6m 4m 2 ? 36 18 ? 2m 2 18 ? 2m 2 6m y ? , ? x ? ? P ( , ) 1 1 m2 ? 9 , m2 ? 9 m2 ? 9 , m2 ? 9 m2 ? 9 .

(6

- 10 -

m ? y ? ( x ? 2) ? ? 2 ? 2 ? x ? y2 ? 1 2 2 2 2 ? 由? 4 消去 y 得 (m ? 1) x ? 4m x ? 4m ? 4 ? 0 ,
?2m 4m 2 ? 4 2m 2 ? 2 2m2 ? 2 ?2m y2 ? 2 ? Q( 2 , ) ? 2 x2 ? 2 ,? x2 ? 2 m ?1 , m ? 1 m2 ? 1 . m ?1 m ?1 ,
分)

(8

? kPQ

6m ?2m ? 2 2 m ? 1 ? 2m (m ? ? 3) ? m ?9 2 18 ? 2m 2m2 ? 2 3 ? m2 ? 2 m2 ? 9 m ?1 ,

?2m 2m 2m 2 ? 2 y? 2 ? (x ? 2 ) m ? 1 3 ? m2 m ?1 , ? 直线 PQ 的方程为
?y ? 2m 2m 2 ? 2 ?2m ( x ? )? 2 2 2 3? m m ?1 m ?1

?
? ?

2m 2m 2m 2 ? 2 2m x ? ? ? 2 2 2 2 3? m 3? m m ?1 m ?1
2m 2m x? 2 3? m 3 ? m2 2m ( x ? 1) 3 ? m2 ,
(12 分)

0) . ? 直线 PQ 过定点 (1,

当m ?

3 时,

P (1,

3 3 3 3 ) Q(1, ? ) P(1, ? ) Q (1, ) 2 , 2 . 2 ;当 m ? ? 3 时, 2 ,

此时直线 PQ 也恒过定点 (1, 0) . 综上可知,直线 PQ 恒过定点,且定点坐标为 (1, 0) . (13 分)

1 1 ( ,? ) 21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx ( x ? (0, ??) 的图象过点 e e ,且
x

在点( 1, f (1) )处的切线与直线 x ? y ? e ? 0 垂直. (1)求 a , b 的值.

- 11 -

1 x0 ? [ , e] e (2)若存在 ( e 为 自 然 对 数 的 底 数 , 且 e=2.71828… ) ,使得不等式

f ( x0 ) ?

1 2 1 3 x0 ? tx0 ? ? 2 2 2 成立,求实数 t 的取值范围.

【解析】 (1)

f ( x) ? a ln x x ? bx ? ax ln x ? bx ,

? f ?( x) ? a ln x ? a ? b,
又在点( 1, f (1) )处的切线与直线 x ? y ? e ? 0 垂直.

? f ?(1) ? a ? b ? 1 .

(3 分)

1 1 ( ,? ) x f ( x ) ? a ln x ? bx 又函数 的图象过点 e e ,

1 1 1 1 a b 1 f ( ) ? a ? ? ln ? b ? ? ? ? ? ? e e e e e e, ? e

? a ? b ? 1 ,? a ? 1, b ? 0 .
(2)由(1)知, f ( x) ? x ln x ,由题意

(5 分)

f ( x) ?

1 2 1 3 x ? tx ? ? 2 2 2 得,

x ln x ?

3 1 2 1 3 t ? 2 ln x ? x ? x ? tx ? ? x, 2 2 2 ,则

1 1 1 3 x ? [ , e] f ( x) ? x 2 ? tx ? ? e ,使不等式 2 2 2 成立, 若存在
2 ln x ? x ? 3 x 的最大值,

只需 t 小于或等于

h( x) ? 2 ln x ? x ?


( x ? 3)( x ? 1) 3 h?( x ) ? ( x ? 0) x2 x ,则 ,

(8 分)

1 x ? [ ,1] e 时, h?( x) ? 0 ,故 h( x) 单调递减;当 x ? [1, e] 时, h?( x) ? 0 ,故 h( x) 单调递增. 当

h(e) ? 2 ln e ? e ?

1 1 1 1 3 3 ? 2 ? e ? , h( ) ? 2 ln ? ? 3e ? ?2 ? ? 3e e e e e e e ,

1 2 ? h( ) ? h(e) ? 2e ? ? 4 ? 0 e e ,
- 12 -

1 h ( ) ? h ( e) ? e ,

1 1 1 x ? [ , e] h( ) ? ?2 ? ? 3e e 时,h(x)的最大值为 e e 故当 , 1 1 t ? ?2 ? ? 3e ( ??, ?2 ? +3e] e e 故 ,即实数 t 的取值范围是 .
分)

(14

- 13 -


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