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2014届高三名校数学(文)试题分省分项汇编 专题03 导数


一.基础题组 1. 【江苏省徐州市 2013-2014 第一学期高三期中试题】曲线 y ? e x (其中 e ? 2.71828? )
在 x ? 1 处的切线方程为 .

2.

【 江 苏 省 兴 化 市 2013~2014 学 年 度 第 一 学 期 期 中 考 试 高 三 】 已 知 函 数

f ?x ? ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? a 在 x ? R 上有三个零点,则实数 a 的取值范围是



3.

【江苏省兴化市 2013~2014 学年度第一学期期中考试高三】曲线 y ? .

1 2 和 y ? x 在它 x

们的交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积是

1

4. 【盐城市 2014 届高三年级第一学期期中考试】 已知函数 f ( x) ? 2 f ?(1) ln x ? x , f ( x) 则
的极大值为 .

5.

【 江 苏 省 灌 云 高 级 中 学 2013-2014 学 年 度 高 三 第 一 学 期 期 中 考 试 】 若 函 数

f ( x) ? x n ?1 (n ? N ? ) 的图像与直线 x ? 1 交于点 P , 且在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标
为 xn ,则 log 2013 x1 ? log 2013 x2 ? log 2013 x3 ? ? ? log 2013 x2012 的值为 .

6.

【 江 苏 省 灌 云 高 级 中 学 2013-2014 学 年 度 高 三 第 一 学 期 期 中 考 试 】 已 知 函 数 .

3 2 2 f ( x) ? x ? 3 mx ? n x? m x ? ?1 时有极值 0,则 m ? n ? 在

2

二.能力题组 1.
【江苏省通州高级中学 2013-2014 学年度秋学期期中考试高三数学试卷】 已知函数

,若任意 x1、x 2 ? [2,3] 且 x2 ? x1 ,t= f ( x) ? ln x ( a ? R ) 取值范围_ __ .

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ,则实数 t 的 x 2 ? x1

2. 【盐城市 2014 届高三年级第一学期期中考试】设 f ?(x) 和 g ?(x) 分别是 f ( x) 和 g ( x)
的导函数,若 f ?( x) g ?( x) ? 0 在区间 I 上恒成立,则称 f (x) 和 g (x) 在区间 I 上单调性相 反.若函数 f ( x) ?

1 3 , x ? 2ax 与 g ( x) ? x 2 ? 2bx 在开区间 (a, b) 上单调性相反( a ? 0 ) 3


则 b ? a 的最大值为

( x 2 ? 2a)(2 x ? 2b) ? 0 在开区间 (a, b) 上恒成立,又 0 ? a ? b ,所以 2 x ? 2b ? 0 ,于是

x 2 ? 2a ? 0 在 开 区 间 ( a , b ) 上 恒 成 立 , x 2 ? 2a ? 0 的 解 集 为 ( ? 2 a , 2 a ) , 所 以

3

( a, b) ? ( ? 2 a , 2 a ) , b ? a ? 2 a ? a ? ? ( a ?
最大值

1 1 2 1 ) ? ,当 a ? , b ? 1 时,b ? a 取得 2 2 2

1 . 2
2a , a?R . x

考点:函数的综合应用.

3.

【江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三】已知函数 f ( x) ? ln x ? (1)若函数 f ( x) 在 [2, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ( x) 在 [1, e] 上的最小值为 3,求实数 a 的值.

4

4.

【江苏省兴化市 2013~2014 学年度第一学期期中考试高三】已知函数 f ?x ? ? x ln x .

(1)若存在 x ? ? , e? ,使不等式 2 f ?x ? ? ? x ? ax ? 3 成立,求实数 a 的取值范围; e
2

?1 ? ? ?

(2)设 0 ? a ? b ,证明: f ?a ? ? f ?b ? ? 2 f ?

?a?b? ? ? 0. ? 2 ?

5

5.【江苏启东中学 2014 届上学期期中模拟高三数学】设函数 f ( x) ? e x ? 1 ? x ? ax 2
(1)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围

6

6.

【江苏启东中学 2014 届上学期期中模拟高三数学】某建筑公司要在一块宽大的矩形地

面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开 (栏栅要求在一直线上) ,公共设施边界为曲线 f ( x) ? 1 ? ax , (a ? 0) 的一部分,栏栅与
2

矩形区域的边界交于点 M , N ,交曲线于点 P ,设 P(t , f (t )) . (1)将 ?OMN ( O 为坐标原点)的面积 S 表示成 t 的函数 S (t ) ; (2)若在 t ?

1 处, S (t ) 取得最小值,求此时 a 的值及 S (t ) 的最小值. 2
7

S ?(t ) ?

2(1 ? at 2 ) ? 2at ? 4at ? 4a(at 2 ? 1)2 (1 ? at 2 )(12a 2t 2 ? 4a) ? 16a 2t 2 16a 2t 2
2

1 4 ? 4a ? 0 ,解得 a ? 4 3 4 1 (1 ? ? ) 2 1 3 4 ? 2. 此时可得 S (t ) 的最小值为 S ( ) ? 4 1 2 3 4? ? 3 2
由 S ?( ) ? 0 ,得 12a ? 考点:函数在实际问题中的应用.

1 2

7.

【盐城市 2014 届高三年级第一学期期中考试】某地开发了一个旅游景点,第 1 年的游

客约为 100 万人,第 2 年的游客约为 120 万人. 某数学兴趣小组综合各种因素预测:①该景
8

点每年的游客人数会逐年增加;②该景点每年的游客都达不到 130 万人. 该兴趣小组想找一 个函数 y ? f ( x) 来拟合该景点对外开放的第 x ( x ? 1) 年与当年的游客人数 y(单位: 万人) 之间的关系. (1)根据上述两点预测,请用数学语言描述函数 y ? f ( x) 所具有的性质; .......

m ? n ,试确定 m, n 的值,并考察该函数是否符合上述两点预测; x x (3)若 f ( x) = a ? b ? c(b ? 0, b ? 1) ,欲使得该函数符合上述两点预测,试确定 b 的取值
(2)若 f ( x) = 范围.

9

三.拔高题组
2 1. 【金陵中学 2013-2014 学年度第一学期高三期中试卷数学】 已知函数 f(x)=a|x|+ x(a>0,a a ≠1) (1)若 a>1,且关于 x 的方程 f(x)=m 有两个不同的正数解,求实数 m 的取值范围; (2)设函数 g(x)= f(-x), x∈[-2, , g ? x ? 满足如下性质:若存在最大(小)值,则最大(小) +∞) 值与 a 无关.试求 a 的取值范围.

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2. 【盐城市 2014 届高三年级第一学期期中考试】 若函数 f ( x) ? x(ln x ? a) a 为实常数) ( .
(1)当 a ? 0 时,求函数 f (x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)设 g ( x) ?| f ( x) | . ①求函数 g ( x) 的单调区间;

①当 x ? e 时, g ?( x) ? ln x ? 1 ? a ? 0 恒成立,所以 x ? (e , ??) 时,函数 g ( x) 为增函 数; ……7 分
a
a

当 x ? e 时, g ?( x) ? a ? 1 ? ln x ,令 g ?( x) ? a ? 1 ? ln x ? 0 ,得 0 ? x ? e
a

a ?1



12

3.

【江苏省徐州市 2013-2014 第一学期高三期中试题】已知函数 f ( x) ? a ln x ? x 2 .

1 (1)当 a ? 2 时,求函数 y ? f (x) 在 [ ,2] 上的最大值; 2
(2)令 g ( x) ? f ( x) ? ax ,若 y ? g (x) 在区间 (0,3) 上不单调,求 a 的取值范围; ( 3 ) 当 a ? 2 时 , 函 数 h( x) ? f ( x) ? mx 的 图 象 与 x 轴 交 于 两 点 A( x1 ,0), B( x2 ,0) , 且

0 ? x1 ? x2 ,又 y ? h?(x) 是 y ? h(x) 的导函数.若正常数 ? , ? 满足条件 ? ? ? ? 1, ? ? ? ,
证明: h?(?x1 ? ?x2 ) ? 0 .

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4.

【江苏省扬州中学 2013—2014 期中考试模拟】已知函数

f ? x ? ? ax3 ? bx 2 ? 3x ? a, b ? R ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 .
⑴求函数 f ? x ? 的解析式; ⑵若对于区间 ? ?2, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? c ,求实数 c 的最小值; ⑶若过点 M ? 2, m ?? m ? 2 ? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

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5.

【江苏省兴化市 2013~2014 学年度第一学期期中考试高三】设函数

f ?x ? ? x 3 ? ax 2 ? a 2 x ? 1 , g ?x ? ? ax 2 ? 2 x ? 1 ,其中实数 a ? 0 .
(1)若 a ? 0 ,求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)当函数 y ? f ?x ? 与 y ? g ?x ? 的图象只有一个公共点且 g ? x ? 存在最小值时,记 g ? x ? 的 最小值为 h?a ? ,求 h?a ? 的值域; (3)若 f ? x ? 与 g ? x ? 在区间 ?a, a ? 2? 内均为增函数,求实数 a 的取值范围.

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? ?a ? ? ? ?a ? ? ?

a 3 ,解得 a ? 1. 1 a
? ? a? 1? ? ? 和 ?? a,?? ? 内是增函数, g ? x ? 在 ? ? ?, ? 内是增函数,由 3? a? ?

当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ? ?,

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? ?a ? 2 ? ? 题意得 ? ?a ? 2 ? ? ?

a 3 ,解得 a ? ?3 . 1 a

综上可知,实数 a 的取值范围为 ? ??, ?3? ? ?1, ?? ? . 考点:函数的综合应用.

6.

【 江 苏 省 灌 云 高 级 中 学 2013-2014 学 年 度 高 三 第 一 学 期 期 中 考 试 】 设 函 数

f ( x) ? x 2 ? bx ? a ln x
(1) 若 x ? 2 是 函 数 f ( x) 的 极 值 点 , 1 和 x0 是 函 数 f ( x) 的 两 个 不 同 零 点 , 且

x0 ? ? n, n ? 1? , n ? N ,求 n ;
(2)若对任意 b ? ? ?2, ?1? ,都存在 x ? ?1, e ? ( e 为自然对数的底数) ,使得 f ( x) ? 0 成立, 求实数 a 的取值范围.

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