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90度与工程


90 度与工程
专利申请 专利号:GB-56984549

立体几何 100 题及答案

工程常识:

建筑工程图 建筑工程图是以投影原理为基础,按国家规定的制图标准,把已经建成或尚 未建成的建筑工程的形状、大小等准确地表达在平面上的图样,并同时标明工程 所用的材料以及生产、安装等的要求。它是工程项目建设的技术依据和重要的技 术资料。建筑工程图包括方案设计图、各类施工图和工程竣工图。由于工程建设 各个阶段的任务要求不同,各类图纸所表达的内容、深度和方式也有差别。方案 设计图主要是为征求建设单位的意见和供有关领导部门审批服务;施工图是施工 单位组织施工的依据;竣工图是工程完工后按实际建造情况绘制的图样,作为技 术档案保存起来,以便于需要的时候随时查阅。

建筑总平面图 建筑总平面图是表明一项建设工程总体布置情况的图纸。它是在建设基地的 地形图上,把已有的、新建的和拟建的建筑物、构筑物以及道路、绿化等按与地 形图同样比例绘制出来的平面图。主要标明新建平面形状、层数、室内外地面标 高,新建道路、绿化、场地排水和管线的布置情况,并标明原有建筑、道路、绿

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化等和新建筑的相互关系以及环境保护方面的要求等。由于建设工程的性质、规 模及所在基地的地形、地貌的不同,建筑总平面图所包括的内容有的较为简单, 有的则比较复杂,必要时还可分项绘出竖向布置图、管线综合布置图、绿化布置 图等。

建筑施工图 建筑施工图简称建施。它一般由设计部门的建筑专业人员进行设计绘图。建 筑施工图主要反映一个工程的总体布局,标明建筑物的外部形状、内部布置情况 以及建筑构造、装修、材料、施工要求等,用来作为施工定位放线、内外装饰做 法的依据,同时也是结构施工图和设备施工图的依据。建筑施工图包括设备说明 和建筑总平面图、建筑平面图、立面图、剖面图等基本图纸以及墙身剖面图、楼 梯、门窗、台阶、散水、浴厕等详图和材料做法说明等等。

建筑工程施工图 建筑工程施工图简称施工图, 是表示工程项目总体布局, 建筑物的外部形状、 内部布置、结构构造、内外装修、材料做法以及设备、施工等要求的图样。具有 图纸齐全、表达准确、要求具体的特点。它是设计工作的最后成果,是进行工程 施工、编制施工图预算和施工组织设计的依据,也是进行施工技术管理的重要技 术文件。一套完整的建筑工程施工图,一般包括建筑施工图、结构施工图、给排 水、采暖通风施工图及电气施工图等专业图纸,也可将给排水、采暖通风和电气 施工图合在一起统称设备施工图。

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结构施工图 结构施工图简称结施。它是由设计部门的结构专业人员进行设计的。结构施 工图主要表示建筑承重骨架的类型、结构构件布置情况、大小尺寸、形式种类、 所用材料以及构造、施工要求等,并反映建筑、给排水、暖通、电气等工种对建 筑结构的要求。主要用作放灰线、刨槽、支模板、绑钢筋、浇注混凝土、安装梁 板柱、编制预算和施工进度计划的依据。结构施工图包括结构设计总说明和基础 平面图、柱网布置图、楼层结构平面布置图、屋顶结构平面布置图等基本图以及 表示各种承重构件(如基础、柱、梁、板、屋架、雨篷、支撑等)形状、大小、内 部构造情况的详图等。

建筑平面图 建筑平面图是假想在房屋的窗台以上作水平剖切后,移去上面部分作剩余部 分的正投影而得到的水平剖面图。 它表示建筑的平面形式、 大小尺寸、 房间布置、 建筑人口、门厅及楼梯布置的情况,标明墙、柱的位置、厚度和所用材料以及门 窗的类型、位置等 情况。主要图纸有首层平面图、二层或标准层平面图、顶层 平面图、屋顶平面图等。其中屋顶平面图是在房屋的上方,向下作屋顶外形的水 平正投影而得到的平面图。

建筑剖面图 建筑剖面图是依据建筑平面图上标明的剖切位置和投影方向,假定用铅垂方 向的切平面将建筑切开后而得到的正投影图。沿建筑宽度方向剖切后得到的剖面 图称横剖面图;沿建筑长度方向剖切后得到的剖面图称纵剖面图;将建筑的局部
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剖切后得到的剖面图称局部剖面图。 建筑剖面图主要表示建筑在垂直方向的内部 布置 情况,反映建筑的结构形式、分层情况、材料做法、构造关系及建筑竖向 部分的高度尺寸等。

建筑立面图 建筑立面图是将建筑的不同侧表面,投影到铅直投影面上而得到的正投影 图。它主要表现建筑的外貌形状,反映屋面、门窗、阳台、雨篷、台阶等的形式 和位置,建筑垂直方向各部分高度,建筑的艺术造型效果和外部装饰做法等。根 据建筑型体的复杂程度,建筑立面图的数量也有所不同。一般分为正立面、背立 面和侧立面,也可按建筑的朝向分为南立面、北立面、东立面、西立面,还可以 按轴线编号来命名立面图名称,这对平面形状复杂的建筑尤为适宜。在施工中, 建筑立面图主要是作建筑外部装修的依据。

建筑构造 建筑对象各组成部分的组成原理和方案,以及各组成部分之间互相组合的方 式与方法。建筑构造设计是根据建筑的用途、建筑材料的性能、建筑构配件所处 的环境及其受力状况、施工工艺及建筑美观要求等,设计出各种实用、经济的基 本部件,并将这些基本部件有机结合成建筑整体。进行构造设计必须全面贯彻各 项技术政策,做到坚固实用、技术先进、经济合理、美观大方。

建筑分类

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建筑的类型繁多,分类的方法也有多种。按建筑的使用性质,一般分为生产 性建筑、 居住建筑和公共建筑三类。 生产性建筑主要是指供工农业生产用的建筑, 包括各种工业建筑和农业建筑。居住建筑是指供家庭和集体生活起居用的建筑。 公共建筑是供人们从事政治、 文化、 商业等公共活动用的建筑, 如各类办公建筑、 学校建筑、文化科技馆等。

结构安全度 结构安全度是指结构或构件承荷载安全的程度。一般用结构或构件的破坏荷 载与正常使用条件下所受荷载的比值,即安全系数来表达。在工程设计中,为了 保证结构在长时期内能正常安全地使用,必须使所设计的结构或构件有足够的安 全储备,以防在设计施工及使用中一些考虑不到的不利因素使结构不能正常安全 地使用。近年来,结构安全度正趋于用结构破坏的概率来表达,即结构安全是结 构在规定的时间内,在规定的条件下完全预定功能的概率。

完全系数 它是结构设计计算中的一种系数,是指在正常设计、施工和使用情况下结构 对抵抗各种影响安全的不利因素而在设计时所考虑的安全储备,是结构安全度的 一种表达形式。我国旧的结构设计规范中采用的计算方法都用到了安全系数,但 安全系数并不能真正从定量上衡量结构的安全可靠度。 因为影响结构安全的一切 因素都不是确定量而是随机变量。况且安全系数的确定,有的计算方法是凭经验 确定,有的计算方法是用半经验半概率的方法确定,并非十分科学。因此,我国

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新颁布的《建筑结构设计统一标准》(GBJ68-84)中采用了概率极限状态设计法。 这种方法则能比较真实地反映结构的安全可靠度和合理划分结构的安全度等级。

建筑结构 建筑结构简称结构。指在建筑中,由若干构件连接而构成的起承受作用的平 面或空间体系。结构必须具有足够的强度、刚度、稳定性,用来承受作用在建筑 物、构筑物上的各种荷载。结构可由一种或多种材料构成。按材料不同,一般分 为钢结构、木结构、砌体结构、混凝土结构等。

木结构 指在建筑中以木材为主制成的结构,一般用榫卯、齿、螺栓、钉、销、胶等 连接。木材是一种取材容易、加工简便的结构材料。木结构自重较轻,木结构便 于运输、装拆,能多次使用,故广泛地用于房屋建筑中,也用于桥梁和搭架。近 代胶合木结构的出现,更扩大了木结构的应用范围。但在空气温度、湿度较高的 地区,白蚁、蛀虫、家天牛等对木材危害颇大;木材处于潮湿状态时,将受木腐 菌侵蚀而腐朽;木材能着火燃烧。故木结构应采取防虫、防腐、防火措施,以保 证其耐久性。

砌体结构 指在建筑中以砌体为主制作的结构。《建筑结构设计通用符号、计量单位和 基本术语》(G 因 83-85)中指出:它包括砖结构、石结构和其他材料的砌块结构。 分为无筋砌体结构和配筋砌体结构。一般民用和工业建筑的墙、柱和基础都可采
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用砌体结构。烟囱、隧道、涵洞、挡土墙、坝、桥和渡槽等,也常采用砖、石或 砌块砌体建造。砌体结构的优点是:(1)容易就地取材;(2)砖、石或砌体砌块具有 良好的耐火性和较好的耐久性;(3)砌体砌筑时不需要模板和特殊的施工设备。在 寒冷地区,冬季可用冻结法砌筑,不需特殊的保温措施川的砖墙和砌块墙体能够 隔热和保温,所以既是较好的承重结构,也是较好的围护结构。其缺点是:(1)与 钢和混凝土相比,砌体的强度较低,因而构件的截面尺寸较大,材料用量多,自 重大;(2)砌体的砌筑基本上是手工方式,施工劳动量大;(3)砌体的抗拉和抗剪强 度都很低,因而抗震性较差,在使用上受到一定限制。砖、石的抗压强度也不能 充分发挥刊的粘土砖要粘土制造,在某些地区过多占用农田,影响农业生产。

混凝土结构 指以普通混凝土为主制作的结构。《建筑结构设计通用符号、计量单位和基 本术语》(GEM83-85)中指出:它包括素混凝土结构、钢筋混凝土结构、预应力混 凝土结构等。其应用范围极广,是土木建筑工程中用得最多的一种结构。与其他 材料的结构相比,其主要优点是:整体性好,可灌筑成为一个整体;可模性好,可 灌筑成各种形状和尺寸的结构;耐久性和耐火性好;工程造价和维护费用低。 主要 缺点是:混凝土抗拉强度低,容易出现裂缝;结构自重比钢、木结构大;室外施工 受气候和季节的限制;新旧混凝土不易连接,增加了补强修复的困难。

钢筋混凝土结构 指用配有钢筋增强的混凝土制成的结构。由于混凝土的抗拉强度远低于抗压 强度,因而混凝土结构不能用于受有拉应力的梁和板。如果在混凝土梁、板的受
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拉区内配置钢筋,则混凝土开裂后的拉力即可由钢筋承担,这样就充分发挥了混 凝土抗压强度较高的优势,起到共同抵抗的作用,提高了混凝土梁、板的承载能 力。钢筋混凝土结构在土木工程中的应用范围极广,各种工程结构都可采用钢筋 混凝土建造。

钢结构 指以钢材为主制成的结构。其中,由钢带或钢板经冷加工而成的型材制作的 结构称冷弯钢结构。常用钢板和型钢等制成的钢梁、钢柱、钢桁架等构件组成; 各构件或部件之间采用焊缝、螺栓或锄钉连接。钢结构具有重量轻、承载力大、 可靠性较高、能承受较大动力荷载、抗震性能好、安装方便、密封性较好等特点。 但钢结构耐锈蚀性较差,需要经常维护,耐火性也较差。常用于跨度大、高度大、 荷载大、动力作用大的各种工程结构中。

预应力钢结构 指在结构上施加荷载以前用特定的方法预加应力, 使内部产生对结构承受外 荷有利的应力状态的钢结构。大跨度房屋建筑结构、吊车梁、桥跨结构、大直径 贮液库、压力管道和压力容器等都可采用预应结构。预应力钢结构可扩大结构或 构弹性工作范围, 减少挠度, 更有效地利强度钢材, 从而改善结构或构件的状况。

墙板结构 指由墙和楼板组成承重体系的房结构。墙既作承重构件,又作房间的隔断, 是居住建筑中最常用且较经济的结构形式。缺点是室内平面布置的灵活性较差。
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垃圾桶结构多用于住宅、公寓,也可用于办公楼、学校等公用建筑。墙板结构的 承重墙可用砖、砌块、预制或现浇混凝土做成。楼板用预制钢筋混凝土或预应力 混凝土空心板、槽形板、实心板,预制与现浇叠合式楼板,全现浇式楼板。墙板 结构按所用材料和建造方法的不同分为三类:(1)混合结(2)装配式大板结构;(3) 现浇式墙板结构。

现浇式墙极结构 指墙体用混凝土现浇、楼板采用预制或现浇的房屋结构。主要优点是抗震性 能好。与混合结构相比,墙面抹灰量大量减少,劳动强度减轻,用量少;与装配 式大板结构相比, 施工简便, 是我国地震区多层与高层住宅的主要结构形式之一。 现浇式墙板结构的墙体材料与建造方法可分内外墙全部现挠混凝土及横墙与内 纵墙现浇,外墙采用预制大板(简称内浇外挂)或砖、块(简称内浇外砌)两类。

装配式大板结构 指用预制混凝土墙板和楼板拼装成的房屋结构,是一种工业化程度较高建筑 结构体系。主要优点是可以进行商品化生产,现场施工效率高,劳动强度低,自 重较轻,结构强度与变形能力均比混合结构好。但造价较高,需用大型的运输吊 装机械,平面布置不够灵活。装配式大板结构的联结构造是房屋能否充分发挥强 度、保证必要的刚度和空间整体性能的关键。

框架结构

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框架结构是由梁和柱组成承重体系的结构。主梁、柱和基础构成平面框架, 各平面框架再由联系梁连接起来而形成框架体系。框架结构的最大特点是承重构 件与围护构件有明确分工,建筑的内外墙处理十分灵活,应用范围很广。这种结 构形式虽然出现较早,但直到钢和钢筋混凝土出现后才得以迅速发展。根据框架 布置方向的不同,框架体系可分为横向布置、纵向布置及纵横双向布置三种。横 向布置是主梁沿建筑的横向布置,楼板和联系梁沿纵向布置,具有结构横向刚度 好的优点,实际采用较多。纵向布置同横向布置相反,横向刚度较差,应用较少。 纵横双向布置是建筑的纵横向都布置承重框架,建筑的整体刚度好,是地震设防 区采用的主要方案之一。

剪力墙结构 剪力墙结构是利用建筑的内墙或外墙做成剪力墙以承受垂直和水平荷载的 结构。剪力墙一般为钢筋混凝土墙,高度和宽度可与整栋建筑相同。因其承受的 主要再载是水平荷载,使它受剪受弯,所以称为费力墙,以便与一般承受垂直荷 载的墙体相区别。剪力墙结构的侧向刚度很大,变形小,既承重又围护,适用于 住宅和旅游等建筑。国外采用剪力墙结构的建筑已达 70 层,并且可以建造高达 100~150 层的居住建筑。由于剪力墙的间距一般为 3~8m,使建筑平面布置和使用 要求受到一定限制,对需要较大空间的建筑通常难以满足要求。剪力墙结构可以 现场捣制,也可预制装配。装配式大型墙板结构与盒子结构,就其实质也是剪力 墙结构。

框架一剪力墙结构
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简称框一剪结构。它是指由若干个框架和剪力墙共同作为竖向承重结构的建 筑结构体系。框架结构建筑布置比较灵活,可以形成较大的空间,但抵抗水平荷 载的能力较差,而剪力墙结构则相反。框架一剪力墙结构使两者结合起来,取长 补短,在框架的某些柱间布置剪力墙,从而形成承载能力较大、建筑布置又较灵 活的结构体系。在这种结构中,框架和剪力墙是协同工作的,框架主要承受垂直 荷载,剪力墙主要承受水平荷载。

筒体结构 指由一个或数个筒体作为主要抗侧力构件而形成的结构称为筒体结构。筒 体,是由密柱高梁空间框架或空间剪力墙所组成,在水平荷载作用下起整体空间 作用的抗侧力构件。简体结构适用于平面或竖向布置繁杂、水平荷载大的高层建 筑。筒体结构分筒体一框架、框筒、筒中筒、束筒四种结构。

筒体一框架结构 筒体一框架结构是中心为抗剪薄壁筒,外围是普通框架所组成的结构。

框筒结构 框筒结构是外围为密柱框筒,内部为普通框架柱组成的结构。

筒中筒结构 筒中筒结构是中央为薄壁筒,外围为框筒组成的结构。

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束筒结构 束筒结构是由若干个筒体并列连接为整体的结构。

壳体结构 指由曲面形板与边缘构件(梁、拱或桁架)组成的空间结构。壳体结构具有很 好的空间传力性能,能以较小的构件厚度形成承载能力高、刚度大的承重结构, 能覆盖或围护大跨度的空间而不需中间支柱,能兼承重结构和围护结构的双重作 用,从而节约结构材料。壳体结构可做成各种形状,以适应工程造型需要,因而 广泛应用于工程结构中。如大跨度建筑物顶盖,中小跨度屋面板、工程结构与衬 砌、各种工业用管道、冷却塔、储液罐等。工程结构中采用的壳体多由钢筋混凝 土做成,也可用钢、木、石、砖或玻璃做成。

网架结构 指由多根杆件按照一定的网格形式通过节点联结而成的空间结构。具有空间 受力、重量轻、刚度大、抗震性能好等优点,可作体育馆、影剧院、展览厅、候 车厅、体育场、看台雨篷、飞机库、双向大柱距车间等建筑的屋盖。缺点是会交 于节点上的杆件数量较多,制作安装较平面结构复杂。网架结构按所用材料分有 钢网架、钢筋混凝土网架以及钢与钢筋混凝土组成的网架,其中以钢网架用得较 多。

悬索结构

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是以钢索(钢丝束、钢绞线、钢丝绳等)作为主要受拉构件的结构。钢索主要 承受轴向拉力,可以充分发挥材料的强度,并且由于钢索的抗拉强度很高,从而 使结构具有自重轻、用钢省、跨度大的优点。悬索结构按其表面形式不同分为单 曲面及双曲面两类,每一类又按索的布置方式分为单层悬索与双层悬索两种,其 中双曲面悬索中还有一种交叉索网体系。单曲面单层或双层悬索适用于矩形建筑 平面;双曲面单层或双层悬索适用于圆形建筑平面;双曲面交叉索网体系的屋面 因刚度大、层面轻、排水处理方便,能适应各种形状的建筑平所以在实际中应用 较为广泛。

框架轻板建筑 是采用柱、梁或柱、板组成承重框架,再以各种轻质材料制品作围护结构的 建筑。它与一般框架结构建筑的不同之处是建筑的内外墙体都采用新型轻质墙 板。轻质外墙板,按其构造特点分单一材料板如(如加气混凝土板)和多层复合 板(如石棉水泥板、陶粒混凝土矿棉夹芯板、预应力薄板内复石膏板等)两种。按 外墙板的支承方式,可分为自承重式和悬挂式(墙板悬挂架梁上)两种。轻质内墙 板一般有三种类型:一种是用各种轻质材料制成的实心板,二是用轻质材料制成 的空心板;三是用轻质板制成的多层复合板。框架轻板建筑既具有一般框架结构 建筑的特点,又有自重轻、使用面积大、节省水泥、施工速度快和合理利用工业 废料等突出优点。

大模板建筑

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大模板建筑采用整块的工具式大模板现浇混凝土承重内墙,用相当于一个房 间大小的台模现浇楼板(或采用预制楼板),用预制外墙板(或采用砖砌体)做围护 结构的施工方法建造的建筑。外墙采用预制大板的做法称为内浇外挂;外墙采用 手式砌筑砖墙的做法称为内浇外砌;内外墙采用大模板现浇混凝土的做法则为全 现浇式。大模板建筑的优点是整体性好,抗震性强,施工工艺设备简单,技术容 易掌握,机械化程度较高,施工速度较快,工期也较短。应用于城市中的多层和 高层住宅建筑有很大的优越性,同时也适用于多层和高层的公共建筑。因此,采 用大模板建筑是比较适合我国国情的一种工业化施工方法。

升板建筑 升板建筑通常是先将楼板和屋面板在地面上分层重叠浇筑成型,然后沿已建 成的柱网利用安装在柱子上的提升设备将楼极逐层提升并就位固定的施工方法 建造的建筑。它具有节约模板、构件运输量少、施工速度快而安全、不需大型起 重设备、升板操作容易掌握、施工占地少、施工噪音小等优点。适用于钢筋混凝 土柱子承重、楼面前载较大、内墙较少的各类建筑。如果把围护结构的大型墙板 预先安装在楼板上,然后整层一起提升,由顶层往下逐层就位固定,这种方法称 为升层法,是将升板和大板施工工艺结合起来的施工方法。如果将升板和滑升模 板技术相结合以升带滑,则称为升板滑模法。此外还有集层升板法和悬挂升板法 等,都是在升板的基础上发展的。

滑模建筑

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滑模建筑一般按建筑的平面形状组装成一定高度的模板系统,利用液压提升 设备不断提升模板,上边挠筑混凝土,下边随即脱模而连续浇注混凝土墙体的施 工方法建造的建筑。滑升模板只解决墙体的挠撞,建筑内部的楼板和梁等还需采 取预制和现烧的方法进行施工。滑升模板由模板系统、操作平台系统、液压系统 和支承杆等基本部分组成。滑模建筑可适用于多层、高层住宅、办公楼等建筑, 更适用于多层、高层工业建筑和构筑物(如多层框架、储告、烟囱、冷却塔、电 视塔、高层建筑中的电棉井等)。其特点是施工速度快,机械化水平高,节省人 工、模板和施工用地,建筑的整体性好,抗震能力强,但工艺设备较复杂,施工 操作难度也较大。

地下建筑 地下建筑是指建造在地层中的建筑。它具有良好的防护能力和隐蔽性,受自 然和人为的影响小井有较稳定的温度场以及节省建设用地等优点。但挖土工程量 大、施工复杂、建设周期较长,通风、防水、防噪音等要求较高。地下建筑按使 用性质分为军事建筑、工业建筑、运输建筑、仓库建筑、公共建筑和居住建筑等; 按建造方法的不同又分为坑道式、地道式、单建式和附建式等四类。坑道式和地 道式是采用暗挖的方法形成地下空间;单建式和附建式即采用明挖或沉埋等方法 形成地下空间。由于客观条件和防护能力的差异,建筑方法的不同,地下建筑的 规划、设计和施工方法上也有较大区别。随着地下建筑技术水平的不断提高以及 使用经验的不断积累和内部设备的不断完善,地下建筑的类型和建造量也将不断 增加,日益发展。

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地基 指支承由基础传递的上部结构荷载的士体(或岩体)。为了保证建筑物及构筑 物的安全和正常使用,首先要求地基在荷载作用下不致产生破坏;其次,组成地 基的土层因某些原因产生的变形(例如冻胀、 湿陷、 膨胀收缩和压缩等)不能过大, 否则将会使建筑物遭受破坏,从而无法满足使用要求。

基础 指将结构所承受的各种作用传递到地基上的结构组成部分。 它是房屋、 桥梁、 码头及其他构筑物的重要组成部分。

条形基础 指在建筑中墙下或柱下连接成长条形状的基础。按结构形式可分墙下条形基 础、柱下条形基础、柱下交叉条形基础。它具有一定的刚度和调整地基不均匀沉 降的能力,适应地基软弱不均或框架结构各柱荷载大小不一的情况。因能增强基 础的整体性和刚度,故亦有利于结构抗震。设计时,可按弹性地基上梁计算。

片筏基础 指具有一定厚度的支承整个建筑物的大面积整体钢筋混凝土板式基础。为了 增加结构钢度,在板上或板底的单向或双向设置肋梁,以形成梁板组合基础。片 夜基础适用于土质软弱、地基承载力低、上部结构传递到基础的荷载很大及上部 结构对地基不均匀沉降敏感的情况。

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箱形基础 指在建筑中由底板、顶板、侧墙及一定数量的内隔墙组成的箱形的钢筋混凝 土整体基础。箱形基础具有较其他类型基础更大的结构刚度与整体性,故适合于 上部结构荷载差异大、对不均匀沉降敏感、抗震要求严格及要求兼设地下室的建 筑物。

桩基础 由桩柱和承台联成的基础。桩基础通常采用若干根柱组成。先将桩打人地基 内,穿过软质土层,使桩端支承在坚硬的土层上,上端由承台联成一体,构成桩 基础。按建筑材料分有木桩、钢桩、钢筋混凝土桩等。按建筑施工方法分有打人、 压人、震人、水射和钻孔灌注、爆扩灌注等;按传力方式分有摩擦桩(主要靠表面 和土层间的摩擦力传递荷重)和端承桩(主要靠桩端将荷重传至坚硬土层)。桩基 础具有承载力高,沉降量小而均匀,沉降速度缓慢,能承重竖向力、上拨力、震 动力等特点,因而在工业建筑、高层民用建筑和构筑物以及地震设防建筑中应用 广泛。

桩 指深入土层并提供垂直和侧向支承的较柔的结构构件。桩按成桩的材料分 为:木桩、海凝土桩、钢桩和复合桩。其中,复合桩是桩身在地下水位以下用木 材, 上部用混凝土灌注而成的桩。 桩身下部也可采用钢管或其他断面的型钢制成。

变形缝
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是指将建筑物或构筑物垂直分开的缝隙。其作用是防止和减轻由于温度变 化、 基础不均匀沉降和地震造成的破坏。 变形缝根据其功能的不同可分为伸缩缝、 沉降缝和抗震缝三种。

沉降缝 沉降缝是指同一建筑物高低相差悬殊、上部荷载分布不均匀或建在不同地基 土壤上时,为避免不均匀的沉降使墙体或其他结构部位开裂而设置的建筑构造 缝。沉降缝把建筑物划分成几个段落,自成系统,从基础墙体、楼板到房顶各不 连接。缝宽一般为 30~70mm。

伸缩缝 伸缩缝是指为防止建筑物构件由于气温度变化(热胀、冷缩),使结构产生裂 缝或破坏而沿房屋长度方向的适当部位竖向设置的一条构造缝。伸缩缝是将基础 以上的建筑构件如墙体、楼板、屋顶(木屋顶除外)等分成两个独立部分,使建筑 物沿长方可做水平伸缩。缝宽一般 20~4Omm 。

抗震缝 在地震区建筑房屋分成若干个形体简单、结构刚度均匀的独立单元,使其避 免受地震力时由于刚度不同而发生破坏。 抗震缝在设计建造时, 可以结合沉降缝、 伸缩缝一起考虑,但缝宽应按建筑高度和设计裂度计算而定。

防潮层
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一般设在室外地坪标高之上,室内地坪标高之下,即室内地面混凝土垫层处 的墙身上。设置防潮层的目的是为了防止土壤中的地下水从基础墙上升和勒脚部 位的地面水影响墙身,它对提高建筑物的耐久性、保持室内干燥卫生具有很大的 作用。

防水层 为了防止雨水进人屋面,地下水进入墙体、地下室及地下构筑物,室内用水 渗入楼面及墙面等而设的材料层。防水层按部位不同分为屋面防水层,楼面防水 层及地下室防水层等,按使用材料不同分为油毡防水层、塑料防水层、橡胶防水 层、豆石混凝土防水层、防水砂浆防水层、钢板防水层、涂料防水层等。

勒脚 指室外地面(或散水)以上的一小段房屋外墙。由于这个部位的墙体经常遭受 雨雪的浸溅和地下水沿基础上升而使墙面潮湿,冻融破坏,因此要求使用耐水性 较好的材料砌筑,或用水泥砂浆抹面来保护。

散水 指沿外墙四周与勒脚相接的地面部分。一般用砖或 1 昆凝土铺设,以防上屋 檐的滴水冲刷房屋四周的土壤,并使勒脚附近的地面积水迅速排走,减少墙身与 基础受水浸泡的可能。 散水的宽度一般比屋檐宽度长出 10~2Ocm,并应向外做成一 定坡度。

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梁 指处于一定空间以承受屋盖、楼板、墙体等所具有荷载的构件。梁的断面形 式有矩形、T 形、十字形、倒 T 形等,设计时应根据不同的要求选用。一般常用 木质、钢材、金属合金或钢筋混凝土等材料做成,主要承受弯矩和剪力。在一般 民用建筑中,梁的跨度常用 5~8m,其间距不大于 4m。

过梁 指设在建筑物的门、窗、门洞等洞口上的梁,用以支承上面的墙体或楼板及 屋面板等传来的荷重。在一般民用建筑中常见的过梁有砖砌平拱式过梁、弧拱式 过梁、钢筋砖过梁及预制钢筋混凝土过梁等几种。(l)平拱式过梁,是用整块砖 立砌或侧砌成对称于中心而倾向两边的拱, 高度为 1 砖或 1 砖半, 厚度等于墙厚。 (2)弧拱过梁,构造与平拱式的基本相同,所不同的是外形为圆弧形。(3)钢筋混 凝土过梁, 这种过梁能承受较大的荷载, 用于宽度较大或有集中荷载的门窗沿口, 适用于各种材料的墙体,较常用,可以现浇,也可以预制。(4)钢筋混凝土预制 过梁,可以单独使用,也可以组合使用,视墙厚而决定。

圈梁 圈梁又称过梁,是指沿房屋外墙四周及横墙设置的连续封闭的梁。一般有钢 筋混凝土圈梁、钢筋砖圈梁等。对于 2~3 层的房屋,圈梁一般放在房屋的檐口部 分;4~5 的层房屋,可以在 2~3 层间增设一道;还有把圈梁放在基础面上做法。具 体设置均由设计规定。圈梁的具体作用是增强房屋的刚度和整体稳定性,使墙受 力均匀,减少不均匀沉降而引起的墙身开裂。
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柱 指主要承受轴间压力和弯矩的长条型构件。一般为竖直的,用以支承梁、屋 架、楼板等。檐下最外一列称为檐柱。檐柱以内的称为金柱。山墙正中一直到屋 脊的称为山柱。在纵中线上,立在山墙内上面顶着屋脊的是中柱。立在梁上,上 下不着地,作用与柱相同的称为童柱,也称瓜柱。柱通常用木材、砖石、钢材、 钢筋混凝土等制成。

防风柱 防风柱是指支持房屋山墙以承受风荷载的柱子。因建筑房屋时所使用的材料 不一,使防风柱的构造各异。用砖石结构的建筑物,如厂房、学校、仓库等通常 用砖砌壁柱作防风柱;对于有围护砖墙的钢筋混凝土结柄的建辄喻,如工业「荫、 展览馆、科研楼等,则用钢筋混凝土柱作防风柱为常见。

楼盖 楼盖称楼板层, 是楼屋上下分隔板及顶层盖板的总称。 楼盖应有隔音、 保温、 防水、耐酸、耐碱等性能,并要求坚固、耐久。一个楼盖由结构层(又称承重层)、 面层和平顶(顶棚)组成。结构层主要承受作用于楼盖上的荷载,并且是墙、柱水 平的支撑,因此它是楼盖的主要构件。面层是人和家具及设备等直接与楼盖接触 的部分,要求面层坚固、耐磨、平整、光洁。平顶应平整、美观。

无梁楼盖
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无梁楼盖是指没有横直梁的楼板层。这种楼板不用梁,直接联结柱和墙。当 楼面活荷载较大(一般大于 500kg/mz)、板跨度在 6m 以内时,无梁楼盖较单向板 肋楼盖经济。无梁楼盖的顶棚平整,采光、通风及卫生条件较好。它适用于多层 厂房、仓库、商场等房屋的楼盖。

楼极层 楼板层通常是指楼地层的一种,是属于楼房建筑中水平方向的承重构件。楼 板层按房间层高将整个建筑空间分为若干部分,楼板层承受着家具、设备和人体 的重量,并把这些荷载传给墙或柱,同时还对墙起着水平支撑的作用。楼板层应 做到牢固、耐久、光洁,并且有防火、保温、隔音等性能。

层高 层高是指房屋地板面或本层楼板面至上层楼板面之间的垂直高度。层高减去 楼板厚度称为净高或净空。按照《国务院关于严格控制城镇住宅标准的规定》中 的规定,住宅层高按 2.8m 计算,如采用 2.8m 以下(不含 2.8m)层高时,其所节约 的投资,可作为增加建筑面积之用,但每户增加数最多不超过 3m2。

阳台 房屋向外凸出敞开三面墙或不凸散开一面墙供住户沐浴阳光、眺望室外等活 动的场所称之阳台。凸出墙外的叫凸阳台,又称眺台;不凸出墙外、只敞开一面 的叫凹阳台。阳台宽 120~140m,长 240~33Om。阳台有现浇钢筋混凝土和预制钢 筋混凝土两种。阳台外边要有栏杆或栏板以保证人们活动的安全。无论现浇或预
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制都必须与圈梁或压梁钢筋连接好,保证绝对平衡,不能倾覆。阳台板面抹灰找 出坡度, 下雨时可使雨水流出, 但抹灰厚度不能超过设计要求, 一般为 0.3cm 厚。 阳台要计算面积。

平台 楼房建筑体中没有上盖并高于层外地面之平面结构为平台。平台可供住户纳 凉、休葱、晾衣物等活动之用。平台可以在楼层顶部,也可以在腰部或底部。平 台不计算建筑面积。

楼梯 楼梯是指房屋各层之间的竖向通道。即使在多层或高层房屋中使用电梯等升 降设备,它仍然是必不可少的。楼梯-般由梯段、休息平台以及栏杆和扶手等部 分组成。为了满足使用要求,楼梯应便于人上下通行、搬运家具和物品;在发生 紧急事故(如火灾)时,人能安全、迅速疏散;楼梯的结构应安全、可靠、方便, 具有一定的耐火性能。楼梯的类型,按用途分主要有楼梯、辅助楼梯、安全楼梯 及消防楼梯等。按使用材料分有钢筋混凝土楼梯、钢楼梯及木楼梯。按建筑布置 分有单跑楼梯、双跑楼梯、三跑楼梯、双分双合式楼梯。按结构特点分有板式楼 梯和梁式楼梯等。楼梯的宽度,通常不小于 110~120cm。

走道 走道也称通道,指联系房间、门厅和疏散人流的通道。从房间的联系考虑, 走道的宽度应满足人的通行和搬运家具的需要。其参考宽度如下:住宅走道为
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lOO~12Ocm;教学楼走道为 180(一侧有教室)~240cm(两侧有教室);医院走道为 240~30Ocm;剧场走道大于 300cm 。从防火和安全疏散角度考虑,走道不宜过长, 从房间到楼梯间或外间的最大距离, 学校、 医院一般为 35m, 其他民用建筑为 40m, 托儿所、幼儿园为 25m。走道通常不计算使用面积,有顶盖的外走道则应计算建 筑面积。

屋架 屋架是指建筑物中支承屋面的承重结构。通常屋架搁置在房屋纵向外墙或柱 墩上,使建筑有一较大的使用空间。屋架一般按照房屋的开间为相等间距排列, 房屋开间的选择与建筑平面以及立面设计都有关系,大量民用建筑通常采用 3~4.5m;大跨度建筑可达 6m 或更多。屋架类型主要有:中杆式屋架、豪华式屋架、 三支点屋架、四支点屋架、钢筋混凝土屋架等。

托架 托架是指在建筑物中,当柱距超过屋架间距时,在两柱间设置的用以承托屋 架的构件。托架通常用预应力混凝土制作和钢制作。建筑跨度小于 12m 时,可用 梁作为托架。

檩 檩是屋顶结构中支承橡子或屋面板的承重构件。一般横向搁置在屋架间、山 墙间,或屋架和山墙间,也有悬臂檩条。多用木制,又称桁条,一般为方形或圆 形。用钢筋混凝土制作的,称为次梁。
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椽 椽是屋顶结构中设置在檩条上的木条, 分成方形和圆形两种, 上面装订望板, 或铺设其他垫层。

顶棚 顶棚是屋顶或楼板底加以抹灰或其他装修的表面层。为了起遮蔽、保暖、隔 热、防尘、隔音等作用,有的还用板条、搁宿、钢丝网、胶合板、塑料板等做悬 吊层(吊顶)。

龙骨 龙骨也称搁栅或楞木。支承木地板、楼板或顶棚的主梁(大龙骨)及次梁(小 龙骨),或拼装隔墙的骨架。常用木方或弯曲薄壁型钢制作。

屋脊 屋脊是两个坡屋顶相交形成的一条隆起的棱脊。水平的称平脊,斜向的称斜 脊。如四坡顶中,有一条平脊,四条斜脊。

屋顶 屋顶又称屋盖,是建筑物的顶部结构。它通常由屋面、屋顶承重结构、保温 层或隔热层以及顶棚等组成。屋顶有坡屋顶、曲屋顶和平屋顶之分。其中坡屋顶 是由层面和屋架组成。屋面用以防御风、雨、雪的侵蚀和太阳的辐射,屋架支于
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墙或柱上,并将自重及屋面的荷载传至墙或柱。屋顶应坚固、耐久、防渗漏,并 具有保温、隔热性能。屋顶是整个建筑物外观的组成部分,设计时应注意造型美 观。

屋顶分类 屋顶主要分三类:按屋顶构造分,有天棚屋顶和无天棚屋顶;按耐火程度分, 有耐火屋顶和可燃性屋顶;按屋顶形式分有单曲面屋顶(如筒形屋顶、锥形屋顶)、 双曲面屋顶(如穹窿、双曲拱等)、平屋顶、斜屋顶(如单坡、双四坡、多坡、歇 山、拆腰等)。

平屋顶 平屋顶通常是接近水平之屋顶造型。屋顶高度与跨度之比小于 1210 者称为 平屋顶。平屋顶施工,有铺筑保温层和面层两工序。应按施工规范施工,否则, 容易造成屋面漏水,室内顶棚结露,屋顶起不到防水、隔热、保温的作用。施工 的顺序是:先将保温层铺筑在结构基层上,而后铺筑面层。结构基层有钢筋混凝 土基层和木基层两种。钢筋混凝土基层可用各种预制空心板或现浇混凝土板;木 基层一般在木阁棚上铺设木板、竹笆、芦席、苇泊等,也可用钢筋混凝土小梁代 替木阁栅。

坡屋顶 在房屋建筑中,坡屋顶是由一些倾斜屋面相互交接而成,支承结构常用山墙 或屋架。坡屋顶的结构和平屋顶的结构有显著的不同。民用建筑坡屋顶常用木结
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构承重,用瓦防水或屋架下设吊顶或在瓦下面设保温层,解决保温问题。木结构 承重,是指铺设在屋架上面的擦条、橡条及屋面板等。防水瓦,主要有粘土平瓦、 水泥平瓦、碳化砂平瓦、煤肝石平瓦等多种。屋顶坡度大小一般用屋顶的跨度与 高度之比来表示,或用斜面与水平面的夹角来表示。

刚性防水屋面 用刚性防水材料做成的屋面。指在屋面结构层上以防水水泥砂浆或现浇细石 混凝土等刚性材料做防水面层的屋面。它一般是预制混凝土屋面板上或层面保温 层上配置一层直径 3~4mm 的钢筋网,然后浇捣混凝土,并设置分格缝。这种屋面 常由于温度引起的热胀冷缩及材料本身干缩开裂导致屋面渗漏,结构变形也易将 屋面撕裂渗水,只适应结构刚度较好的房屋或工程。

柔性防水屋面 柔性防水屋面也称卷材屋面、油毡屋面,一般用于钢筋混凝土平屋顶上。如 在该屋面板上刷上沥青胶等胶结材料,将油毡、玻璃布等卷材粘结在结构层上, 形成一个良好的防水层。它具有较好的不透水性,目前使用较普遍。但防水层的 肢结材料及油毡等卷材, 在长期冷热交替作用下容易发生伸缩, 又受阳光、 空气、 水分的长期作用,因而防水层容易老化,由软变硬发脆。

天沟

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指建筑屋面上用以引泄雨水的沟槽。它由毗邻的两个屋顶相交或屋顶与墙面 相交而形成。因房屋的构型不同,斜向的称为斜沟,在檐头处的称为檐沟。它多 采用轻质并耐水的材料制作,通常有镀钵铁皮、石棉水泥瓦和玻璃钢等数种。

泛水 设置在建筑物上的排水斜坡。 如屋面与山墙、 女儿墙、 高低屋面之间的立墙、 烟囱下端、变形缝下部的交接处,均应设置泛水。

隔热层 指建筑物中为减少或避免外界阳光直射或辐射影响室温所采取的设施。通常 有如下隔热措施:(1)住宅建筑的东西向窗户(尤其是西窗),宜有适当遮阳措 施;(2)减少东西向墙,即采取南北向长、东西向短的建筑单元,要减少阳光对墙 体的辐射影响;(3)采用热工件性能好的材料做成隔热外墙和屋顶,提高墙体和屋 顶的隔热性能刊的对外墙与屋顶的外表层,用白色或浅色的光滑材料,或刷白灰 水均能增强对阳光辐射热的反射,以达到隔热目的。

天篷 指天井的上盖物。如将其进行改装成房间使用时,应计算房屋使用面积。

内墙 指位于房屋内部的墙体,用于分隔建筑内部空间。它除承重外,还能增加建 筑物的坚固、稳定和刚性。非承重的内墙称为隔墙。
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外墙 指房屋四周的墙体。每间房屋两则的墙称山墙。外墙应有抵抗雨水、风雪、 寒暑及太阳辐射的作用。外墙可分为勒脚、墙身、檐口三个部分。勒脚设在外墙 外面与地面相接处;檐口为外墙与屋顶连接部件。

挡土墙 指为有效预防土体自然滑坡或坍塌的构筑物。它主要起着承受土的侧压力及 挡土墙附近地面上的荷载作用。如公路旁所筑的挡土墙、堆放在砂石材料所筑的 挡土墙等。挡土墙通常用砖石浆砌而成,也有用钢筋、混凝士浇灌而成。挡土墙 通常分为四种,即重力式、悬臂式、扶臂式及锚杆式。

混水墙 指在墙体表面上用水泥砂浆粉刷或用其他材料贴墙面,加以保护和装饰的 墙,通称为海水墙。反之,称为清水墙。

清水墙 混水墙的对称。墙的表面不加粉刷或贴面料。墙身通常用石灰或水泥砂浆勾 缝,以防风雨侵人受潮、裂变,并使墙面外部整洁、美观.
按房屋建筑结构分类 1.钢结构 是指承重的主要构件是用钢材料建造的,包括悬索结构。 2.钢、钢筋混凝土结构 是指承重的主要构件是用钢、钢筋混凝土建造的。 包括薄壳结构、大模板现浇结构 及使用滑模、升板等建造的钢筋混凝土结构的建筑物。

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3.混合结构 是指承重的主要构件是用钢筋混凝土和砖木建造的。如一幢房屋的梁是用钢筋混凝土制成,以 砖墙为承重墙,或者梁是用木材建造,柱是用钢筋混凝土建造。 4.砖木结构 是指承重的主要构件是用砖、木材建造的。如一幢房屋是木制房架、砖墙、木柱建造的。 5.其他结构 是指凡不属于上述结构的房屋都归此类。如竹结构、砖拱结构、窑洞等。

立体几何 100 题(附答案)
立几面测试 001
一、选择题 1、以下命题(其中 a,b 表示直线,?表示平面) ①若 a∥b,b??,则 a∥? ③若 a∥b,b∥?,则 a∥? 其中正确命题的个数是 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 ) ②若 a∥?,b∥?,则 a∥b ④若 a∥?,b??,则 a∥b ( )

2、已知 m,n 为异面直线,m∥平面?,n∥平面?,?∩?=l,则 l( (A)与 m,n 都相交 (B)与 m,n 中至少一条相交 (C)与 m,n 都不相交(D)与 m,n 中一条相交 3、已知 a,b 是两条相交直线,a∥?,则 b 与?的位置关系是 ( A、b∥? B、b 与?相交 C、b ? α



D、b∥?或 b 与?相交 )

4、A、B 是直线 l 外的两点,过 A、B 且和 l 平行的平面的个数是( (A)0 个 (B)1 个 (C)无数个

(D)以上都有可能 )

5、直线 a∥平面?,点 A∈?,则过点 A 且平行于直线 a 的直线(

(A)只有一条,但不一定在平面?内 (B)只有一条,且在平面?内 (C)有无数条,但都不在平面?内 (D)有无数条,且都在平面?内

6、直线 a,b 异面直线, a 和平面?平行,则 b 和平面?的位置关系是( )

(A)b?? (B)b∥? (C)b 与?相交 (D)以上都有可能

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7、梯形 ABCD 中 AB//CD,AB ? 平面α ,CD ? 平面α ,则直线 CD 与平面α 内的直线的位置关系只能是 ( ) (B)平行和异面 (C)平行和相交 ( ) (D)异面和相交

(A)平行

8、下列命题中,真命题的个数是

①a∥b,a,b 异面,则 b、c 异面 ②a,b 共面,b、c 异面,则 a、c 异面③a,b 异面,a、c 共面,则 b、 c 异面④a,b 异面,b、c 不相交,则 a、c 不相交 A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、4 个

二、判断下列命题的真假 9、过平面外一点只能作一条直线与这个平面平行( ) ) ) 都平行 ( )
D A B C

10、若直线 l??,则 l 不可能与平面?内无数条直线都相交(

11、若直线 l 与平面?不平行,则 l 与?内任何一条直线都不平行( 12、过两异面直线 a,b 外一点,可作一个平面与 a,b 三、填空题 13、ABCD-A1B1C1D1 是正方体,过 A、C、B1 三点的平面与 的交线为 l,则 l 与 AC 的位置关系是 。
D1 A1

底 面 A1B1C1D1

14、已知 P 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱 DD1 上任意一点, 12 条棱中,与平面 ABP 平行的是 三、解答题 15、已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E、F 分别为 AB、PD 的中点,求证:AF∥平面 PEC P 。
B1

C1

则在正方体的

A B C

D

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16、 、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 BC、C1D1 的中点 求证:EF∥平面 BB1D1D
A D B C

D1 A1 B1

C1

17、 已知异面直线 a,b 的公垂线段 AB 的中点为 O,平面?满足 a∥?,b∥?,且 O??,M、N 是 a,b 上 的任意两点,MN∩?=P,求证:P 是 MN 的中点

A a O B N b P M

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立几面测试 001
参 一、1- 8 ACDDBDBA 二、9、× 10、× 三、13、平行 11、× 12、× 考 答 案

14、DC、D1C1、A1B1

四、15、证明:设 PC 的中点为 G,连接 EG、FG ∵ F 为 PD 中点 ∵ ∴ ∴ AB∥CD GF∥AE EG∥AF AB=CD GF=AE ∴ ∴ GF∥CD 且 GF= E 为 AB 中点 四边形 AEGF 为平行四边形 EG ? 平面 PEC

1 CD 2

AF ? 平面 PEC

∴ AF∥平面 PEC 16、证明:连接 AC 交 BD 于 O,连接 OE,则 OE∥DC ∵ DC∥D1C1 ∴ OE∥D1F ∴ EF∥D1O DC=D1C1 OE=D1F ∴ F 为 D1C1 的中点 四边形 D1FEO 为平行四边形 EG ? 平面 BB1D1D OE=

1 DC 2

EF ? 平面 BB1D1D

∴ EF∥平面 BB1D1D 17、证明:连接 AN 交平面 ? 于 Q,连接 OQ、PQ ∵ A? b ∴ ∴ A、b 可确定平面 β 由 b∥? 得 BN∥OQ ∴ Q 为 AN 的中点

?∩?=OQ

∵ O 为 AB 的中点 同理 PQ∥AM

故 P 为 MN 的中点

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立几面测试 002
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1、点 P 在直线 a 上,直线 a 在平面 α 内可记为( ) A、P∈a,a ? α B、P ? a,a ? α C、P ? a,a∈α D、P∈a,a∈α 2、直线 l 是平面 α 外的一条直线,下列条件中可推出 l∥α 的是( ) A、l 与 α 内的一条直线不相交 B、l 与 α 内的两条直线不相交 C、l 与 α 内的无数条直线不相交 D、l 与 α 内的任意一条直线不相交 3、空间四点 A、B、C、D 共面,但不共线,则下面结论成立的是( ) A、四点中必有三点共线 B、四点中必有三点不共线 C、直线 AB 与 CD 必相交 D、AB∥CD 或 BC∥DA 4、已知正方形 ABCD 中,S 是所在平面外一点,连接 SA,SB,SC,SD,AC,BD,在所有的 10 条直线 中,其中异面直线共有( ) A、8 对 B、10 对 C、12 对 D、16 对 5、在空间中,l,m,n,a,b 表示直线,α 表示平面,则下列命题正确的是( ) A、若 l∥α,m⊥l,则 m⊥α B、若 l⊥m,m⊥n,则 m∥n C、若 a⊥α,a⊥b,则 b∥α D、若 l⊥α,l∥a,则 a⊥α 6、 在四面体 ABCD 中, AB=BC=CD=DA=AC=BD, E, F 分别为 AB, CD 的中点, 则 EF 与 AC 所成角为( ) A、90°B、60°C、45°D、30° 7、在长方体 ABCD-A`B`C`D`中,∠AB`B=45°,∠CB`C`=60°,则∠AB`C 的余弦值为( ) A、

3 6

B、

2 6

C、

6 3

D、

6 4

8、A,B,C,D 四点不共面,且 A,B,C,D 到平面 α 的距离相等,则这样的平面有( ) A、1 个 B、4 个 C、7 个 D、无数个 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 9、 在空间四边形 ABCD 中, E, H 分别是 AB, AD 的中点, F, G 为 CB, CD 上的点, 且 CF∶ CB=CG∶ CD=2∶ 3, 2 若 BD=6cm,梯形 EFGH 的面积 28cm ,则 EH 与 FG 间的距离为 。 10、 三个平面α ,β ,γ 将空间分成七部分, 且α ∩β =a, β ∩ γ = b, 则 a 与 b 的位置关系为 。 11、a,b 为异面直线,且 a,b 所成角为 40°,直线 c 与 a,b 均异面,且所成角均为 θ,若这样的 c 共有四条, 则 θ 的范围为 。 三、解答题(共 45 分,14、14、17) 12、已知正方体 ABCD-A`B`C`D`中,E,F 分别是 A`B`,B`C`的中点。 求证:EF∥面 AD`C。 C` D` A` F E B`

D A B

C

13、已知 PA⊥正方形 ABCD,PA=AB=2,M,N 为 BC,CD 中点,
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⑴求 C 到面 PAM 的距离,⑵求 BD 到面 PMN 的距离。 P

A B O M

H F N C

D

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立几面测试 002
一、选择题 ADBCDCDC 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 9、 在空间四边形 ABCD 中, E, H 分别是 AB, AD 的中点, F, G 为 CB, CD 上的点, 且 CF∶ CB=CG∶ CD=2∶ 3, 2 若 BD=6cm,梯形 EFGH 的面积 28cm ,则 EH 与 FG 间的距离为 8cm 。 10 、三个平面α , β , γ 将空间分成七部分,且 α ∩ β =a , β ∩ γ =b ,则 a 与 b 的位置关系为 平 行 。 11、a,b 为异面直线,且 a,b 所成角为 40°,直线 c 与 a,b 均异面,且所成角均为 θ,若这样的 c 共有四条, 则 θ 的范围为 (70°,90°) 。 三、解答题(共 45 分,14、14、17) 12、已知正方体 ABCD-A`B`C`D`中,E,F 分别是 A`B`,B`C`的中点。 求证:EF∥面 AD`C。 C` D` 证明:连 A`C`,由 E,F 分别为 A`B`,B`C`的中点 F A` 则 EF∥A`C`, B` E 又∵A`C`∥AC, ∴EF∥AC ∵AC ? 面 AD`C D C ∴EF∥面 AD`C A 13、已知 PA⊥正方形 ABCD,PA=AB=2,M,N 为 BC,CD 中点, ⑴求 C 到面 PAM 的距离,⑵求 BD 到面 PMN 的距离。 解:延长 AM,作 CE⊥AM 于 E ∵PA⊥正方形 ABCD, P ∴PA⊥CE } CE⊥面 PAM ∵CE⊥AM ∵AB=2,BM=1,CM=1 A H ∴AM= 5 , B

D N C

∴CE=

AB 2 5 ? CM = AM 5

B

O M

F

∴C 到平面 PAM 的距离为

2 5 5

连 AC 交 BD 于 O,交 MN 于 F,连 PF,过 O 作 OH⊥PF ∵M,N 为 BC,CD 中点, ∴MN∥BD ∴BD∥平面 PMN, ∴O 到平面 PMN 的距离即为 BD 到平面 PMN 的距离。 ∵BD⊥AC,MN∥BD ∵PA⊥面 ABCD ∴MN⊥AC, ∴PA⊥MN ∴MN⊥平面 PAC ∴MN⊥OH } OH⊥面 PMN ∵OH⊥PF

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∵PA=2,AC=2 2 ,AF=

3 2 2 ,OF= 2 2

∴PF=

34 2

∴OH=

PA 2 17 ? OF = PF 17

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立几面测试 003
一、选择题 1.异面直线是指 (A) 在空间内不能相交的两条直线 (B) 分别位于两个不同平面的两条直线 (C) 某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 (D) 不可能在同一平面内的两条直线 2.已知 a、b 是两条异面直线,直线 c 平行与直线 a,那么 c 和 b (A) 一定是异面直线 (C) 不可能是平行直线 (B) 一定是相交直线 (D) 不可能是相交直线 ( ) ( ) ( )

3.已知 a、b、c 均是直线,则下列命题中,必成立的是 (A) 若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c (B) 若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 也相交 (C) 若 a//b,b//c,则 a//c (D) 若 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则 a 与 c 也是异面直线 4.已知异面直线 a、b 分别在平面α 、β 内,且α ∩β =c,那么直线 c (A) 一定与 a、b 交于同一点 (B) 至少与 a、b 中的一条相交 (C) 至多与 a、b 中的一条相交 (D) 一定与 a、b 中的一条平行,而与另一条相交 5.下列命题中,正确的是 (A) 一条直线和两条平行直线中的一条直线相交,则必与另一条直线相交 (B) 一条直线和两条平行直线中的一条直线能确定一个平面

(

)

(

)

(C) 一条直线和两条平行直线中的任何一条直线无公共点,那么这三条直线互相平行 (D) 一条直线和两条平行直线中的一条直线是异面直线,且与另一条直线无公共点,则必与另一条直线也 是异面直线 6.和两条异面直线都相交的两条直线是 (A) 平行直线 (B) 异面直线 (C) 相交直线(D) 异面直线或相交直线 7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,12 条棱互成异面直线的对数有
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(

)

(

)

(A) 48 对

(B) 36 对

(C) 24 对

(D) 12 对 ( )

8.分别平行于两条异面直线的两条直线的位置关系是 (A) 异面直线 (C) 相交直线 9.若θ 是两条异面直线所成的角,则 (A) ? ? (0, ? ] (C) ? ? [0, (B) ? ? (0, (D) ? ? (0, (B) 平行直线 (D) 异面直线或相交直线

(

)

?
2

]

?
2

]

?

2


( )

10.已知 a 和 b 是成 60?角的两条异面直线,则过空间一点且与 a、b 都成 60?角的直线共有 (A) 1 条 (B) 2 条 (C) 3 条 (D) 4 条 (

11.在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的所有面对角线中,与 AB 1 成异面直线且与 AB 1 成 60?的有 (A) 1 条 (B) 2 条 (C) 3 条 (D) 4 条

)

12.已知点 A 是△BCD 所在平面外的一点,且△ABC,△ACD,△BCD 均是边长为 a 的正三角形,若记异面直 线 AD,BC 间的成角为θ ,距离为 d,则 (A) ? ? 60 ?, d ? ( (B) ? ? 60?, d ? )

1 a 2 1 a 2

2 a 2 2 a 2

(C) ? ? 90 ?, d ? 二、填空题

(D) ? ? 90?, d ?

13.在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,下列两直线成角的大小是: (1) A 1 A 和 B 1 C 1 成角_________.A 1 C 1 和 AB 成角__________. (2) A 1 C 1 和 D 1 C 成角_________.A 1 C 1 和 BD 成角__________. 14.在长方体 ABCD- A 1 B 1 C 1 D 1 中,∠BAB 1 =∠B 1 A 1 C 1 =30?,则 (1) AB 与 A 1 C 1 成角________.AA 1 与 B 1 C 成角_______. (2) AD 1 与 B 1 C 成角_________.AB 1 与 D 1 C 成角________. 15.在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,E、F 分别为棱 AB、CC 1 的中点,则异面直线 EF 与 A 1 C 所成角的大小是 _______________.

第 三十九 页 共 三十九 页

三、解答题 16.已知:直线 l//直线 m,直线 n 与 l 是异面直线,且 n 与 m 不相交,求证:m、n 是异面直线.

17.已知空间四边形 ABCD 的四条边均为 10,对角线 BD=8,AC=16,求异面直线 AC 与 BD 间距离.

18.在空间四边形 ABCD 中,对角线 AC=BD,P、Q、R、S 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点,求证:PR⊥QS.

立几面测试 003
参考答案

一、选择题 1.D 7.C 2.C 8.D 3.C 9.B 4.B 10.C 5.D 11.D 6.D 12.D

二、填空题 13. (1)90? (2)45? (3)60? (4)90? 14. (1)30? (2)45? (3)90? (4)60? 15.arccos

2 3

三、解答题 16.题示:用反证法.
第 四十 页 共 四十 页

17.2 5 . 18.提示:证明 PRQS 为菱形.

第 四十一 页 共 四十一 页

立几面测试 004
一.选择题: 1.直线a和平面? 都垂直于同一平面,那么直线a和平面? 的位置关系是( (A)相交 (B) 平行 (C)线在面内 (D)线在面内或平行 2.直线a和平面? 都与同一直线平行,那么直线a和平面? 的位置关系是( (A) 平行 (B)线在面内 (C)线在面内或平行 (D)线面相交 3.直线L//平面 ? , ? ? ? ,那么L和平面? 的位置关系是( ) 。 (A) 线在面内 (B)平行 (C)相交 (D) (A) , (B) , (C)中的情况都有可能 4.若a,b是两条平行直线,且都不垂直与平面 ? ,那么a,b在平面 ? 内的射影为( ) 。 (A)两条平行线 (B)相交的两直线 (C)两条平行线或同一直线 (D)相交的两直线或同一直线 5.相交的两直线都是平面 ? 的斜线,那么这两斜线在平面 ? 的设影是( ) 。 (A)同一直线 (B)相交的两直线 (C)两条平行直线 (D)一直线或两相交直线 6.若三个平面把空间分成6个部分,那么这三个平面的位置关系是( ) 。 (A)三个平面共线 (B)有两个平面平行且都与第三个平面相交 (C)三个平面共线或两个平面平行且都与第三个平面相交 (D)三个平面两两相交 7. 有下面几个问题: (1) 若a//平面 ? ,b ? a,则平面 ? ? b. (2) 若a//平面 ? ,平面 ? ? 平面? , 则a ? 平面? .(3) 若a,b是两平行线,b ? 平面 ? ,则a// ? .(4)若平面 ? ? 平面? ,平面 ? ? 平面? ,则平面 ? //平面 ? 。其中不正确的 命题个数是( ) 。 (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 8.有下面几个问题: (1)两点可以确定一条直线。 (2)过三点必有一个平面。 (3)空间存在四点不在 同一平面内。 (4)一直线上有两点在平面 ? 内,则其上第三点必在平面 ? 内。其中正确的命题个数是( ) 。 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 9.A为直二面角 ? - l - ? 的棱上的一点,两条长度都是a的线段AB,AC分别在平面 ? ,平面? 内,且都 与 l 成 45? 角则BC的长是( ) 。 (A)a (B) 3 a (C)a或 3 a (D)a或 5 a ) 。 ) 。

10.一直线和两条相交直线都相交,那么它们所确定的平面的个数是( ) 。 (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D)1或3 11.已知直线 l 与平面α 成30°角,则在α 内( ) 。 (A)没有直线与 l 垂直 (B)至少有一条直线与 l 平行 l C D ( )一定要无数条直线与 异面 ( )有且只有一条直线与 l 共面 12.在同一平面内射影长相等的两条线段的关系是( ) 。 (A)如果有一个公共端点,它们必等长 (B)如果等长,则必有一个公共端点 (C)如果平行,它们必等长 (D)如果等长,它们必平行 13.对于下列判断,正确的是( ) 。

第 四十二 页 共 四十二 页

(A)两条异面直线所成的角的范围是[0, (B)斜线与平面所成的角的范围是[0, (C)二面角的取值范围是[0,

?] 2

?] 2

?] 2 ?, ? ?] 直线b ? α ,a∩b=φ , 则a与b所成的角的取值范围 是[ , 4 4 2

(D)若直线与平面α 所成的角为

14.已知异面直线a、b成80°角,在空间里取一点,过这点能作与a、b都成60°角的直线的条数是( ) 。 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 15.在空间四边形ABCD中,若AB=CD,BC=AD,AC=BD,则∠BAC+∠CAD+∠DAB的大小是( ) 。 (A)180° (B)90° (C)小于180° (D)在区间[90°, 180°]内 二.填空题: 16.AB是异面直线a,b的公垂线段,AB=2cm,a,b所成的角为 90? ,A、C ?a, B、D ?b, AC=4cm, BD=4cm,那 么C、D间的距离是 。 17.三个平面两两垂直,那么它们的交线共有 条。这些交线的相互关系是 。 18.两个平面 ? , ? 都与第三个平面 ? 相交,那么它们的交线的条数是 。 19.若长为2的线段MN是异面直线a,b的公垂线段,A,M ?a,B,N ?b, AM=6,BN=8, AB=2 14 , 那么异面直线a,b所成的角是 。

20.一条长为4cm的线段AB夹在直二面角 ? -EF-? 内,且与 ? , ? 分别成 30? , 45? 角,那么A、B两点在 棱EF上的射影的距离是 。 21.夹在直二面角 ? -MN- ? 内的线段PQ(P,Q ?MN)与 ? ,? 所成的角分别为 ?1 , ? 2 ,则 ?1 ? ? 2 应满足 的条件是 。 22.已知点P不在异面直线a,b上,那么过P点可作 条直线分别与 a,b构成异面直线。 23.已知二面角 ? -MN-? 是 60? ,P ?? ,PQ ? ? 于Q,且PQ=6cm,则Q到 ? 的距离是 。 24.A,B是平面 ? 外的两点,它们在平面 ? 内的射影分别是 A1 , B1,若A1A=3,BB1=5, A1B1=10,那么线段AB 的长是 。 25. AB=2BC, AB和平面 ? 所成的角为 ? , 那么 ? = 若BC//平面 ? , 度 ? ABC中, ? B= 90?, 时, ? ABC在平面 ? 内的射影是等腰直角三角形。 三.解答题: 26.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1、O2、O3分别是面AC、面B1C、面CD1的中心,求直线A1O1与直线 O2O3所成的角。

第 四十三 页 共 四十三 页

立几面测试 004
数学练习答案 一.选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 C 5 D 6 C 7 A 8 D 9 C 20. 2 10 D 21 11 C 12 C 13 D 14 A 15 A 22. 无数

二.填空题 16. 6 17. 3;两两垂直 23. 3 24.

18. 1 或 2 或 3 25 . 60°

19. 60 °

0°<θ 1+θ 2<90°

2 26或2 41

三.解答题 26. 90°

第 四十四 页 共 四十四 页

立几面测试 005
一、选择题(每题 5 分) 1. △ABC 所在平面α 外一点 P 到三角形三顶点的距离相等, 那么点 P 在α 内的射影一定是△ABC 的 ( A、外心 B、内心 C、重心 D、以上都不对 2.设直线 a 在平面 M 内,则平面 M 平行于平面 N 是直线 a 平行于平面 N 的( ) A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件 3.设α ,β 是两个不重合的平面,m 和 l 是两条不重合的直线,α ∥β 的一个充分条件是( ) A、 l ? ? ,m ? ? ,且 l ∥ ? ,m ∥ ? B、 l ? ? ,m ? ? ,且 l ∥ m C、 l ? ? ,m ? ? ,且 l ∥ m D、 l ∥? ,m ∥ ? ,且 l ∥ m 4.若 a,b 表示直线,α 表示平面,下列命题中正确的个数是(
a?? ? ? ? b ∥? a?b ? a ∥? ? ③ ? ? b?? a?b ? ① ② a ∥? ? ? ? b?? a?b ? a?? ? ④ ? ? a?b b???





A、1 个

B、2 个

C、3 个

D、4 个


5. 若直线 a ? b 且 a ∥平面? ,则直线 b 与平面? 的位置关系是( A、 b ? ? B、 b ? ?

C、 b ∥? 或b ? ? D、 b与? 相交或b ∥? 或b ? ?

6.若空间四边形两条对角线的长度分别是 6 和 8,所成角是 45°,则连接各边中点所得四边形的面积是 ( ) A、 24 2 B、 12 2 C、 6 2 D、12

7.已知直线 l1,l 2 与平面? ,有下列命题:①若l1 ∥? ,l1 ∥l 2,则l 2 ∥?
② 若l1 ? ? ,l 2 ? ? ? A,则 l1,l 2 为异面直线 ③ l1 ? ? ,l 2 ? ? ,则l1 ∥ l 2 ④ 若 l1 ? l 2,l1 ∥ ? ,则 l 2 ∥ ? ,其中真命题的个数有( )

A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个 8.M 点不在异面直线 a,b 上,下面判断正确的是( ) A、 过 M 点一定有一条直线与 a,b 都平行 B、过 M 点一定有一个平面与 a,b 都平行 C、过 M 点一定有一条直线与 a,b 都垂直 D、过 M 点一定有一个平面与 a,b 都垂直 9. 已知 a, b, c, d 是四条不重合的直线, 其中 c 为 a 在平面α 上的射影, d 为 b 在平面α 上的射影, 则 ( A、 c ? d ? a ? d B、 a ? b ? c ? d C、 c ∥ d ? a ∥ b D、 a ∥ b ? c ∥ d



10.在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1、BB1 的中点,那么直线 AM 与 CN 所 成的角的余弦值是( ) A、
3 2

B、

10 10

C、

3 5

D、

2 5

第 四十五 页 共 四十五 页

二、填空题(每题 5 分) 11.如图,矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,若在 BC 上只有一个点 Q 满足 PQ⊥DQ,则 a 的值等于 。
P A B Q C D

12.两条异面直线所成的角为θ ,则θ 的取值范围是



13.如图所示,棱锥 P—ABCDE 的十条棱中共有
P

对异面直线。

A B

E C

D

14.如图 PA⊥⊙O 所在平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,E、F 分别是点 A 在 PB、PC 上的射影, 给出下列结论:① AF ⊥ PB ② EF ⊥ PB ③ AF ⊥ BC ④ AE ⊥平面 PBC ,其中真命题的序号 是 。
P F E A C B

三、解答题: 15.
在长方体ABCD? A1 B1C1 D中,BC ?
D A D1 A1 B1 B C1 C

2 15 ,CD ? ,DD1 ? 5 ,求A1C和B1 D1所成 的角的大小。 2 2

16.在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, (1)画出过 A、C、B1 的平面与下底面的交线 L; (2)求 L 与直线 AC 的距离。
第 四十六 页 共 四十六 页

A B C

D

B1

A1 C1

D1

17.在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,F 是 CC1 的中点,O 为下底面的中心,求证:A1O⊥平面 BDF。
D1 A1 D A B1 C1 F C B

O

18.已知四棱锥 P—ABCD,底面 ABCD 是平行四边形,且 M、N 分别在 PA 和 BD 上,且 PM∶MA=BN∶ ND,求证:MN∥平面 PBC。
P M D A N B C

第 四十七 页 共 四十七 页

19.已知三棱锥 P—ABC 中,PA=PB,CB⊥平面 PAB,PM=MC,AN=3NB。 (1)求证明:MN⊥AB; (2)当∠APB=90°,BC=2,AB=4 时,求 MN 的长。
C M B N P A

20.ABCD 为直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,AB=BC=a,AD=2a,PA⊥平面 ABCD,PA=a, (1)求证:PC⊥CD; (2)求点 B 到直线 PC 的距离。
P

A B C

D

第 四十八 页 共 四十八 页

立几面测试 005
答案 1.A 8.C 2.A 9.D 3.C 10.D 4.B 11.2 5.D 6.C
2

7.B 13.15 14.①、②、④

? (0, ] 12.

15.解:
易证 B1 D1 ∥ BD 在面 ABCD内过C 作 CE ∥ BD ,连结 A1 E, 则 ?A1CE 是异面直线 A1C 与 B1 D1 所成的角(的补角) CE ? DB ? ( 2 2 15 2 17 )? ( ) ? 2 2 2

D1

C1 B1 C B

A1 D A

2 2 A1 E ? ( 5 ) ? ( 15 ) ?2 5

2 2 15 2 37 2 A1C ? ( )? ( )? ( 5) ? 2 2 2 17 37 ? ? 20 13 4 ? cos ?A1CE ? 4 ?? 17 37 629 2 2 2 ? A1C 与 B1 D1 所成的角为 arccos 13 629 629

D1 A1 D A B

C1 B1 C E

16.解:
D A
( 1 )在面 A1B1C1 D1 中过 B1作 l ∥ A1C1, 即为面 ACB1与下底面的交线 事实上: AC ∥ A1C1 ? ? AC ? 面 A1B1C1 D1 ? A1C 1 ? 面 A1B1C1 D1 ? ? AC ∥ 面 A1B1C1 D1 ? ? ? AC ? 面 ACB1 ? 面 ACB1 ? 面 A1B1C1 D1 ? C ? ? ? AC ∥ l ? ? ? A1C1 ∥ l A1C1 ∥ AC ?

C B

D1 A1 B1

C1

l

第 四十九 页 共 四十九 页

(2)由 ( 1 ) l ∥ AC 知 l 与 AC间距离等于点 B1到 AC 的距离,等于正△ACB1的高 即 3 6 ? 2a ? a 2 2

17.证明:
取DC中点G,连接D1G 由正方体知 A1 D1 ? 面 CD1于D1,OG ? 面 CD1于G ? D1G 是 A1O 在面 CD1上的射影 在正方形 CDD1C1中,G、F 分别是 CD、CC1的中点 易证 DF ? D1G ? A1O ? DF ( 1 ) 连结 AO,则 AO ? BD A1 A ? 面 ABCD 于 A ? AO 是 A1O 在面 AC 上的射影 ? A1O ? BD (2) 结合 ( 1 ) 、 (2) 及DF ? BD ? D ? A1O ? 面 DBF

D1 A1 D A O G B B1

C1 F C

过 M 作 ME ∥ AB 交 PB 于 E 过 N 作 NG ∥ CD 交BC 于G,连结EG ME ∥ AB ? ME PM ? ? AB PA ? ? NG BN ? NG ∥ CD ? ? ? CD BD ? PM BN PM BN ? ? ? ? MA ND PA BD ? ? ? A ? ? ? ? ? ? ? ?

P

M

E

D

C N B G

? 18.证明: ? ME ? NG ? AB CD ? ? ME ? NG 又底面ABCD是平行四边形 ? AB∥ CD? ? ME ∥ AB ? ME ∥ CD ? ? ? ? ? ME ∥ NG AB ∥ CD ? NG ∥ CD ? ? MEGN 是平行四边形 又 ? ? ? EG ? 面PBC ? ? MN ∥ 面PBC MN ? 面PBC? ? MN ∥ EG

19.证明:

第 五十 页 共 五十 页

( 1)取BP中点G,AB中点H,连MG,PH、GN . CB ? 面 PAB ? ? ? CB ? BA AB ? 面 PAB ? M、G 分别是 PC、PB 中点 ? MG ∥ BG ? ? ? AB ? MG CB ? AB ? PA ? PB ? ? ? PH ? AB H 为 AB中点 ? AN ? 3NB ? BN ? NH ? ? 又 G 为 PB 中点 ? ? NG ∥ PH ? ? ? NG ? AB PH ? AB ? ①、② 结合及 MG ? NG ? G ? AB ? 面MNG ? ? ? AB ? MN MN ? 面MNG ? ①

C M B G P N H A



(2)由 ( 1 ) 中结论及 BC ? 2 ? MG ? 1 GN ? 1 1 PH ? AB ? 1 2 4

? MN ? MN 2 ? GN 2 ? 2

20.证明:
P
( 1 )连结 AC, 在直角梯形 ABCD中易求 AC ? 2 a,CD ? 2 a ? AC 2 ? CD 2 ? AD 2 ? AC ? CD 又PA ? 面 ABCD 于 A ? AC是PC在面ABC上的射影 ? CD ? PC 即 PC ? CD

A a B

2a C

D

(2)在Rt△PAB中,PA ? AB ? a ? PB ? 2 a 在Rt△PAB中,PA ? a,AC ? 2 a ? PC ? 3a 又 BC ? a ? PB 2 ? BC 2 ? PC 2 ? ?PBC ? 90? 令 B 到 PC 的距离为 h 1 1 则 PC ? h ? PB ? BC 2 2 ? h? 2a ? a 3a ? 6 a 3 6 a. 3

即 B 到直线 PC 的距离为

第 五十一 页 共 五十一 页

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立几面测试 006
一 选择题(本题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1. A,B,C 为空间三点,经过这三点( ) A.能确定一个平面或不能确定平面 B.可以确定一个平面 C.能确定无数个平面 D.能确定一个或无数个平面 2.下面四个命题正确的命题个数是( ) ①平行于同一条直线的两条直线平行; ②过直线外一点和这条直线平行的直线有且只有一条; ③和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线; ④一条直线和两条平行线的一条相交,那么它也和另一条相交。 A. 1 B.2 C. 3 3.如图 1-1 所示的水平放置的平面图形的 直观图,所表示的图形 ABCD 是( ) A.任意梯形 B.直角梯形 C.任意四边形 D.平行四边形 O 4.下面四个命题中错误命题的个数是( ①没有公共点的两条直线是异面直线; ) A ( 图 1-1) D x D.4 B y C

②平面内一点与平面外一点的连线和平面内的直线是异面直线; ③和同一条直线都是异面直线的两条直线是异面直线; ④和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 )

5.若直线 a , b 是异面直线, b 与 c 也是异面直线,则直线 a 与 c 的位置关系是( A.平行或异面 C.异面或相交 B.相交,平行或异面 D.异面

6.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AD,CD 和 CC1 的中点,那么异面直线 EF 和 GH 所成的角是( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 7.两直线 a 与 b 异面,过 a 作平面与 b 平行,这样的平面( ) A.不存在 B.有可能存在也有可能不存在 C.有唯一的一个 D.有无穷多个 8.直线 l 与平面 ? 内的两条直线垂直,那么 l 与 ? 的位置关系是( ) A.平行 B. l ? ? C.垂直 D.不确定 9.设直线 a 在平面 ? 内,则“平面 ? ∥平面 ? ”是“直线 a ∥平面 ? ”的条件( A.充分但不必要 B.必要但不充分 C.充分且必要 D.不充分也不必要 10.如图 2-2 所示,平面 ? ∩平面 ? = l ,点 A, 且 C ? l ,AB∩ l =R,设过点 A,B,C 三点的平
第 五十三 页 共 五十三 页

)

B ? ? ,点 C∈平面 ? 面? ,

则 ? ∩ ? 是(

)

A.直线 CR B.直线 BC C.直线 AC D.以上均不正确 11.空间交于一点的四条直线最多可以确定平面( ) A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 12.空间四边形 ABCD 中,若 AB=BC=CD=DA=AC=BD,E,F, 四边形 EFGH 的形状是( ) A.平行四边形 B.长方形 C.菱形 D.正方形

G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点,则

二.填空题(每题 4 分,共 4 题)
13.过空间一点 O 作与已知直线平行的直线有 条;与已知平面垂直的直线有 条 14.三个不相交的平面把空间分成 部分 15.若两直线 a,b 在平面α 上的射影 a',b'是平行的直线,则 a,b 的位置关系是 . 16.点 A、B 和平面α 的距离分别是 40 ㎝和 70 ㎝,P 为 AB 上一点,且 AP∶PB=3∶7,则 P 到平面α 的距离 是________________。

三. 解答题(5×12 分 + 2×14 分=74 分)
17.已知:平面α ∩平面β =b,直线 a∥α ,a∥β ,求证:a∥b。 a β α b 18.如图,ABCD 是空间四边形,AB=AD,CB=CD A

求证:AC⊥BD

B C 19.两条直线 a , b 异面, a ? 平面 ? , b ? 平面 ? ,且 a ∥ ? , b ∥ ? 求证: ? ∥ ?

D

20.直角三角形 ABC 中,∠A=90?,AB=2AC,Q 为 AB 上一点,QB= PB=PC,求证:PQ⊥BC.
P

5 AC,P 为平面 ABC 外一点,且 4

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B

M

C

Q A

21.已知四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠ DAB=90?,求证:四边形是矩形.

22.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 8,侧棱长为 6,D 为 AC 中点。 (1)求证:直线 AB1∥平面 C1DB; (2)求异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值。 A1 B1 A B C C1

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立几面测试 006

参考答案
1-12. ABBD 13 .0 或 1;1. BCCD 14.四 AACD 15.平行或异面 16. 43 ㎝ 或 7 ㎝ ;

17. 证法 1:(反证法)假定 a、b 异面,任取 B∈b,则 a 与 B 确定平面γ ,且γ ∩α =ι 1,γ ∩β =ι 2,由已知 a∥α ,a ∥β 知 a∥ι 1,且 a∥ι 2,由公理 4 知ι 1∥ι 2,与ι 1∩ι 2=B 矛盾,故假设不成立,∴a∥b。 证法 2:(同一法)任取 B∈b,则 a 与 B 确定平面γ ,且γ ∩α =ι 1,γ ∩β =ι 2,且 B∈ι 1,B∈ι 2。∵a∥α ,a∥β , ∴a∥ι 1,a∥ι 2,由平行公理知ι 1与ι 2重合,即为α 与β 的交线 b,∴a∥b。 证法 3:(直接证法)过 a 作平面γ 1,γ 2,γ 1∩α =c,γ 2∩β =d,∵a∥α ,a∥β ,∴a∥c,a∥d,∴c∥d,∴c∥β (d ? β ) ∴c∥b,∴a∥b。

b 确定平面 ? 交 ? 于 c ,因为 b ∥ ? ,c ? ? , 18. 证明: 在平面 ? 的直线 a 上取一点 A 因为 a 和 b 异面, 所以 A ? b 过 A,
所以 c ∥ b 同理, 在 b 上取一点 B, 过B和a 确 定 平 面

?



? ? ? ? d 可得 d

∥ a 由平行平面的判定

定理可得平面 ? ∥ ?

19.证明:如图,取 BD 中点 E,连结 AE,CE 因为 AB=AD,CB=CD 所以△ABD 和△BCD 都是等 的 中线与高重合所以 AE⊥BD,CE⊥BD 由三垂线 即 AC 在面 BCD 上的射影因为 CE⊥BD,所以 AC⊥BD 20.证明:取 BC 中点 M,连接 PM,QM,令 ∵AB=2AC=2 ,
2

α a δ γ d B b β
AC=1,则 BQ= 定理的逆定理可知 CE

A

c

腰三角形又等腰三角形

5 4



5 3 5 ?3? 2 2 ∴QA=2- = 。 ∴QC= QA ? AC ? ? ? ? 1 = 4 4 4 ?4?
21.证明



∴QC=QB,∴QM⊥BC。又∵PM⊥BC,∴BC⊥平面 PMQ,∴BC⊥PQ. 若四点 A,B,C,D 不在同一平面内,设 A 点在平面 BCD 内的射影(垂足)为 O,则 AO⊥BC,又∵BC⊥AB, ∴BC⊥面 AOB,∴BC⊥OB; 同理 DC⊥OD. BD 但 OB ?
2

? BO2 ? DO2 , BD2 ? AB2 ? AD2 ;

AB, OD ? AD,?OB2 ? OD2 ? AB2 ? AD2 , ∴ BD2 〈 BD 2 ,矛盾.故四点 A,B,C,D 在同一平

面内,即四边形 ABCD 是矩形.

22. 证明: (1)连 B 1 C 交 BC1 于 E,连 DE,
第 五十六 页 共 五十六 页

则 DE∥ AB1 ,

而 DE ? 面 C 1 DB, AB1 ? 面 C 1 DB, ∴ AB1 ∥ 平面C1 DB (2)由(1)知∠DEB 为异 成 的 角 , 在 P C A H D B 面 直 线 AB1与BC1 所

?DEB中,DE ? 5,BD ? 4 3,BE ? 5
cos ?DEB ? 50 ? 48 1 ? 。 2 ? 5 ? 5 25

---------------(2 分) ----------------(2 分)

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立几面测试 007
一、选择题 (12×4=48) 1、若 a ? α, b ? β,α∩β=c,a∩b=M, ,则( A、M∈ c B、M ? c C、M ? c ) D、M ? β ( )

2、点 A 在直线 l 上,l 在平面 α 外,用符号表示正确的是

(A)A∈ l,l ?α (B)A∈ l,l ? α (C)A ? l,l ? α (D)A ? l,l∈ α 3、EF 是异面直线 a、b 的公垂线,直线 l∥ EF,则 l 与 a、b 交点的个数为 A、0 B、1 C、0 或 1 D、0,1 或 2 4、以下四个结论:① 若 a ? α, b ? β,则 a, b 为异面直线; ② 若 a ? α, b ? α,则 a, b 为异面直线;③ 没有公共点的两条直线是平行直线;④ 两条不平行的直线就一定 相交。其中正确答案的个数是 (A)0 个 (B)1 个 ( (C)2 个 ) (D)3 个 ) ( )

5、教室内有根棍子,无论怎样放置,地面上总有这样的直线与棍子所在直线( A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直 D、异面 6、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC 与 B1D 所成的 角为( ) A、

D1 A1 D
A1

C1 B1 C
A1

?
6

B、

? 4


C、

? 3

D、

?
2

7、直线 a 与平面 α 所成的角为 30o,直线 b 在平面 α 内,若 角

A
A1

B
A1

直线 a 与 b 所成的 ( )

?
D、30?≤ ? ≤180?





A、0?< ? ≤30? B、0?< ? ≤90? C、30?≤ ? ≤90? 8、 a, b 是空间两条不相交的直线,那么过直线 b 且平行于直线 a 的平面( ) A、有且仅有一个 B、至少有一个 C、至多有一个 9、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 A1C1 的中点, 则直线 CE 垂直于 ( A、直线 AC C、直线 A1D1 ) D、有无数个

D1 A1 D
A1

E
A1

C1 B1 C
A1

B、直线 B1D1 D、直线 A1A

A
10、已知 P 为△ABC 所在平面 α 外一点,PA=PB=PC,则 P 射影一定是△ABC 的 A、内心 B、外心 ( ) C、垂心 D、重心
A1

B
A1

点在平面 α 内的

A

B
为其上三个点, 则在正方

11、右图是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A、B、C 体盒子中,∠ ABC 等于 ( )

C
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A、45°

B、60°

C、90°

D、120°

12、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1A、 AB 上的点,若∠ NMC1=90° ,则∠ NMB1 A、小于 90° C、大于 90° B、等于 90° D、不能确定 ( )

D1 A1 M
A1

B1 D N
A1

C1

C B

二、填空题(4×4=16 分)

A

13 、平面 α 同侧的两点 A 、 B 到 α 的距离分别为 4 和 6 ,则线段 AB 的中点 M 到 α 平面的距离为 ______________ 14、已知 E、F 分别为棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的中点,则 A1 到 EF 的距离为 15、P 是△ABC 所在平面外一点;PB=PC=AB=AC,M 是线 N 是线段 BC 的中点,则∠MNB=________ 16、在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=3,AA1=4,

D1 A1 D A B1 F E
A1
A1

C1

的棱 BB1、 B1C1

C

段 PA 上一点,

B

则异面直线

AB1 与 A1D 所成的角的余弦值为 三、解答题(56 分) 17、(10 分)已知直线 a 和 b 是异面直线,直线 c∥ a,b 与 c 不相交, 用反证法证明:b、c 是异面直线。

18 、 (10 分 ) 已知 P 为 △ ABC 所在平面外的一点, AB=2,E、F 分别为 PA 和 BC 的中点 (1)求 EF 与 PC 所成的角; (2)求线段 EF 的长
A

P E C F B

PC⊥ AB , PC =

19、(12 分)正方形 ABCD 的边长为 a,MA⊥平面 ABCD, (2)AD 到平面 MBC 的距离

且 MA =a,试求: (1)点 M 到 BD 的距离;

M

A

D

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B

C

20、(12 分)在 P 是直角梯形 ABCD 所在平面外一点,PA⊥ 平面 ABCD,∠ BAD=90° ,AD∥ BC,AB=BC =a,AD=2a, PD 与底面成 30° 角,BE⊥ PD 于 E P 求直线 BE 与平面 PAD 所成的角;
E

A

D C

B

21、(12 分)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P、Q 分别是正方形 AA1D1D 和 A1B1C1D1 的中心。 (12 分) (1)证明:PQ∥ 平面 DD1C1C; (2)求线段 PQ 的长; (3)求 PQ 与平面 AA1D1D 所成的角

D A P D1 A1 Q B1 B

C

C1

立几面测试 007
参考答案 一、ABCAB DCBBB BB

二、13、5

14、

3 2 a 4

15、90°

16、

16 25

17、证明:假设 b、c 不是异面直线,由 b 与 c 不相交得 c∥ b ∵ c∥ a ∴ a∥ b,与 a,b 是异面直线相矛盾 故 b、c 是异面直线 18、解:设 PB 的中点为 G,连接 FG,EG
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则 FG∥ PC 且 FG=

1 1 PC,EG∥ AB 且 EG= AB 2 2

故∠ GFE 为 EF 与 PC 所成的角,∠ EGF 为 PC 与 AB 所成的角 ∵ PC⊥ AB ∴ ∠ EGF=90° 又 EG=GF=1 ∴ ∠ GFE=45° EF= 2

19、解:1)连接 AC 交 BD 于 O,连接 MO,则 AC⊥ BD ∵ MA⊥平面 ABCD ∴ MO⊥BD 即 MO 为点 M 到 BD 的距离 ∵ PA=a AO=

2 a 2



MO= 3 a

2)过 A 作 AH⊥PB 于 H,则 AH 为 AD 到平面 MBC 的距离 在 Rt△ MAB 中,求得 AH=

2 a 2

20、解:1)∵ PA⊥ 平面 ABCD ∴ ∠ PDA 为 PD 与底面所成的角,PA⊥ AB ∵ ∠ BAD=90° ∴ AB⊥ AD ∴ AB⊥ 平面 PAD ∴ ∠ BEA 为 BE 与平面 PAD 所成的角 ∵ BE⊥ PD ∴ AE⊥ PD 在 Rt△ PAD 中,∠ PDA=30° AD=2a ∴ AE=a ∠ BEA=45° 21、1)证明:连接 A1C1,DC1,则 Q 为 A1C1 的中点 ∴ PQ∥ DC1 且 PQ=

1 DC1 2

∴ PQ∥ 平面 DD1C1C 2)解:PQ=

1 2 DC1= 2 2

3)解:∵ PQ∥ DC1 ∴ PQ、DC1 与平面 AA1D1D 所成的角相等 ∵ DC1 与平面 AA1D1D 所成的角为 45° ∴ PQ 与平面 AA1D1D 所成的角为 45°

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立几面测试 008
一、选择题 (12×4=48) 1、若 a ? α, b ? β,α∩β=c,a∩b=M, ,则( A、M∈ c B、M ? c C、M ? c ) D、M ? β ( )

2、点 A 在直线 l 上,l 在平面 α 外,用符号表示正确的是

(A)A∈ l,l ?α (B)A∈ l,l ? α (C)A ? l,l ? α (D)A ? l,l∈ α 3、EF 是异面直线 a、b 的公垂线,直线 l∥ EF,则 l 与 a、b 交点的个数为 A、0 B、1 C、0 或 1 D、0,1 或 2 4、以下四个结论:① 若 a ? α, b ? β,则 a, b 为异面直线; ② 若 a ? α, b ? α,则 a, b 为异面直线;③ 没有公共点的两条直线是平行直线;④ 两条不平行的直线就一定 相交。其中正确答案的个数是 (A)0 个 (B)1 个 ( (C)2 个 ) (D)3 个 ) ( )

5、教室内有根棍子,无论怎样放置,地面上总有这样的直线与棍子所在直线( A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直 D、异面 6、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC 与 B1D 所成的 角为( ) A、

D1 A1 D
A1

C1 B1 C
A1

?
6

B、

? 4

C、

? 3

D、

?
2

7、直线 a 与平面 α 所成的角为 30o,直线 b 在平面 α 内,若 角 为

A
A1

B
A1

直线 a 与 b 所成的 ( )

?





D1 A1 D
A1

A、0?< ? ≤30? B、0?< ? ≤90? C、30?≤ ? ≤90? D、30?≤ ? ≤180?

E
A1

C1 B1 C
A1

8、 a, b 是空间两条不相交的直线,那么过直线 b 且 ( ) A、有且仅有一个 B、至少有一个 C、至多有 9、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 A1C1 的中点, 则直线 CE 垂直于 ( A、直线 AC C、直线 A1D1 )

平行于直线 a 的平面

A
A1

B
A1

一个

D、有无数个

B、直线 B1D1 D、直线 A1A

10、已知 P 为△ABC 所在平面 α 外一点,PA=PB=PC,则 P 点在平面 α 内的射影一定是△ABC 的 A、内心 B、外心 C、垂心 D、重心

(

)

11、右图是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A、B、C 体盒子中,∠ ABC 等于 ( )

A

B

为其上三个点, 则在正方

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C

A、45°

B、60°

C、90°

D、120°

12、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1A、 AB 上的点,若∠ NMC1=90° ,则∠ NMB1 A、小于 90° C、大于 90° B、等于 90° D、不能确定 ( )

D1 A1 M
A1

B1 D N
A1

C1

C B

二、填空题(4×4=16 分)

A

13 、平面 α 同侧的两点 A 、 B 到 α 的距离分别为 4 和 6 ,则线段 AB 的中点 M 到 α 平面的距离为 ______________ 14、已知 E、F 分别为棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的中点,则 A1 到 EF 的距离为 15、P 是△ABC 所在平面外一点;PB=PC=AB=AC,M 是线 N 是线段 BC 的中点,则∠MNB=________ 16、在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=3,AA1=4, AB1 与 A1D 所成的角的余弦值为 三、解答题(56 分) 17、(10 分)已知直线 a 和 b 是异面直线,直线 c∥ a,b 与 c 不相交, 用反证法证明:b、c 是异面直线。 18、 (10 分)已知 P 为△ ABC 所在平面外的一点, PC⊥ AB, E、F 分别为 PA 和 BC 的中点 (1)求 EF 与 PC 所成的角; (2)求线段 EF 的长
A F P E C

D1 A1 D A B1 F E
A1
A1

C1

的棱 BB1、 B1C1

C

段 PA 上一点,

B

则异面直线

PC = AB = 2 ,

19、 (12 分)正方形 ABCD 的边长为 a, MA⊥平面 ABCD, 求: (1)点 M 到 BD 的距离; (2)AD 到平面 MBC

B

且 MA =a,试 的距离

M

A

D

B
P

C
ABCD , ∠ BAD = 90°,

20、(12 分)在 P 是直角梯形 ABCD 所在平面外一点,PA⊥ 平面
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E

A

D C

B

AD∥ BC,AB=BC=a,AD=2a, PD 与底面成 30° 角,BE⊥ PD 于 E (1)求直线 BE 与平面 PAD 所成的角;

21、(12 分)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P、Q 分别是正方形 AA1D1D 和 A1B1C1D1 的中心。 (12 分) (1)证明:PQ∥ 平面 DD1C1C; (2)求线段 PQ 的长; (3)求 PQ 与平面 AA1D1D 所成的角

D A P D1 A1 Q B1 B

C

C1

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立几面测试 008
参考答案 一、ABCAB DCBBB BB

二、13、5

14、

3 2 a 4

15、90°

16、

16 25

17、证明:假设 b、c 不是异面直线,由 b 与 c 不相交得 c∥ b ∵ c∥ a ∴ a∥ b,与 a,b 是异面直线相矛盾 故 b、c 是异面直线 18、解:设 PB 的中点为 G,连接 FG,EG 则 FG∥ PC 且 FG=

1 1 PC,EG∥ AB 且 EG= AB 2 2

故∠ GFE 为 EF 与 PC 所成的角,∠ EGF 为 PC 与 AB 所成的角 ∵ PC⊥ AB ∴ ∠ EGF=90° 又 EG=GF=1 ∴ ∠ GFE=45° EF= 2

19、解:1)连接 AC 交 BD 于 O,连接 MO,则 AC⊥ BD ∵ MA⊥平面 ABCD ∴ MO⊥BD 即 MO 为点 M 到 BD 的距离 ∵ PA=a AO=

2 a 2



MO= 3 a

2)过 A 作 AH⊥PB 于 H,则 AH 为 AD 到平面 MBC 的距离 在 Rt△ MAB 中,求得 AH=

2 a 2

20、解:1)∵ PA⊥ 平面 ABCD ∴ ∠ PDA 为 PD 与底面所成的角,PA⊥ AB ∵ ∠ BAD=90° ∴ AB⊥ AD ∴ AB⊥ 平面 PAD ∴ ∠ BEA 为 BE 与平面 PAD 所成的角 ∵ BE⊥ PD ∴ AE⊥ PD 在 Rt△ PAD 中,∠ PDA=30° AD=2a ∴ AE=a ∠ BEA=45° 21、1)证明:连接 A1C1,DC1,则 Q 为 A1C1 的中点 ∴ PQ∥ DC1 且 PQ=

1 DC1 2

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∴ PQ∥ 平面 DD1C1C 2)解:PQ=

1 2 DC1= 2 2

3)解:∵ PQ∥ DC1 ∴ PQ、DC1 与平面 AA1D1D 所成的角相等 ∵ DC1 与平面 AA1D1D 所成的角为 45° ∴ PQ 与平面 AA1D1D 所成的角为 45°

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立几面测试 009
掌握二面角、二面角的平面角的概念;掌握作二面角的平面角的三种基本方法: (1)棱上一点——双垂线法,即定义法; (2)面上一点——三垂线法,关键找出连结两个面上两点且垂直于其中一个面的线段,再利用三垂线 定理或三垂线定理的逆定理作出证明; (3)空间一点——垂面法,即作出与棱垂直的平面.求解二面角的大小问题,常常转化为求解二面角的 平面角的大小问题,将空间问题转化为平面问题来求解,这是一种数学的基本思想和方法.掌握利用面积射 影定理求二面角的方法. 一、选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 1.二面角是指( ) A.两个平面所组成的角 B.经过同一直线的两个平面所成的图形 C.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 D.两个平面所夹的不大于 90°的角 2.从二面角的棱上一点,在两个半平面上各作一条射线所成的角中( ) A.二面角的平面角最大 B.二面角的平面角最小 C.二面角的平面角是最大还是最小,由二面角是否大于 90°决定 D.二面角的平面角既非最大,也非最小 3.已知正方形 ABCD, 沿对角线 AC 将△ADC 折起, 设 AD 与平面 ABC 所成的角为β , 当β 取最大值时, 二面角 B—AC—D 等于( ) A.120° B.90° C.60° D.45° 4.四面体 ABCD 的四个面全等,且 AB=AC= 3 ,BC=2,则以 BC 为棱,以面 BCD 与面 BCA 为面的二 面角的大小为( A.arccos
1 3

) B.arccos
3 3

C.

? 2

D.

2? 3

5.在直角坐标系中,设 A(3,2) ,B(-2,-3) ,沿 y 轴把直角坐标平面折成 120°的二面角后,AB 长为( ) A.2 3 B.2 11 C. 6 D.4 2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 1.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,二面角 D1—AC—D 的正切值是________. 2.已知α —l—β 二面角的度数是 60°,面α 内一点 A 到棱 l 的距离为 2 3 ,则 A 到面β 的距离为 ________. 3.正方形 ABCD,P 是正方形所在平面外一点,PA⊥平面 AC,且 PA=AB,则二面角 A—PD—C 的度数 为________,二面角 B—PA—D 的度数为________,二面角 B—PA—C 的度数为________,二面角 B—PC —D 的度 数为________. 4.在 60°的二面角α —l—β 的面α 内一点 A 到面β 的距离为 3 ,A 在β 上的射影为 A′,则 A′到面α 的 距离为________;异面直线 AA′、l 间的距离为________.
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5.菱形 ABCD 的对角线 AC= 3 ,沿 BD 把面 ABD 折起与面 BCD 成 120°的二面角后,点 A 到面 BCD 的距离为________. 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分) 1.在二面角α —l—β 中,A、B∈α ,D∈l,ABCD 为矩形,P∈β ,PA⊥α ,且 PA=AD,M、N 依次是 AB、 PC 的中点, (1)求二面角α —l—β 的大小; (2)求证:MN⊥AB; (3)求异面直线 PA 与 MN 所成角的大小. 2.长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长 AB= 3 ,AA1=1,截面 AB1C1D 为正方形. (1)求点 B1 到平面 ABC1 的距离; (2)求二面角 B—AC1—B1 的正弦值. 3.四面体 M—ABC 中,MC⊥平面 ABC,∠BAC=90°,MC=4,AC=3,AB=4,求二面角 A—MB—C 的余弦值.

4.如图,边长为 20 的正△ABC 顶点 A 在平面α 内,B、C 在平面α 同侧,且 B、C 到α 的距离分别是 10 和 5,求△ABC 所在平面和α 所成的二面角的大小.

5.如图,二面角 M—CD—N 的度数为α ,A 为 M 上一点,B 为 N 上一点,CD 在棱上,且 AB⊥CD,又 AB 与平面 N 成 30°角,若△ACD 的面积为 S,求α 为何值时,△BCD 的面积最大,其最大面积是多少?

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立几面测试 009
参考答案 一、选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 1. 2 2.3 3.90° 90° 45° 120° 4.
3 2

1 5.

3 4

三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分) 1.(1)解:连结 PD ∵PA⊥α ,AD⊥l,∴PD⊥l ∴∠PDA 是二面角α —l—β 的平面角.

由 PA=AD,有∠PDA=45°. 故二面角α —l—β 的大小为 45°. (2)证明:取 CD 的中点为 E,连结 ME、NE,则 EM∥AD,EN∥PD, ∴CD⊥ME,CD⊥NE, ∴CD⊥平面 MNE,又 AB∥CD ∴AB⊥平面 MNE,故 AB⊥MN. (3)解:取 PD 中点为 Q,连结 QA、QN,则 QN ∴QNMA 是平行四边形. ∴AQ∥MN ∴∠PAQ 是异面直线 PA 与 MN 所成的角. ∵△PAD 为等腰直角三角形,AQ 为斜边上的中线, ∴∠PAQ=45° 即 PA 与 MN 所成的角的大小为 45°. 2.解: (1)如图,
1 CD,而 AM 2 1 CD. 2

∵棱长 AB= 3 , AA1=1, AB1C1D 是正方形, ∴B1C1=AB1=2
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∵AB⊥平面 BB1C1C. ∴平面 ABC1⊥平面 BB1C1C. 作 B1H⊥BC1 于 H,则 B1H⊥平面 ABC1, ∴B1H 为点 B1 到平面 ABC1 的距离. 在 Rt△BB1C1 中 ∵BB1·B1C1=BC1·B1H. ∴B1H=
BB1 ? B1C1 1? 2 2 ? ? 5. BC1 1? 4 5

(2)作 HO⊥AC1,垂足为 O,则 B1O⊥AC1 ∴∠HOB1 是二面角 B—AC1—B1 的平面角,又 O 是正方形 AB1C1D 的对角线交点, ∴sinB1OH=
B1 H 10 ? B1O 5

3.解:如图,作 AE⊥MB,CF⊥MB,则异面直线 AE、CF 所成的角等于二面角 A—MB—C 的平面角.

∵AC=3,MC=4,AM=5,AB=4. ∴BC=5,MB= 41 ∵∠MAB=90°,AE= BE=
2

20 41

,CF=
2

20 41

AB 16 MC 16 ? ? ,MF= . MB MB 41 41

∴EF=MB-MF-BE= 41 -

16 41

×2=

9 41

由公式 AC= d 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos? 得 cosθ =
EF 2 ? AE 2 ? CF 2 ? AC 2 16 . ? 2 AE ? CF 25

4.解:设 BD、CE 是点 B、C 到平面α 的距离,则 BD⊥α ,CE⊥α ,BD=10,CE=5,由直线与平面垂直的 性质,得 BD∥CE, ∴B、D、E、C 共面. ∵BD≠CE,∴BC、DE 必相交, 设交点为 F,∵DF ? α ,∴F∈α , ∵BC ? 平面 ABC ∴F∈平面 ABC, ∴F 是平面 ABC 和平面α 的又一公共点. ∵A 是平面 ABC 和平面α 的公共点, ∴平面 ABC∩平面α =AF, 在△BDF 中,∵BD∥CE,BD=2CE,∴CF=BC. 又∵△ABC 为正三角形 ∴CF=AC,∠ACF=120°
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∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=60°+30°=90°. 由三垂线定理的逆定理,得 DA⊥AF. ∴∠BAD 是△ABC 和平面α 所成的二面角的平面角. 在 Rt△ABD 中,AB=20,BD=10, ∴∠BAD=30°, ∴△ABC 所在平面和α 所成的二面角的大小为 30°. 5.解:过 A 作 AO⊥平面 N 于 O,连 BO,BO 或 BO 的延长线交 CD 于 E,连 AE.

∵CD⊥AB ∴CD⊥BE ∴CD⊥AE. ∴∠AEB=α 是二面角的平面角. 且∠ABO=30° ∵△ACD 面积为 S,设 AE=h,CD=
2S . h

在△ABE 中,∠AEB=α ,∠ABO=30°,则∠BAE=150°-α . 由正弦定理
1 2
h sin(150? ? ? ) h BE ,BE= ? sin 30? sin 30? sin(150? ? ? )

S△BCD= CD·BE= ·

1 2

h sin(150? ? ? ) 2S · =2Ssin(150°-α ). h sin 30?

当α =60°时,S△BCD=2S 为最大.

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立几面测试 010
一、选择题(本题每小题 5 分,共 60 分)
1.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为( A.3 A.相交 B.异面 B.1 或 2 C.平行 C.1 或 3 D.相交或异面 ( ) D.2 或 3 2如果 a 和 b 是异面直线,直线 a ∥ c ,那么直线 b 与 c 的位置关系是 )

3.下列命题中正确的是 面直线

A.若平面 M 外的两条直线在平面 M 内的射影为一条直线及此直线外的一个点,则这两条直线互为异 B.若平面 M 外的两条直线在平面 M 内的射影为两条平行直线,则这两条直线相交 C.若平面 M 外的两条直线在平面 M 内的射影为两条平行直线,则这两条直线平行 D.若平面 M 外的两条直线在平面 M 内的射影为两条互相垂直的直线,则这两条直线垂直 4.在正方体 A1B1C1D1—ABCD 中,AC 与 B1D 所 C. 成的角的大小为 ( )

?
3

D.

? 2
都是 45°,那么这两条直线在平面α ( )

5.相交成 60°的两条直线与一个平面α 所成的角 内的射影所成的角是

A. 90° B.45° C.60° D.30° 6.如图:正四面体 S-ABC 中,如果 E,F 分别是 SC,AB 的中点, 那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于 ( A.60° B. 90° C.45° D.30 )
E C F B A S

7.PA、PB、PC 是从 P 点引出的三条射线,每两条夹角都是 60°, 那么直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是 ( A. )

3 3

B.

2 2

C.

6 3

D.

1 2
19 4
P

8.Rt△ABC 中,∠B=90°,∠C=30°,D 是 BC 的中点,AC=2,DE⊥平面 ABC, 且 DE=1,则点 E 到斜边 AC 的距离是 ( )

5 11 7 B. C. 2 2 2 9.如图,PA⊥矩形 ABCD,下列结论中不正确的是( A. PD⊥BD B.PD⊥CD C.PB⊥BC D.PA⊥BD
A. 10.若 a, b 表示两条直线, ? 表示平面,下面命 A.若 a⊥ ? , a⊥b,则 b// ? B.若 a// ? , a⊥b,则 b⊥α C.若 a⊥ ? ,b ? ? ,则 a⊥b D.若 a// ? , b// ? ,则 a//b 10.如图,是一个无盖正方体盒子的表面展开
第 七十三 页 共 七十三 页

D. )

D O C B

A

题中正确的是

图,A、B、C 为

其上的三个点,则在正方体盒子中,∠ABC 等于 ( ) A.45° B.60° C.90° D.120° 12.如果直角三角形的斜边与平面 ? 平行,两条直角边所在直线与平面 ? 所成的角分别为? 1和? 2 ,则 ( ) A. sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? 1 B. sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? 1 C. sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? 1 二、填空题(本题每小题4分,共16分) 13 . 在 长 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中 , AB = BC = 3 , AA1 = 4 , 则 异 面 直 线 AB1 与 A1D 所 成 的 角 的 余 弦 值 为 . 14.已知△ABC,点 P 是平面 ABC 外一点,点 O 是点 P 在平面 ABC 上的射影, (1)若点 P 到△ABC 的三 个顶点的距离相等,那么 O 点一定是△ABC 的 ; (2)若点 P 到△ABC 的三边所在直线的 距离相等且 O 点在△ABC 内,那么 O 点一定是△ABC 的 . 15.如果平面 ? 外的一条直线 a 与 ? 内的两条直线垂直,那么 a 与 ? 位置关系是 16.A,B 两点到平面 ? 的距离分别是3cm,5cm,M 点是 AB 的中点,则 M 点到平面的距离是 三、解答题:(本大题满分 74). 18、 (12 分) A1 D1 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点,求证: D. sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? 1

BDE 。 AC 1 // 平面

B1

E

C1

A

D C
P

B 19. (12 分) AB 是⊙O 的直径,C 为圆上一点,AB=2,AC=1, P 为⊙O 所在平面外一点,且 PA⊥⊙O, PB 与平面 (1)证明:BC⊥平面 PAC ; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离. 20.(12 分) A 是△ BCD 所在平面外的点,∠ BAC= ∠ CAD= ∠ AC=AD=2. (1)求证:AB⊥CD; (2)求 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值.

所成角为 45

C A O B

DAB=60 ° , AB=3 ,

21(14 分) 如图,已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是 AB, PC 的中点 (1)求证:EF∥平面 PAD;
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(2)求证:EF⊥CD; (3)若?PDA=45?,求 EF 与平面 ABCD 所成的角的大小. P

A E B 22、 . (本小题满分 12 分) 正方体 ABCD-A′B′C′D′棱长为 1. (1)证明:面 A′BD∥面 B′CD′; (2)求点 B′到面 A′BD 的距离. A′

F

D

C

D′

C′ B′

D A B

C

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立几面测试 010 答卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 D 5 A 6 C 7 A 8 D 9 A 10 C 11 B 12 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. arccos

16 25

14.外心、内心

15.平行或相交

16. 4cm 或 1cm

三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 17.(12 分) 证明:∵A、B、C 是不在同一直线上的三点
∴由 A、B、C 确定一个平面 ? , 又? AB ? ?

? P, 且AB ? ?

?点P既在?内又在?内, 设? ? ? ? l , 则p ? l. 同理可证: Q ? l , R ? l ? P, Q, R三点共线 .

18、证明:连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO , ∵ E 为 AA1 的中点, O 为 AC 的中点

AC 交 BD 于 O ,连接 EO , ∴ EO 为三角形 A 1 AC 的中位线 20、证明:连接
∵ E 为 AA1 的中点, O 为 AC 的中点∴ EO 为三角形 A 1 AC 的中位线 ∴ EO // AC 1 又 EO 在平面 BDE 内, A1C 在平面 BDE 外

BDE 。 ∴ AC 1 // 平面
19. (14 分)解: (1)∵PA⊥平面 ABC ∴PA⊥BC ∵AB 是⊙O 的直径,C 为圆上一点∴BC⊥AC ∴BC⊥平面 PAC (2)过 A 作 AD⊥PC 于 D∵BC⊥平面 PAC,BC ? 平面 PBC ∴PAC⊥PBC,PC 为交线 ∴AD⊥平面 PBC ∴AD 即为 A 到平面 PBC 的距离. 依题意,∠PBA 为 PB 与面 ABC 所成角,即∠PBA=45°∴PA=AB=2,AC=1, 可得 PC= 5 ∵AD×PC=PA×AC
2 5 ? 5 5 20.(12 分) 解(1)∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°, AC=AD=2,AB=3, ∴△ABC≌△ABD,BC=BD. 取 CD 的中点 M,连 AM、BM,则 CD⊥AM,CD⊥BM. ∴CD⊥平面 ABM,于是 AB⊥BD. (2)过 A 作 AO ? BM 于 O,∵CD⊥平面 ABM,∴CD⊥AO,∴AO⊥面 BCD, ∴BM 是 AB 在面 BCD 内的射影,这样∠ABM 是 AB 与平面 BCD 所成的角.

∴AD=

2 ?1

?

2 5 , 5

即 A 到平面 PBC 的距离为

在△ABC 中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,? BC ? AB2 ? AC2 ? AB ? AC ? 7 . 在△ACD 中, AC=AD=2,∠CAD=60°,∴△ACD 是正三角形,AM= 3 .

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在 Rt△BCM 中,BC= 7 ,CM=1,? BM ?

2 AB ? BM 3 21.(12 分) 证:连 AC,设 AC 中点为 O,连 OF、OE P (1)在△PAC 中,∵ F、O 分别为 PC、AC 的中点 ∴ FO∥PA ????① 在△ABC 中, ∵ E、O 分别为 AB、AC 的中点 ∴ EO∥BC ,又 A ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD ????② F 综合①、②可知:平面 EFO∥平面 PAD E O ∵ EF ? 平面 EFO ∴ EF∥平面 PAD. C B (2)在矩形 ABCD 中,∵ EO∥BC,BC⊥CD ∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA,PA⊥平面 AC ∴ FO⊥平面 AC ∴ EO 为 EF 在平面 AC 内的射影 ∴ CD⊥EF. ∥1 BC,FO ∥1 PA (3)若?PDA=45?,则 PA=AD=BC ∵ EO = =2 2 ∴ FO=EO 又 ∵ FO⊥平面 AC ∴ △FOE 是直角三角形 ∴ ?FEO=45?
22.(12 分) (1)证明:∵A’D∥B’C,DB∥D’B’ 又∵A’D∩DB=D,B’C∩D’B’=B’ ∴面 A’BD∥面 B’CD’ (2)解法一:易知 B′ 到平面 A′ BD 的距离 d 等于 A 到平面 A′ BD 的距离, 且△A′ BD 为等边三角形 1 1 由 VA '? ABD ? VA? A ' BD 可知 S ?ABD ? AA? ? S ?A?BD ? d 3 3

2 2 2 6 .? cos?ABM ? AB ? BM ? AM ? 6 .

D

1 3 3 3 ∴d ? , S ?A?BD ? ? BD2 ? 2 4 2 3 解法二:易知 B′ 到面 A′ BD 的距离 d 等于 A 到面 A′ BD 的距离 沿 A′ BD 截下三棱锥 A-A′ BD,易知是一个正三棱锥 过 A 作 AF⊥A′ BD,则 AF 即为 A 到平面 A′ BD 的距离 如右图,DE 为 A′ B 的中线,且 F 为△A′ BD 的中心
解得 S ?ABD ?

A D A' F E B

2 2 3 6 DF ? DE ? ? ? BD ? , AF ? AD 2 ? DF 2 ? 1 ? ( 6 ) 2 ? 3 3 3 2 3 3 3
即 A 到平面 A′ BD 的距离为

3 . 3

临汾公路分局 工程师:姚建新 2014-05-01

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