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2.3.2等差数列的前n项和(第二课时)


2.3

等差数列的前n项和
第二课时

问题提出

1.等差数列的递推公式是什么?

an - an - 1 = d (n

2)

an-1+an+1=2an(n≥2)

2.等差数列的通项公式是什么?在结构 上它有什么特征?
an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d=pn+q.

在结构上是关于n的一次函数. 3.等差数列前n项和的两个基本公式是什 么?

n(n ? 1)d n (a1 + an ) Sn = , S n ? na1 ? 2 2

4.深入研究等差数列的概念与前n项和公 式及通项公式的内在联系,可发掘出等 差数列的一系列性质,我们将对此作些 简单探究.

思考1:将等差数列前n项和公式

看作是一个关于n的函数,这个函数有什 么特点?

n(n ? 1)d S n ? na1 ? 2

当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数.

思考2:一般地,若数列{an}的前n和 Sn=pn2+qn,那么数列{an}是等差数列 吗?若Sn=pn2+qn+r呢?
?

{an}是等差数列 ? Sn=pn2+qn.

Sn 思考3:若{an}为等差数列,那么 { } n 是什么数列?

Sn {an}是等差数列 ? { } 为等差数列 n

探究(二):等差数列前n项和的性质

性质1:在等差数列{an}中,Sn,S2n,S3n 三者之间有什么关系? S3n=3(S2n-Sn)
性质2:在等差数列?an ?中, 若项数为2n(n ? 2, n ? N ), S偶 ? S奇 ? nd S奇 n ? 1 若项数为2n ? 1(n ? 2, n ? N ), ? S偶 n

思考3:设等差数列{an}、{bn}的前n项
an 和分别为Sn、Tn,则 等于什么? bn an S 2 n ?1 ? bn T2 n ?1

思考4:在等差数列{an}中,若a1>0, d<0,则Sn是否存在最值?如何确定其 最值?

当ak≥0,ak+1≤0时,Sk为最大.

理论迁移

的前n项和为Sn,求当n为何值时Sn取最 大值. n =7 或8
例2 设等差数列{an}的公差为-2,且

2 4 例1 设等差数列 5, 4 , 3 , 7 7

a1 ? a4 ? a7 ?

a3 ? a6 ? a9 ?

? a97 ? 50 ,求

-82

? a99 的值.

例3 设等差数列{an}、{bn}的前n项 和分别为Sn、Tn,若
15 23

a8 求 的值. b8

Sn 2n , ? Tn 3n ? 1
15 23

小结作业

1.以等差数列前n项和为背景可引发出许 多性质,作为研究性学习,其结论不要求 记忆,但要了解探究这些性质的数学思想 方法和技巧,并在解题中灵活运用.
2.等差数列的定义、通项公式、求和公 式是等差数列的基本知识点,在运用中 具有很大的灵活性和较强的技巧性,适 当了解等差数列的一些基本性质,会给 解题带来一定的帮助.

3.在等差数列的基本运算中,要注意整 体代入,回避非必求量,简化运算过程, 提高解题效率.对于与前n项和有关的问 题,不一定要用求和公式,有时作非公 式化处理更简单.

作业: P45练习:2,3. P46习题2.3A组:5,6.


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