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山东省济南市2013届高三1月教学质量调研考试数学(文)试题


2013 年 1 月高三教学质量调研考试 文 科 数 学
本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页. 训练时间 120 分钟,满分 150 分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题 卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用

2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不 能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修 正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 柱体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 是柱体的底面积, h 是柱体的高.

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合 题目要求的. 1.复数

3?i ? 1? i A. 1 ? 2i

2. 已知集合 A ? x 3x ? 2 ? 0 ,B ? x ? x ? 1?? x ? 3? ? 0 , A ? B 则 = A. ? ??, ?1? D. ?3,??? 3.设 f ? x ? ? ? B. ? ?1, ? ? 开始

?

B. 1 ? 2i

?

?

C. 2 ? i

?

D. 2 ? i

? ?

2? 3?

C.

? 2 ? ? ? ,3 ? ? 3 ?

输入 n

? x2 , x ? 0
x ?2 , x ? 0

,则 f ? f ? ?1? ? = ? ? k=k+1 否

k ?0
=3

A. 1 B. 2 C4 D. 8 4.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2n 2 ? 1, 则 a3 ? A. -10 B. 6
2 2 2

n ? 2n ? 1

C. 10

D. 14

n ? 100
是 输出 k (第 6 题)

5.在 ?ABC 中,若 a ? c ? b ? 3ab ,则 C= A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 6.如图在程序框图中,若输入 n ? 6 , 则输出 k 的值是 A. 2 B. 3

结束

C. 4

D. 5

7.设 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ?1 ? 0 与直线 l2 : x ? ? a ?1? y ? 4 ? 0 平行”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8.把函数 y ? sin x 的图象上所有的点向左平

? 个单位长度,再把所得图象上所有点的横 6 1 坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得到的图 2
行移动 象所表示的函数解析式是 A. y ? sin ? 2 x ?

? ?

?? ? x ?? ? B. y ? sin ? ? ? 3? ?2 6?

C. y ? sin ? 2 x ?

? ?

?? ? 6?

D. y ? sin ? 2 x ?

? ?

?? ? 6?

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 9.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 , 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 ?y ?1? 0 ? 2 2 2
A.6 B.3 C.

3 2

D.1

2 2 正视图 侧视图

10.若某几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示,则此 几何体的体积是 A. 36 cm3 C. 60 cm3 B. 48 cm3 D. 72 cm3

x 11.已知函数 f ? x ? ? 2 ? 2 ,则函数 y ? f ? x ? 的图象可能是

4 俯视图 (第 10 题)

12.已知椭圆方程 A. 2

x2 y 2 ? ? 1 ,双曲线的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率 4 3 B. 3 C. 2 D. 3

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为 11: 8 : 6 ,从中抽取 200 名职员作为样本,则应抽取 青年职员的人数为____________. 14.若 a ? ?1, ?2 ? , b ? ? x,1? ,且 a ? b ,则 x =

?

?

?

?

.

15.圆心在原点,并与直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 相切的圆的方程为

.

16 . 定 义在 R 上 的 函数 f ? x ? 满 足 f ? ?x ? ? ? f ? x ? , f ? x ? 2? ? f ? x ? 2? , 且 x ? ? ?2,0? 时 ,

f ? x ? ? 2x ?

1 ,则 f ? 2013? = 2

.

三、计算题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17.(本小题满分 12 分) 已知向量 a = ? sin x,

?

? ? ?

? ? 3? ? ?1 ? ? , b ? ? , cos x ? , f ( x) ? a ? b . 2 ? ?2 ? ?

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调递增区间.

18. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a2 ? 4 , a3 ? a4 ? 17 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 2 n
a ?2

,证明数列 ?bn ? 是等比数列并求其前 n 项和 Tn .

19. (本小题满分 12 分)

M 如图, 已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AA1 ? 底面 ABC ,AC ? BC , , N
分别是棱 CC1 , AB 中点. (1)求证: CN ? 平面 ABB1 A ; 1 (2)求证: CN // 平面 AMB1 .

(第 19 题)

20. (本小题满分 12 分) 某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结果按如下方式分成五 组:第一组 ?13,14) ,第二组 ?14,15) ,?,第五组 ?17,18? ,下图是按上述分组方法得到的频率分布 直方图. (1)若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好, 求该班在这次百米测试中成绩良好的人数; (2)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个 成绩的差的绝对值大于 1 的概率.
频率/组距

0.36 0.28 0.24

0.08 0.04 秒

21.(本小题满分 13 分) 如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c , , 0) a 2 b2

y

F2 (c , .已知点 M ( 3, 0)

2 ) 在椭圆上, 2

且点 M 到两焦点距离之和为 4. (1)求椭圆的方程; (2)设与 MO ( O 为坐标原点)垂直的直线交椭圆于 A, B ( A, B 不重 合),求 OA? OB 的取值范围.

A O B

M x

(第 21 题)

22. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? ? 2 ? a ? ln x ?

1 ? 2ax(a ? 0) . x

(1)当 a ? 0 时,求 f ? x ? 的极值; (2)当 a ? 0 时,讨论 f ? x ? 的单调性; (3) 若对任意的 a ? ? ?3, ?2? , x1, x2 ??1,3?, 恒有 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立, 求实数

m 的取值范围.

2013 届高三教学质量调研考试 文 科 数 学 参考答案
一、选择题

1.D 2. D 3. B 4.C 5.A 6.B 7. A 8.D 9. A 10. B 11. B 12. C 二、填空题 13.88 14.2 15. x2 ? y 2 ? 4 16. ?1

三、解答题 17. 解:(1) f ( x) ? a ? b ?

1 3 sin x ? cos x 2 2

……………………… ………………………

2分

? sin x cos ? sin( x ?

?
3

? cos x sin

?
3

4分

?
3

).

………………………

6分 8分

(2)由 ? 得?

?
2

? 2 k? ? x ?

?
3

?

?
2

? 2k? , k ? Z

……………………… ……………………… 10 分

5? ? ? 2 k? ? x ? ? 2 k? , k ? Z 6 6

∴函数 y ? f ( x) 的单调递增区间是 [ ?

5? ? ? 2 k? , ? 2 k? ] , k ? Z 6 6

……12 分

18. 解:(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d .由题意知

?a3 ? a4 ? a1 ? 2d ? a1 ? 3d ? 17, ? ?a2 ? a1 ? d ? 4,
解得, a1 ? 1 , d ? 3 , ∴ an ? 3n ? 2 ( n ? N ) (2)由题意知, bn ? 2
an ?2
?

………………………

4分

………………………

6分

? 23n ( n ? N ? ),
……………………… 8分

bn?1 ? 23( n?1) ? 23n?3 ( n ? N ? , n ? 2 )
bn 23n ∴ ? 3n?3 ? 23 ? 8 ( n ? N ? , n ? 2 ),又 b1 ? 8 bn?1 2
∴ ?bn ? 是以 b1 ? 8 ,公比为 8 的等比数列.

………………………

10 分

Tn ?

8 ?1 ? 8n ? 1? 8

?

8 n ?8 ?1? . 7

………………………

12 分

19. (1)证明:∵三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 底面 ABC .

又 CN ? 平面 ABC , ∴ AA1 ? CN . ∵ AC ? BC , N 是 AB 中点, ∴ CN ? AB .

????????????? 2 分

???????????????????? 4 分

∵ AA1 I AB ? A , AA1 ? 平面 ABB1 A , AB ? 平面 ABB1 A 1 1 ∴ CN ? 平面 ABB1 A . 1 ????????????????????? 6 分

(2)证明:取 AB1 的中点 G ,连结 MG , NG , ∵ N , G 分别是棱 AB , AB1 中点, ∴ NG // BB1 , NG ? 又∵ CM // BB1 , CM ?

1 BB1 . 2

??????? 8 分

1 BB1 , 2

∴ CM // NG , CM ? NG . ∴四边形 CNGM 是平行四边形. ∴ CN // MG . ??????????????????????? 10 分

∵ CN ? 平面 AMB1 , GM ? 平面 AMB1 , ∴ CN// 平面 AMB1 . ????????????????????? 12 分

20. 解: (1)由频率分布直方图知,成绩在 [14,16) 内的人数为:50 ? 0.28 ? 50 ? 0.36 ? 32(人)… 3分 所以该班成绩良好的人数为 32 人. ……………………… 5分

(2)由频率分布直方图知,成绩在 [13,14) 的人数为 50 ? 0.04 ? 2 人,设为 x 、 y ;… 6 分 成绩在 [17,18) 的人数为 50 ? 0.08 ? 4 人,设为 A 、 B 、 C 、 D 若 m, n ?[13,14) 时,有 xy 1 种情况; …… 7分 8分 9分

……………………… ……………

若 m, n ?[17,18) 时,有 AB, AC, AD, BC, BD, CD 6 种情况; 若 m, n 分别在 [13,14) 和 [17,18) 内时, A B C D

x y 共有 8 种情况.

xA yA

xB yB

xC yC

xD yD ……………………… 10 分

所以基本事件总数为 15 种,事件“ | m ? n |? 1 ”所包含的基本事件个数有 8 种. ∴ P ( | m ? n |? 1 ) ?

8 . 15

………………………

12 分

21.解:(1)∵2a=4, ∴a=2. 又 M ( 3,
2

………… …………

2分 4分 A Y

3 1 2 ) 在椭圆上,∴ ? 2 ? 1 4 2b 2

解得: b ? 2 , ∴所求椭圆方程

M O B X

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

………………………

6分

(2) k MO ?

6 ,∴ k AB ? ? 6 . 6

设直线 AB 的方程: y ? ? 6 x ? m ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 联立方程组 ? 4 消去 y 得: 13x ? 4 6mx ? 2m ? 4 ? 0 .……………… 2 ? y ? ? 6x ? m ?

8分

? ? (4 6m)2 ? 4 ?13(2m2 ? 4) ? 8(12m2 ? 13m2 ? 26) ? 0 ,
∴ m ? 26 .
2

x1 ? x2 ?

2m 2 ? 4 4 6m , x1 x2 ? . 13 13

………………………

10 分

设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 7 x1 x2 ? 6m( x1 ? x2 ) ? m ?
2

3m2 ? 28 . ………………… 13
………………………

12 分

∴ OA? OB 的取值范围 [ ?

28 50 , ). 13 13

13 分

22.解:(1)当 a ? 0 时, f ? x ? ? 2 ln x ? 由 f ?? x? ?

1 2 1 2x ?1 , f ?? x? ? ? 2 ? ( x ? 0). ……… x x x x2
………………………

1分 2分

2x ?1 1 ? 0 ,解得 x ? . 2 x 2

∴ f ? x ? 在 ? 0, ? 上是减函数,在 ? ∴ f ? x ? 的极小值为 f ?

? ?

1? 2?

?1 ? , ?? ? 上是增函数. ?2 ?

………………………

3分

?1? ? ? 2 ? 2ln 2 ,无极大值. ?2?

………………………

4分

2ax 2 ? ? 2 ? a ? x ? 1 ? ax ? 1?? 2 x ? 1? 2?a 1 (2) f ? ? x ? ? ? 2 ? 2a ? ? ( x ? 0) . x x x2 x2
①当 ?2 ? a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, ? 和 ? ?

……

6分

? ?

1? 2?

? 1 ? ?1 1? , ?? ? 上是减函数,在 ? , ? ? 上是增函数;………7 分 ? a ? ?2 a?
……………………… 8分

②当 a ? ?2 时, f ? x ? 在 ? 0,??? 上是减函数; ③当 a ? ?2 时, f ? x ? 在 ?

1? ?1 ? ? ? 1 1? , ?? ? 和 ? 0, ? ? 上是减函数,在 ? ? , ? 上是增函数.…… a? ?2 ? ? ? a 2?

9分

(3)当 ?3 ? a ? ?2 时,由(2)可知 f ? x ? 在 ?1,3? 上是减函数, ∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ?1? ? f ? 3? ?

2 ? 4a ? ? a ? 2 ? ln 3 . 3

………………………

10 分

由 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 对任意的 a ? ? ?3, ?2? , x1, x2 ??1,3? 恒成立, ∴ ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? max 即 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? 即 m ? ?4 ? ……………………… 11 分

2 ? 4a ? ? a ? 2 ? ln 3 对任意 ?3 ? a ? ?2 恒成立, 3
……………………… ……………………… 12 分 13 分

2 对任意 ?3 ? a ? ?2 恒成立, 3a 13 2 38 13 ? ?4 ? ? ? ,∴ m ? ? . 由于当 ?3 ? a ? ?2 时, ? 3 3a 9 3


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