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2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题01


2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题一

先做后对答案

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题一
(时间:120 分钟 满分:150) 姓名_______________ 一、填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分. 1.在 ?ABC 中, a、 b、 c 分别是角 A 、 B、 C 所对边的边长,若

cos A ? sin A ? 则

2 ?0, cos B ? sin B

a?b 的值是_______________ c

2.函数 f ( x) ? 9x ? 9? x ? 2(3x ? 3? x ) 的最小值是_______________ 3.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F1 ,顶点为 A1、A2 , P 是该双曲线右支上任意一点,则分别以线段 a 2 b2

PF1、A1 A2 为直径的两圆的位置关系一定是_______________

4.设 A ? {1, 2, ??? , 10} ,若“方程 x 2 ? bx ? c ? 0 满足 b、c ? A ,且方程至少有一根 a ? A ” ,就称该 方程为“漂亮方程” ;则“漂亮方程”的个数为____________ 5.设 a1 , a2 , a3 , a4 是 1, 2, 3, 4 的任一排列, f 是 {1, 2, 3, 4} 到 {1, 2, 3, 4} 的映射,且满足 f (i ) ? i ,

a2 ? a1 记数表 ? ? f (a1 ) f (a2 )

a3 f (a3 )

? 若数表 M、N 的对应位置上至少有一个不同, 就说 M、N ?; f (a4 ) ? a4

是两张不同的数表,则满足条件的不同的数表的张数为___________ 6.函数 f ( x) ? sin 2 x ? e|sin x ? cos x| 的最大值与最小值之差等于___________ 7.如图,一个立方体,它的每个角都截去一个三棱锥,变成一个新的 立体图形;那么在新图形顶点之间的连线中,位于原立方体内部的 有_________条. 8.设 S ? x2 ? y 2 ? 2( x ? y) ,其中 x、y 满足 log 2 x ? log 2 y ? 1 , 则 S 的最小值为______________ 9.设 ?ABC 内接于半径为 R 的⊙ O ,且 AB ? AC , AD 为底边 BC 上的高,则 AD ? BC 的最大值 为_______________ 10.设 r, s, t 为整数,集合 {a | a ? 2r ? 2s ? 2t , 0 ? t ? s ? r} 中的数由小到大组成数列 {an } :
7, 11, 13, 14, ??? ,则 a36 ? _______________

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先做后对答案

二、解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分. 11.已知正方形 ABCD 的两顶点 A 、B 在抛物线 y ? x 2 上,另两个顶点 C、D 在直线 y ? x ? 4 上, 求此正方形的边长 d .

12.设实数 a、b 满足条件 a ? x1 ? x2 ? x3 ? x1 x2 x3 , ab ? x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ,其中 x1、x2、x3 ? 0 , 求P?

a 2 ? 6b ? 1 的最大值. a2 ? a

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13.如图, BD 、CE 是 ?ABC 的两条高, F 和 G 分别是 DE 和 BC 的中点, O 是 ?ABC 的外心; 求证: AO∥FG .
D F A E

B

G

C

O

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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题一

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14.某班有 20 人,参加语文、数学考试各一次,考试按 10 分制评分,即成绩是 0 到 10 的整数; 考试结果是:①没有 0 分;②没有两个同学的语文、数学成绩相同. 我们说“同学 A 比 B 的成绩好” ,是指“同学 A 的语文、数学成绩都不低于 B ” . 证明:存在三个同学 A 、 B 、 C ,使得同学 A 比同学 B 的成绩好,同学 B 比 C 的成绩好.

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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题一答案
一、填空题 1.在 ?ABC 中, a , b, c 分别是角 A, B, C 所对边的边长,若 cos A ? sin A ? 则

2 ?0, cos B ? sin B

a?b 的值是 __________ c

解:由 cos A ? sin A ?

? 2 2 ?0; ? 0 得, 2 sin( A ? ) ? ? 4 cos B ? sin B 2 sin( B ? ) 4

即 sin( A ? )sin( B ? ) ? 1 ,由正弦函数的有界性及 A 、B 为三角形的内角可知, 4 4

?

?

? ? ? ? a?b sin( A ? ) ? 1 且 sin( B ? ) ? 1 ,从而 A ? B ? ,∴ C ? ;∴ ? sin A ? sin B ? 2 . 4 4 4 2 c
2.函数 f ( x) ? 9x ? 9? x ? 2(3x ? 3? x ) 的最小值是 __________ 解: f ( x) ? 9x ? 9? x ? 2(3x ? 3? x ) ? (3x ? 3? x )2 ? 2(3x ? 3? x ) ? 2 ; 令 t ? 3x ? 3? x ? 2 ,则 y ? t 2 ? 2t ? 2 ? (t ? 1)2 ? 3 ,故最小值为 ?2 . 3.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F1 ,顶点为 A1、A2 , P 是该双曲线右支上任意一点,则分别以线段 a 2 b2

PF1、 A1 A2 为直径的两圆的位置关系一定是 __________

解:设双曲线的另一个焦点为 F2 ,线段 PF1 的中点为 C ,在 ?F1 F2 P 中, C 为 PF1 的中点, O 为 F1 F2 的中点,从而 OC ? 一定是内切. 4.设 A ? {1, 2, ???, 10} ,若“方程 x 2 ? bx ? c ? 0 满足 b、c ? A ,且方程至少有一根 a ? A ” ,就称该 方程为“漂亮方程” ;则“漂亮方程”的个数为 __________ 解:由题可知,方程的两根均为整数且两根一正一负,当有一根为 ?1 时,有 9 个满足题意的“漂亮 方程” ,当一根为 ?2 时,有 3 个满足题意的“漂亮方程” ,共有 12 个. 5.设 a1 , a2 , a3 , a4 是 1, 2,3, 4 的任一排列, f 是 {1, 2,3, 4} 到 {1, 2,3, 4} 的映射,且满足 f (i ) ? i ,记数表

1 1 A1 A2 为直径的两圆的位置关系 | PF2 |? (| PF1 | ? | A1 A2 |) ,从而以线段 PF1、 2 2

a2 ? a1 ? ? f (a1 ) f (a2 )

a3 f (a3 )

? ? ;若数表 M、N 的对应位置上至少有一个不同,就说 M、N 是两 f (a4 ) ? a4

张不同的数表;则满足条件的不同的数表的张数为 __________
4 ? 24 个排列, 解:对于 a1 , a2 , a3 , a4 的一个排列,可以 9 个映射满足 f (i ) ? i ,而 a1 , a2 , a3 , a4 共有 A4

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所以满足条件的数表共有 24? 9 ? 216 张. 6.函数 f ( x) ? sin 2 x ? e|sin x ? cos x| 的最大值与最小值之差等于 __________ 解: f ( x) ? sin 2 x ? e|sin x ? cos x| ? sin 2 x ? e 当x??
2|sin( x ? )| 4

?

,从而当 x ?

?
4

时,取最大值 1 ? e 2 ;

?
4

时,取最小值 0,从而最大值与最小值之差等于 1 ? e 2 .

7.如图,一个立方体,它的每个角都截去一个三棱锥,变成一个新的 立体图形;那么在新图形顶点之间的连线中,位于原立方体内部的 有 __________ 条. 解:据题意新的立体图形中共有 24 个顶点,每两点连一条线,
2 ? 12 ? 23 ? 276 ,其中所有的棱都在原立方体的表面, 共 C24

有 36 条原立方体的每个面上有 8 个点,除去棱以外,还可以连 (5 ? 8) ? 2 ? 20 条,

? 6 个面共有 120 条线都在原立方体的表面,除此之外的直线都在原立方体的内部.
8.设 S ? x2 ? y 2 ? 2( x ? y) ,其中 x、y 满足 log 2 x ? log 2 y ? 1 ,则 S 的最小值为 __________ 解:由 log 2 x ? log 2 y ? 1 ,得 xy ? 2 ; 又 S ? x2 ? y 2 ? 2( x ? y) ? ( x ? y)2 ? 2( x ? y) ? 2xy ? ( x ? y)2 ? 2( x ? y) ? 4

? [( x ? y) ? 1]2 ? 5 ? [2 xy ? 1]2 ? 5 ? (2 2 ? 1)2 ? 5 ? 4 ? 4 2
9.设 ?ABC 内接于半径为 R 的⊙ O ,且 AB ? AC , AD 为底边 BC 上的高,则 AD ? BC 的最大值 为 __________

1 解:设 ?OBD ? ? ,则 AD ? R ? R sin ? ; BC ? BD ? R cos ? , BD ? 2R cos? , 2

AD ? BC ? R ? R sin ? ? 2R cos ? ? R ? 5R sin(? ? ? ) ,其中 tan ? ? 2 ;
∴ AD ? BC 的最大值为 R ? 5R . 10.设 r, s, t 为整数,集合 {a | a ? 2r ? 2s ? 2t ,0 ? t ? s ? r} 中的数由小到大组成数列 {an } :
7, 11, 13, 14, ??? ,则 a36 ? __________
2 ? 1; 解:∵ r, s, t 为整数且 0 ? t ? s ? r ,∴ r 最小取 2,此时符合条件的数有 C2

r ? 3 , s, t 可在 0, 1, 2 中取,符合条件有的数有 C32 ? 3 ;
2 ? 6 ; r ? 5 时,符合条件有的数有 C52 ? 10 ; 同理, r ? 4 时,符合条件有的数有 C4

r ? 6 时,符合条件有的数有 C62 ? 15 ; r ? 7 时,符合条件有的数有 C72 ? 21 ;
∴ a36 是 r ? 7 中的最小值,即 a36 ? 20 ? 21 ? 27 ? 131 .

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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题一

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二、解答题: 11.已知正方形 ABCD 的两顶点 A 、B 在抛物线 y ? x 2 上,另两个顶点 C、D 在直线 y ? x ? 4 上, 求此正方形的边长 d .
2 B∥ D C 解: 设A 显然 t1 ? t2 ; ∵A ), 、B 两点坐标分别为 A(t1 , t12 ) 、B(t2 , t2

, ∴1 ?

2 t2 ? t12 , 即 t1 ? t2 ? 1 ; t2 ? t1

2 2 一方面, d 2 ?| AB |2 ? (t1 ? t2 )2 ? (t12 ? t2 ) ? (t1 ? t2 )2 [1 ? (t1 ? t2 )2 ] ? 2[(t1 ? t2 )2 ? 4t1 ? t2 ] ,

1 ∴ t1 ? t2 ? (2 ? d 2 ) 8
另一方面, d ?| AD |?


| t1 ? t12 ? 4 | 2 ? | t1 ? t2 ? 4 | 2

,∴ 2d 2 ? (t1t2 ? 4)2



将①代入②,得 d 4 ? 68d 2 ? 900 ? 0 ,即 (d 2 ? 18)(d 2 ? 50) ? 0 ;故 d ? 3 2 或 d ? 5 2 . 12.设实数 a、b 满足条件 a ? x1 ? x2 ? x3 ? x1 x2 x3 , ab ? x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ,其中 x1、x2、x3 ? 0 , 求P?

a 2 ? 6b ? 1 的最大值. a2 ? a

解: a ? x1 x2 x3 ? x1 ? x2 ? x3 ? 3 3 x1 x2 x3 ? 3 3 a ,∴ a ? 3 3 ;
2 2 a 2 ? ( x1 ? x2 ? x3 )2 ? x12 ? x2 ? x3 ? 2( x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ) ? 3( x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ) ? 3ab ,从而, a ? 3b ;

P?

a 2 ? 6b ? 1 a 2 ? 2a ? 1 a ? 1 1 1 3 ? ? ? 1? ? 1? ? 1? , 2 2 a a 9 a ?a a ?a 3 3

当且仅当 x1 ? x2 ? x3 , a ? 3 3 , a ? 3b 时等号成立; 即 x1 ? x2 ? x3 ? 3 , a ? 3 3 , b ? 3 时, P ?
3 a 2 ? 6b ? 1 有最大值: 1 ? . 9 a2 ? a

13.如图, BD 、CE 是 ?ABC 的两条高, F 和 G 分别是 DE 和 BC 的中点, O 是 ?ABC 的外心; 求证: AO∥FG .
D F A E

D F H A E

B

G

C

B

G

C

O

O
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证明:如图,连结 GD 和 GE ,∵ ?BDC ? ?BEC ? 90? , BG ? BC ;∴ DG ? 又∵ DF ? EF ,∴ DF ? DE ;延长 OA 交 DE 于 H ,连结 OB ; ∵ ?BDC ? ?BEC ? 90? ,∴ B、C、E、D 四点共圆;

1 BC ? EG , 2

1 1 ∴ ?DEB ? ?DCB ? ?AOB ,即 ?AEH ? ?AOB ; 2 2 1 又∵ OA ? OB ,∴ ?EAH ? ?BAO ? 90? ? ?AOB , ?EAH ??AEH ? 90? ; 2
于是, AD ? DE ,即 OA ? DE , AO∥FG . 14.某班有 20 人,参加语文、数学考试各一次,考试按 10 分制评分,即成绩是 0 到 10 的整数; 考试结果是:①没有 0 分;②没有两个同学的语文、数学成绩相同. 我们说“同学 A 比 B 的成绩好” ,是指“同学 A 的语文、数学成绩都不低于 B ” . 证明:存在三个同学 A 、 B 、 C ,使得同学 A 比同学 B 的成绩好,同学 B 比 C 的成绩好. 证明:若同学 A 比 B 的成绩好,记为 A ? B ;原问题等价于证明: 存在三个同学 A 、B、C 满足 A ? B ? C .用 ( ai , bi ) 表示第 i 个同学的语文、数学成绩 ( i ? 1, 2, ??? , 20 ) ;于是 (ai , bi ) ? (a j , b j ) ? ai ? a j , bi ? bj 且等号不能同时成绩. ∵语文成绩 a i ( i ? 1, 2, ??? , 20 )在 1 到 10 的整数值中取值,对这 20 个同学的语文成绩, 由抽屉原理知,下列情形之一必然出现: 情形 1:某个分数值,至少有 3 人取得;即存在某个 m ?{1, 2, ??? , 10} , 使得 ai ? a j ? ak ? m (其中 i、j、k 两两不等) ; 情形 2:每个分数值,恰好均有 2 人取得,即对任意的 f ? {1, 2, ??? , 10} ,存在不同的 i、 j , 使得 ai ? a j ? f ; 同理,对于数学成绩 bi 同样有两种情形: 情形 1' :存在某个 n ? {1, 2, ??? , 10} ,使得 bi? ? b j ? ? bk ? ? n (其中 i?, j ?, k ? 两两不等) ; 情形 2 ' :对任意的 g ? {1, 2, ??? , 10} ,存在不同的 i ?, j ? ,使得 bi? ? b j ? ? g ; 下面进行讨论: 对情形 1:若 ai ? a j ? ak ? m ,则由条件知 bi , b j , bk 两两不等; 不失一般性,不妨设 bi ? bj ? bk ,则 (ai , bi ) ? (a j , b j ) ? (ak , bk ) , 即存在三个同学存在三个同学 A 、 B 、 C 满足 A ? B ? C ; 对情形 1' :同理可证; 对情形 2 ' :有两个 ai ? 1 ,不失一般性设 ai ? a j ? 1 ,于是得 (1, bi ), (1, b j ) ,且 bi ? b j , 不失一般性,设 bi ? b j ,则 (1, bi ) ? (1, b j ) ; 这时,对于 bi ,若出现情形 1' ,则结论成立;若出现情形 2 ' ,则必有 2 人得 10 分, 不妨设为 ak , al ,易知 ak , al 中至少有一个不取 1(否则与条件②矛盾) ,设为 a k ,则 1 ? ak ; 所以,故结论成立; 对于情形 2,同理可证; 综上所述,结论成立.

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