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高二文科数学教案《2.1椭圆(一)》 3


2.1.1 椭圆及其标准方程(一)
教学目标:理解椭圆的定义及焦点、焦距的概念,掌握椭圆的标准方程及其推导方法. 重点难点分析 教学重点:椭圆的定义及椭圆的标准方程. 教学难点:椭圆标准方程的推导. 教学设计: 【动手实践】取一条一定长的细绳,把它的两端固定在画图板上的 F1 和 F2 两点,当绳长大于 F1 和 F2 的距离时,用笔尖把绳子拉紧,使笔尖在图板上慢慢 M

移动,看看你会得到什么图形? 【讲授新课】 F1 F2 1、椭圆的定义: 把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的焦点,两焦点的距离叫做焦距.

问题:为什么要满足 2a >2c 呢?(1)当 2a =2c 时轨迹是什么?(2)当 2a <2c 时轨迹又是什么? 结论: (1)当 2a >∣F1F2∣时,是椭圆; (2)当 2a =∣F1F2∣时,是线段; (3)当 2a <∣F1F2∣时轨迹不存在.椭圆标准方程的推导:
如图,建立直角坐标系 xOy ,使 x 轴经过点 F1 , F2 ,并且点 O 与线段 F1 F2 的中点重合. 设点 M ( x, y ) 是椭圆上任一点,椭圆的焦距为 2c ( c >0).焦点 F1 , F2 的坐标分别是 (?c,0), (c,0) ,又设 M 与 F1 , F2 的距离的和等于常数 2a . MF1 ? MF2 ? 2a

y M

椭圆的标准方程:

x y ? 2 ? 1 ( a > b >0) 2 a b
2 2

2

2

F1 O
2

c c

F2

x

它所表示的椭圆的焦点在 x 轴上,焦点是 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) ,且 c ? a ? b . 如果使点 F1 , F2 在 y 轴上,点 F1 , F2 的坐标是 F1 (0,?c), F2 (0, c) ,

y F2 O F1
y M c c F1 O F2

x

则椭圆方程为

y x ? 2 ? 1 ( a > b >0) 2 a b

2

2

2、椭圆的标准方程:

x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0)焦点 F1(?c, 0)、F2(c, 0) 在 x 轴上, a2 b2

且 c2=a2-b2.

x

y2 x2 ? ? 1 ( a > b >0)焦点 F1(0,?c)、F2(0,c)在 y 轴上且 c2=a2-b2. a2 b2
练习:下列哪些是椭圆方程?如果是,请指出其焦点所在的坐标轴.

y F2

c
Oc F1

M

x

(1)

x2 y2 ? ? 1; 16 9

( 2) 25 x 2 ? 16 y 2 ? 400; ( 3)
1

x2 y2 ? ? 1( m ? n ? 0) m n

(1)16 x ? 25 y ? 400,
2 2

y2 x2 ( 2) ? ? 1, 16 25

y2 x2 ( 4) ? ? ?1, (5)3 x 2 ? 4 y 2 ? 2. 4 9

强调: 对椭圆及其标准方程的理解: ⑴ 椭圆标准方程中,哪个分母大,焦点就在相应的哪条坐标轴上; ⑵ a、b、c 始终满足 c2=a2-b2,焦点在 x 轴上为(-c, 0) 、 (c, 0) ,在 y 轴上为(0, -c)、(0, c); 2、 设 F1 (?3,0) 、 F2 (3,0) ,且 MF1 ? MF2 ? 6 ,则点 M 的轨迹是___________________. 例 1.方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,求实数 m 的取值范围. m 2 (m ? 1) 2

?m 2 ? 0 ? 2 解:由题意得 ?(m ? 1) ? 0 ? 2 2 ?(m ? 1) ? m

? ?m ? 0 ? 即 ?m ? 1 ? 1 ?m ? 2 ?

故所求实数 m 的取值范围是 (??,0) ? (0, ) 例 2、已知椭圆 mx ? 3 y ? 6m ? 0 的一个焦点为(0,2) ,求 m 的值.
2 2

1 2

解:方程变形为

x2 y2 ? ?1 6 2m
2 2 2

∵焦点在 y 轴上, ∴ 2m ? 6 ? 2 ,
2

∴ a ? 2m, b ? 6 ,
2 2

又c ? 2且a ?b ? c ,

∴m ? 5

例 3、求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) 两个焦点坐标分别是 (?4,0) 、 (4,0) ,椭圆上一点 P 到两焦点的距离的和等于 10; (2) 两个焦点的坐标分别是 (0,?2) 、 (0,2) ,并且椭圆经过点 (?

3 5 , ). 2 2

解: (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0) a2 b2
2

∵ 2a ? 10 ,∴ a ? 5 ,又 c ? 4 ,∴ b ? a ? c ? 5 ? 4 ? 9
2 2 2 2

所求椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ?1 25 9

y2 x2 (2)因为椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0) a b

2

由椭圆的定义知 2a ? ∴ a ? 10

3 5 3 5 (? ) 2 ? ( ? 2) 2 ? (? ) 2 ? ( ? 2) 2 ? 2 10 2 2 2 2
∴ b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6
2 2 2

又c ? 2

所以所求圆的方程为

y2 x2 ? ?1 10 6

【课堂小结】椭圆的定义;椭圆的标准方程: (1)若焦点在 x 轴上,则标准方程为

x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0) a2 b2 y2 x2 ? ? 1 ( a > b >0) a2 b2

(2)若焦点在 y 轴上,则标准方程为

例 1 、已知 B、C 是两个定点, |BC| =6, 且△ ABC 的周长等于 16, 求顶点 A 的轨迹方程. 解: 如右图建立坐标系, 使 x 轴经过点 B、 原点 O 与 BC 的中点重合. C, ∵|AB|+|AC|+|BC|=16, |BC| =6,∴|AB|+|AC|=10, 则点 A 的轨迹是椭圆,且 2c=6,2a=10, y ∴ c=3,a=5,b2=52-32=16. 但当点 A 在直线 BC 上,A、B、C 三点不能构成三角形, A A

x2 y2 ? ? 1 (y≠0). 所以点 A 的轨迹方程是 25 16
例 2、求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在 y 轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); (3)中心在原点,且经过点 P(3,0),a=3b; (4)求经过点 A(3, 练习

B O

C

x

3 )、B(2,3)的椭圆的标准方程.

x2 y2 ? ? 1 F1 的距离等于 6,那么点 P 到另一个焦点 F2 的距离是____14____. 1、 如果椭圆 100 36
2. 已知椭圆 mx2+3y2-6m=0 的一个焦点为(0, 2),求 m 的值. 3. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) a+c=10, a-c=4; (2)求经过两点 P1 ( , ), P2 (0, ? ) 的椭圆的标准方程.

1 1 3 3

1 2

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点为 F1、F2 ,一直线过 F1 交椭圆于 A、B,则△ABF2 的周长为( 4. 椭圆 16 9
A. 32 B. 16 C. 8 D. 4

)

3

【讲授新课】

例1如图,已知一个圆的圆心为坐标原点, 半径为2.从这个圆上任意一点P向x轴作垂线 段PP ?, 求线段PP ?中点M的轨迹.
解: (相关点法)设点 M(x, y), 则 x=x0, y= 点 P(x0, y0),

y0 2


得 x0=x, y0=2y. x2+(2y)2=4,

∵x02+y02=4, 即

y
P

x ? y 2 ? 1. 所以点 M 的轨迹是一个椭圆. 4
? x ? 2 cos?, ? y ? 2 sin ? .
2

M
O P?

解法二:设线段 PQ 中点为 M(x, y).∵圆的参数方程: ?

x

? x ? 2 cos ?, ? x? 2 ∴点 M 轨迹的参数方程: ? M 点的轨迹方程: ? ? ? y ? 1. 2? y ? sin ? . ? ?

4 例2.?ABC的两个顶点坐标分别是A(0,?6)和B(0,6)另两边AC、BC的斜率的乘积是 ? , 9 求顶点C的轨迹方程. y
解: 设顶点 C 的坐标为(x, y). 由题意得

y?6 y?6 4 ? ?? . x x 9

6B
O

x2 y2 ? ? 1 (x≠0). (y≠±6) ∴顶点 C 的轨迹方程为 81 36
练习?ABC的两个顶点坐标分别是A(?6,0)和B (6,0) 4 ? , 求顶点C的轨迹方程. 9

x -6

A

, 另两边AC、BC的斜率的乘积是
y A -6 B 6

x2 y2 ? ? 1 (x≠±6) (y≠0) 36 16

O

x

课堂练习 1. 如图,线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑动,|AB|=5,点 M 是 AB 上一点.且|AM|=2,点 M 随线段 AB 的运动而变化,求点 M 的轨迹方程.
y B O M A x

x2 2. 椭圆 ? y 2 ? 1的两个焦点为F1,F2,过F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个 4 交点为P,则 PF2 ? (
A. 3 2 B. 3

)
C. 7 2 D. 4
4

练习 求经过点 A(0, 2)和 B ( , 3 ) 的椭圆的标准方程. 例 1 一动圆与圆 x2+y2+6x+5=0 外切,同时与圆 x2+y2-6x-91=0 内切,求动圆圆心的轨迹方程. y 解: 设动圆圆心为 P (x, y),半径为 R,两已知圆圆心分别为 O1,O2. 2 2 2 2 2 2 2 2 由 x +y +6x+5=0 得: (x+3) +y =4;由 x +y ?6x?91=0 得: (x?3) +y =100 P 故 O1(?3,0), O2(3,0), 且圆 O1 在圆 O2 内部. x O1 O O 2 圆 P 与圆 O1 外切知:|O1P|=R+2,由圆 P 与圆 O2 内切知:|O2P|=10?R. 所以|O1P|+|O2P|=12,而|O1O2|=6,可知 P 点轨迹为椭圆,且 2a=12, a=6;
A C

1 2

2c=6, c=3; 所以 b2=a2?c2=36?9=27? P点的轨迹方程为:

x2 y2 ? ?1 36 27

x2 y2 例 2 P是椭圆 ? ? 1上一点,F1、F2是焦点 100 64

y P F1 O F2 x

(1) 若?F1 PF2 ?

?
3

,求?F1 PF2的面积;

(2) 求 PF1 PF2 的最大值.

2 解: (1) 由已知得:c ? 100 ? 64 ? 36 ? 2c ? 12, F1 F2 ? 12, 设 PF1 ? m,

PF2 ? n, 则m ? n ? 20
在?PF1 F2中,由余弦定理得:1 F2 F
2

? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos F1 PF2

2

2

即12 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos ? S ?F1PF2 ?

?
3

? 144 ? (m ? n) 2 ? 3mn ? mn ?

256 3

1 ? 64 3 mn sin ? 2 3 3

(2) 由(1)知: 1 PF2 ? mn ? ( PF

m?n 2 ) ? 100 2

? PF1 PF2

max

? 100 .

练习 1. 椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,椭圆短轴的一个顶点 B 与两个焦点 F1、F2 组成的三角形的周长

且 是 4 ? 2 3, ?F1 BF2 ?

2? ,求椭圆的方程. 3

2.如图所示,已知定点 A(2,0)及圆 B:(x+2)2+y2=25,圆心为 B,点 P 在圆上运动,若线段 AP 的垂直平分 线交 BP 于 Q,求 Q 点轨迹方程.

y

P Q B O A x

5


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