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必修三 3.3.1几何概型


必修三
2 B. 3 2 D. 5

3.3.1 几何概型
)

一、选择题 1、函数 f(x)=x2-x-2,x∈[-5,5],那么任取一点 x0∈[-5,5],使 f(x0)≤0 的概率为(
A.1 3 C. 10

2、有四个游戏盘,如下图所示,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖,小明希望中奖机会大,
他应当选择的游戏盘为( )

3、在区间[-1,1]上任取两数 x 和 y,组成有序实数对(x,y),记事件 A 为“x2+y2<1” ,则 P(A)为(
π A. 4 C.π π B. 2 D.2π

)

4、ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取到的点到
O 的距离大于 1 的概率为( π A. 4 π C. 8 ) π B.1- 4 π D.1- 8

5、在 1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出 10 mL,则含有麦锈病种子的
概率是( 1 A. 1 000 9 C. 10 ) 1 B. 900 1 D. 100

6、 如图, 边长为 2 的正方形内有一内切圆. 在图形上随机撒一粒黄豆, 则黄豆落到圆内的概率是(

)

π A. 4 4-π C. 4

4 B. π 4-π D. π

二、填空题 7、有一个圆面,圆面内有一个内接正三角形,若随机向圆面上投一镖都中圆面,则镖落在三角形内
的概率为________.

8、在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为________.

9、一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒,当你到达路
口时看到的是绿灯的概率是________.

三、解答题 10、在转盘游戏中,假设有三种颜色红、绿、蓝.在转盘停止时,如果指针指向红色为赢,绿色为平,
1 1 蓝色为输,问若每种颜色被平均分成四块,不同颜色相间排列,要使赢的概率为 ,输的概率为 ,则 5 3 每个绿色扇形的圆心角为多少度?(假设转盘停止位置都是等可能的)

11、如图,在墙上挂着一块边长为 16 cm 的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别
为 2 cm,4 cm,6 cm,某人站在 3 m 之外向此板投镖,设投镖击中线上或没有投中木板时都不算(可重 投),问: (1)投中大圆内的概率是多少? (2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少? (3)投中大圆之外的概率是多少?

12、 过等腰 Rt△ABC 的直角顶点 C 在∠ACB 内部随机作一条射线, 设射线与 AB 相交于点 D, 求 AD<AC
的概率.

四、选择题 13、用力将一个长为三米的米尺拉断,假设该米尺在任何一个部位被拉断是等可能的,则米尺的断裂
处恰在米尺的 1 米到 2 米刻度处的概率为( 2 1 A. B. 3 3 1 1 C. D. 6 4 )

以下是答案

一、选择题 1、 C [令 x2-x-2=0, 得 x1=-1, x2=2, f(x)的图象是开口向上的抛物线, 与 x 轴的交点为(-1,0),
2-?-1? 3 (2,0),图象在 x 轴下方,即 f(x0)≤0 的 x0 的取值范围为 x0∈[-1,2],∴P= = .] 5-?-5? 10

2、A [A 中 P1=8,B 中 P2=6=3,
4-π×12 4-π C 中设正方形边长 2,则 P3= = , 4 4 1 ×2×1 2 1 D 中设圆直径为 2,则 P4= = . π π 在 P1,P2,P3,P4 中,P1 最大.]

3

2 1

3、A

[如图,集合 S={(x,y)|-1≤x≤1,-1≤y≤1},则 S 中每个元素与随机事件的结果一一对 应,而事件 A 所对应的事件(x,y)与圆面 x2+y2<1 内的点一一对应, π ∴P(A)= .] 4

4、B [当以 O 为圆心,1 为半径作圆,则圆与长方形的公共区域内的点满足到点 O 的距离小于或等
于 1, 故所求事件的概率为 P(A)= S长方形-S半圆 π =1- .] 4 S长方形 取出种子的体积 10 = = 所有种子的体积 1 000

5、D [取出 10 mL 麦种,其中“含有病种子”这一事件记为 A,则 P(A)=
1 .] 100

6、A [由题意,P= 二、填空题 7、 4π
3 3

S圆 π×12 π = = .] S正方形 2×2 4

1 解析 设圆面半径为 R,如图所示△ABC 的面积 S△ABC=3· S△AOC=3·AC· OD=3· CD· OD 2 =3· Rsin 60° · Rcos 60° 2 3 3R = , 4 3 3R2 3 3 = = . 4πR2 4π

∴P=

8、3
1-0 1 解析 由几何概型知所求的 P= = . 2-?-1? 3

1

9、15
40 8 解析 P(A)= = . 30+5+40 15

8

三、解答题 10、解 由于转盘旋转停止位置都是等可能的,并且位置是无限多的,所以符合几何概型的特点,问
1 题转化为求圆盘角度或周长问题.因为赢的概率为 , 5 1 所以红色所占角度为周角的 , 5 360° 即 α1= =72° . 5 1 同理,蓝色占周角的 , 3 360° 即 α2= =120° , 3 所以绿色所占角度 α3=360° -120° -72° =168° . 将 α3 分成四等份, 得 α3÷ 4=168° ÷ 4=42° . 即每个绿色扇形的圆心角为 42° .

11、解 整个正方形木板的面积,即基本事件所占的区域总面积为 S=16×16=256 (cm2).记“投中
大圆内”为事件 A, “投中小圆与中圆形成的圆环”为事件 B, “投中大圆之外”为事件 C,则事件 A 所占区域面积为 SA=π×62=36π(cm2);事件 B 所占区域面积为 SB=π×42-π×22=12π(cm2);事件 C 所占区域面积为 SC=(256-36π)cm2. S 9 SB 3 SC 9 由几何概型的概率公式,得(1)P(A)= A = π;(2)P(B)= = π;(3)P(C)= =1- π. S 64 S 64 S 64

12、 解 在 AB 上取一点 E, 使 AE=AC, 连接 CE(如图), 则当射线 CD 落在∠ACE 内部时, AD<AC.
67.5° 易知∠ACE=67.5° ,∴AD<AC 的概率 P= =0.75. 90°

四、选择题 13、B [P= 3 =3.]
2-1 1



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