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具有相依利息率的离散时间保险风险模型


高 校应 用数学学报 A辑 2 0 , 0 3 : 2 -2 0 5 2 ( ) 3 03 6

Ap l p.Mah JC ieeUnv S rA t. . hn s i. e.

具有相依利息率的离散时间保险风险模型 的破产问题
孔繁超 1 于 , 莉2

安徽合肥 2 0 3 ;2 合肥工业大学 理学院

, 安徽合肥 2 0 0 ) ( .安徽大学 数学系 , 1 309 . 309 摘 要: 进一步研究离散时间保险风险模型 , 在利率具有一阶自回归结构的情

得到了描述破产严重程度 的 破产 前 一 时刻 的 盈余 分布与 破产持 续时 间的分 况下 , 布的递推公式 . 关键词 : 离散 时间 保险风 险模 型 ;一 阶 自 回 归 ; 产 前 一 时 刻 的 盈 余 分 布 ; 破 破 产持续时间的分布 中图分类号 :O2 1 5 1. 文献标识码 : A 文章编号 : 0 04 2 ( 0 5 0 -3 00 1 0 -4 4 2 0 ) 30 2 -7

E1 引



FG 1 专门讨论了离散时间的保险模型 . 2 曾对常利 率收 入的 离散时 间风险 模型 进行了 FG 研 究, 利用鞅方法得到了破产概率的非指数上界 . 3 讨 论了 在利 率满足 一阶自 回归 的条件 FG 本文则在利率具有一阶自回归结构的情形下 , 进一 步 研究 了离 散时 间风 险模型 中破 产前一 时刻的剩余分布与破产持续时间分布的问题 H 考虑下面两种广义的离散时间模型
J J J

下的破产概率的一些问题 HF G 4 讨论了常利率离散时间保险模型的破产前盈余分布等问题 H

IJ K L ( N M 1O P)O
N 1 K J

( 1O N 1O U W Q V RN( P)S TN)M ( P) ,
N 1 K J U N 1 K O J

(.) 11

IJ K L ( N M 1O P)O
N 1 K

( 1O U W Q V RN S TN)M ( P) ,
N 1 K U N 1 K O

(.) 12

式中 IJ 是在时刻 J保险公司的累积盈余 ; 为保险公司的初始资本 ; N,N 分别表示 F S1 L T P N , 若 ) N ,) N 时间区间内保险公司 的理赔支出 及 利 息 的 利 率 ; 保 费 收 入 RN 在 F S 1 N 时 间 区 间 一 开始就得到 , IJ 满意 ( . ) 若保费收入 RN 在 F S1 N 时间区间最终才获得 , I 满足 则 则 J 11; N ,) ( . ) X NY X NY iiZ 的非 负 随机 变 量序 列 ; PY 具 有 一 阶 自 回 归 结 构 的 非 负 随 机 1 2 ; R 和 T 是 .. . XN 是

收稿日期 : 0 41 -6 2 0 -20

孔繁超等 : 具有相依利息率的离散时间保险风险模型的破产问题 变量序列 ;n 满足 r r = an 1 + W n, r n= 1 2 …. ,, n 由递推 ( . ) 1 3 即为
n n r = ar + a- 1 1 + … + a n 1 + Wn, W Wn= 1 2 …. ,, n 0

31 2

(.) 13

(.) 14

这里 0 <1和 r≥0均为常数 ; k 是 iid 非负的随机变量序列 .{ k} { k} { k} ≤a .. . W W , X , Y 相互 0 独立 . 假 定 F 1( ) } F x =P{ 1≤x , ( =P{ 1≤w} Xk, k, k 的 期 望 } G w) ; Y W Y ≤y , X1( ) X W Y y =P{ 1 值 有限 . Z =Y -( +r) k, H( ) 令 k 必 1 kX 记 }为 u =P{ 1≤u . 了保 证保 险公 司的正 常运 行 , 须 Z k 要求 E k<0 则盈余过程 ( . ) 附加一定的风险负荷 , , 1 1 可改写为 Z
n n

Un = u ( k ∏ 1+ r)k 1 = n k k i

1+ S ∏ ( r) ,
k n k 1 =

(.) 15

其中 S = n

盈余过程 ( . ) 1+ . 1 2 可改写为 Σ Z ∏ ( r) 同理 ,
k 1 = i 1 = n n

Un = u ( k ∏ 1+ r)k 1 = n k

1+ S ∏ ( r) .
k n k 1 =

(.) 16

其中 S = n

1+ i . H'u Z≤ } k k= 1 Σ Z'∏ ( r) 这里 Z' Yk - Xk, ( )= P{ ' u .
k 1 = i 1 =

破产时刻即保险公司的首次盈余小于零的时刻为 T( )= ifn> 0 Un < 0 u n{ : }= ifn> 0 S > u , n{ :n }
n n

(.) 17

显然 T 为停时 . 以下将讨论保险公司破产前一时刻的剩余分布与破产持续时间分布 .

W2 破产前一时刻的剩余分布
保险公司的财务状况和偿付能力是保险 人 和投 保 人都 十分关 注的问题 , 了弄清 保险 为 年 Z f]n 和 _ \] 首次引入描述破产前一时刻的盈余分布状况的函数 . 本文在引入相 [\^ ] ]‘ \ 关利率的离散时间风险模型下 , 对这一问题进行讨论 . 先讨论模型 ( . ) 1 1 的情形 F u x r)= P{ T( ) 1 > x T( )< ab 0 = u , ( , ,0 U u, u U } x> 0 , 它表示初始资本为 u时破产前一时刻盈余大于 x的概率 . 由 ( . ) 2 1 式有
a

公司出现入不敷出的实际状况 , 研究破产前一时刻保险公司的盈余情况是非常必要的 . X Y 1Y

定义

(.) 21

F u x r)= Σ P{ T( ) 1 > x T( )= n ( , ,0 U u, u }=
n 1 = a

S , Σ P{ > u S
n n 1 = a

n 1 -

≤ u-

, n 2 ≤ u …, 1 ≤ u S, S }c 1+ k ∏ ( r)
n 1 k 1 =

x

ux r , Σ d( , , )
n 0 n 1 =

(.) 22

其中 d( , ,0) 时保险公司在 n 时刻盈余大于 x的概率 . 约定 S =0 -1 . n u x r 是破产时刻为 n 0

32 2

高 校 应 用 数 学 学 报 A辑 g( , ,0)= P{ 1 > u S ≤ u- x . S ,0 } 1 ux r

第 2 卷第 3期 0

若 x≤ u g( , ,0)= 1, 1 ux r 由定义得

( r u d w) 否则为 0 . ∫H( 1+ a + w) ) G( ;
0 0



(.) 23

,1 g( , ,0)=P S > u S < u2 2 ux r P Z+ 1

{

x = 1+ r 1

}

{

1+ ar + a 1 + W 2) 2 W X Y-( 2 0 > 2 1+ ar + a 1 + W 2 W 0

2

u 1+ a0 + W 1) Z < u 1+ a0 + W 1)- x = ( r ,1 ( r

}

∫ ∫
0



( ( + a0 w) x u 1 r+ - ) -∞

-

P

{

1+ a a0 + w)+ W 2) 2 (r X Y-( 2 > 1+ a a0 + w)+ W 2 (r

H() G w)= u 1+ a0 + w)- sd sd ( ( r

}

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
0 ∞ 0 ∞ 0 ∞ 0



( ( + a0 w) x u 1 r+ - ) -∞

-

g( ( r , ,r d sd ( 1 u 1+ a 0 + w)- sx a 0 + w) H() G w)=

u 1 a0 w) ( + r+ -∞

g( ( r , ,r d sd ( 1 u 1+ a 0 + w)- sx a 0 + w) H() G w)g( ( r , ,r d sd ( . 1 u 1+ a 0 + w)- sx a 0 + w) H() G w)

u 1 a0 w) ( + r+

u 1 a0 w) x ( + r+ -

注意上式的第二项为 0 这是由于 s u 1 r+w) , ( +a0+w) 即 x ( +a0+ ∈( ( +a0 >u 1 r , -x u 1 r ) 由(.) 可知 g( ( +a0+w) , , r+w) . 由此上式为 -sx a0 =0 -s . 2 3 r w) >0 1 u1 g( , ,0)= 2 ux r 类似有 ,2 g( , ,0)=P S > u S < u3 3 ux r

∫ ∫

u 1 a0 w) ( + r+ -∞

g( ( r , ,r d sd ( . 2 4 1 u 1+ a 0 + w)- sx a 0 + w) H() G w) ( . )

{

x , 1≤ u = S ( 1+ r) 1+ r) 1 ( 2

}

∫ ∫
0



u 1 a0 w) ( + r+ -∞

P

{

Y-[ 1+ a a0 + w)+ W 2] 2 (r X 2 + 1+ a a0 + w)+ W 2 (r

2 Y-[ 1+ a( r + w)+ a 2 + W 3] 3 a0 W X 3 > 2 [ 1+ a a0 + w)+ W 2] 1+ a( r + w)+ a 2 + W 3] (r [ a0 W

1+ a a0 + w)+ W 2] 2 (r X Y-[ 2 u 1+ a0 + w)- s ( r , < 1+ a a0 + w)+ W 2 (r u 1+ a0 + w)( r x - sd sd ( } H() G w)= 1+ a a0 + w)+ W 2 (r

∫ ∫
0



u 1 a0 w) ( + r+ -∞

g( ( r , ,r d sd ( . 2 5 2 u 1+ a 0 + w)- sx a 0 + w) H() G w) ( . )

由数学归纳法得到 , n 有 当 ≥2 g( , ,0)=P{ n > u S- 1 < uS ,n n ux r , n 2 ≤ u …, 1 ≤ u S, S }= ( 1+ r) k ∏
n 1 k 1 =

x

∫ ∫
0



u 1 a0 w) ( + r+ -∞

g- 1( ( u 1+ a0 + w)- sx a0 + w) H() G w)( . ) r , ,r d sd ( .2 6 n

孔繁超等 M 具有相依利息率的离散时间保险风险模型的破产问题


DD 2

由 ( . ) 显然级数 22,


由 26,22有 ux r Σ g( , , )收敛 . ( . ) ( . )
n 0 n 1 =

F u x r)= Σ g( , ,0)= g( , ,0)+ ( , ,0 n ux r 1 ux r
n 1 = ∞

Σ ∫ ∫
n 2 0 =



u 1 a0 w) ( + r+ -∞

g- 1( ( u 1+ a0 + w)- sx a0 + w) H() G w)= r , ,r d sd ( n
∞ 0 u 1 a0 w) ( + r+ -∞

g( , ,0)+ 1 ux r

∫ ∫

F u 1+ a0 + w)- sx a0 + w) H() G w) (( r , ,r d sd ( .

(.) 27 综上所述保险公司在破产前一时刻的盈余分布满足积分方程 ( . ) 27. 注 1 同理可得在模型 ( . ) 1 2 下破产前一时刻的盈余分布满足积分方程 F u x r)=g( , ,0)+ ( , ,0 1 ux r
∞ 0 u 1 a0 w) ( + r+ -∞

∫ ∫

F u 1+ a0 + w)- s (( r ,

x a0 + w) H'sd ( , ,r d () G w) 其中若 x≤ u g( , ,0)= 1, 1 ux r ( 1+ r u d w) 否则为 0 . ∫H'( a + w) ) G( ;
0 0 ∞

(.) 28

CD 破产持续时间的分布
保险公司在破产时之后 , 财务状况到 底恶 化 到 何种 境地 , 境将持 续多长 时间 , 困 这些 不 仅关系到保险公司的前途 , 更多影响到广大保户的切身利益 . 本节讨论破产持续时间的概率 性质 . 为了进一步研究破产持续时间的分布 , 义破 产 之 后 保险公 司的 盈余首 次回复 为非负 定 的时刻为 F Eu ( )= GInK L( ) N O 0 , HJ uM n P
n

(.) D1

于是破产持续时间定义为 F Eu ( )- L( ) 若 L( )Q ∞, u, u F L( )= u 0 L( )= ∞. , u F ) 时, 当 L( =1 即破产持续 1期的概率为 u F F R1( ,0)=SJ ( )= 1 ur Lu P= SJ ( )= L( )+ 1 Eu u P=

J

(.) D2



Eu , u P= Σ SJ ( )= T+ 1 L( )= T
T 1 = ∞

F

N , , N Σ SJ O 0 N O 0 U,
0 1 T 1 = ∞

T 1 -

O 0 NT Q 0 N + 1 O 0 , ,T P=

ΣV
T 1 =

() 1 T

( ,0) ur ,

(.) DD

在(.) DD中
1 V( )( ,0)=SJ 0 O 0 N1 Q 0 N2 O 0 ur N , , P= 1

34 2

高 校 应 用 数 学 学 报 V辑 Z 2 ≤ u 1+ r) ( 1 }= 1+ r 2

第 2 卷第 3期 0

P{ 1 > u 1+ r) Z + Z ( 1 , 1

∫ ∫
0





u 1 a0 w) ( + r+

P

{

Y-[ 1+ a a0 + w)+ W 2] 2 (r X 2 ≤ 1+ a a0 + w)+ W 2 (r
∞ 0

u 1+ a0 + w)- sd sd ( ( r } H() G w)=

∫ ∫
0 () 1 2





u 1 a0 w) 0 ( + r+

∫ F ( u+ a u+ u - s( a + a + w )+ ∫ ( r w ) 1+ r w
Y 0 0 2



( 1+ a0 + a + w2) 2) F ( 2) G 2( 2) H() G w)? A1( ,0) r w x d X x d W w d sd ( ur , M ( ,0)=P{ 1 ≥ 0 U2 < 0 U3 ≥ 0 ur U , , }= P{ 1 ≤ u 1+ r) Z + Z ( 1 , 1 Z+ 1
∞ 0

(.) 34 Z 2 > u 1+ r) , ( 1 } 1+ r 2

Z Z 2 3 + ≤ u 1+ r) ( 1 }= 1+ r ( 1+ r) 1+ r) 2 2 ( 3
1 M( )( ( u 1+ a0 + w)- sa0 + w) H() G w) r ,r d sd ( . 1

∫ ∫
( 1 Mk )( ,0)= ur

u 1 a0 w) ( + r+ -∞

由数学归纳法得到 , k 有 对 ≥2

∫ ∫
0



u 1 a0 w) ( + r+ -∞

( 1 Mk ) ( ( r ,r d sd ( ,( . ) 35 - 1 u 1+ a 0 + w)- sa 0 + w) H() G w)

它表示 k时刻破产持续 1期的概率 . 故由 ( . ) 3 5 可得破产持续 1期的概率 34(.) P N1( ,0)= P{ ( )= 1 ur Ou }=


QM
k 1 =

() 1 k

( ,0) ur .

P =2 完全类似有 当 O( ) 时 , u P P N2( ,0)=P{ ( )= 2 ur Ou }= P{ ( )= O( )+ 2 Ru u }=


Ru S u } O( )= }= Q P{ ( )= k+ 2 O( )= k P{ u k
k 1 = ∞

P

U , , U Q P{ ≥ 0 U ≥ 0 T,
0 1 k 1 = ∞

k 1 -

≥ 0U < 0U +1 < 0U +2 ≥ 0 ,k ,k ,k }=

QM
k 1 =

() 2 k

( ,0) ur .

(.) 3U

在(.) 3 U 式中
2 M( )( ,0)=P{ 0 ≥ 0 U1 < 0 U2 < 0 U3 ≥ 0 ur U , , , }= 1 ∞ 0 ∞

∫ ∫

u 1 a0 w) ( + r+

P

{

Y-[ 1+ a a0 + w)+ W 2] 2 (r X 2 > 1+ a a0 + w)+ W 2 (r

u 1+ a0 + w)- s ( r , Y-[ 1+ a a0 + w)+ W 2] 2 (r X 2 + 1+ a a0 + w)+ W 2 (r
2 Y-[ 1+ a( r + w)+ a 2 + W 3] 3 a0 W X 3 ≤ 2 [ 1+ a a0 + w)+ W 2] 1+ a( r + w)+ a 2 + W 3] (r [ a0 W

孔繁超等 Q 具有相依利息率的离散时间保险风险模型的破产问题 u 1+ a0 + w)- sd sd ( ( r H() G w)=

3P 2

}

∫ ∫
0 () 2 2





u 1 a0 w) ( + r+

A1( ( u 1+ a0 + w)- sa0 + w) H() G w)? r ,r d sd (

ur , A2( ,0) M ( ,0)=P{ 1 ≥ 0 U2 < 0 U3 < 0 U4 ≥ 0 ur U , , , }= P{ 1 ≤ u 1+ r) …, Z ( 1 , Z+ 1 Z Z Z 2 3 4 + + ≤ 1+ r ( 1+ r) 1+ r) ( ( 1+ r) 1+ r) 1+ r) ( 2 2 3 2 3 ( 4

u 1+ r) ( 1 }=

∫ ∫
0



u 1 a0 w) ( + r+ -∞

2 M( )( ( u 1+ a0 + w)- s r , 1

a0 + w) H() G w) r d sd ( . 由数学归纳法得到 , k 有 对 ≥2
( 2 Mk )( ,0)= ur

∫ ∫
0



u 1 a0 w) ( + r+ -∞

( 2 Mk ) ( ( r ,r d sd ( .( . ) 37 - 1 u 1+ a 0 + w)- sa 0 + w) H() G w)

于是得到破产持续 2期的概率 G E2( ,0)= P{ ( )= 2 ur Fu }= G =I 与前面完全类似有 当 F( ) 时 , u AI( ,0)= ur


HM
k 1 =

() 2 k

( ,0) ur .

∫ ∫
0 ∞ 0





u 1 a0 w) ( + r+

AI 1( ( u 1+ a0 + w)- sa0 + w) H() G w) ( . ) r ,r d sd ( , 3 J -

I M( )( ,0)= AI( ,0) ur ur . 1 当k 有 ≥2 ( I Mk )( ,0)= ur

(.) 3K

∫ ∫

u 1 a0 w) ( + r+ -∞

( I Mk ) ( ( r ,r d sd ( , - 1 u 1+ a 0 + w)- sa 0 + w) H() G w)

(.0 31) 因此破产持续 I期的概率为 G EI( ,0)= P{ ( )= I ur Fu }=


HM
k 1 = ∞

() I k

( ,0) ur .

(.1 31)

注 L 与上面的推导类似 , 在模型 ( M ) 1 2 下破产持续 I期的概率为 N G EI( ,0)= P{ ( )= I ur Fu }= 其中 NI N M( )( ,0)= AI( ,0)= ur ur 1 当 k 时, ≥2 NI ( Mk )( ,0)= ur

HM
k 1 =

NI () u r) k ( ,0 ,

(.2 31)

∫ ∫
0





u 1 a0 w) ( + r+

N AI 1( ( u 1+ a0 + w)- sa0 + w) HOsd ( . r ,r d () G w) -

∫ ∫
0



u 1 a0 w) ( + r+ -∞

NI ( Mk ) ( ( r ,r d ( d( . s - 1 u 1+ a 0 + w)- sa 0 + w) HO ) G w)

36 2

高 校 应 用 数 学 学 报 A辑

第 2 卷第 3期 0

参考文献 :
[ ] B wes L G re 1 , ta. tai Mah mai [ . oi yo o r N , eb rH U, c ma Hi k nJC e lAcu r l te t s M] S c t fAcu r s a c e tai , e I sa Iios1 8 . t c,ln i 9 6 a l , [ ] Ya gH. ne p n ni b u d fr unpo a it t neet f c ic d d J. cn ia i 2 n No -x o e t l o n s o ri rb blywi trs ef tn l e [] S a dn va a i hi e u n Acu r l o ra, 9 9 1 6 -9 tai Jun l1 9 , : 67 . a [ ] C i . unpo a it swi e e d n rtso itrs[] JAp l rb b 2 0 , 9 3 23 3 3 a JR i rb bli ie t p n e t ae fneetJ. hd p P o a , 0 2 3 : 1 -2 . 孙立娟 , 顾岚 . 离散时间保险风险模型的破产问题 [] 应用概率统计 , 0 2 1 ( ) 2 32 9 [] 4 2 0 , 8 3 : 9 -9 . J.

R i rbe frtedsrt i n u a c i unp o lms o h i eet c meisrn er k s mo e w t e e d n rts dl i hd p n e t ae
KONG F nc a ,YU L a -h o i
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2

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