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2012高考浙江文科数学试题及答案(高清版)


2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学文史类(浙江卷)
本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 选择题部分(共 50 分) 参考公式: 球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式 V=

4 3 πR 3

其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式 V=

1 S

h 3

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 台体的体积公式 V=

1 h(S1+ S1S2 +S2) 3

其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积. h 表示台体的高 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P, 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)= Ck Pk(1-P)n k(k=0,1,2,?,n) n 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 P={1,2,3,4},Q={3,4,5},则 P∩( A.{1,2,3,4,6} B.{1,2,3,4,5} C.{1,2,5} D.{1,2} 2.已知 i 是虚数单位,则
UQ)=(


)

3?i ( 1? i

)

A.1-2i B.2-i C.2+i D.1+2i 3.已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积是(

)

A.1 cm3 B.2 cm3 C.3 cm3 D.6 cm3 4. a∈R, 设 则“a=1”是“直线 l1: ax+2y-1=0 与直线 l2: x+(a+1)y+4=0 平行” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设 l 是直线,α,β 是两个不同的平面,( ) A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 l∥α,l⊥β,则 α⊥β C.若 α⊥β,l⊥α,则 l⊥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β 6.把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后 向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是( )

7.设 a,b 是两个非零向量,( ) A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 8.如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点.若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )

A.3 B.2 C. 3 D. 2 9.若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( A.

)

24 5

B.

28 5

C.5

D.6

10.设 a>0,b>0,e 是自然对数的底数( ) a b A.若 e +2a=e +3b,则 a>b B.若 ea+2a=eb+3b,则 a<b C.若 ea-2a=eb-3b,则 a>b D.若 ea-2a=eb-3b,则 a<b 非选择题部分(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.某个年级有男生 560 人,女生 420 人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取 一个容量为 280 的样本,则此样本中男生人数为__________. 12.从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的 距离为

2 的概率是__________. 2

13.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是__________.

? x ? y ? 1 ? 0, ? x ? y ? 2 ? 0, ? 14.设 z=x+2y,其中实数 x,y 满足 ? 则 z 的取值范围是__________. ? x ? 0, ? y ? 0, ? ??? ??? ? ? 15.在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 AB ? AC ? __________.
16.设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则

3 f ( ) ? __________. 2
17.定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲 线 C1:y=x2+a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x2+(y+4)2=2 到直线 l:y=x 的距离, 则实数 a=__________. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= 3 acosB. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值. 19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足 an=4log2bn +3,n∈N*. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·n}的前 n 项和 Tn. b 20. 如图, 在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AD∥BC, AD⊥AB, ? 2 , AB AD=2,BC=4,AA1=2,E 是 DD1 的中点,F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点.

(1)证明:①EF∥A1D1; ②BA1⊥平面 B1C1EF; (2)求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值. 21.已知 a∈R,函数 f(x)=4x3-2ax+a. (1)求 f(x)的单调区间; (2)证明:当 0≤x≤1 时,f(x)+|2-a|>0. 22.如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P(1, 为

1 )到抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线的距离 2

5 .点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 被直线 OM 平分. 4

(1)求 p,t 的值; (2)求△ABP 面积的最大值. 【自选模块】 3.“数学史与不等式选讲”模块(10 分) 已知 a∈R,设关于 x 的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4 的解集为 A. (1)若 a=1,求 A; (2)若 A=R,求 a 的取值范围. 4.“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(10 分) 在直角坐标系 xOy 中,设倾斜角为 α 的直线 l: ?

? x=2+tcos?, ? (t 为参数)与曲线 C: ? y= 3+tsin? ?

? x=2cos?, (θ 为参数)相交于不同两点 A,B. ? ? y=sin? π (1)若 ? ? ,求线段 AB 中点 M 的坐标; 3 (2)若|PA|· |PB|=|OP|2,其中 P(2, 3 ),求直线 l 的斜率.

1. D 由已知得, 所以 P∩( 2.D ∵ ∴选 D.

UQ={1,2,6},

UQ)={1,2}.

3 ? i (3 ? i)(1 ? i) 3+3i+i+i 2 2 ? 4i ? ? ? ? 1 ? 2i , 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2
1 ×2×1=1(cm2),高为 3 cm,由体积公 2

3.A 由三视图得,该三棱锥底面面积 S= 式,得 V=

1 1 Sh= ×1×3=1(cm3). 3 3

4. A l1 与 l2 平行的充要条件为 a(a+1)=2×1 且 a×4≠1×(-1),可解得 a=1 或 a =-2,故 a=1 是 l1∥l2 的充分不必要条件. 5.B A 项中由 l∥α,l∥β 不能确定 α 与 β 的位置关系,C 项中由 α⊥β,l⊥α 可推出 l∥β 或 l β,D 项由 α⊥β,l∥α 不能确定 l 与 β 的位置关系. 6. A y=cos2x+1 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得 y1=cosx+1,再向左 平移 1 个单位长度得 y2=cos(x+1)+1,再向下平移 1 个单位长度得 y3=cos(x+1),故相应 的图象为 A 项. 7. C 由|a+b|=|a|-|b|两边平方可得,|a|2+2a· b+|b|2=|a|2-2|a||b|+|b|2,即 a· b=- |a||b|,所以 cos〈a,b〉=-1,即 a 与 b 反向,根据向量共线定理,知存在实数 λ,使得 b =λa. 8. B 由题意可知椭圆的长轴长 2a1 是双曲线实轴长 2a2 的 2 倍,即 a1=2a2,而椭圆 与双曲线有相同的焦点.

c 2 a 故离心率之比为 a ? 1 ? 2 . c a2 a1 1 3 ? ? 1. 9. C ∵x+3y=5xy,∴ 5 y 5x ? 1 3 ? ∴3x+4y=(3x+4y)×1=(3x+4y) ? ? ? ? 5 y 5x ? 3x 9 4 12 y 13 3x 12 y = ? ? ? ? ?2 ? ?5, 5 y 5 5 5x 5 5 y 5x 1 3x 12 y ? 当且仅当 ,即 x=1, y ? 时等号成立. 2 5 y 5x
10. A 函数 y=ex+2x 为单调增函数,若 ea+2a=eb+2b,则 a=b;若 ea+2a=eb+ 3b,∴a>b. 故选 A. 11.答案:160 解析:根据分层抽样的特点,此样本中男生人数为 12.答案:

560 ? 280 ? 160 . 560 ? 420

2 5

2 解析:五点中任取两点的不同取法共有 C5= 种,而两点之间距离为 10

2 的情况有 4 2

种,故概率为

4 2 ? . 10 5 1 13.答案: 120

1 1 1 1 解析:当 i=1 时,T= =1,当 i=2 时, T ? ,当 i=3 时, T ? 2 ? ,当 i=4 2 1 3 6 1 1 1 1 1 时, T ? 6 ? ,当 i=5 时, T ? 24 ? ,当 i=6 时,结束循环,输出 T ? . 120 4 24 5 120 7 14.答案: [0, ] 2
解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分, 结合图象知,O 点,C 点分别使目标函数取得最小值、最大值,代入得最小值为 0,最 大值为

7 . 2

? ? ??? ???? ? ???? ???? ???? ???? ? ? ? ? ???? 2 ???? ???? ???? ???? ? ? ???? ? ? ???? ???? ? ???? ???? ???? ? ???? ???? MB · =| AM |2+( MB + MC )· AM +| MB || MC |cosπ=9-25=-16. MC 3 16.答案: 2 3 3 1 1 1 3 解析: f ( ) ? f ( ? 2) ? f ( ? ) ? f ( ) ? ? 1 ? . 2 2 2 2 2 2 9 17.答案: 4 4 ? 2 ? 2 ,所以 y=x2+a 到 y=x 的 解析:x2+(y+4)2=2 到直线 y=x 的距离为 2
MB 解析: AB · ( AC =( AM + MB )· AM + MC )= AM + AM · MC + AM · +
距离为 2 ,而与 y=x 平行且距离为 2 的直线有两条,分别是 y=x+2 与 y=x-2,而抛 物线 y=x2+a 开口向上,所以 y=x2+a 与 y=x+2 相切,可求得 a ? 18.解:(1)由 bsinA= 3 acosB 及正弦定理 得 sinB= 3 cosB, 所以 tanB= 3 ,所以 B ?

15.答案:-16

9 . 4

a b ? , sinA sinB

π . 3

(2)由 sinC=2sinA 及

a c ? ,得 c=2a. sinA sinC

由 b=3 及余弦定理 b2=a2+c2-2accosB, 得 9=a2+c2-ac. 所以 a ? 3 , c ? 2 3 . 19.解:(1)由 Sn=2n2+n,得当 n=1 时,a1=S1=3; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-1. 所以 an=4n-1,n∈N*. - 由 4n-1=an=4log2bn+3,得 bn=2n 1,n∈N*. -1 (2)由(1)知 anbn=(4n-1)·n ,n∈N*. 2 - - 所以 Tn=3+7×2+11×22+?+(4n-1)·n 1,2Tn=3×2+7×22+?+(4n-5)·n 1+ 2 2 n (4n-1)· , 2 - 所以 2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+?+2n 1)]=(4n-5)2n+5. n * 故 Tn=(4n-5)2 +5,n∈N . 20. (1)证明:①因为 C1B1∥A1D1,C1B1 平面 ADD1A1, 所以 C1B1∥平面 A1D1DA. 又因为平面 B1C1EF∩平面 A1D1DA=EF, 所以 C1B1∥EF,所以 A1D1∥EF. ②因为 BB1⊥平面 A1B1C1D1,所以 BB1⊥B1C1. 又因为 B1C1⊥B1A1,所以 B1C1⊥平面 ABB1A1, 所以 B1C1⊥BA1. 在矩形 ABB1A1 中,F 是 AA1 的中点,tan∠A1B1F=tan∠AA1B= ∠AA1B,故 BA1⊥B1F. 所以 BA1⊥平面 B1C1EF. (2)解:设 BA1 与 B1F 交点为 H,连结 C1H.

2 ,即∠A1B1F= 2

由(1)知 BA1⊥平面 B1C1EF, 所以∠BC1H 是 BC1 与面 B1C1EF 所成的角. 在矩形 AA1B1B 中, AB ? 2 ,AA1=2,得 BH ? 在直角△BHC1 中, BC1 ? 2 5 , BH ? 得 sin?BC1H ?

4 . 6

4 , 6

BH 30 . ? BC1 15
30 . 15

所以 BC1 与平面 B1C1EF 所成角的正弦值是

21. (1)解:由题意得 f′(x)=12x2-2a. 当 a≤0 时,f′(x)≥0 恒成立,此时 f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞). 当 a>0 时,f′(x)=12(x-

a a )(x+ ), 6 6

此时函数 f(x)的单调递增区间为

a a ]和[ ,+∞). 6 6 a a 单调递减区间为[ ? , ] . 6 6
(-∞, ? (2)证明:由于 0≤x≤1,故当 a≤2 时,f(x)+|a-2|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2. 当 a>2 时,f(x)+|a-2|=4x3+2a(1-x)-2≥4x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2. 设 g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1, 则 g′(x)=6x2-2=6(x- 于是 x g′(x) g(x) 所以,g(x)min=g( 0 (0,

3 3 )(x+ ), 3 3 3 ) 3 3 3
0 极小值 (

3 ,1) 3
+ 增

1

1

- 减

1

3 4 3 )=1- >0. 3 9

所以当 0≤x≤1 时,2x3-2x+1>0. 故 f(x)+|a-2|≥4x3-4x+2>0.

1 ?2 pt ? 1, ? ? ?p ? , 22.解:(1)由题意知 ? 2 p 5 得? 1? ? , ? ? 2 4 ? ?t ? 1.
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),因为 OM 过 AB 的中点,而且直线 OM 的方程为 x-y=0, 所以设线段 AB 的中点为 Q(m,m).

由题意,设直线 AB 的斜率为 k(k≠0). 由?

? y12 ? x1 ,
2 ? y2 ? x2 ,

得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,故 k· 2m=1.

所以直线 AB 方程为 y-m= 即 x-2my+2m2-m=0.

1 (x-m), 2m

? x ? 2my ? 2m2 ? m ? 0, 由? 2 ? y ? x,
消去 x,整理得 y2-2my+2m2-m=0, 所以 ? =4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1·2=2m2-m. y 从而|AB|= 1 ?

1 · 1-y2|= 1 ? 4m2 ? 4m ? 4m2 . |y k2

设点 P 到直线 AB 的距离为 d,

则d ?

|1 ? 2m ? 2m2 | 1 ? 4m2



设△ABP 的面积为 S, 则 S=

由 ? =4m-4m2>0,得 0<m<1. 令 u= m ? m2 ,0<u≤

1 |AB|· d=|1-2(m-m2)|· m ? m2 . 2

1 ,则 S=u(1-2u2). 2 1 设 S(u)=u(1-2u2),0<u≤ , 2
则 S′(u)=1-6u2.

6 1 ? (0, ) , 6 2 6 6 所以 S(u)max= S ( . )? 6 9 6 故△ABP 面积的最大值为 . 9
由 S′(u)=0,得 u ? 【自选模块】 3.解:(1)当 x≤-3 时,原不等式化为-3x-2≥2x+4,得 x≤-3. 当-3<x≤ 当x?

1 时,原不等式化为 4-x≥2x+4,得-3<x≤0. 2

1 时,原不等式化为 3x+2≥2x+4,得 x≥2. 2

综上,A={x|x≤0 或 x≥2} (2)当 x≤-2 时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4 成立. 当 x>-2 时, |2x-a|+x+3=|2x-a|+|x+3|≥2x+4, 得 x≥a+1 或 x ?

a ?1 , 3

所以 a+1≤-2 或 a ? 1 ?

a ?1 ,得 a≤-2. 3

综上,a 的取值范围为 a≤-2. 4.解:设直线 l 上的点 A,B 对应参数分别为 t1,t2.将曲线 C 的参数方程化为普通方 程

x2 +y2=1. 4 π (1)当 ? ? 时,设点 M 对应参数为 t0. 3 1 ? ? x ? 2 ? 2 t, ? 直线 l 方程为 ? (t 为参数), ?y ? 3 ? 3 t ? ? 2 2 x 代入曲线 C 的普通方程 +y2=1,得 13t2+56t+48=0, 4

t1 ? t2 28 12 3 ? ? ,所以,点 M 的坐标为( , ? ). 2 13 13 13 ? x =2+tcos?, x2 ? (2)将 ? 代入曲线 C 的普通方程 +y2=1,得 4 ? y = + 3 ? t sin ? ?
则 t0 ? (cos2α+4sin2α)t2+( 8 3 sinα+4cosα)t+12=0, 因为|PA|· |PB|=|t1t2|=

12 ,|OP|2=7, 2 cos ? ? 4sin ?
2

12 5 ? 7 ,得 tan 2? ? . 2 cos ? ? 4sin ? 16 由于 ? =32cosα( 2 3 sinα-cosα)>0,
所以
2

故 tan? ?

5 . 4 5 . 4

所以直线 l 的斜率为


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