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上海市延安中学2013学年度第一学期期中考试(高二数学)


上海市延安中学 2013 学年度第一学期期中考试(高二数学) (考试时间:90 分钟 满分:100 分)

班级______________姓名______________学号________________成绩______________ 一、填空题(本大题共 39 分,每小题 3 分) 1、计算行列式:

2 ?1 =_________

__. 3 2

2、若 a ? (3, ?1) , b ? (?3, 2) ,则 a ? b =___________. 3、若 a ? (2,6) , b ? (?2, 4) ,则 2a ? b =___________.

4、 lim

3n 2 ? 4n ? 2 =___________. n ?? 3 ? 2n 2

?1 1? ?1 2 3 ? ? ? 5、已知矩阵 A ? ? ? , B ? ? 0 ?1? ,则 AB =___________. ?1 4 1 ? ? ?1 2 ? ? ?
6、已知 P 1P ?

3 ? =___________. PP2 ,又 PP2 ? ?P2P 1 ,则实数 2
2 5 k 4 中第 2 行第 1 列元素的代数余子式的值为 ?2

4
7、行列式 ?3

?1 1

?10 ,则实数 k =___________.
8、如图是一个算法的流程图,则最后输出的 S =___________. 9、设 f (n) ?

1 1 1 ? ? ? n ?1 n ? 2 n ? 3

?

1 2 ,则 lim n [ f (n ? 1) ? f (n)] =___________. n ?? 2n

10、设 e1 , e2 为单位向量,且 e1 , e2 的夹角为 向上的投影为___________.

? ,若 a ? e1 ? 3e2 , b ? 2e1 ,则向量 a 在 b 方 3

11 、 向 量 a, b, c 在 正 方 形 网 格 中 的 位 置 如 图 所 示 , 若

c ? ? a ? ?b (? , ? ? R) ,则

? =___________. ?

12 、已知 ?ABC 的面积为 1 ,在 ?ABC 所在平面内有两点 P, Q ,满足 PA ? PC ? 0 ,

QA ? QB ? QC ? BC ,则四边形 BCPQ 的面积为___________.
13、设 n 阶方阵

1 3 5 ? ? 2n ? 3 2n ? 5 ? 2n ? 1 An ? ? 4n ? 1 4n ? 3 4n ? 5 ? ? ? 2n(n ? 1) ? 1 2n( n ? 1) ? 3 2n( n ? 1) ? 5 ?

2n ? 1 ? ? 4n ? 1 ? 6n ? 1 ? , ? ? 2n 2 ? 1 ? ?

任取中 An 的一个元素,记为 x1 ;划去 An 所在的行和列,将剩下的元素按原来的位置关系组 成 n ? 1 阶方阵 An?1 ,任取 An?1 中的一个元素,记为 x2 ;划去 x2 所在的行和列,……;最后 剩下一个元素记为 xn ,记 Sn ? x1 ? x2 ?

? xn ,则 lim

Sn =___________. n ?? n ? 1
3

二、选择题(本大题共 12 分,每小题 3 分) 14、已知点 A(1, 2) , B(4, ?2) ,则与 AB 平行的单位向量的坐标为( (A) ? , ? (D) ? , ? )

?3 ?5 ?3 ?5

4? ? 5?

(B) ? ? ,

? 3 4? ? ? 5 5?

(C) ? , ?

?3 ?5

4? ? 3 4? ? 和?? , ? 5? ? 5 5?

4? ? 3 4? ?3 4? ? 3 4? ? 和?? , ? 和? , ?和?? ,? ? 5? ? 5 5? ?5 5? ? 5 5?


15、方程组 ?

?x ? 2 y ? 3 ? 0 的增广矩阵是( ? y ? 4x ? 2 ? 0
(B) ?

(A) ?

?1 ?2 ? ? ?1 ?4 ?

? 1 ?2 ? ? ? ?4 1 ?

(C) ?

? 1 ?2 3 ? ? ? ?4 1 ?2 ?

(D)?

? 1 ?2 ?3 ? ? ? ?4 1 2 ?

16、 无穷等比数列 {an } 的各项和为 S , 若数列 {bn } 满足 bn ? a3n?2 ? a3n?1 ? a3n , 则数列 {bn } 的各项和为( (A) S ) (B) 3S (C) S
2

(D) S

3

17、设 a 是已知平面向量且 a ? 0 ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b ,一定存在向量 c ,使 a ? b ? c ; ② 给定向量 b 和 c ,一定存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ?b ? ? c ; ③ 给定单位向量 b 和正数 ? ,一定存在单位向量 c 和实数 ? ,使得 a ? ?b ? ? c ;

④ 给定正数 ? 和 ? ,一定存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ?b ? ? c ; 上述命题中向量在同一平面内且两两不平行,则真命题个数是( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 )

三、简答题(本大题共 49 分) 18、 (本题 6 分)解关于 x, y 的方程组 ?

?mx ? y ? m ? 1 ,并对解的情况进行讨论. ? x ? my ? 2m

19、 (本题 7 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,a1 ? 2 , 对任意的 n ? N , 向量 a ? (?1, an ) ,
*

b ? (an?1, q) ( q 是常数, q ? 0 )都满足 a ? b ,求 lim

Sn . n ?? S n ?1

20、 (本题 9 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 5 分) 在 ?ABC 中, AB ? 4 , AC ? 2 , D 是 BC 边上一点, AD ? (1)求证: ?BAD ? ?CAD ; (2)若 AD ?

1 2 AB ? AC . 3 3

6 ,求 BC 的值.

21、 (本题 13 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 5 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1 , Sn ? nan ? 2n(n ? 1) (n ? N * ) . (1)求证:数列 {an } 为等差数列,并求出其通项公式; (2)若 S1 ?

S 2 S3 ? ? 2 3

?

Sm ? 400 ,求正整数的 m 值; m

(3)是否存在正整数 k ,使得 lim ? 出 k 的值;若不存在,请说明理由.

1 1 ? ? n ?? a a ? k k ?1 ak ?1ak ? 2

?

?

1 ? 1 ?若存在,求 ?? an an?1 ? 2004

22、 (本题 14 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 4 分) 在直角坐标平面 xOy 上的一列点 A 1 (1, a1 ) , A2 (2, a2 ) ,…, An (n, an ) ,…,简记为 { An } . 若由 bn ? An An?1 ? j 构成的数列 {bn } 满足 bn?1 ? bn , n ? 1, 2, 向相同的单位向量,则称 { An } 为 T 点列. (1)判断 A1 (1, ?1) , A2 (2, ? ) , A3 (3, ? ) ,…, An ( n, ? 并说明理由; (2) 若 { An } 为 T 点列, 且点 A2 在点 A 证明任取其中连续三点 Ak 、Ak ?1 、Ak ?2 , 1 的右下方, 一定能构成钝角三角形; (3)若 { An } 为 T 点列,且对于任意 n ? N ,都有 bn ? 0 ,那么数列 {an } 是否一定存在极
*

,其中 j 为方向与 x 轴正方

1 2

1 4

1 ) ,…,是否为 T 点列, 2 n ?1

限?若是,请说明理由;若不是,请举例说明.

上海市延安中学 2013 学年度第一学期期中考试(高二数学) (考试时间:90 分钟 满分:100 分)

班级______________姓名______________学号________________成绩______________ 一、填空题(本大题共 39 分,每小题 3 分) 1、计算行列式:

2 ?1 =______ 7 _____. 3 2

2、若 a ? (3, ?1) , b ? (?3, 2) ,则 a ? b =______ ?11 _____. 3、若 a ? (2,6) , b ? (?2, 4) ,则 2a ? b =______ 10 _____.

4、 lim

3 3n 2 ? 4n ? 2 =_____ ? ______. 2 n ?? 2 3 ? 2n

?1 1? ? ?2 5 ? ?1 2 3 ? ? ? 5、已知矩阵 A ? ? ? , B ? ? 0 ?1? ,则 AB =_____ ? 0 ?1? ______. ? ? ?1 4 1 ? ? ?1 2 ? ? ?
6、 已知 P 1P ?

3 PP2 , 又P P 2 ?P ? P21 2
2 5 k

, 则实数 ? =_____ ?

2 ______. 5

4
7 、行列式 ?3

4 中第 2 行第 1 列元素的代数余子式的值为 ?2

?1 1

?10 ,则实数 k =_____ ?14 ______.
8、如图是一个算法的流程图,则最后输出的 S =_____ 36 ______. 9、设 f (n) ?

1 1 1 ? ? ? n ?1 n ? 2 n ? 3

?

1 1 2 ,则 lim n [ f (n ? 1) ? f (n)] =______ _____. n ?? 4 2n

10、设 e1 , e2 为单位向量,且 e1 , e2 的夹角为 向上的投影为______

? ,若 a ? e1 ? 3e2 , b ? 2e1 ,则向量 a 在 b 方 3

5 _____. 2

11 、 向 量 a, b, c 在 正 方 形 网 格 中 的 位 置 如 图 所 示 , 若

c ? ? a ? ?b (? , ? ? R) ,则

17 ? =_____ ______. 8 ?

12 、已知 ?ABC 的面积为 1 ,在 ?ABC 所在平面内有两点 P, Q ,满足 PA ? PC ? 0 ,

QA ? QB ? QC ? BC ,则四边形 BCPQ 的面积为_____
13、设 n 阶方阵

2 ______. 3

1 3 5 ? ? 2n ? 3 2n ? 5 ? 2n ? 1 An ? ? 4n ? 1 4n ? 3 4n ? 5 ? ? ? 2n(n ? 1) ? 1 2n( n ? 1) ? 3 2n( n ? 1) ? 5 ?

2n ? 1 ? ? 4n ? 1 ? 6n ? 1 ? , ? ? 2n 2 ? 1 ? ?

任取中 An 的一个元素,记为 x1 ;划去 An 所在的行和列,将剩下的元素按原来的位置关系组 成 n ? 1 阶方阵 An?1 ,任取 An?1 中的一个元素,记为 x2 ;划去 x2 所在的行和列,……;最后 剩下一个元素记为 xn ,记 Sn ? x1 ? x2 ? 提示:

? xn ,则 lim

Sn =______ 1 _____. n ?? n ? 1
3

0 0 0 ? ? 2n 2n ? 2n An ? ? 4n 4n 4n ? ? ? 2n(n ? 1) 2n(n ? 1) 2n(n ? 1) ?
从而 Sn ? x1 ? x2 ?
n n

? ?1 ? ? 2n ? ? 1 4n ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 2n(n ? 1) ? ? ?1 0

3 3 3 3

5 5 5 5

2n ? 1? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? ? ? 2n ? 1 ? ?

? xn ? ? 2n(k ? 1) ? ? 2k ? 1 ? 2n
k ?1 k ?1

(n ? 1)n 2n2 ? ? n3 2 2

二、选择题(本大题共 12 分,每小题 3 分) 14、已知点 A(1, 2) , B(4, ?2) ,则与 AB 平行的单位向量的坐标为( (A) ? , ? (D) ? , ? C )

?3 ?5 ?3 ?5

4? ? 5?

(B) ? ? ,

? 3 4? ? ? 5 5?

(C) ? , ?

?3 ?5

4? ? 3 4? ? 和?? , ? 5? ? 5 5?

4? ? 3 4? ?3 4? ? 3 4? ? 和?? , ? 和? , ?和?? ,? ? 5? ? 5 5? ?5 5? ? 5 5?
D )

15、方程组 ?

?x ? 2 y ? 3 ? 0 的增广矩阵是( ? y ? 4x ? 2 ? 0
(B) ?

(A) ?

?1 ?2 ? ? ?1 ?4 ?

? 1 ?2 ? ? ? ?4 1 ?

(C) ?

? 1 ?2 3 ? ? ? ?4 1 ?2 ?

(D)?

? 1 ?2 ?3 ? ? ? ?4 1 2 ?

16、 无穷等比数列 {an } 的各项和为 S , 若数列 {bn } 满足 bn ? a3n?2 ? a3n?1 ? a3n , 则数列 {bn } 的各项和为( (A) S A ) (B) 3S (C) S
2

(D) S

3

17、设 a 是已知平面向量且 a ? 0 ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ① 给定向量 b ,一定存在向量 c ,使 a ? b ? c ; ② 给定向量 b 和 c ,一定存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ?b ? ? c ; ③ 给定单位向量 b 和正数 ? ,一定存在单位向量 c 和实数 ? ,使得 a ? ?b ? ? c ; ④ 给定正数 ? 和 ? ,一定存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ?b ? ? c ; 上述命题中向量在同一平面内且两两不平行,则真命题个数是( (A)1 提示:① ② 为真命题 三、简答题(本大题共 49 分) 18、 (本题 6 分)解关于 x, y 的方程组 ? (B)2 (C)3 B )

(D)4

?mx ? y ? m ? 1 ,并对解的情况进行讨论. ? x ? my ? 2m

D?

m 1 m ?1 1 m m ?1 ? m2 ? 1 , Dx ? ? m(m ? 1) , Dy ? ? (2m ? 1)(m ? 1) 1 m 2m m 1 2m
m 2m ? 1 , ); m ?1 m ?1

当 m ? 1 且 m ? ?1 ,即 D ? 0 ,方程组有唯一解 ( x, y ) ? (

当 m ? 1 ,即 D ? 0 , Dx ? Dy ? 0 ,方程组有无穷多解 ( x, y) ? (t , 2 ? t ) , t ? R ; 当 m ? ?1 ,即 D ? 0 , Dx ? Dy ? 2 ,方程组无解. 19、 (本题 7 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,a1 ? 2 , 对任意的 n ? N , 向量 a ? (?1, an ) ,
*

b ? (an?1, q) ( q 是常数, q ? 0 )都满足 a ? b ,求 lim
a ? b ?a ? b ? ?an?1 ? an q ? 0 ,即
an ?1 ?q an

Sn . n ?? S n ?1

?1, 0 ? q ? 1 Sn na1 Sn 1 ? qn ? lim ? lim ?1; 当 q ? 1 时, 当 q ? 1 时, . lim ? lim ? ?1 n ?? S n ?? ( n ? 1) a n ?? S n ?? 1 ? q n ?1 n ?1 1 n ?1 ?q , q ?1 ?

20、 (本题 9 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 5 分) 在 ?ABC 中, AB ? 4 , AC ? 2 , D 是 BC 边上一点, AD ? (1)求证: ?BAD ? ?CAD ; (2)若 AD ? (1)设 AE ?

1 2 AB ? AC . 3 3

6 ,求 BC 的值.

1 2 AB ,则由已知得 ED ? AC ,从而 3 3

AE ?

4 2 4 , ED ? ? 2 ? , 且 E D∥ A C, 可 得 3 3 3

?BAD ? ?EDA ? ?CAD
(2)由 6? AD ?(
2
2

1 2 1 4 4 11 A B? A 2 C ) ? ? 1 6 ? A B? A C ? ? 4? AB ? AC ? ,则 3 3 9 9 9 2

2 BC ?( AC ? A) B ? 4 ?2 A C ? A? B 16 ? 9 BC ? 3 ?

21、 (本题 13 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 5 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1 , Sn ? nan ? 2n(n ? 1) (n ? N ) .
*

(1)求证:数列 {an } 为等差数列,并求出其通项公式; (2)若 S1 ?

S 2 S3 ? ? 2 3

?

Sm ? 400 ,求正整数的 m 值; m

(3)是否存在正整数 k ,使得 lim ? 出 k 的值;若不存在,请说明理由.

1 1 ? ? n ?? a a ? k k ?1 ak ?1ak ? 2

?

?

1 ? 1 ?若存在,求 ?? an an?1 ? 2004

(1) an ? Sn ? Sn?1 ? ?nan ? 2n(n ?1)? ? ?(n ?1)an?1 ? 2(n ?1)(n ? 2)?

? an ? an?1 ? 4 (n ? 2, n ? N * ) ,
从而 {an } 为以 1 为首项,4 为公差的等差数列. an ? 4n ? 3(n ? N * ) (2) Sn ? nan ? 2n(n ?1) ? n(4n ? 3) ? 2n(n ?1) ? 2n2 ? n ? 从而 S1 ?

Sn ? 2n ? 1 , n

S 2 S3 ? ? 2 3

?

Sm ? 1? 3 ? m

? 2m ? 1 ? m 2 ? 400 ? m ? 20

(3)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? )? ( ? ), ak ak ?1 (4k ? 3)(4k ? 1) 4 4k ? 3 4k ? 1 4 ak ak ?1

从而

1 1 ? ? ak ak ?1 ak ?1ak ? 2

?

1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? )? ( ? ) an an ?1 4 ak an ?1 4 4k ? 3 4n ? 1

从而 lim ?

1 1 ? ? n ?? a a ? k k ?1 ak ?1ak ? 2

?

?

1 ? 1 1 1 ? k ? 126 . ? ?? ? an an?1 ? 4 4k ? 3 2004

22、 (本题 14 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 4 分) 在直角坐标平面 xOy 上的一列点 A 1 (1, a1 ) , A2 (2, a2 ) ,…, An (n, an ) ,…,简记为 { An } . 若由 bn ? An An?1 ? j 构成的数列 {bn } 满足 bn?1 ? bn , n ? 1, 2, 向相同的单位向量,则称 { An } 为 T 点列. (1)判断 A1 (1, ?1) , A2 (2, ? ) , A3 (3, ? ) ,…, An ( n, ? 并说明理由; (2) 若 { An } 为 T 点列, 且点 A2 在点 A 证明任取其中连续三点 Ak 、Ak ?1 、Ak ?2 , 1 的右下方, 一定能构成钝角三角形; (3)若 { An } 为 T 点列,且对于任意 n ? N ,都有 bn ? 0 ,那么数列 {an } 是否一定存在极
*

,其中 j 为方向与 x 轴正方

1 2

1 4

1 ) ,…,是否为 T 点列, 2 n ?1

限?若是,请说明理由;若不是,请举例说明. 由已知 An An?1 ? (1, an?1 ? an ) j ? (0,1) ,则 bn ? An An?1 ? j ? an?1 ? an .

bn ? an ?1 ? an ? (? (1)
为 T 点列.

1 1 1 1 b 1 ) ? (? n ?1 ) ? n , 则 n ?1 ? ? 1 ? bn ?1 ? bn , 从而 {( n, ? n ?1 )} n 2 2 2 2 bn 2

(2) An An?1 ? (1, an?1 ? an ) ? (1, bn ) ,又由点 A2 在点 A 1 ? a2 ? a1 ? 0 . 1 的右下方,可知 b

又?

? ? Ak ?1 Ak ? (?1, ak ? ak ?1 ) ? (?1, ?bk ) ? ? Ak ?1 Ak ? 2 ? (1, ak ? 2 ? ak ?1 ) ? (1, bk ?1 )

? Ak ?1 Ak ? Ak ?1 Ak ? 2 ? ?1 ? bk bk ?1 ,

由于 { An } 为 T 点列,故有 bn?1 ? bn ? 即 ?Ak Ak ?1 Ak ?2 为钝角,得证. (3)不是. 反例: an ? n ?

? b1 ? 0 ,从而 Ak ?1 Ak ? Ak ?1 Ak ?2 ? ?1? bk bk ?1 ? 0 ,

1 1 ,则 bn ? 1 ? n ,满足 { An } 为 T 点列,而显然 {an } 极限不存在. n ?1 2 2


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