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人教版高中数学选修2-1知识点小结


选修 2-1 知识点
选修 2-1 第一章 常用逻辑用语

1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句. 假命题:判断为假的语句. 2、 “若 p ,则 q ” p 称为命题的条件, q 称为命题的结论. : 3、若原命题为“若 p ,则 q ” ,则它的逆命题为“若 q ,则 p ”. 4、若原命题为“若 p

,则 q ” ,则它的否命题为“若 ?p ,则 ?q ”. 5、若原命题为“若 p ,则 q ” ,则它的逆否命题为“若 ?q ,则 ?p ”. 6、四种命题的真假性: 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系: ?1? 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; 7、 p 是 q 的充要条件: p ? q p 是 q 的充分不必要条件: p ? q , q ?? p p 是 q 的必要不充分条件: p ?? q, q ? p p 是 q 的既不充分不必要条件: p ?? q, q ?? p 8、逻辑联结词: (1)用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q .全真 则真,有假则假。 (2)用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q .全假 则假,有真则真。 (2)对一个命题 p 全盘否定,得到一个新命题,记作 ?p .真假性相反 9、短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“ ? ”表示. 、 含有全称量词的命题称为全称命题. 全称命题“对 ? 中任意一个 x ,有 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x ?? , p ? x ? ” . 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“ ? ”表示. 、 含有存在量词的命题称为特称命题. 特称命题“存在 ? 中的一个 x ,使 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x ?? , p ? x ? ” . 10、全称命题 p : ?x ?? , p ? x ? ,它的否定 ?p : ?x ?? , ?p ? x ? .全称命题的否定 是特称命题.
例: “a=1”是“ ?x ? 0, 2 x ? A.充分不必要条件

? 2 ? 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

a ? 1”的( x

) C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

B. 必要不充分条件

1

第二章 圆锥曲线与方程

1、椭圆定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的 轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点在 y 轴上 焦点的位置 焦点在 x 轴上

图形

标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2 ?a ? x ? a 且 ?b ? y ? b
?1 ? ?a, 0 ? 、 ? 2 ? a, 0 ? ?1 ? 0, ?b ? 、 ? 2 ? 0,b ?

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2 ?b ? x ? b 且 ?a ? y ? a
?1 ? 0, ?a ? 、 ? 2 ? 0, a ? ?1 ? ?b, 0 ? 、 ? 2 ? b, 0 ?

短轴的长 ? 2b
F1 ? ?c, 0 ? 、 F2 ? c, 0 ?

长轴的长 ? 2a
F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?

关于 x 轴、 y 轴、原点对称
e? c b2 ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a a

3、平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之差的绝对值等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨 迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 4、双曲线的几何性质: 焦点在 y 轴上 焦点的位置 焦点在 x 轴上

图形

标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2 x ? ?a 或 x ? a , y ? R
?1 ? ?a, 0 ? 、 ? 2 ? a, 0 ?

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2 y ? ?a 或 y ? a , x ? R
?1 ? 0, ?a ? 、 ? 2 ? 0, a ?

虚轴的长 ? 2b
F1 ? ?c, 0 ? 、 F2 ? c, 0 ?

实轴的长 ? 2a
F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
2

对称性 离心率 渐近线方程

关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称
e? c b2 ? 1 ? 2 ? e ? 1? a a

b a x y?? x a b 5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 6、平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点 F 称 为抛物线的焦点,定直线 l 称为抛物线的准线. 7、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、? 两点的线段 ?? ,称为抛物线的 y??

“通径” ,即 ?? ? 2 p . 8、焦半径公式:
p ; 2 p 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 y 2 ? ?2 px ? p ? 0 ? 上,焦点为 F ,则 ?F ? ? x0 ? ; 2 p 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 x 2 ? 2 py ? p ? 0 ? 上,焦点为 F ,则 ?F ? y0 ? ; 2 p 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 x 2 ? ?2 py ? p ? 0 ? 上,焦点为 F ,则 ?F ? ? y0 ? . 2 9、抛物线的几何性质: y 2 ? 2 px y 2 ? ?2 px x 2 ? 2 py x 2 ? ?2 py 标准方程 ? p ? 0? ? p ? 0? ? p ? 0? ? p ? 0?

若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? 上,焦点为 F ,则 ?F ? x0 ?

图形

顶点

? 0, 0 ?
x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ? ? p ? F ? ? ,0? ? 2 ? p? ? F ? 0, ? ? 2?

对称轴

y轴
p? ? F ? 0, ? ? 2? ?

焦点

准线方程

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

离心率

e ?1

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

3

解题注意点: 1、“回归定义” 是一种重要的解题策略。如: (1)在求轨迹时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的方程,写出所求的轨 迹方程;(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时,常用定义结合解三角 形(一般是余弦定理)的知识来解决;(3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的 距离转化为到准线的距离,结合几何图形利用几何意义去解决。 2、直线与圆锥曲线的位置关系 (1) 有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题, 直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况: 相交、 相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程(注意在和双曲线和抛物线方 程联立时二次项系数是否为 0),直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是 ? ? 0 、 ? ? 0、 ? ? 0. 应注意数形结合(例如双曲线中,利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的 位置关系) 常见方法:①联立直线与圆锥曲线方程,利用韦达定理等; ②点差法 (主要适用中点问题, 设而不求, 注意需检验, 化简依据:

x1 ? x2 y ? y2 y ?y ? 2 x0 , 1 ? 2 y0 , 2 1 ? k ) 2 2 x2 ? x1

(2)有关弦长问题,应注意运用弦长公式及韦达定理来解决; (注意斜率是否存在) ① 直线具有斜率 k ,两个交点坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 ) ?( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? 1 ? ? ?
② 直线斜率不存在,则 AB ? y1 ? y2 .

1 y1 ? y2 k2

(3)有关对称垂直问题,要注意运用斜率关系及韦达定理,设而不求,简化运算。 考查三个方面:A 存在性(相交) ;B 中点;C 垂直( k1k2 ? ?1 ) 注: 1.圆锥曲线,一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合,既熟练 掌握方程组理论,又关注图形的几何性质,以简化运算。 2.当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理;二是点差法. 3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数,用求值域的方法求范围; 二是建立不等式,通过解不等式求范围。 4.注意向量在解析几何中的应用(数量积解决垂直、距离、夹角等) (4)求曲线轨迹常见做法:定义法、直接法(步骤:建—设—现(限)—代—化) 、代入法(利 用动点与已知轨迹上动点之间的关系) 、点差法(适用求弦中点轨迹) 、参数法、交轨法等。 例 1.已知定点 F1 (?3,0), F2 (3,0) , 在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 (答: ; C) A.PF1 ? PF2 ? 4 B.PF1 ? PF2 ? 6 C.PF1 ? PF2 ? 10 D.PF1
2

? PF2

2

? 12

例 2 已知双曲线的离心率为 2,F1、F2 是左右焦点,P 为双曲线上一点,且 ?F1 PF2 ? 60 ,
?

4

S ?PF1F2 ? 12 3 .求该双曲线的标准方程(答:

x2 y 2 ? ? 1) 4 12

例 3 已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1) ,焦点在 x 轴上,若由焦点到直线的距离为 3. (1)求椭圆分方程; (2)设椭圆与直线相交于不同的两点 M,N,当|AM|=|AN|时,求 m 的取值

x2 1 范围。 (答: ? y 2 ? 1; m ? ( , 2) ) 3 2
例 4 过点 A(2,1)的直线与双曲线 x ?
2

y2 ? 1 相交于两点 P1、P2,求线段 P1P2 中点的轨迹 2

方程。 第三章 空间向量与立体几何 1、 空间向量及其运算设 a ? ? x1 , y1 , z1 ? ,b ? ? x2 , y2 , z2 ? , ?1? a ? b ? ? x1 ? x , 1y ?2 y 1 , z 2? z 则 2

?

?

?

?

?.

? 2 ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? . ? 3? ? a ? ? ? x1 , ? y1 , ? z1 ? . ? 4 ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 . ? 5 ? 若 a 、 b 为非零向量,则 a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? 0 . ? 6 ? 若 b ? 0 ,则 a // b ? a ? ?b ? x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , z1 ? ? z2 .
? ? ? a ? a ? a ? x12 ? y12 ? z12 . ? ? xx ?y y ?zz a ?b ? ? ? 8 ? cos? a , b ? ? ? ? ? 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 . a b x1 ? y1 ? z1 ? x2 ? y2 ? z2

?

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?7?

? 9 ? ? ? x1 , y1 , z1 ? , ? ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则 d?? ? ?? ? ? x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 ? ? z2 ? z1 ?2 .
(10)共面向量定理: p, a, b共面 ? p ? xa ? yb( x, y ? R) ;

??? ?
?

? ? ? ?

? ?

?

? AP ? x AB ? y AC
P、A、B、C 四点共面

? OP ? OA ? x AB ? y AC

? OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中x ? y ? z ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? (11)空间向量基本定理 p ? xa ? yb ? zc( x, y, z ? R) (不共面的三个向量 a, b, c 构成一组基
底,任意两个向量都共面) 2、平行: (直线的方向向量,平面的法向量) a, b 是 a,b 的方向向量, n 是平面 ? 的法向量) ( 线线平行: a / /b ? a / / b

? ?

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?

?

5

线面平行: a / /? ? a ? n 或 a / / b , b ? ? 或 a ? xb ? yc(b,是 ? 内不共线向量) c 面面平行: ? //? ? n1 / / n2 3、垂直 线线垂直: a ? b ? a ? b ? a ? b ? 0 线面垂直: a ? ? ? a / / n 面面垂直: ? ? ? ? n1 ? n2 4、夹角问题 线线角

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? ? ? ? ?? a ? b a? c ( b是 ? 内不共线向量) , , c

??

?? ?

? ? ? ? | a ?b | ? cos ? ?| cos ? a, b ?|? ? ? (注意异面直线夹角范围 0 ? ? ? ) 2 | a || b |

? ? ? ? | a?n | 线面角 sin ? ?| cos ? a, n ?|? ? ? | a || n |
?? ?? ? ?? ?? ? | n1 ? n2 | ? 二面角 | cos ? |?| cos ? n1 , n2 ?|? ?? ?? (一般步骤①求平面的法向量;②计算法向量夹角; | n1 || n2 |
③回答二面角(空间想象二面角为锐角还是钝角或借助于法向量的方向) ,只需说明二面角大小,无 需说明理由) ) 1. 距离问题(一般是求点面距离,线面距离,面面距离转化为点到面的距离)

??? ? ? ? | PA ? n | ? P 到平面 ? 的距离 d ? (其中 A 是平面 ? 内任一点, n 为平面 ? 的法向量) |n|
2. 立体几何解题一般步骤 坐标法:①建系(选择两两垂直的直线,借助于已有的垂直关系构造) ;②写点坐标;③写向量 的坐标;④向量运算;⑤将向量形式的结果转化为最终结果。 基底法:①选择一组基底(一般是共起点的三个向量) ;②将向量用基底表示;③向量运算;④ 将向量形式的结果转化为最终结果。 几何法:作、证、求 异面直线夹角——平移直线(借助中位线平行四边形等平行线) ; 线面角——找准面的垂线,借助直角三角形的知识解决; 二面角——定义法作二面角,三垂线定理作二面角;作交线的垂面.

6


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