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一道数学竞赛试题的探究与推广


58

中学数学教学

2014年第6期

一道数学竞赛试题的探究与推广
湖北省孝感市第一中学叶晓斌
(邮编:432000)

题目(2013年全国高中数学联合竞赛湖北 省预赛试题(高二年级)第7题)从集合A一{1,
2,3,…,30)中取出五个不同的数,使这五个数构

r />
否也可得到k(2n+愚+1一m—km)个不同的等
差数列呢?

成等差数列,则可以得到的不同的等差数列的个

数为——.
解当公差d=1,2,3,4,5,6,7时,分别可 得到26,22,18,14,10,6,2个等差数列,一共98
个;把这98个数列分别倒序排列又得到98个公 差为负的等差数列,故总数为196个. 探究1若从集合A={1,2,3,…,行}中取

结论是显然的,其证明过程如下: 证明设从集合A中取出的觚个不同的数 分另0为z1,z2,…,z。,则
当1≤a1一口2一do一口3—2do一…一以。 一(m一1)巩≤咒一(m一1)do时,可得竹一(m一

1)个等差数列;
当1≤a1一口2—2do一口3—4do一…一口。 一2(m一1)砒≤以一2(m一1)凼时,可得行一2(m 一1)个等差数列;. 当1≤以l一口2—3do—n3—6do一…一日。 一3(m一1)凶≤77—3(优一1)do时,可得咒一3(rn

出搬个不同的数,使这优个数构成等差数列,则
可以得到多少个不同的等差数列呢?

解析设从集合A中取出的m个不同的数
分别为改l,以2,…,以。,且Ⅱ1<n2<…<以。,则

一1)个等差数列;
当1≤口1一口2一ledo一Ⅱ3—2kdo一…一口m —k(m一1)如≤”~k(m一1)do,其中k一

当1≤al—n2—1一口3—2一…一口。~(m
一1)≤竹一(仇一1)时,可得72一(m一1)个等差

数列;
当1≤“1一n2~2一口3—4一…一n。一2(m

一1)≤r/一2(m一1)时,可得咒一2(m一1)个等
差数列; 当1≤“l—n2~3一日3—6一…一n。一3(rn 一1)≤行一3(m一1)时,可得72—3(m一1)个等 差数列; 当1≤口l—a2一k—a3—2k一…一n。一

)堡;{时,可得,2一是(埘~1)个等差数列.
L"Ill——上_J

成等差数列的总数为kn一丛生上臻㈣;把


综上所述,当公差d一1,2,…,k时,其共构

这些数列分别倒序排列又得到砌一

丛生土嵝堕£尘个公差为负的等差数列,故总
数为k(2n+k+1~77z—km)个,其中忌一
厂”一1]

是(优一1)≤押一是(m—1),其中k一[而n--1], l而j。
([z]表示不大于z的最大整数,下同)时,可得靠
综上所述,当公差d一1,2,…,k时,共构成 一k(m~1)个等差数列.

等差数列砌~丛生上县鱼£坐;把这些数列分
别倒序排列又得到砌一丛生上嵝堕£二旦个公差
为负的等差数列,故总数为k(2n+k+1一m—

探究3从集合A一{n1,口2,a3,…,n。}中取 出研个不同的数,使这m个数构成等差数列,其 中{n。}是公差为d。<0的等差数列,则可以得 到不同的等差数列的个数仍为

k(2行+志+1一m一梳),其中k—I旦二{I.
L,,£ 1’J

其证明方法同上,限于篇幅,在此就不赘述了.
结合探究1、2、3的结论,我们可归纳得到如

km)个,其中矗一[而n

1].

下结论及推论:
结论从集合A一{al,口2,以3,…,口。}中取

探究2若从集合A一{&l,盘z,盘。,…,n。}中

取出m个不同的数,使这州个数构成等差数列,
其中{a。}是以公差为d。>0的等差数列,则是

出m个不同的数,使这m个数构成等差数列,其中 {%}是以公差为函≠0的等差数列,且踅≥m>1,

万方数据

2014年第6期

中学数学教学

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一个有趣的三角不等式
安徽省舒城县杭埠镇中心学校丁遵标

(邮编:i31323)

命题在△ABC中,求证:
c。sA

c。s2虿B COS3了C冬丽27.

≤c。st—L二2上coS4挛
c.丌

A4

Bz-。iB十,了C

’.‘c。幽c。s罢 一丢[c。s(A+罢)+c。s(A一导)]
证明

一A手+B+C---啷。拳
A+B+C--3-.导+詈

≤il[cos(A+加卜。攀,
..仰妣s万B≤啷。攀,
B C

同理,c。8可B 厶

c。s百C≤COS?呈弓』,
0 [

cOs2了Cc。s2百7E≤coS4—3≯6,
.?.c。SAc。s2虿B
c。s3

≤COS8—j—下l 。A+B+导+等+号 一os8———}型 一A—+—B+一C+nCOS8 一——一-cos8詈, iC≤c。s6詈一器,
一coss詈,
.?.c。sAc。s2

iB

COS3

故c。sA

c。s2罢c(js3了C≤丽27.
参考文献
(收稿日期:2014—04—02)

iC

c。s2吾


一。A+Bz,。导愕。cs+zb ≤cos2—产cos2兰了』cos4土丁旦
则可以得到不同的等差数列的个数为

匡继昌.常用不等式[M]].山东科学技术出版社, 2004年1月第3版

r卵二』]

k(2”+志+1一m—km),其中志一[an--1].
推论1若数列{以。}是以公差不为0的等

Lm一1-J‘
最后以一道2010年浙江省五校联考试题为

差数列,从中取出若干(大于2)个数构成其子列, 则所有子列中仍成等差数列的子列数为

例,应用上述结论对其进行求解. 例设{口。)是等差数列,从{a。,以。,…,a。。) 中任取3个不同的数,使这3个数仍成等差数
列,则这样不同的等差数列最多有( A.90个B.120个 解


∑k(2n+k+1一ITt—km),其中k一

[而n--1].
推论2若数列{n。}是以公比不为1的等

由题意知,k一|等I一9,以一20,优

C.180个D.200个

一3.于是,得到这样不同的等差数列最多有:9× (2×20+9+1—3—9×3)一180(个).故应选C 点评从上述解答过程可以看出,运用本文

比数列,从中取出若干(大于2)个数构成其子列,
则所有子列中也成等比数列的子列数为

∑k(2n+k+1一m—km),其中k—

的结论解题不仅过程更为简洁,而且也为这一类
问题的求解提供了一种更为简单而有效的方法.
(收稿日期:2014一09—28)

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