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2013-2014学年第一学期高二期中考试数学试卷(理科)


2013-2014 学年第一学期高二年级期中考试 数学(理科)试卷
命题人

姓名___________班级___________考场____________考试号_____________
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分共 70 分,请把答案填写在答卷纸相应位置上 ....... 1.命题“ ?x ? R, x 2 +

1 ? 0 ”的否定是 2.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标是 ▲ ▲ . ▲ . .

2 2 3.命题“若 a ? b 则 a ? b ”的逆否命题为

?x ? y ? 5≥ 0 ? 4.已知实数 x,y 满足条件 ? x ? y ≥ 0 ,则 Z ? x ? 2 y 的最大值是 ?x ≤ 3 ?
5. 若圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 的圆心到直线 x ? y ? a ? 0 的距离为 ________▲_
2



.

2 ,则 a 的值为 2

. .

6.已知双曲线

x y2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 y ? ?2 x ,则实数 m 等于 ▲ m 4

7.过椭圆

x2 y2 ? ? 1 上顶点、右顶点及中心的圆的方程为___▲___________. 64 36
▲ .

8.若 “ x ? a ” 是“ x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”的充分不必要条件, a 的最大值为 则 9.点 P 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 右支上一点,P 到其右焦点的距离为 10,则 P 到左准线的距 4 5

离为___▲_______. 10. 右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 ▲ 米. 11. 设中心在原点的双曲线与椭圆

x2 ? y 2 ? 1有公共的焦点,且 2

它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程是____▲______.

1

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点, M 为此椭圆上一点, 12.已知定点 A(?2, 3) , F 是椭圆 16 12
则 AM ? 2 MF 的最小值为 ▲ . 13.已知正△ABC,以 C 点为一个焦点作一个椭圆,使这个椭圆的另一个焦点在边 AB 上, 且椭圆过 A、B 两点,则这个椭圆的离心率为 ▲ . 14. 如果圆 ( x ? a)2 ? ( y ? a)2 ? 4 ?a ? 0? 上总存在两个点到原点的距离为 1, 则正实数 a 的 取值范围是 ▲ . 二、解答题本大题共 6 小题共计 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 14 分)

x2 y2 ? ? 1 为焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程.命题 Q:抛物线 已知命题 P:方程 9 ? k k ?1

y ? x 2 ? (2k ? 3) x ? 1 与 x 轴相交于不同的两点;
(1)若命题 P 为真命题,求实数 k 的取值范围; (2)若 P 真、Q 假,求实数 k 的取值范围.

16.(本小题满分 14 分) 点 P 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上异于左、右顶点的一动点, F1 , F2 是此椭圆的左右焦点, 4

⑴求 ?PF F2 的周长; 1 ⑵若 PF ? PF2 ,求 ?PF F2 的面积. 1 1

17.(本小题满分 15 分) 已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(1,4),B(3,6),线段 AB 的垂直平分线与圆 P 交于 点 C,D,且 CD=4. (1)求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程.
2

18. (本小题满分 15 分)

x2 y2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , a b
(1)若椭圆 C 的离心率为

1 ,左焦点 F1 到其右准线 l 的距离为 5,求其标准方程; 2

(2)位于第一象限的点 M 在椭圆 C 上,且以点 M 为圆心的圆 M 与 x 轴切于椭圆的右焦 点 F2 ,若圆 M 与 y 轴相交,求椭圆 C 离心率的取值范围.

19.(本小题满分 16 分)

x2 ? y 2 ? 1 的上、 如图, 已知椭圆 C : 下顶点分别为 A, B , P 在椭圆上, 点 且异于点 A, B , 4
直线 AP, BP 与直线 l : y ? ?2 分别交于点 M , N ,设直线 AP, BP 的斜率分别为 k1 , k2 , (1)求证: k1 ? k2 为定值; (2)试将线段 MN 的长用 k1 , k 2 表示,并求线段 MN 长的最小值; (3)当点 P 运动时,以 MN 为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论. y A

O y B N F
3

P

x

M

20.(本小题满分 16 分) 已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的长轴两端点分别为 A, B , P( x0 , y0 )( y0 ? 0) 是椭圆上

的动点, AB 为一边在 x 轴下方作矩形 ABCD , A ? k ( ?0 ,PD 交 AB 于点 E , 以 使 D k b )

PC 交 AB 于点 F .
y P E B x A O y y P

E A O y D 图1

F

F B x

C D 图2 C

(1)如图(1) ,若 k ? 1 ,且 P 为椭圆上顶点时,?PCD 的面积为 12,点 O 到直线 PD 的 距离为

6 ,求椭圆的方程; 5

(2)如图(2) ,若 k ? 2 ,试证明: AE , EF , FB 成等比数列.

4

2013-2014 学年第一学期高二期中考试数学参考答案 1. ?x ?R, x2 + 1≤ 0 5. 2 或 0 6. 1 8. ? 1 9. 2. ?1,0 ?
2 2 3. 若 a ? b 则 a ? b

4. 19

7. ( x ? 4) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 (或 x 2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0 ) 10. 2 6 11. 2 x2 ? 2 y 2 ? 1 12.10

28 3
14. ?

13.

3 3

? 2 3 2? ? ? 2 , 2 ? ? ?

15.(本小题满分 14 分) 已知命题 P:方程

x2 y2 ? ? 1 为焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程.命题 Q:抛物线 9 ? k k ?1

y ? x 2 ? (2k ? 3) x ? 1 与 x 轴相交于不同的两点;
(1)若命题 P 为真命题,求实数 k 的取值范围; (2)若 P 真、Q 假,实数 k 的取值范围. 15.解: (1)由命题 P 为真,则 9 ? k ? k ? 1 ? 0 …………………………….4 分 所以 1 ? k ? 5 ……………………………………………………………………7 分 (2)由命题 Q 为真,则 ? ? (2k ? 3) 2 ? 4 ? 0 ,即 k ? 所以得命题 Q 为假,则

1 5 或k ? ………9 分 2 2

1 5 ? k ? ………………………………………………12 分 2 2 5 又因为命题 P 真、Q 假,则 1 ? k ? …………………………………14 分 2
16.(本小题满分 14 分) 点 P 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上异于左、右顶点的一动点, F1 , F2 是此椭圆的左右焦点, 4

⑴求 ?PF F2 的周长; 1 ⑵若 PF ? PF2 ,求 ?PF F2 的面积. 1 1 16.⑴由椭圆的定义,得 PF ? PF2 ? 2a ? 4 ,??????4 分 1

F1 F2 ? 2c ? 2 3 ,所以, ?PF1 F2 的周长= 4 ? 2 3 .???????????6 分
5

⑵由 PF ? PF2 ,则 PF ? PF2 ? F1 F2 1 1
2 2 2

2

所以 ( PF ? PF2 ) 2 ? 2PF PF2 ? F1 F2 ?????????????10 分 1 1 所以 PF PF2 ? 2 ?????????????????????12 分 1 而S ?

1 1 PF1 PF2 ? ? 2 ? 1 ?????????????????????14 分 2 2

17.(本小题满分 15 分) 已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(1,4),B(3,6),线段 AB 的垂直平分线与圆 P 交于 点 C,D,且 CD=4. (1)求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程. 解 (1)因为直线 AB 的斜率 k=1,AB 中点坐标为 M(2,5), 分 所以直线 CD 方程为 y-5=-(x-2),即 x+y-7=0. (2)设圆心 P(a,b),则由 P 在 CD 上得, a+b-7=0. ① ??????10 分 ??????6 分 ??????3

又直径 CD=4,所以 PA=2,即(a-1)2+(b-4)2=4. ②
?a=1, ?a=3, 由① 解得? ② 或? ?b=6, ?b=4.

所以圆心 P(1,6)或 P(3,4). 所以圆 P 的方程为(x-1)2+(y-6)2=4 或(x-3)2+(y-4)2=4. 说明:第(2)问若少一解扣 3 分. 18.(本小题满分 15 分) 已知椭圆 C: ?????15 分

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , a 2 b2
1 ,左焦点 F1 到其右准线 l 的距离为 5,求其标准方程; 2

(1)若椭圆 C 的离心率为

(2)位于第一象限的点 M 在椭圆 C 上,且以点 M 为圆心的圆 M 与 x 轴切于椭圆的右焦 点 F2 ,若圆 M 与 y 轴相交,求椭圆 C 离心率的取值范围.
6

c 1 a2 ? c ? 5 ……………………..4 分 (1)由题意: ? , a 2 c
所以 a ? 2, c ? 1 …………………………………………….5 分 又因为 b ? a ? c ? 3 …………………………………….6 分
2 2 2
2 2 所以椭圆标准方程为 x ? y ? 1 …………………………….7 分 4 3

(2)设圆心 M ( x0 , y0 ) ,由圆 M 与 x 相切与右焦点 F2 ,且点 M 在椭圆上,且在第一象 限,所以 x0 ? c , y0 ?

b2 ………………………………….10 分 a

所以圆 M 的半径为

b2 ,圆心 M 到 y 轴的距离为 c ,又因为圆 M 与 y 轴相交, a

b2 2 所以 c ? 即 b ? ac …………………………12 分 (不管用什么方法这个等式出现 12 分) a
所以 a 2 ? c 2 ? ac ,所以 e 2 ? e ? 1 ? 0 ,……………………………………14 分 又 e ? (0,1) ,所以 e ? (0,

?1 ? 5 ) …………..………………………………15 分 2

19.(本小题满分 16 分) 如图, 已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的上、 下顶点分别为 A, B , P 在椭圆上, 点 且异于点 A, B , 4

直线 AP, BP 与直线 l : y ? ?2 分别交于点 M , N ,设直线 AP, BP 的斜率分别为 k1 , k2 , (1)求证: k1 ? k2 为定值; (2)试将线段 MN 的长用 k1 , k 2 表示,并求线段 MN 长的最小值;
7

(3)当点 P 运动时,以 MN 为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.

y A

O y B 解: (1)? A(0,1), B(0, ?1) , 由题设可知 x0 ? 0 , ∴直线 AP 的斜率 k1 ? N F

P

x

M

令 P( x0 , y0 ) ,则

y0 ? 1 y ?1 , BP 的斜率 k2 ? 0 ,……………………..2 分 x0 x0

又点 P 在椭圆上,所以

x0 2 ? y0 2 ? 1 , x0 ? 0 ) ( , 4

从而有 k1 ? k2 ?

y0 ? 1 y0 ? 1 y0 2 ? 1 1 ? ? ? ? .……………………..4 分 2 x0 x0 x0 4

(2)由题设可以得到直线 AP 的方程为 y ?1 ? k1 ( x ? 0) , 直线 BP 的方程为 y ? (?1) ? k2 ( x ? 0) ,

3 ? ? y ? 1 ? k1 x ? x ? ? k1 , 由? ?? ? y ? ?2 ? y ? ?2 ?
?

1 ? ? y ? 1 ? k2 x ? x ? ? k2 , 由? ?? ? y ? ?2 ? y ? ?2 ?
3 1 , ?2) ,直线 BP 与直线 l 的交点 N (? , ?2) .…..6 k1 k2

直线 AP 与直线 l 的交点 M (?

分 所以 MN ?

3 1 ? ……………………..8 分 k1 k 2

8

又 k1 ? k2 ? ?

3 1 3 3 3 1 ,? MN ? ? ? ? 4k1 ? ? 4k1 ? 2 ? 4k1 ? 4 3 4 k1 k2 k1 k1 k1
3 3 ? 4k1 即 k1 ? ? 时 取 到 , 故 线 段 MN 长 的 最 小 值 是 k1 2

等号当且仅当

4 3 .……………………..10 分(不写当且仅当扣 1 分)
(3)以 MN 为直径的圆方程为

(x ?
分)

3 1 )( x ? ) ? ( y ? 2)( y ? 2) ? 0 ,………………..12 分(其他形式的圆的方程对也给 k1 k2
1 ,所以以 MN 为直径的圆的方程为 4

又 k1 ? k2 ? ?

x 2 ? ( y ? 2)2 ? 12 ? (
分) 令?

3 ? 4k1 ) x ? 0 ,…………..14 分(化为 k 2 , 或k1 , k 2 为参数的同样给 k1
?x ? 0 ? , ? y ? ?2 ? 2 3 ?

?x ? 0
2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 12 ? 0

解得 ?

所以 MN 为直径的圆过定点 (0, ?2 ? 2 3) 和 (0, ?2 ? 2 3) .…………..16 分

20.(本小题满分 16 分) 已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的长轴两端点分别为 A, B , P( x0 , y0 )( y0 ? 0) 是椭圆上

的动点, AB 为一边在 x 轴下方作矩形 ABCD , A ? k ( ?0 ,PD 交 AB 于点 E , 以 使 D k b )

PC 交 AB 于点 F .

y P

y P

E A O y D

F B x
9

E A O y

F B x

C

(1)如图(1) ,若 k ? 1 ,且 P 为椭圆上顶点时,?PCD 的面积为 12,点 O 到直线 PD 的 距离为

6 ,求椭圆的方程; 5

(2)如图(2) ,若 k ? 2 ,试证明: AE , EF , FB 成等比数列. 20.(1)如图 1,当 k ? 1 时, CD 过点 (0, ?b) , CD ? 2a , ∵? ?PCD 的面积为 12,? ? 2a ? 2b ? 12 ,即 ab ? 6 .①…………..2 分 此时 D(?a, ?b) ,? 直线 PD 方程为 2bx ? ay ? ab ? 0 . ∴点 O 到 PD 的距离 d ?

1 2

6 ? . ② 4b2 ? a 2 5
3 2

ab

…………..4 分

由①②解得 a ? 3, b ? 2 .或 a ? 4, b ?

…………..6 分

∴所求椭圆方程为

x2 y2 x2 y 2 ? ?1 ? ? 1 .或 16 9 9 4 4

…………..7 分

说明:若本小问解出一个方程且正确得 5 分.

(2)如图 2,当 k ? 2 时, C (a, ?2b), D(?a, ?2b) ,设 E( x1,0), F ( x2 ,0) , 由 D, E , P 三点共线,及 DE ? ( x1 ? a,2b), DP ? ( x0 ? a, y0 ? 2b) , (说明:也可通过求直线方程做) 得 ( x1 ? a)( y0 ? 2b) ? 2b( x0 ? a) ,
10

??? ?

??? ?

? x1 ? a ?

2b( x0 ? a) 2b( x0 ? a) ,即 AE ? .………….. 9 分 y0 ? 2b y0 ? 2b

由 C , F , P 三点共线,及 CF ? ( x2 ? a,2b), CP ? ( x0 ? a, y0 ? 2b) , 得 ( x2 ? a)( y0 ? 2b) ? 2b( x0 ? a) ,

??? ?

??? ?

? a ? x2 ?

2b(a ? x0 ) 2b(a ? x0 ) ,即 FB ? . ………….. 11 分 y0 ? 2b y0 ? 2b
2 2 2

4b (a ? x0 ) x2 y 2 又 0 ? 0 ? 1 ,? AE ? FB ? ?

4a 2 y02 ( y0 ? 2b) 2

a2

b2

( y0 ? 2b) 2

.

………….. 13 分

而 EF ? 2a ? AE ? FB ? 2a ? …………..15 分

2b( x0 ? a) 2b(a ? x0 ) 2ay0 4ab . ? ? 2a ? ? y0 ? 2b y0 ? 2b y0 ? 2b y0 ? 2b

? EF 2 ? AE ? FB ,即有 AE, EF , FB 成等比数列.

…………..16 分

11


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