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【高三总复习】2013高中数学技能特训:2-1 函数及其表示(人教B版) 含解析 Word版含答案]


2-1 函数及其表示 基础巩固强化 b 1.a、b 为实数,集合 M={a,1},N={a,0},f 是 M 到 N 的映射, f(x)=x,则 a+b 的值为( A.-1 [答案] C b b [解析] ∵f(x)=x,∴f(1)=1=a,若 f(a)=1,则有a=1,与集合 元素的互异性矛盾, b ∴f(a)=0,∴b=0,∴a+b=1. B.0 ) C.1 D.± 1

/>
?x +1,x≤1, 2.(文)(2012· 江西文,3)设函数 f(x)=?2 ?x,x>1.
=( ) 1 A.5 2 C.3 [答案] D [解析] 本题考查分段函数求值问题, 2 由条件知 f(3)=3, 2 2 13 f(f(3))=f(3)=(3)2+1= 9 .
? ?2x+1,x≤0, (理)已知函数 f(x)=? 则 f(2014)等于( ?f?x-3?,x>0, ?

2

则 f(f(3))

B.3 13 D. 9

)

A.-1

B.1

C.-3 [答案] C [解析] 2)+1=-3.

D.3

f(2014)=f(2011)=f(2008)= ??=f(1)=f(-2)=2×(-

f?2x? 3.若函数 f(x)的定义域是[0,4],则函数 g(x)= x 的定义域是 ( ) A.[0,2] C.(0,2] [答案] C
? ?0≤2x≤4, [解析] ∵? ∴0<x≤2,故选 C. ?x≠0. ?

B.(0,2) D.[0,2)

4.已知函数 f(x)是奇函数,且定义域为 R,若 x>0 时,f(x)=x +2,则函数 f(x)的解析式为( A.f(x)=x+2
?x+2 ? C.f(x)=? ?x-2 ?

) B.f(x)=|x|+2

x>0 x<0

x+2 x>0 ? ? D.f(x)=?0 x=0 ? ?x-2 x<0

[答案] D [解析] ∵f(x)为奇函数,且定义域为 R, ∴f(0)=0. 设 x<0,则-x>0,则 f(x)=-f(-x)=-[(-x)+2] =x-2. 2 5.(文)函数 f(x)= x 的值域是( 2 -2 A.(-∞,-1) ) B.(-1,0)∪(0,+∞)

C.(-1,+∞) [答案] D [解析]

D.(-∞,-1)∪(0,+∞)

1 =2x-1-1>-1, 结合反比例函数的图象可知 f(x)∈(- f ?x ?

∞,-1)∪(0,+∞). 1 (理)(2011· 茂名一模)若函数 y=f(x)的值域是[2,3],则函数 F(x) 1 =f(x)+ 的值域是( f ?x ? 1 A.[2,3] 5 10 C.[2, 3 ] [答案] B [解析] 1 1 1 令 t=f(x),则2≤t≤3,由函数 g(t)=t+ t 在区间[2,1] ) 10 B.[2, 3 ] 10 D.[3, 3 ]

1 5 10 上是减函数,在[1,3]上是增函数,且 g(2)=2,g(1)=2,g(3)= 3 ,可 10 得值域为[2, 3 ],选 B.

?2 6. 若函数 f(x)=? 1 ?log2x
是( )

x

x≤1, x>1. 则函数 y=f(2-x)的图象可以

[答案] A

[分析] 可依据 y=f(-x)与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,及 y= f(2-x)可由 y=f(-x)的图象向右平移两个单位得到来求解, 也可直接 求出 y=f(2-x)的解析式取特值验证. [解析] 由函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称得到 y=f(-x)的图 象,再把 y=f(-x)的图象向右平移 2 个单位得到 y=f(2-x)的图象, 故选 A. 7.(文)函数 y= log2?4-x?的定义域是________. [答案] (-∞,3] [解析] 要使函数有意义,应有 log2(4-x)≥0, ∵4-x≥1,∴x≤3. (理)(2011· 安徽文,13)函数 y= [答案] (-3,2) [解析] 由 6-x-x2>0,得 x2+x-6<0, 即{x|-3<x<2}. 1-x2 1 8.(文)如果函数 f(x)= 2,那么 f(1)+f(2)+?f(2012)+f( )+ 2 1 +x 1 1 f(3)+?+f(2012)的值为________. [答案] 0 1-x2 x2-1 1 1-x [解析] 由于 f(x)+f(x )= + 1 2=1+x2+x2+1=0,f(1) 1+x2 1+?x? =0,故该式值为 0. (理)规定记号“⊕”表示一种运算, 且 a⊕b= ab+a+b+1, 其 中 a、 b 是正实数, 已知 1⊕k=4, 则函数 f(x)=k⊕x 的值域是________. [答案] (2,+∞)
2

1 的定义域是________. 6-x-x2

1 1-?x?2

[解析] 1⊕k= k+k+2=4,解之得 k=1, ∴f(x)= x+x+2,由于“⊕”的运算对象是正实数,故 x>0, ∴f(x)>2. 4 9. (2011· 洛阳模拟)已知函数 f(x)= -1 的定义域是[a, b](a、 |x|+2 b∈Z),值域是[0,1],则满足条件的整数数对(a,b)共有________个. [答案] 5 4 4 [解析] 由 0≤ -1≤1,即 1≤ ≤2 得 |x|+2 |x|+2 0≤|x|≤2, 满足条件的整数数对有(-2,0), (-2,1), (-2,2), (0,2), (-1,2)共 5 个. [点评] 数对(a,b)的取值必须能够使得|x|的取值最小值为 0,最 大值为 2,才能满足 f(x)的值域为[0,1]的要求. 10. (2012· 北京海淀期中)某工厂生产某种产品, 每日的成本 C(单 位:元)与日产量 x(单位:t)满足函数关系式 C=10 000+20x,每日的 销 售 额 R( 单 位 : 元 ) 与 日 产 量 x 的 函 数 关 系 式 为 R =

?- 1 x3+ax2+290x,0<x<120, ? 30 ?20 400,x≥120.
已知每日的利润 y=R-C,且当 x=30 时,y=-100. (1)求 a 的值; (2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最 大值. [解析] (1)∵当 x=30 时,y=-100, 1 ∴-100=-30×303+a×302+270×30-10 000, ∴a=3.

1 (2)当 0<x<120 时,y=-30x3+3x2+270x-10 000. 1 令 y′=-10x2+6x+270=0, 可得:x1=90,x2=-30(舍去), 所以当 x∈(0,90)时,原函数是增函数,当 x∈(90,120)时,原函 数是减函数. ∴当 x=90 时,y 取得极大值 14 300. 当 x≥120 时,y=10 400-20x≤8 000. 所以当日产量为 90t 时,每日的利润可以达到最大值 14 300 元. 能力拓展提升
? ?log2x,x>0, 11.(文)已知函数 f(x)=? x 若 f(1)+f(a)=2,则 a 的值 ?2 ,x≤0. ?

为(

) A.1 [答案] C [解析] ∵f(1)=0,∴f(a)=2,∴log2a=2(a>0)或 2a=2(a≤0), B.2 C.4 D.4 或 1

解得 a=4 或 a=1(舍),故选 C.
?sin?πx2? ? (理)函数 f(x)=? x-1 ? ?e

?-1<x<0?, ?x≥0?.

若 f(1)+f(a)=2, 则a的

所有可能值为( A.1 2 C.- 2 [答案] B

) 2 B.1,- 2 2 D.1, 2

[解析] f(1)=1,

当 a≥0 时,f(a)=ea-1,∴1+ea-1=2, ∴a=1, 当-1<a<0 时,f(a)=sin(πa2), ∴1+sin(πa2)=2, π ∴πa2=2+2kπ(k∈Z), 2 ∵-1<a<0,∴a=- 2 ,故选 B.
? ??3-a?x-4a ?x<1?, 12.已知 f(x)=? 是(-∞,+∞)上的增函 ?logax ?x≥1?. ?

数,那么 a 的取值范围是( A.(1,+∞) 3 C.[5,3) [答案] D

) B.(-∞,3) D.(1,3)

[解析] 解法 1:由 f(x)在 R 上是增函数, ∴f(x)在[1,+∞)上单增,由对数函数单调性知 a>1,① 又由 f(x)在(-∞,1)上单增,∴3-a>0,∴a<3,② 又由于 f(x)在 R 上是增函数, 为了满足单调区间的定义, f(x)在(- ∞,1]上的最大值 3-5a 要小于等于 f(x)在[1,+∞)上的最小值 0, 才能保证单调区间的要求, 3 ∴3-5a≤0,即 a≥5,③ 由①②③可得 1<a<3. 3 解法 2:令 a 分别等于5、0、1,即可排除 A、B、C,故选 D. [点评] f(x)在 R 上是增函数,a 的取值不仅要保证 f(x)在(-∞, 1)上和[1, +∞)上都是增函数, 还要保证 x1<1, x2≥1 时, 有 f(x1)<f(x2).

13.(2012· 丽水模拟)函数 则 x0 的值为________. [答案] -1 或 1

?2 -1,x≤0, f(x)=? 1 ?x2,x>0,

-x

若 f(x0)=1,

[解析] 当 x0≤0 时,f(x0)=2-x0-1,∵f(x0)=1, 1 ∴2-x0-1=1,∴2-x0=2,∴x0=-1;当 x0>0 时,f(x0)=x20, 1 ∵f(x0)=1,∴x20=1,∴x0=1. 综上可得 x0 的值为-1 或 1. 14.(2013· 四川省内江市第一次模拟)设函数 f(x)=|x|x+bx+c, 则下列命题中正确命题的序号有________. ①函数 f(x)在 R 上有最小值; ②当 b>0 时,函数在 R 上是单调增函数; ③函数 f(x)的图象关于点(0,c)对称; ④当 b<0 时,方程 f(x)=0 有三个不同实数根的充要重要条件是 b2>4|c|; ⑤方程 f(x)=0 可能有四个不同实数根. [答案] ②③④ [解析]
?x2+bx+c ?x≥0? ? f(x)=? 2 ? ?-x +bx+c ?x<0?

取 b=0 知,①⑤错; 容易判断②,③正确;b<0 时,方程 f(x) b2 b2 =0 有三个不同实数根,等价于 c- 4 <0 且 c+ 4 >0,∴b2>4c 且 b2> -4c,∴b2>4|c|,故填②、③、④. 1 15.(文)函数 f(x)=x2+x-4.

(1)若定义域为[0,3],求 f(x)的值域; 1 1 (2)若 f(x)的值域为[-2,16],且定义域为[a,b],求 b-a 的最大 值. 1 1 [解析] ∵f(x)=(x+2)2-2, 1 ∴对称轴为 x=-2. 1 (1)∵3≥x≥0>-2, ∴f(x)的值域为[f(0),f(3)], 1 47 即[-4, 4 ]; 1 1 (2)∵x=-2时,f(x)=-2是 f(x)的最小值, 1 1 1 ∴x=-2∈[a,b],令 x2+x-4=16, 5 1 得 x1=-4,x2=4, 5 1 1 5 根据 f(x)的图象知当 a=-4,b=4时,b-a 取最大值4-(-4)= 3 2.

(理)已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1.

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 y=f(x2-2)的值域. [解析] (1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 又 f(0)=0,∴c=0,即 f(x)=ax2+bx. 又 f(x+1)=f(x)+x+1. ∴a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1. ∴(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1,
? ?2a+b=b+1, ∴? ?a+b=1, ?

1 ? a = ? 2, 解得? 1 ? b = ? 2.

1 1 ∴f(x)=2x2+2x. 1 1 (2)由(1)知 y=f(x2-2)=2(x2-2)2+2(x2-2) 1 1 3 1 =2(x4-3x2+2)=2(x2-2)2-8, 3 1 当 x2=2时,y 取最小值-8. 1 ∴函数 y=f(x2-2)的值域为[-8,+∞). 16. (文)某地区预计 2011 年的前 x 个月内对某种商品的需求总量 1 f(x)( 万件 ) 与月份 x 的近似关系式是 f(x) = 75 x(x + 1)(19 - x) , x ∈ N*,1≤x≤12,求: (1)2011 年的第 x 月的需求量 g(x)(万件)与月份 x 的函数关系式. (2)求第几个月需求量 g(x)最大. 1 [解析] (1)第 x 月的需求量为 g(x)=f(x)-f(x-1)=75x(x+1)(19

1 1 -x)-75(x-1)x(20-x)=25x(13-x). 1 1 (2)g(x)=25(-x2+13x)=-25[42.25-(x-6.5)2],因此当 x=6 或 7 时 g(x)最大. 第 6、7 月需求量最大. (理)某种商品在 30 天内每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)的函数 关系如图所示:

该商品在 30 天内日销售量 Q(件)与时间 t(天)之间的关系如表所 示: 第t天 Q(件) 5 35 15 25 20 20 30 10

(1)根据提供的图象, 写出该商品每件的销售价格 P 与时间 t 的函 数关系式; (2)在所给直角坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(t,Q) 的对应点,并确定日销售量 Q 与时间 t 的一个函数关系式; (3)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的 一天是 30 天中的第几天?(日销售金额=每件的销售价格×日销售 量) [解析]
? ?t+20 (1)P=? ?-t+100 ?

?0<t<25,t∈N*?, ?25≤t≤30,t∈N*?.

(2)图略,Q=40-t(t∈N*). (3)设日销售金额为 y(元),
2 ? ?-t +20t+800 则 y=? 2 ?t -140t+4000 ?

?0<t<25,t∈N*?, ?25≤t≤30,t∈N*?.

2 * ? ?-?t-10? +900 ?0<t<25,t∈N ?, 即 y=? 2 * ??t-70? -900 ?25≤t≤30,t∈N ?. ?

若 0<t<25(t∈N*), 则当 t=10 时,ymax=900; 若 25≤t≤30(t∈N*),

则当 t=25 时,ymax=1125. 由 1125>900,知 ymax=1125, ∴这种商品日销售金额的最大值为 1125 元,30 天中的第 25 天 的日销售金额最大.

1.设 a<b,函数 y=(x-a)2(x-b)的图象可能是(

)

[答案] C [解析] x>b 时,y>0,排除 A、B;又 x=b 是变号零点,x=a 是不变号零点,排除 D,故选 C.
? ?8x-8,x≤1, 2 . (2011· 北京东城综合练习 ) 已知函数 f(x) = ? ?0,x>1, ?

g(x)=log2x,则 f(x)与 g(x)两函数图象的交点个数为( A.4 C.2 [答案] C B.3 D.1

)

[解析] 如图, 函数 g(x)的图象与函数 f(x)的图象交于两点, 且均 在函数 y=8x-8(x≤1)的图象上.故选 C.

1-x ? ?2 -1 3.设函数 f(x)=? ?lgx ?

?x<1?, ?x≥1?.

若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围

是(

) A.(-∞,0)∪(10,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-2)∪(-1,10) D.(0,10) [答案] A [解析]
? ?x0≥1, ?x0<1, ? 由条件知, 或? ?21-x0-1>1, ?lgx0>1. ?

∴x0<0 或 x0>10. 4.(2012· 东北三校二模)函数 y=xln(-x)与 y=xlnx 的图象关于 ( ) A.直线 y=x 对称 C.y 轴对称 [答案] D [解析] 若点(m,n)在函数 y=xlnx 的图象上,则 n=mlnm,所以 B.x 轴对称 D.原点对称

-n=-mln[-(-m)], 可知点(-m, -n)在函数 y=xln(-x)的图象上, 反之亦然,而点(m,n)与点(-m,-n)关于原点对称,所以函数 y= xlnx 与 y=xln(-x)的图象关于原点对称,故选 D. 5.已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b)的图象如下图所示,则 函数 g(x)=ax+b 的图象是( )

[答案] A [解析] ∵f(x)=(x-a)(x-b)的两个零点为 a 和 b 且 a>b, 由图象 知 0<a<1,b<-1,∴g(x)=ax+b 单调减,且 g(0)=1+b<0,故选 A. 1 6.函数 f(x)=|log2x|的定义域是[a,b],值域为[0,2],对于区间 [m, n], 称 n-m 为区间[m, n]的长度, 则[a, b]长度的最小值为( 15 A. 4 C.4 [答案] D B.3 3 D.4 )

1 1 [解析] 令 f(x)=0 得, x=1, 令 f(x)=2 得, log2x=± 2, ∴x=4或 1 4,∴当 a=4,b=1 时满足值域为[0,2],故选 D. 7.如图,动点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上, 过点 P 作垂直于平面 BB1D1D 的直线,与正方体表面相交于 M、N. 设 BP=x,MN=y,则函数 y=f(x)的图象大致是( )

[答案] B [解析] 解法 1:取 AA1、CC1 的中点 E、F,EF 交 BD1 于 O,

则 EF∥AC,∵AC⊥BD,AC⊥BB1, ∴AC⊥平面 BDD1B1,∴EF⊥平面 BDD1B1, ∴平面 BED1F⊥平面 BDD1B1, 过点 P 作 MN∥EF,则 MN⊥平面 BDD1B1, BP MN EF MN 交 BE、BF 于 M、N,则BO= EF ,∴MN=BO· BP, 不难看出当 P 在 BO 上时,y 是 x 的一次增函数, 当 P 在 OD1 上时,y 是 x 的一次减函数,故选 B. 解法 2:连接 AC,A1C1,则 MN∥AC∥A1C1,当且仅当 P 为 BD1 的中点 Q 时,MN=AC 取得最大值,故答案 A,C 错,又当 P 为 BQ 1 中点时,MN=2AC,故答案 D 错,所以选 B. 8.已知函数 f(x)的值域为[0,4],(x∈[-2,2]),函数 g(x)=ax-1, x∈[-2,2],?x1∈[-2,2],总?x0∈[-2,2],使得 g(x0)=f(x1)成立, 则实数 a 的取值范围是______. 5? ?5 ? ? [答案] ?-∞,-2?∪?2,+∞?
? ? ? ?

[解析] 只需要函数 f(x)的值域是函数 g(x)值域的子集即可.

(1)当 a>0 时,g(x)=ax-1 单调递增,∵x∈[-2,2],
? ?-2a-1≤0 ∴-2a-1≤g(x)≤2a-1,要使条件成立,只需? , ?2a-1≥4 ?

5 ∴a≥2. (2)当 a<0 时,g(x)=ax-1 单调递减. ∵x∈[-2,2],∴2a-1≤g(x)≤-2a-1,要使条件成立,
? ?2a-1≤0 只需? ?-2a-1≥4 ?

1 ? a ≤ ? 2 ,∴? 5 ? a ≤ - ? 2
? ?

5 ,∴a≤-2.

5? ?5 ? ? 综上,a 的取值范围是?-∞,-2?∪?2,+∞?.
? ?

9.(2011· 安徽省淮南市高三第一次模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)· f(x+2)=13,若 f(1)=2,则 f(2015)=________. [答案] 13 2 13 13 = 13 =f(x), f?x+2? f ?x ?

[解析] ∵f(x+4)=

∴函数 f(x)的周期为 4, 13 13 所以 f(2015)=f(4×503+3)=f(3)= = 2 . f?1?

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