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四种命题相互关系练习题


课时作业(二)
[学业水平层次] 一、选择题 1. 命题“若函数 f(x)=logax(a>0, a≠1)在其定义域内是减函数, 则 loga2<0”的逆否命题是( )

A.若 loga2≥0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不 是减函数 B.若 loga2<0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不 是减函数 C.若 loga2≥0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是 增函数 D.若 loga2<0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是 增函数 【解析】 命题“若 p,则 q”的逆否命题为“若 綈 q,则綈

p”.“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不 是减函数”,不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”. 【答案】 A

2.(2014· 济宁高二检测)命题“已知 a,b 都是实数,若 a+b>0, 则 a,b 不全为 0”的逆命题、否命题与逆否命题中,假命题的个数 是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】 逆命题“已知 a,b 都是实数,若 a,b 不全为 0,则 a + b > 0” 为假命题,其否命题与逆命题等价,所以否命题为假命 题.逆否命题“已知 a,b 都是实数,若 a,b 全为 0,则 a+b≤0”

为真命题,故选 C. 【答案】 C 3. (2014· 南宁高二检测)已知命题“若 ab≤0, 则 a≤0 或 b≤0”, 则下列结论正确的是( )

A.真命题,否命题:“若 ab>0,则 a>0 或 b>0” B.真命题,否命题:“若 ab>0,则 a>0 且 b>0” C.假命题,否命题:“若 ab>0,则 a>0 或 b>0” D.假命题,否命题:“若 ab>0,则 a>0 且 b>0” 【解析】 逆否命题“若 a>0 且 b>0,则 ab>0”,显然为真 命题,又原命题与逆否命题等价,故原命题为真命题.否命题为“若 ab>0,则 a>0 且 b>0”,故选 B. 【答案】 B 4.(2014· 潍坊高二期末)命题“若 x=3,则 x2-2x-3=0”的逆 否命题是( )

A.若 x≠3,则 x2-2x-3≠0 B.若 x=3,则 x2-2x-3≠0 C.若 x2-2x-3≠0,则 x≠3 D.若 x2-2x-3≠0,则 x=3 【解析】 其逆否命题为“若 x2-2x-3≠0,则 x≠3”.故选 C. 【答案】 C 二、填空题 5.(2014· 三门峡高二期末)命题“若 x>2,则 x2>4”的逆命题是 ________________. 【解析】 原命题的逆命题为“若 x2>4,则 x>2”. 【答案】 若 x2>4,则 x>2

6.命题“ax2-2ax-3>0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范 围是_________________. 【解析】 ax2-2ax-3≤0 恒成立. 当 a=0 时,-3≤0 成立;
? ?a<0, 当 a≠0 时,? 2 ? ?Δ=4a +12a≤0.

解得-3≤a<0. 故-3≤a≤0. 【答案】 -3≤a≤0 7.在空间中,给出下列两个命题:①若四点不共面,则这四点 中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异 面直线.其中逆命题为真命题的是________. 【解析】 ①的逆命题:若空间四点中任何三点都不共线,则这 四点不共面,是假命题;②的逆命题:若两条直线是异面直线,则这 两条直线没有公共点,是真命题. 【答案】 ② 三、解答题 8.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a、b∈R,对命题 “若 a+b≥0,则 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”. (1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论; (2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论. 【解】 (1)逆命题是: 若 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b), 则 a+b≥0.

它为真,可证明原命题的否命题为真来证明它. 否命题为: 若 a+b<0, 则 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b). 如果 a+b<0, 则 a<-b,b<-a.因为 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,则 f(a)<f(-b),

f(b)<f(-a),所以 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),故原命题的否命题为真, 所以逆命题为真. (2)逆否命题是:若 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则 a+b<0.它为真, 可证明原命题为真来证明它. 因为 a+b≥0,所以 a≥-b,b≥-a.因为 f(x)在(-∞,+∞)上 是增函数,所以 f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),所以 f(a)+f(b)≥f(-a)+ f(-b),故原命题为真.所以逆否命题为真. 9.判断命题“已知 a,x 为实数,若关于 x 的不等式 x2+(2a+ 1)x+a2+2≤0 的解集非空,则 a≥1”的逆否命题的真假. 【解】 原命题的逆否命题:已知 a,x 为实数,若 a<1,则

关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集为空集. 判断真假如下: 抛物线 y=x2+(2a+1)x+a2+2 的开口向上, 判别式 Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7, 因为 a<1,所以 4a-7<0, 即抛物线 y=x2+(2a+1)x+a2+2 与 x 轴无交点. 所以关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集为空集. 故原命题的逆否命题为真. [能力提升层次] 1.与命题“若 a· b=0,则 a⊥b”等价的命题是( A.若 a· b≠0,则 a 不垂直于 b B.若 a⊥b,则 a· b=0 C.若 a 不垂直于 b,则 a· b≠0 D.若 a· b≠0,则 a⊥b 【解析】 原命题与其逆否命题为等价命题. )

【答案】 C 2.(2014· 福州期末)命题“若 x+y 是偶数,则 x,y 都是偶数” 的逆否命题是( )

A.若 x,y 都不是偶数,则 x+y 不是偶数 B.若 x,y 不都是偶数,则 x+y 是偶数 C.若 x,y 不都是偶数,则 x+y 不是偶数 D.若 x,y 都不是偶数,则 x+y 是偶数 【解析】 “x,y 都是偶数”的否定为“x,y 不都是偶数”, “x+y 是偶数”的否定是“x+y 不是偶数”.故选 C. 【答案】 C 3.下列命题中________为真命题(填上所有正确命题的字间距序 号). ①若 A∩B=A,则 A?B;②“若 x=y=0,则 x2+y2=0”的逆 命题;③“全等三角形是相似三角形”的逆命题;④“圆内接四边形 对角互补”的逆否命题. 【解析】 ①错误,若 A∩B=A,则 A?B;②正确,它的逆命 题为“若 x2+y2=0,则 x=y=0”为真命题;③错误,它的逆命题为 “相似三角形是全等三角形”为假命题;④正确,因为原命题为真命 题,故逆否命题也为真命题. 【答案】 ②④ 4. 写出下列命题的逆命题、 否命题、 逆否命题, 然后判断真假 。 (1)等高的两个三角形是全等三角形; (2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧. 【解】 高,是真命题; (1)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等

否命题:若两个三角形不等高,则这两个三角形不全等,是真命 题;逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等高,是假 命题. (2)逆命题:若一条直线平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂 直平分线,是假命题; 否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不平分弦 所对的弧,是假命题; 逆否命题:若一条直线不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的 垂直平分线,是真命题.


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