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具有相依利息率的离散时间保险风险模型


高 校应 用数学学报 A辑 2 0 0 5 , 2 0 ( 3 ) : 3 2 0 3 2 6

Ap p l .Ma t h . J . C h i n e s eUn i v . S e r . A

具有相依利息率的离散时间保险风险模型 的破产问题
孔繁超 1 于 , 莉2

安徽合肥 2 合肥工业大学 理学院 , 安徽合肥 2 ( 1 .安徽大学 数学系 , 3 0 0 3 9 ;2 . 3 0 0 0 9 ) 摘 要: 进一步研究离散时间保险风险模型 , 在利率具有一阶自回归结构的情

得到了描述破产严重程度 的 破产 前 一 时刻 的 盈余 分布与 破产持 续时 间的分 况下 , 布的递推公式 . 关键词 : 离散 时间 保险风 险模 型 ;一 阶 自 回 归 ; 破 产 前 一 时 刻 的 盈 余 分 布; 破 产持续时间的分布 中图分类号 :O2 1 1 . 5 文献标识码 : A 文章编号 : 1 0 0 0 4 4 2 4 ( 2 0 0 5 ) 0 3 0 3 2 0 0 7

E1 引



专门讨论了离散时间的保险模型 . 曾对常利 率收 入的 离散时 间风险 模型 进行了 F 1 G F 2 G 研 究, 利用鞅方法得到了破产概率的非指数上界 . 讨 论了 在利 率满足 一阶自 回归 的条件 F 3 G 本文则在利率具有一阶自回归结构的情形下 , 进一 步 研究 了离 散时 间风 险模型 中破 产前一 时刻的剩余分布与破产持续时间分布的问题 H 考虑下面两种广义的离散时间模型
J J J

下的破产概率的一些问题 HF 讨论了常利率离散时间保险模型的破产前盈余分布等问题 H 4 G

IJ K L 1O P )O N M(
N K1 J

( RN( 1O P )S T ) 1O P ) , N N U W QV M(
N K1 J U KN O1 J

( 1 . 1 )

IJ K L 1O P )O N M(
N K1

( RN S T ) 1O P ) , N U W QV M(
N K1 U KN O1

( 1 . 2 )

式中 IJ 是在时刻 J保险公司的累积盈余 ; , S1 , L为保险公司的初始资本 ; T P N N N 分别表示 F 时间区间内保险公司 的理赔支出 及 利 息 的 利 率 ; 若 保 费 收 入 RN 在 F 时间区间一 ) S1 , ) N N N 开始就得到 , 则 IJ 满意 ( 若保费收入 RN 在 F 时间区间最终才获得 , 则I 1 . 1 ) ; S1 , ) N N J 满足 和X 是i 的非 负 随机 变 量序 列 ; 是具有一阶自回归结构的非负随机 ( 1 . 2 ) ; X Y . . . X Y RNY T i Z P N N

收稿日期 : 2 0 0 4 1 2 0 6

孔繁超等 : 具有相依利息率的离散时间保险风险模型的破产问题 变量序列 ; r n 满足 r r , n= 1 , 2 , …. n= a n - 1 + Wn 由递推 ( 即为 1 . 3 )
n n -1 r Wn , n= 1 , 2 , …. n = ar 0 + a W1 + … + a - 1 + Wn

3 2 1

( 1 . 3 )

( 1 . 4 )

这里 0 非负的随机变量序列 .{ 相互 ≤a <1和 r ≥0均为常数 ; . . . , { , { } Wk 是 i i d Wk} Xk} Y 0 k 独立 . 假定 F () =P{ ≤y } , ) =P{ } , ( =P{ ; , Y F x X1≤x G w) W 1≤w} Xk, Y Wk 的 期 望 Y 1 X1( k 1 y 值 有限 . 令Z 记 H( 为 了保 证保 险公 司的正 常运 行 , 必须 =Y -( 1 +r ) ≤u } . ) =P{ Xk, u Z k k k 1 要求 E 则盈余过程 ( 可改写为 附加一定的风险负荷 , <0 , 1 . 1 ) Z k
n n

Un = u 1+ r )k ∏(
k =1 n k k i

1+ r) S, ∏(
k n k =1

( 1 . 5 )

其中 S n=

盈余过程 ( 可改写为 1+ r ) .同理 , 1 . 2 ) ΣZ ∏(
k =1 i =1 n n

Un = u 1+ r )k ∏(
k =1 n k

1+ r) S. ∏(
k n k =1

( 1 . 6 )

其中 S n=

这里 Z 1+ r ) . ' , H' ( u )= P{ Z ' } . k ∏( i k= Y k- X k 1≤ u Σ Z'
k =1 i =1

破产时刻即保险公司的首次盈余小于零的时刻为 T( u )= i n f { n> 0 : Un < 0 }= i n f { n> 0 : S } , n> u
n n

( 1 . 7 )

显然 T 为停时 . 以下将讨论保险公司破产前一时刻的剩余分布与破产持续时间分布 .

W2 破产前一时刻的剩余分布
保险公司的财务状况和偿付能力是保险 人 和投 保 人都 十分关 注的问题 , 为 了弄清 保险 年Z 和_ 首次引入描述破产前一时刻的盈余分布状况的函数 . 本文在引入相 [ f \ ] ^ n ] ] \ ‘ ] \ 关利率的离散时间风险模型下 , 对这一问题进行讨论 . 先讨论模型 ( 的情形 1 . 1 ) F ( u , x , r )= P{ UT( , T( u )< ab U0 = u } , x> 0 , 0 u ) -1> x 它表示初始资本为 u时破产前一时刻盈余大于 x的概率 . 由 ( 式有 2 . 1 )
a

公司出现入不敷出的实际状况 , 研究破产前一时刻保险公司的盈余情况是非常必要的 . 1 X Y Y

定义

( 2 . 1 )

F ( u , x , r )= Σ P{ UT( , T( u )= n }= 0 u ) -1> x
n =1 a

S>u , S Σ P{
n n =1 a

n -1

≤ u-

, S , …, S }c n -2≤ u 1≤ u 1+ r ) k ∏(
n -1 k =1

x

u , x , r) , Σ d(
n 0 n =1

( 2 . 2 )

其中 d 是破产时刻为 n时保险公司在 n 约定 S ( , , ) -1时刻盈余大于 x的概率 . =0 . u x r n 0 0

3 2 2

高 校 应 用 数 学 学 报 A辑 g ( u , x , r )= P{ S , S } . 1 0 1> u 0 ≤ u- x

第2 0卷第 3期

若 x≤ u , g ( u , x , r )= 11 0 由定义得

否则为 0 ( 1+ a r + w) u ) d G ( w) ; . ∫H(
0 0



( 2 . 3 )

, S g ( u , x , r )=P S 2> u 1 < u2 0 P Z 1+

{

x = 1+ r 1

}

{

1+ ar W 1 + W 2) X2 Y 2- ( 0+ a > 2 1+ a r W1 + W2 0+ a

2

u ( 1+ a r ) , Z ( 1+ a r )- x = 0 + W1 1< u 0 + W1

}

∫ ∫
0



( u ( 1 +a r + w) -x ) 0 -∞

-

P

{

1+ a ( a r ) X2 Y 2- ( 0 + w)+ W 2 > 1+ a ( a r 0 + w)+ W 2

H( s ) d G ( w)= u ( 1+ a r 0 + w)- sd

}

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
0 ∞ 0 ∞ 0 ∞ 0



( u ( 1 +a r + w) -x ) 0 -∞

-

g ( u ( 1+ a r , x , a r d H( s ) d G ( w)= 1 0 + w)- s 0 + w)

u ( 1 +a r + w) 0 -∞

g ( u ( 1+ a r , x , a r d H( s ) d G ( w)1 0 + w)- s 0 + w) g ( u ( 1+ a r , x , a r d H( s ) d G ( w) . 1 0 + w)- s 0 + w)

u ( 1 +a r + w) 0

u ( 1 +a r + w) -x 0

注意上式的第二项为 0 这是由于 s 即x ∈( ( 1 +a >u ( 1 +a , +w) -x , ( 1 +a +w) ) + u r r u r 0 0 0 由 可知 由此上式为 2 . 3 ) ( ( 1 +a +w) -s , , +w) =0 . -s >0 . ( g u r x a r w) 1 0 0 g ( u , x , r )= 2 0 类似有 , S g ( u , x , r )=P S 3> u 2 < u3 0

∫ ∫

u ( 1 +a r + w) 0 -∞

g ( u ( 1+ a r , x , a r d H( s ) d G ( w) . ( 2 . 4 ) 1 0 + w)- s 0 + w)

{

x , S 1≤ u = ( 1+ r ) ( 1+ r ) 1 2

}

∫ ∫
0



u ( 1 +a r + w) 0 -∞

P

{

Y 1+ a ( a r ] X2 2- [ 0 + w)+ W 2 + 1+ a ( a r 0 + w)+ W 2

2 Y 1+ a ( a r W 2 + W 3] X3 3- [ 0 + w)+ a > 2 [ 1+ a ( a r ] [ 1+ a ( a r W 2 + W 3] 0 + w)+ W 2 0 + w)+ a

1+ a ( a r ] X2 Y 2- [ 0 + w)+ W 2 u ( 1+ a r , < 0 + w)- s 1+ a ( a r 0 + w)+ W 2 u ( 1+ a r 0 + w)x -s } d H( s ) d G ( w)= 1+ a ( a r 0 + w)+ W 2

∫ ∫
0



u ( 1 +a r + w) 0 -∞

g ( u ( 1+ a r , x , a r d H( s ) d G ( w) .( 2 . 5 ) 2 0 + w)- s 0 + w)

由数学归纳法得到 , 当n ≥2有 g ( u , x , r )=P{ S , S n 0 n> u n - 1 < u, S , …, S }= n -2≤ u 1≤ u ( 1+ r ) k ∏
n -1 k =1

x

∫ ∫
0



u ( 1 +a r + w) 0 -∞

g ( u ( 1+ a r , x , a r d H( s ) d G ( w) . ( 2 . 6 ) n -1 0 + w)- s 0 + w)

孔繁超等 M 具有相依利息率的离散时间保险风险模型的破产问题


D 2 D

由( 显然级数 2 . 2 ) ,


由( 有 u , x , r)收敛 . 2 . 6 ) , ( 2 . 2 ) Σ g(
n 0 n =1

F ( u , x , r )= Σ g ( u , x , r )= g ( u , x , r )+ 0 n 0 1 0
n =1 ∞

Σ ∫ ∫
n =2 0



u ( 1 +a r + w) 0 -∞

g ( u ( 1+ a r , x , a r d H( s ) d G ( w)= n -1 0 + w)- s 0 + w)
∞ 0 u ( 1 +a r + w) 0 -∞

g ( u , x , r )+ 1 0

∫ ∫

F ( u ( 1+ a r , x , a r d H( s ) d G ( w) . 0 + w)- s 0 + w)

( 2 . 7 ) 综上所述保险公司在破产前一时刻的盈余分布满足积分方程 ( 2 . 7 ) . 注 1 同理可得在模型 ( 下破产前一时刻的盈余分布满足积分方程 1 . 2 ) F ( u , x , r )=g ( u , x , r )+ 0 1 0
∞ 0 u ( 1 +a r + w) 0 -∞

∫ ∫

F ( u ( 1+ a r , 0 + w)- s

x , a r d H' ( s ) d G ( w) , 0 + w) 其中若 x≤ u , g ( u , x , r )= 11 0 否则为 0 ( ( 1+ a r + w) u ) d G ( w) ; . ∫H'
0 0 ∞

( 2 . 8 )

CD 破产持续时间的分布
保险公司在破产时之后 , 财务状况到 底恶 化 到 何种 境地 , 困 境将持 续多长 时间 , 这些 不 仅关系到保险公司的前途 , 更多影响到广大保户的切身利益 . 本节讨论破产持续时间的概率 性质 . 为了进一步研究破产持续时间的分布 , 定 义破 产 之 后 保险公 司的 盈余首 次回复 为非负 的时刻为 F E ( u )= G H I J nK L( u ) M N P , nO 0
n

( D . 1 )

于是破产持续时间定义为 F 若 L( E ( u )- L( u ) , u )Q ∞, F L( u )= 0 , L( u )= ∞. F 当 L( 即破产持续 1期的概率为 ) =1时 , u F F R1( u , r )=SJ L( u )= 1 P= SJ E ( u )= L( u )+ 1 P= 0

J

( D . 2 )



E ( u )= T+ 1 , L( u )= T P= Σ SJ
T =1 ∞

F

N O0 , N O0 , U, N Σ SJ
0 1 T =1 ∞

T -1

O0 , NT Q 0 , N P= T +1O 0

ΣV
T =1

( 1 ) T

( u , r ) , 0

( D . D )

在( 中 D . D )
1 ) V( u , r )=SJ N0 O 0 , N1 Q 0 , N2 O 0 P= 0 1 (

3 2 4

高 校 应 用 数 学 学 报 V辑 Z 2 ≤u ( 1+ r ) }= 1 1+ r 2

第2 0卷第 3期

P{ Z ( 1+ r ) , Z 1> u 1 1+

∫ ∫
0





u ( 1 +a r + w) 0

P

{

Y 1+ a ( a r ] X2 2- [ 0 + w)+ W 2 ≤ 1+ a ( a r 0 + w)+ W 2
∞ 0

u ( 1+ a r } d H( s ) d G ( w)= 0 + w)- s

∫ ∫
0 ( 1 ) 2





u ( 1 +a r + w) 0 0

( u+ a ru+ u w- s ) ( 1+ a r+ a w + w )+ ∫ ∫F (
Y 0 0 2



( 1+ a r w + w2) x ) d F x ) d G ( w2) d H( s ) d G ( w)? A1( u , r ) , 0+ a 2 X( 2 W2 0 M ( u , r )=P{ U1 ≥ 0 , U2 < 0 , U3 ≥ 0 }= 0 P{ Z ( 1+ r ) , Z 1≤ u 1 1+ Z 1+
∞ 0

( 3 . 4 ) Z 2 >u ( 1+ r ) } , 1 1+ r 2

Z Z 2 3 + ≤u ( 1+ r ) }= 1 1+ r ( 1+ r ) ( 1+ r ) 2 2 3
1 ) M( u ( 1+ a r , a r d H( s ) d G ( w) . 1 ( 0 + w)- s 0 + w)

∫ ∫
( 1 ) Mk ( u , r )= 0

u ( 1 +a r + w) 0 -∞

由数学归纳法得到 , 对k ≥2有

∫ ∫
0



u ( 1 +a r + w) 0 -∞

( 1 ) Mk ( u ( 1+ a r , a r d H( s ) d G ( w) ,( 3 . 5 ) -1 0 + w)- s 0 + w)

它表示 k时刻破产持续 1期的概率 . 故由 ( 可得破产持续 1期的概率 3 . 4 ) ( 3 . 5 ) P N1( u , r )= P{ O( u )= 1 }= 0


QM
k =1

( 1 ) k

( u , r ) . 0

P 当O 完全类似有 ( ) =2时 , u P P N2( u , r )=P{ O( u )= 2 }= P{ R ( u )= O( u )+ 2 }= 0


R ( u )= k+ 2 S O( u )= k } P{ O( u )= k }= Q P{
k =1 ∞

P

U ≥0 , U ≥0 , T, U Q P{
0 1 k =1 ∞

k -1

≥0 , U , U , U }= k< 0 k +1< 0 k +2≥ 0

QM
k =1

( 2 ) k

( u , r ) . 0

( 3 . U )

在( 式中 3 . U )
2 ) M( u , r )=P{ U0 ≥ 0 , U1 < 0 , U2 < 0 , U3 ≥ 0 }= 1 ( 0 ∞ 0 ∞

∫ ∫

u ( 1 +a r + w) 0

P

{

Y 1+ a ( a r ] X2 2- [ 0 + w)+ W 2 > 1+ a ( a r 0 + w)+ W 2

u ( 1+ a r , 0 + w)- s Y 1+ a ( a r ] X2 2- [ 0 + w)+ W 2 + 1+ a ( a r 0 + w)+ W 2
2 Y 1+ a ( a r W 2 + W 3] X3 3- [ 0 + w)+ a ≤ 2 [ 1+ a ( a r ] [ 1+ a ( a r W 2 + W 3] 0 + w)+ W 2 0 + w)+ a

孔繁超等 Q 具有相依利息率的离散时间保险风险模型的破产问题 u ( 1+ a r H( s ) d G ( w)= 0 + w)- sd

3 2 P

}

∫ ∫
0 ( 2 ) 2





u ( 1 +a r + w) 0

A1( u ( 1+ a r , a r d H( s ) d G ( w)? 0 + w)- s 0 + w)

u , r ) , A2( 0 M ( u , r )=P{ U1 ≥ 0 , U2 < 0 , U3 < 0 , U4 ≥ 0 }= P{ Z ( 1+ r ) , …, 0 1≤ u 1 Z 1+ Z Z Z 2 3 4 + + ≤ 1+ r ( 1+ r ) ( 1+ r ) ( 1+ r ) ( 1+ r ) ( 1+ r ) 2 2 3 2 3 4

) }= u ( 1+ r 1

∫ ∫
0



u ( 1 +a r + w) 0 -∞

2 ) M( u ( 1+ a r , 0 + w)- s 1 (

a r d H( s ) d G ( w) . 0 + w) 由数学归纳法得到 , 对k ≥2有
( 2 ) Mk ( u , r )= 0

∫ ∫
0



u ( 1 +a r + w) 0 -∞

( 2 ) Mk ( u ( 1+ a r , a r d H( s ) d G ( w) .( 3 . 7 ) -1 0 + w)- s 0 + w)

于是得到破产持续 2期的概率 G E2( u , r )= P{ F( u )= 2 }= 0 G 当F 与前面完全类似有 ( ) =I时 , u AI( u , r )= 0


HM
k =1

( 2 ) k

( u , r ) . 0

∫ ∫
0 ∞ 0





u ( 1 +a r + w) 0

AI ( u ( 1+ a r , a r d H( s ) d G ( w) ,( 3 . J ) -1 0 + w)- s 0 + w)

I ) M( u , r )= AI( u , r ) . 1 ( 0 0 当k ≥2有 ( I ) Mk ( u , r )= 0

( 3 . K )

∫ ∫

u ( 1 +a r + w) 0 -∞

( I ) Mk ( u ( 1+ a r , a r d H( s ) d G ( w) , -1 0 + w)- s 0 + w)

( 3 . 1 0 ) 因此破产持续 I期的概率为 G EI( u , r )= P{ F( u )= I }= 0


HM
k =1 ∞

( I ) k

( u , r ) . 0

( 3 . 1 1 )

注 L 与上面的推导类似 , 在模型 ( 下破产持续 I期的概率为 1 M 2 ) N G EI( u , r )= P{ F( u )= I }= 0 其中 NI N ) M( u , r )= AI( u , r )= 1 ( 0 0 当k ≥2时 , N ( I ) Mk ( u , r )= 0

HM
k =1

N ( I ) u , r ) , k ( 0

( 3 . 1 2 )

∫ ∫
0





u ( 1 +a r + w) 0

N AI ( u ( 1+ a r , a r d HO ( s ) d G ( w) . -1 0 + w)- s 0 + w)

∫ ∫
0



u ( 1 +a r + w) 0 -∞

N ( I ) Mk ( u ( 1+ a r , a r d HO ( s ) d G ( w) . -1 0 + w)- s 0 + w)

3 2 6

高 校 应 用 数 学 学 报 A辑

第2 0卷第 3期

参考文献 :
[ 1 ] B , , . [ . , o we r s NL G e r b e rH U, Hi c k ma nJC e ta l Ac t u a r i a l Ma t h e ma t i c s M] S o c i e t yo fAc t u a r i e s , , 1 9 8 6 . I t a s c a I l l i n o i s [ 2 ] Ya [ ] . n gH. No n e x p o n e n t i a l b o u n d s f o r r u i np r o b a b i l i t ywi t hi n t e r e s t e f f e c t i n c l u d e d J S c a n d i n a v i a n , 1 9 9 9 , 1 : 6 6 7 9 . Ac t u a r i a l J o u r n a l [ 3 ] C . [ ] . , 2 0 0 2 , 3 9 : 3 1 2 3 2 3 . a i J R u i np r o b a b i l i t i e swi t hd e p e n d e n t r a t e so f i n t e r e s t J JAp p l P r o b a b 孙立娟 顾岚 离散时间保险风险模型的破产问题 应用概率统计 [ 4 ] , . [ ] . , 2 0 0 2 , 1 8 ( 3 ) : 2 9 3 2 9 9 . J

R u i np r o b l e ms f o rt h ed i s c r e t et i mei n s u r a n c er i s k mo d e l w i t hd e p e n d e n t r a t e s
,YU L KONG F a n c h a o i
( 1 . . . , . , 2 3 0 0 3 9 , ; De p t o fMa t h An h u i Un i v He f e i C h i n a 2 . ,He .o , 2 3 0 0 0 9 , ) S c h o o l o fS c i e n c e f e i Un i v fT e c h n o l o g y He f e i C h i n a
2

:T A b s t r a c t h ep a p e r d i s c u s s e sr u i np r o b l e msd e e p l yu n d e r t h ed i s c r e t et i mei n s u r a n c e

r i s kmo d e l i nwh i c ht h er a t e so f i n t e r e s ta r ea s s u me dt oh a v ead e p e n d e n ta u t o r e g r e s s i v e

. s t r u c t u r e R e c u r s i v ef o r mu l a sf o rt h ed i s t r i b u t i o no ft h es u r p l u si mme d i a t e l yb e f o r er u i n . d e r i v e d

a n df o rt h ed i s t r i b u t i o no ft h et i mei nt h er e dwh i c hd e s c r i b et h es e v e r i t yo fr u i na r e

:d ;a ;d Ke yW o r d s i s c r e t e t i me i n s u r a n c e r i s kmo d e l u t o r e g r e s s i v e s t r u c t u r e i s t r i b u t i o n t h es e v e r i t yo f r u i n :6 0 0 ; 6 2 0 5 MR S u b j e c t C l a s s i f i c a t i o n K1 P

; o f t h es u r p l u si mme d i a t e l yb e f o r er u i n d i s t r i b u t i o no f t h et i mei nt h er e dwh i c hd e s c r i b e


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