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万有引力知识点总结


万有引力定律及其应用专题
一、开普勒行星运动定律 1.开普勒第一定律 所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆, 太阳处在所有椭圆的一个焦点上。 这就是开普勒第一定律, 又称椭圆轨道定律。 2.开普勒第二定律 对于每一个行星而言,太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。这就是开普勒第二定律, 又称面积定律。 3.开普勒第三定律 所以行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的

二次方的比值都相等。这就是开普勒第三定律,又称周

期定律。若用 a 表示椭圆轨道的半长轴,T 表示公转周期,则 ▲疑难导析

(k 是一个与行星无关的常量) 。

1.开普勒第一定律告诉我们行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在它的一个焦点上由第一定律 出发,行星运动时,轨道上出现了近日点和远日点。由第二定律可以知道,从近日点向远日点运动时,速

率变小,从远日点向近日点运动时速率变大。由第三定律知道 关。 2.开普勒定律的应用

,而 k 值只与太阳有关,与行星无

(1)行星的轨道都近似为圆,计算时可认为行星做匀速圆周运动,这时太阳在圆心上,第三定律为

(2)开普勒定律不仅适用于行星,也适用于卫星,若把卫星轨道近似看作圆,第三定律公式为

,这时

由行星决定,与卫星无关。

当天体绕不同的中心星球运行时,

中的 值是不同的。

(3)对于椭圆轨道问题只能用开普勒定律解决。卫星变轨问题,可结合提供的向心力和需要的向心 力的关系来解决。

二、万有引力定律: (1687 年)

F ?G

m1 m2 r2

适用于两个质点或均匀球体;r 为两质点或球心间的距离;G 为万有引力恒量(1798 年由英国物理学 家卡文迪许利用扭秤装置测出) G ? 6.67 ?10?11 N ? m 2 / kg 2 ▲疑难导析 重力和万有引力 重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的;万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力 的合力。 如图所示, 产生两个效果:一是提供物体随地球自转所需的向心力;二是产生物体的重力。由于

,随纬度的增大而减小,所以物体的重力随纬度的增大而增大,即重力加速度从赤道到两极

逐渐增大;但

一般很小,在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等,即



用来计算星球表面的重力加速度。 在地球同一纬度处,g 随物体离地面高度的增加而减小,因为物体所受万有引力随物体离地面高度的

增加而减小,即



说明:



不仅适用于地球也适用于其他星球。

在赤道处,物体的

分解的两个分力

和 mg 刚好在一条直线上,则有



三、万有引力定律的应用 1.解题的相关知识: (1)在高考试题中,应用万有引力定律解题的知识常集中于两点:

4? 2 Mm v2 m r ? m? 2 r ; 一、天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力,即 G 2 ? m 2 = 2 T r r
二、地球对物体的万有引力近似等于物体的重力,即 G (2)圆周运动的有关公式: ? = 讨论:

2? ,v= ? r。 T

mM 2 =mg 从而得出 GM=R g(黄金变换) R2

①由 G

GM Mm v2 可得: v ? ? m 2 2 r r r
Mm ? m? 2 r 可得: ? ? GM 3 2 r r
2

r 越大,v 越小。

②由 G

r 越大,ω 越小。

Mm ? 2? ? 3 ③由 G 2 ? m? ? r 可得: T ? 2? r r ?T ?
④由 G

GM

r 越大,T 越大。

Mm GM ? ma向 可得: a向 ? 2 r 越大,a 向越小。 2 r r

点评:需要说明的是,万有引力定律中两个物体的距离,对于相距很远因而可以看作质点的物体就是 指两质点的距离;对于未特别说明的天体,都可认为是均匀球体,则指的是两个球心的距离。人造卫星及 天体的运动都近似为匀速圆周运动。 2.常见题型 万有引力定律的应用主要涉及几个方面: (1)测天体的质量及密度: (万有引力全部提供向心力)

Mm ? 2? ? 由 G 2 ? m? ? r r ?T ?
4 3 又 M ? ?R ? ? 3

2

得M ?

4? 2 r 3 GT 2

3?r 3 得? ? GT 2 R 3

(2)行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题: (重力近似等于万有引力) 表面重力加速度:? G

Mm GM ? mg 0 ? g 0 ? 2 2 R R

轨道重力加速度:?

?R ? h ?

GMm
2

? m gh ? g h ?

?R ? h?2

GM

(gh 应理解成向心加速度)

(3)人造卫星、宇宙速度:

①.人造卫星 地球对周围物体有引力作用,通常情况下抛出的物体总要落回地面的,但当物体抛出时的初速度足够 大时物体就永远不会落到地面上,而绕地球旋转,成为一颗绕地球运动的人造地球卫星. ②.三种宇宙速度 (1)第一宇宙速度 人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须的速度,叫做第一宇宙速度,它既是发射速度又是 环绕速度. 设卫星绕地球做匀速圆周运动,地球的质量为 M,卫星运动的速率为 v,卫星到地心的距离为 r,是 万有引力提供卫星做圆运动的向心力.所以有:

G

M?m v2 ? m r r2 GM r (1)

v?


由(1)式可知,当卫星的轨道半径 r 越大,它环绕的速率就越小.但发射速率就越大,因轨道半径越 大发射时克服地球引力做功越多. 当 r ? R 0 ( R 0 为地球半径, g 0 为地球表面的重力加速度).时有:

mg 0 ? G

M?m 2 R0
v2 R0

mg 0 ? m

3 3 ∴ v ? R 0 g 0 ? 6400 ? 10 ? 9.8 ? 7.9 ? 10 m / s

我们把 v=7.9km/s 称为第一宇宙速度,也是卫星环绕地球运动的最大环绕速度,是最小的发射速度. (2)第二宇宙速度 当卫星的发射速度大于或等于 11.2km/s 时,就可挣脱地球引力的束缚,成为绕太阳运动的人造行星, 我们把 11.2km/s 叫做第二宇宙速度、也称为脱离速度. (3)第三宇宙速度 要使物体挣脱太阳引力的束缚,飞到太阳系以外的空间去必须使它的速度大于或等于 16.7km/s 这个 速度叫做第三宇宙速度.如图(1)所示.

注意:第二,第三宇宙速度指的是发射速度,而不是环绕地球运动的环绕速度,只有第一宇宙速度既 是发射速度又是环绕速度.

3 ③.人造卫星在不同轨道上环绕地球运动的线速度与轨道半径的平方根成反比,周期与轨道半径的 2
次根成正比。 证明:由地球对卫星的引力提供卫星做圆周运动的向心力,设地球的质量为 M,卫星的质量为 m,轨 道半径分别为 r1 , r2 ,对应的线速度分别为 v1 、 v 2 ,对应的周期分别为 T1 、 T2 .则有:
2 v1 Mm ? m r1 r12 (1)

G?

G?

v2 Mm 2 ? m 2 r2 r2 (2)
1

v1 r ? ( 2 )2 r1 用(1)/(2)得: v 2
结果说明:轨道半径 r 越大,则环绕的线速度越小,因第一宇宙速度对应的轨道半径最小,所以第一 宇宙速度是最大的环绕速度. 又根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力,得出:

G?

Mm 2? ? m( ) 2 ? r1 2 T1 r1 (3)

G

M?m 2? ? m ? ( ) 2 ? r2 2 T2 r2 (4)
3

T1 r ? ( 1 )2 r2 由(4)/(3)得: T2

结果说明:轨道半径越大,则卫星运动的周期 T 越长,第一宇宙速度对应的周期最小大约为 84 分钟. ④.在椭圆轨道上环绕地球运动的卫星机械能是守恒的.如图(2)所示:

卫星在近地点 P 的动能大(速度大)势能小,在远地点 M 动能小(速度小)势能大,但卫星在轨道上 运动时机械能不变. ⑤.同步卫星 同步卫星的周期与地球自转周期相同,在赤道上空,相对地球是静止的,它的轨道位置,高度,环绕 的线速度都是一定的. 求同步卫星的轨道半径大小: 设同步卫星的轨道半径为 r,周期为 T=24×60=1440 分钟.

T0 ?
第一宇宙速度对应的周期

2?R 0 2 ? 3.14 ? 6400 ? 10 3 ? ? 84 v1 7.9 ? 10 3 分钟。

3 利用周期比与轨道半径 2 次根成正比得:
r 2 T ) ? R0 T0
3

(

r?(


T 2 24 ? 60 3 ) ? R0 ? ( ) ? R 0 ? 6.65R 0 T0 84

3

2

距地面高度 h ? r ? R 0 ? 5.65R 0
4 ∴ h ? 5.65 ? 6400km ? 3.6 ? 10 km

高考真题分析
1.两靠得较近的天体组成的系统成为双星,它们以两者连线上某点为圆心做匀速圆周运动,因而不 至于由于引力作用而吸引在一起。设两天体的质量分布为

m1 和 m2 , 则 它 们 的 轨 道 半 径 之 比

Rm1 : Rm2 ?

__________;速度之比

vm1 : vm2 ?

__________。

1. 【答案】

m2 : m1 ; m2 : m1

2.过去几千年来,人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内,行星“51 peg b”的发现拉开了研究 太阳系外行星的序幕。 “51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动,周期约为 4 天,轨道半径约为地球绕 ) D.10 太阳运动半径为 1/20,该中心恒星与太阳的质量比约为( A.1/10 2. 【答案】B B.1 C.5

3.如图,若两颗人造卫星 a 和 b 均绕地球做匀速圆周运动,a、b 到地心 O 的距离分别为 r1、r2,线 速度大小分别为 v1、v2。则( )

A.

v1 r ? 2 v2 r1

B.

v1 r ? 1 v2 r2

C.

v1 r ? ( 2 )2 v2 r1

C.

v1 r ? ( 1 )2 v2 r2

3. 【答案】 A

4.宇航员王亚平在“天宫 1 号”飞船内进行了我国首次太空授课,演示了一些完全失重状态下的物 理现象。若飞船质量为 m ,距地面高度为 h ,地球质量为 M ,半径为 R ,引力常量为 G ,则飞船所在处 的重力加速度大小为

A.0 4. 【答案】B

GM 2 B. ( R ? h)

GMm 2 C. ( R ? h)

GM 2 D. h

5.如图,拉格朗日点 L1 位于地球和月球连线上,处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下, 可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此,科学家设想在拉格朗日点 L1 建立空间站,使其与月球同周 期绕地球运动。以

a1 、 a2 分别表示该空间站和月球向心加速度的大小, a3 表示地球同步卫星向心加速度

的大小。以下判断正确的是[来源:gkstk.Com]

L1
月球 地球

A.

a2 ? a3 ? a1

B.

a2 ? a1 ? a3

C.

a3 ? a1 ? a2

D.

a3 ? a2 ? a1

5. 【答案】D

6.若在某行星和地球上相对于各自水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体,它们在 水平方向运动的距离之比为 2 : 7 。已知该行星质量约为地球的 7 倍,地球的半径为 R,由此可知,该行 星的半径为()

1 R A. 2
6. 【答案】C

7 R B. 2

C.2R

7 R D. 2

7.假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动,已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离,那么 ( ) A.地球公转周期大于火星的公转周期 C.地球公转的加速度小于火星公转的加速度 7. 【答案】D B.地球公转的线速度小于火星公转的线速度 D.地球公转的角速度大于火星公转的角速度


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