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等差数列与等比数列的综合应用


考点 3 等差数列与等比数列的综合应用
1.
(15 盐城市盐都区时杨中学届高三上学期 1 月调考)设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 2 ,

公 比 为 q(q 为 正 整 数 ) , 且 满 足 3a3 是 8a1 与 a5 的 等 差 中 项 ; 数 列 ?bn ? 满 足

3 2n 2 ? (t ? bn )n ? bn ? 0(t ? R, n ? N* ) . 2
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)试确定实数 t 的值,使得数列 ?bn ? 为等差数列. 【考点】等差数列的通项公式,等差数列的证明. 【解】(1)由题意: 6a3 ? 8a1 ? a5 ,则 6q ? 8 ? q ,解得 q ? 4 或 q ? 2 ,因为 q 为正整
2 4 2 2

数,所以 q=2,又 a1 ? 2 ,所以 an ? 2n (2)当 n=1 时, 2 ? (t ? b1 ) ?

3 b1 ? 0 ? b1 ? 2t ? 4 , 2

同理可得:n=2 时, b2 ? 16 ? 4t ,n=3 时, b3 ? 12 ? 2t , 则由 b1 ? b3 ? 2b2 ,得 t=3, 并且,当 t=3 时, 2n ? (3 ? bn ) n ?
2

3 bn ? 0 , 2

得 bn ? 2n ,由 bn?1 ? bn ? 2 ,知此时数列 ?bn ? 为等差数列,故 t=3.

2. (2015 高考冲刺压轴卷江苏试卷一)已知 Sn 和 Tn 分别为数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的前 n 项和,
且 a1 ? e4 , Sn ? eSn?1 ? e5 , an ? e n (n ? N* ) .则当 Tn 取得最大值时,n 的值为_________.
b

【考点】等差、等比数列的通项公式以及等差数列的前 n 项和. 【答案】4 或 5 【分析】由 Sn ? eSn?1 ? e5 可得: Sn ?1 ? eSn ? e5 (n≥2) , 两式相减得: an ? ean?1 (n≥2) ,∴

an?1 1 ? (n≥2) an e

又 a1 ? e4 , a2 ? e3 ,

a2 1 ? 也符合,∴ an ? e4 ? e?( n?1) ? e5?n , bn ? ln an ? 5 ? n a1 e

所以数列 ?bn ? 的前 4 项为正项,第 5 项为 0,故它的前 4 项和与前 5 项和相等且最大 所以 n=4 或 5.

3 . (2015

高考冲刺压轴卷江苏试卷一)

已 知 数 列 ?an ? 满 足 : a1 ? 1 , a2 ? 2 , 且

an?1 ? 2an ? 3an?1 (n≥2, n ? N* ) .设 bn ? an?1 ? an (n ? N* ) .
(1)求证 ?bn ? 是等比数列; (2)(i)求数列 ?an ? 的通项公式; (ii)求证:对于任意 n ? N 都有
*

1 1 1 1 7 ? ??? ? ? 成立. a1 a2 a2 n?1 a2 n 4

【考点】数列的递推公式,等比数列的判断,放缩法证明不等式. 【解】(1)由已知: an?1 ? 2an ? 3an?1 (n≥2, n ? N* ) , bn ? an?1 ? an (n ? N* ) 则 bn ?1 ? an?2 ? an?1 ? (2an?1 ? 3an ) ? an?1 ? 3bn , 又 b1 ? 3 ,则 ?bn ? 是以 3 为首项、3 为公比的等比数列. (2)(i)解法 1:由(1)得 bn ? 3n ,即 an?1 ? an ? 3n ,则 an ? an?1 ? 3n?1 (n≥2) , 相减得 an?1 ? an?1 ? 2 ? 3n?1 (n≥2) 则 a3 ? a1 ? 2 ? 31 , a5 ? a3 ? 2 ? 33 ? a2n?1 ? a2n?3 ? 2 ? 32n?3 , 相加得 a2 n ?1 ? a1 ?

3(9n ?1 ? 1) 32 n ?1 ? 1 (n≥2) , ,则 a2 n ?1 ? 4 4

当 n ? 1 时上式也成立 由 a2n ? a2n?1 ? 3
2n?1

32 n ? 1 得 a2 n ? , 4

故 an ?

3n ? (?1) n . 4

解法 2:由 an?1 ? an ? 3n 得 (?1)n?1 an?1 ? (?1)n an ? ?(?3)n , 则 (?1) an ? (?1)
n n ?1

an?1 ? ?(?3)n?1 , ? , (?1)2 a2 ? (?1)1 a1 ? ?(?3)1 ,

3n ? (?1) n 相加得 an ? . 4
解法 3:由 an?1 ? an ? 3n 得

an ?1 1 an 1 ? ? ? , 3n ?1 3 3n 3

an 1 1 1 1 1 ,则 cn ?1 ? cn ? ,可得 cn ?1 ? ? ? (cn ? ) , n 3 3 3 4 3 4 1 1 1 1 n ?1 ? (? ) , 又 c1 ? ,故 cn ? ? 3 4 12 3
设 cn ? 则 an ?

3n ? (?1) n . 4
4 3
2 n ?1

(ii)证法 1:易证 则

?1



1 7 n ?1

1 1 1 4 4 4 1 1 7 1 7 ? ??? ? 1 ? 3 ? ? ? 2 n?1 ? 1 ? 1 ? ? n?1 ? (1 ? n ) ? , a1 a3 a2 n?1 3 ? 1 3 ? 1 3 ?1 7 7 6 7 6
4 1 ≤ 3 ? 1 2 ? 7 n ?1
2n

同理可得



1 1 1 4 4 4 ? ??? ? 2 ? 4 ? ? ? 2n a2 a4 a2 n 3 ? 1 3 ? 1 3 ?1
1 1 1 7 1 7 ? ?? ? (1 ? n ) ? 1 n ?1 2 2?7 2?7 12 7 12

?


1 1 1 1 7 7 7 ? ??? ? ? ? ? . a1 a2 a2 n?1 a2 n 6 12 4

证法 2:

1 a2n?1
?

?

1 4 4 4(32n?1 ? 32 n ) ? 2n?1 ? 2n ? 2n?1 a2 n 3 ? 1 3 ? 1 (3 ? 1)(32 n ? 1)

4(32 n ?1 ? 32 n ) 4 4 ? 2 n ?1 ? 2 n 2 n ?1 2n 3 ?3 3 3



1 1 1 1 1 4 4 4 4 3 2 1 ? ??? ? ? 1 ? ? 3 ? 4 ? ? ? 2 n?1 ? 2 n ? ? (1 ? 2 n?2 ) a1 a2 a2 n?1 a2 n 2 3 3 3 3 2 9 3
3 2 31 62 63 7 ? ? ? ? ? . 2 9 18 36 36 4

?

证法 3:

1 1 1 4 4 4 ? ??? ? 1 ? 3 ? ? ? 2 n?1 a1 a3 a2 n?1 3 ? 1 3 ? 1 3 ?1
4 4 4 ? 5 ? ? ? 2 n ?1 3 3 3 3 1 1 7 ? 1 ? (1 ? 2 n ? 2 ) ? 6 3 6 4 4 ?1 5 ? 2n ? 2n 易证 2 n 3 ?1 3 ?1 ?1 3 ? 1?



1 1 1 4 4 4 ? ??? ? 2 ? 4 ? ? ? 2n a2 a4 a2 n 3 ? 1 3 ? 1 3 ?1

?

1 5 5 5 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 2 3 3 3 1 5 1 41 ? ? (1 ? 2 n ? 2 ) ? 2 72 3 72



1 1 1 1 7 41 125 126 7 ? ??? ? ? ? ? ? ? . a1 a2 a2 n?1 a2 n 6 72 72 72 4

4. (淮安都梁中学 2015 届高三 10 月调研)已知等差数列 ?an ? 的公差是 d,Sn 是该数列的前
n 项和. (1)试用 d, Sm , Sn 表示 Sm? n ,其中 m,n 均为正整数; (2)利用(1)的结论求解:“已知 Sm = Sn (m≠n) ,求 Sm? n ”; (3)若各项均为正数的等比数列 ?bn ? 的公比为 q,前 n 项和为 Sn ,试类比问题(1)的结 论,写出一个相应的结论且给出证明,并利用此结论求解问题:“已知各项均为正数的等比 数列 ?bn ? ,其中 S10 =5, S20 =15,求数列 ?bn ? 的前 50 项和 S50 .” 【考点】等差数列的性质;数列的求和;归纳推理. 【解】 (1)设等差数列 ?an ? 的首项是 a1 , ∴ Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? m ? m ? 1? d , Sm ? ma1 ? d, 2 2
(m ? n)(m ? n ? 1) d 2

∴ S m ? n ? (m ? n)a1 ?

? (m ? n)a1 ?

m(m ? 1) n(n ? 1) m2 ? n2 ? 2mn ? m ? n d ? na1 ? d ? mnd d ? ma1 ? 2 2 2

? Sm ? Sn ? mnd ;
(2)由条件,可得 Sm ? ma1 ? ①×n ? ②×m 得:

m ? m ? 1? n ? n ? 1? d ①, Sn ? na1 ? d ②, 2 2

? n ? m ? Sn ?

1 1 nm ? m ? 1? d ? nm ? n ? 1? d , 2 2

整理得 mnd ? ?2Sn , 则 Sm?n ? Sm ? Sn ? mnd ? 2Sn ? 2Sn ? 0 .

(3)类比得到等比数列的结论是:若各项均为正数的等比数列 ?bn ? 的公比为 q,前 n 项和 为 Sn ,则对任意正整数 m、n,都有 Sm?n ? Sm ? qm Sn . 证明如下:不妨设 m ? n ,则 Sm?n ? ?b1 ? b2 ? ... ? bm ? ? ?bm?1 ? bm?2 ? ... ? bn?m ?

? S m ? ? b1q m ? b2 q m ? ... ? bn q m ?

? Sm ? qm ?b1 ? b2 ? ... ? bn ?
? Sm ? qm Sn ,
∴ Sm?n ? Sm ? qm Sn . 问题解答如下:由 S20 ? S10?10 ? S10 ? q10 S10 ,得 q 则 S30 ? S10?20 ? S10 ? q10 S20 ? 5 ? 2 ?15 ? 35 , ∴ S50 ? S20?30 ? S20 ? q20 S30 ? 15 ? 22 ? 35 ? 155.
10

?

S20 ? S10 15 ? 5 ? ? 2, S10 5

5. (徐州市 2014 届高考信息卷)在数列 ?an ? ,?bn ? 中,已知 a1 ? 2 , b1 ? 4 ,且 an , ?bn ,
an ?1 成等差数列, bn , ? an , bn ?1 也成等差数列.
(1)求证: ?an ? bn ? 是等比数列; (2)设 m 是不超过 100 的正整数,求使

an ? m a ?4 ? m 成立的所有数对 (m, n) . an ?1 ? m am ?1 ? 4

【考点】等差等比数列的基本性质;不定方程求整数解; 【解 】 (1)由 an , ?bn , an ?1 成等差数列可得, ?2bn ? an ? an ?1 ,① 由 bn , ? an , bn ?1 成等差数列可得, ?2an ? bn ? bn ?1 , ② ① ? ②得, an ?1 ? bn ?1 ? ?3(an ? bn ) , 所以 ?an ? bn ? 是以 6 为首项、 ?3 为公比的等比数列. (2)由(1)知, an ? bn ? 6 ? (?3) ,③ ① ? ②得, an ?1 ? bn ?1 ? an ? bn ? ?2 , ④
n ?1

……………………4 分

6 ? (?3) n ?1 ? 2 ……………………8 分 ? 3 ? (?3) n ?1 ? 1 , 2 a ?m a ?4 3 ? (?3) n ?1 ? 1 ? m 3 ? (?3) m ?1 ? 3 ? m 代入 n ,得 , ? an ?1 ? m am ?1 ? 4 3 ? (?3) n ? 1 ? m 3 ? (?3) m ? 3
③ ? ④得, an ? 所以 [3 ? (?3) n ?1 ? 1 ? m][3 ? (?3) m ? 3] ? [3 ? (?3) n ? 1 ? m][3 ? (?3) m ?1 ? 3] , 整理得, (m ? 1)(?3) m ? 3 ? (?3) n ? 0 , 所以 m ? 1 ? (?3) n ? m ?1 ,
n ? m ?1

………………………………12 分

≤ 101 , 由 m 是不超过 100 的正整数,可得 2 ≤ (?3) 所以 n ? m ? 1 ? 2 或 4 , 当 n ? m ? 1 ? 2 时, m ? 1 ? 9 ,此时 m ? 8 ,则 n ? 9 ,符合题意;

当 n ? m ? 1 ? 4 时, m ? 1 ? 81 ,此时 m ? 80 ,则 n ? 83 ,符合题意. 故使

an ? m a ?4 成立的所有数对 (m, n) 为 (8,9) , (80,83) . ? m an ?1 ? m am ?1 ? 4

…………16 分

6. (2015 江苏省南京市高三考前综合)设数列{ an

}的各项都是正数,且对任意 n∈ N 都

*

有 a13+a23+a33+?+an3=Sn2+2Sn ,其中 Sn 为数列{ an }的前 n 项和. (1)求 a1,a2 ; (2)求数列{ an }的通项公式; (3) bn ? 项. 【考点】考查数列的综合运用. 【解】 (1)令 n=1,则 a13=S12+2S1 ,即 a13=a12+2a1 ,所以 a1 =2 或 a1 =-1 或 a1 =0. 又因为数列{ an }的各项都是正数,所以 a1 =2. 令 n=2,则 a13+a23= S22+2S2 ,即 a13+a23=(a1+ a2 )2 + 2(a1 + a2 ) ,解得 a2 =3 或 a2 =-2 或 a2 =0. 又因为数列{ an }的各项都是正数,所以 a2 =3. (2)因为 a13+a23+a33+?+an3=Sn2+2Sn (1) (2)

Sn ? 3 2an , cn ? a ?1 , ,试找出所有即在数列{ bn }中又在数列{ cn }中的 Sn 2 n ? an

所以 a13+a23+a33+?+an-13=Sn-12+2S n-1 (n≥2)

由(1)-(2)得 an3= (Sn2+2Sn )-(Sn-12+2Sn-1 )=(Sn-Sn-1 )(Sn+Sn-1+2) = an (Sn ? Sn?1 ? 2) 因为 an >0,所以 an 2=Sn+Sn-1+2 所以 an-12=Sn-1+Sn-2+2 (n≥3) (3) (4)

由(3)-(4)得 an 2-an-12=an+an-1 ,即 an-an-1= 1 (n≥3), 又 a2-a1= 1 ,所以 an-an-1= 1 (n≥2).

所以数列{ an }是一个以 2 为首项,1 为公差的等差数列. 所以 an=a1+(n- 1)d=n+ 1.

n(n ? 3) Sn ? 3 n(n ? 3) ? 6 2an 2n?1 (3) S n ? ,所以 bn ? , cn ? a ?1 ,. ? ? 2 Sn n(n ? 3) 2 n ? an 2n ? n ? 1
不妨设数列{ bn }中的第 n 项 bn 和数列{ cn }中的第 m 项 cm 相同,则 bn=cm . 即

n(n ? 3) ? 6 2m?1 6 2m ? m ? 1 ,即 . ? m ? m n(n ? 3) 2 ? m ?1 n(n ? 3) 2 ? m ? 1 2m ? m ? 1 6 1 18 ≤0 ,所以 1≤n≤3, ? ≥ ,则 n2+3n- m 2 ? m ? 1 n(n ? 3) 3
2m ? m ? 1 3 ? ,无解; 2m ? m ? 1 2

1o 若

n=1 时,

2m ? m ? 1 3 ? ,即 5 ? 2m-5m-5=3 ? 2m+3m+3 , n=2 时, m 2 ? m ?1 5
m 所 以 2 =4m+ 4 , m = 1,2,3,4 时 2 <4m+4 ; m ≥ 5 时 , 令 f ? m?=2 -4m-4 , 则
m m m 所以 f(m)单调增, 所以 f(m)≥f(5)=8>0,所以 2 =4m+4 f (m+ 1)-f ? m?=2m-4 >0,

无解; n=3 时

2m ? m ? 1 1 ? ,即 2m=2m+2 , m 2 ? m ?1 3
m

m=1,2 时, 2 <2m+2 ; m=3 时, 2 =2m+2 ; m=4 时, 2 >2m+2 ; m≥5 时, 2 >4m+4>2m+2 . 所以,m=3,n=3.
m m m

2o 若

2m ? m ? 1 6 1 ? < ,即 2m<2m+2 . m 2 ? m ? 1 n(n ? 3) 3
m

由 1 ?知,当 m≥3 时, 2 ≥2m+2 。

因此,当 2 <2m+2 时,m=1 或 2. 当 m=1 时,

m

6 =0 无解, n(n ? 3) 6 1 = 无解. n(n ? 3) 7
4 3

当 m=2 时,

综上即在数列{ bn }中又在数列{ cn }中的项仅有 b3=c3= .

7. (15 江阴市高三上学期月考数学试卷)已知数列 { an }和{ bn }满足 a1 ? m ,
an?1 ? ?an ? n , bn ? an ?
2n 4 ? ,{ bn }的前 n 项和为 Tn . 3 9

(1)当 m=1 时,求证:对于任意的实数 λ,{ an }一定不是等差数列; (2) 当 ? ? ?

1 时,试判断{ bn }是否为等比数列; 2
*

(3)在(2)条件下,若 1≤ Tn ≤2 对任意的 n∈N 恒成立,求实数 m 的范围. 【考点】等差数列与等比数列的综合;等差关系的确定;等比关系的确定. 【解】 (1)证明:当 m=1 时, a1 ? 1 , a2 ? ? ? 1 , a3 ? ? (? ? 1) ? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 …(2 分) 假设{ an }是等差数列,由 a1 ? a3 ? 2a2 ,得 ? ? ? ? 3 ? 2(? ? 1) ,
2

即 λ -λ+1=0, ? =-3<0,方程无实根. 故对于任意的实数 λ, { an }一定不是等差数列…(5 分) (2)当 ? ? ?

2

1 1 2n 4 ? , , an ?1 ? ? an ? n , bn ? an ? 2 2 3 9 2(n ? 1) 4 1 2(n ? 1) 4 bn ?1 ? an ?1 ? ? ? (? an ? n) ? ? 3 9 2 3 9
1 n 2 1 2n 4 1 2 4 2 ? ? an ? ? ? ? (an ? ? ) ? ? bn 又 b1 ? m ? ? ? m ? 2 3 9 2 3 9 2 , 3 9 9,

∴当 m≠ 当 m=

2 2 1 时,{ bn }是以 m- 为首项,- 为公比的等比数列…(9 分) 9 9 2

2 时,{ bn }不是等比数列…(10 分) 9 2 (3)当 m= , Tn =0,不成立…(11 分) 9
当 m≠

2 2 2 ? 1 n? 时, Tn ? (m ? ) ?1 ? (? ) ? 9 3 9 ? 2 ?

当 n 为奇数时, ?1 ? (? ) n ? ? ?1, ? , 2 2 当 n 为偶数时, ?1 ? (? ) n ? ? ? ,1? …(14 分) 2 4 ∵ 1≤Tn ≤2 对任意的 n∈N 恒成立,
*

? ?

1 ? ? 3? ? ? ?

? ?

1 ? ?3 ? ? ? ?

2 3 ?2 ( m ? ) ? ≤2 ? 20 ?3 9 2 ∴? 解得 m= 9 ? 2 (m ? 2 ) ? 3 ≥1 ? 9 4 ?3
从而求得 m=

20 …(16 分) 9

8.

(15 南京师大附中高三上学期 12 月月考数学试卷)记数列 ?an ? 的前 n 项和为

Sn (n ? N* ) ,若存在实常数 A,B,C,对于任意正整数 n,都有 an ? Sn ? An2 ? Bn ? C 成
立. (1)已知 A=B=0, a1 ? 0 ,求证:数列 ?an ? (n ? N* ) 是等比数列; (2)已知数列 ?an ? (n ? N* ) 是等差数列,求证:3A+C=B; (3)已知 a1 ? 1,B ? 0 且 B≠1,B+C=2.设 λ 为实数,若 ?n ? N ,
*

an ? ? ,求 λ 的取值 an ?1

范围. 【考点】等比关系的确定;等差数列的性质;数列递推式. 【解】(1)由 A=B=0,得 an ? Sn ? C (n ? N ) ,①
*

从而 an?1 ? Sn?1 ? C . ② ②﹣①式得 2an ?1 ? an , 又 a1 ≠0,所以数列 ?an ? 为等比数列. (2)由数列 ?an ? 是等差数列,可令公差为 d, 则 an ? a1 ? (n ?1)d , Sn ? na1 ? 于是由 an ? Sn ? An ? Bn ? C
2

n(n ? 1) d. 2



d 2 d n ? (a1 ? )n ? a1 ? d ? An 2 ? Bn ? C . 2 2

d ? ? A? 2 ? d ? 由正整数 n 的任意性得 ? B ? a1 ? 2 ? ? C ? a1 ? d ? ?
从而得 3 A ? C ?

3d d ? a1 ? d ? a1 ? ? B . 2 2

(3)由 a1 ? 1,B ? 0 ,B+C=2,及 an ? Sn ? An2 ? Bn ? C ,得 2a1 ? A ? B ? C , 即 2 ? A ? B ? C ,则有 A=0. 于是 an ? Sn ? Bn ? (2 ? B) ,从而 an?1 ? Sn?1 ? B(n ? 1) ? (2 ? B) 两式相减得 2an?1 ? an ? B , an ?1 ? B ? 又 a1 ? 1 ,B≠1,则 a1 ? B ? 0 , 所以 an ? B ? (a1 ? B )

1 (an ? B) , 2

1 1 ,即 an ? (1 ? B ) n ?1 ? B . n ?1 2 2

1 (1 ? B) n ?1 ? B an 1? B 2 于是 . ? ? 1? an ?1 (1 ? B) 1 ? B (1 ? B) ? 2n B 2n
由 B>0 且 B≠1,下面需分两种情形来讨论. (i)当 0<B<1 时,1﹣B>0,则式子

1? B 的值随 n 的增大而减小, (1 ? B) ? 2n B

所以,对 ?n ? N ,
*

an 的最大值在 n=1 时取得, an ?1

即(

an 1? B 2 . )max ? 1 ? ? n an?1 (1 ? B) ? 2 B 1 ? B
*

于是,对于 ?n ? N ,

an 2 ≤ , an ?1 1 ? B



2 an ? ? ,∴ ? ? . 1? B an ?1
n
n

﹣ 1, (ii)当 B>1 时,由(1﹣B)+2 B≥(1﹣B)+2B=1+B>0, 2 B≥2B>2B

得 ?1 ?

1? B ? 0. (1 ? B) ? 2n B
*

所以,对于 ?n ? N , 0 ?

an 1? B ? 1? ? 1. ① an?1 (1 ? B) ? 2n B an 1? B ? 1? ? ?, an ?1 (1 ? B) ? 2n B

假设 λ<1,则有 λ>0,且

得2 ?
n

( B ? 1)(2 ? ? ) ( B ? 1)(2 ? ? ) ,即 n ? log 2 , (1 ? ? ) B (1 ? ? ) B

这表明,当 n 取大于等于 log 2

a ( B ? 1)(2 ? ? ) 的正整数时, n ? ? 不成立, (1 ? ? ) B an ?1

与题设不符,矛盾.所以 λ≥1.又由①式知 λ≥1 符合题意. 故 B>1 时,λ≥1. 综上所述,当 0<B<1 时, ? ?

2 ;当 B>1 时,λ≥1. 1? B

9.

(15 宿迁市沭阳县银河学校高三上学期开学试卷)若数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且满

足等式 an +2 Sn =3. (1)能否在数列中找到按原来顺序成等差数列的任意三项,说明理由; (2)能否从数列中依次抽取一个无限多项的等比数列,且使它的所有项和 S 满足

9 1 <S< ,如果这样的数列存在,这样的等比数列有多少个? 160 13
【考点】数列的求和;等差关系的确定;等比关系的确定. 【解】 (1)∵ an +2 Sn =3,∴当 n=1 时, a1 +2 a1 =3,解得 a1 =1, ∵ an +2 Sn =3,∴ an +1 +2 Sn +1 =3, 两式相减,得 an ?1 ?

1 an , 3 1 的等比数列, 3

∴{ an }是首项为 1,公比为 ∴ an ?

1 , 3n ?1

假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为 a p , aq , ar (p<q<r) , 则

2 3
q ?1

?
r ?q

1 3
p ?1

?

1 2 1 1 ,即 q ? p ? r , r ?1 3 3 3 3

∴ 2?3

? 3r ? p ? 1,即 3r ?q (2 ? 3q? p ) =1,

∵p<q<r,∴r-q,r-p∈ N , ∴3
r? p

?

>3, 2 ? 3

q? p

<0,

∴ 3r ? p (2 ? 3q ? p ) <0, ∴假设不成立,∴不存在按原来顺序成等差数列的任意三项.

1 1 ? ,公比为 n ,项数为 k,且 m,n,k∈ N , m 3 3 1 1 1 [1 ? ( n ) k ] m m 3 则 S(k)= 3 < 3 , 1 1 1? n 1? n 3 3 1 m 9 1 9 1 <S< ,∴ ∵ < 3 < , 160 13 160 1 ? 1 13 3n
(2)设抽取的等比数列首项为

1 ? 13 <1 ? n ? ① m ? ?3 3 ∴? , 9 160 ?9< ? ?② ? 3n 3m ?
13 1 + <1 ,∴m≥3,n≥1. 3m 3n 9 160 由②得 n ? m >9 , 3 3
由①得 当 m=3,n=1 时,不适合条件; 当 m=3,n>1 时,均不合适;当 m>3,n≥1 时,均不合适, 综上所述,满足题意的等比数列没有.


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