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21实验班高一物理竞赛讲义


角动量守恒(二)

2016/06/25

安庆一中 2015 级理科实验班高一物理竞赛辅导 L21
一、常见刚体的转动惯量: 细杆对过中心垂直轴: 细杆对过端点垂直轴:

l R
l

I? I?

1 ml 2 12 1 mR 2 2 1 mR 2 2

1 I ? ml 2 3
圆柱对中心直径:

圆柱(圆盘)对柱体轴线:

I? I? I?

1 1 mR 2 ? ml 2 4 12 3 mR 2 2 2 mR 2 3

细圆环对任意直径:

细圆环对任意切线:

R

I?

实心球对任意直径:

薄球壳对任意直径:

2 I ? mR 2 R 5 2 注:(1)平行轴定理: I ? I C ? md ;
二、平动与转动的比较 瞬时 时间 累积

(2)重直轴定理: I z ? I x ? I y

? ? 牛二定律: F ? ma ? ? ? 动量定理: F?t ? ?p ? m?v
若合外力冲量为零,则动理守恒:

平动

? ? 转动定理: M ? I? ? ? ? 角动量定理: M?t ? ?L ? I??
若合外力冲量矩为零,则角动量守恒:

转动

? ?p ? 0

? ?L ? 0

空间 累积

1 2 mv 2 ? ? 1 1 2 平动动能定理: F ? ?s ? mv 2 ? mv0 2 2
平动动能: Ek ?
4

1 2 I? 2 ? 1 2 1 2 ? 转动动能定理: M ? ?? ? I? ? I?0 2 2
转动动能: Ek ?

1.一质量 m ? 1.20 ? 10 kg 的登陆飞船,在离月球表面高度 h ? 100 km 处绕月球作圆周运动。飞船采用如 下登月方式:当飞船位于图中 A 点时,它向外侧(即沿月球中心 O 到 A 点的位矢方向)短时间喷气,使 飞船与月球相切地到达 B 点,且 OA 与 OB 垂直。试求飞船到达月球表面时速度。已知月球的半径

RM ? 1700 km ;在飞船登月过程中,月球的重力加速度可视为常量 g M ? 1.62m / s 2 。

答案: v B ? R ? h v0 ? 1708 m / s L 2.质量集中在轮缘的自行车轮无平动地绕轴旋转,这时做功 A 全部用来增加轮子的机械能。然后小心地 把轮子放在相同质量的板的水平表面上,板能无摩擦地沿桌面运动。在轮子离开板之前,系统最多能产生 多少热量?轮子总处于竖直面。 答案: Qm ?

3.两个质量为 m 的小球,用长为 l 的绳子连结起来,放在一光滑水平桌面上。给其中一个小球以垂直于绳 子方向的速度 v0 ,如图所示。求此系统的运动规律和绳子的张力大小。 答案:两小球相对质心做匀速圆周运动,同时质心做匀速直线运动。 T ? 1 m v0
2 l
2

A 3

角动量守恒(二)

2016/06/25

4.在一根长为 3l 的轻杆上打一个小孔,孔离一端的距离为 l ,再在杆的两端以及距离 另一端为 l 处各系 一质量为 M 的小球。然后通过此孔将杆悬挂于一光滑的水平细轴 O 上,如图所示。开始时,轻杆静止, 一质量为 m 的小铅粒以 v0 水平速度射入中间的小球,并留在里面。若铅粒相对小球静止时杆的角位移可 以忽略,试求杆在以后摆动中的最大摆角。 答案: cos ? ? 1 ?
2 m 2 v0 2(2 M ? m)(6 M ? m) gl

5.质量皆为 m 的两珠子可在光滑轻杆上自由滑动,杆可在水平面内绕过 O 点的光滑竖直轴自由旋转。原 先两珠对称地位于 O 点两边,与 O 相距 a,在 t ? 0 时刻,对杆施以冲量矩,使杆在极短时间内即以角速 度 ?0 绕竖直轴旋转,求 t 时刻杆的角速度 ? 、角加速度 ? 及两珠与 O 点间距离 r. 答案: ? ?
3 ?0 2?0 t 2 2 , , r ? a 1 ? ?0 ? ? ? t 2 2 2 2 2 1 ? ?0 t (1 ? ?0 t )

6.某哑铃是由质量为 M 和 M/2 两个小球分别固定在轻质硬杆的两端组成的, 现将该哑铃放在光滑的水平 桌面面上。一个质量为 m 的小球沿桌面以速度 v 朝垂直哑铃方向运动,正好“迎面”飞向哑铃上 M 球, 发生弹性碰撞, 碰撞后哑铃还会发生一次碰撞吗?当 m 与 M 之比 k ? 答案:碰后质心向右匀速运动 vC ? 哑铃相对质心以角速度 ? ? 当k ?

2v 转动。 (1 ? k )l

4 v, 3(1 ? k )

m 成何关系时, 将发生第二次碰撞? M

3

7.(23 届复赛)如图所示,一根质量可以忽略的细杆,长为 2 l ,两端和中心处分别固连着质量为 m 的小 球 B、D 和 C,开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为 M 的小球 A,以一给定速度 v 0 沿 垂直于杆 DB 的方间与右端小球 B 作弹性碰撞。求刚碰后小球 A、B、C、D 的速度,并详细讨论以后可能 发生的运动情况。 答案: vA ?

?

?

1 ? 0.22 时,将不发生第二次碰撞。 3

5M ? 6m 10 M v0 , v B ? v0 , 5M ? 6m 5M ? 6m 4M 2M vC ? v0 , v D ? ? v0 。讨论略。 5M ? 6m 5M ? 6m

8.(29 届复赛)如图所示,两根刚性轻杆 AB 和 BC 在 B 段牢固粘接在一起, AB 延长线与 BC 的夹角 ? 为锐角,杆 BC 长为 l ,杆 AB 长为 l cos ? 。在杆的 A 、 B 和 C 三点各固连一质量均为 m 的小球,构成一 刚性系统。整个系统放在光滑水平桌面上,桌面上有一固定的光滑竖直挡板,杆 AB 延长线与挡板垂直。 现使该系统以大小为 v0 、 方向沿

AB 的速度向挡板平动。 在某时刻, 小球 C

与挡板碰撞, 碰撞结束时球 C

在垂直于挡板方向的分速度为零,且球 C 与挡板不粘连。若使球 C 碰撞后,球 B 先于球 求夹角 ? 应满足的条件。 答案: ? ? arctan
3 ? ,查表即得: ? ? 36 1? ?

A 与挡板相碰,


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