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2.9函数的图象


2.9 函数的图象 一.基本知识 2 (一)作函数图象的基本方法有两种: A.描点法:1、先确定函数定义域,讨论函数的性质(奇偶性,单调性,周期性)2、列 表(注意特殊点,如:零点,最大最小,与轴的交点) 3、描点,连线 B.图象变换法:利用基本初等函数变换作图 (以熟悉基本初等函数的图象为前提) 1、平移变换: (左正右负,上正下负)即
? 0 ,右移; h ? 0

,左移 y ? f ( x) ?h ? ??? ?? y ? f ( x ? h)

2、对称变换:(口诀:对称谁,谁不变,对称原点都要变 ) k ? 0 ,下移; k ? 0 ,上移
x轴 y ? f ( x) ??? y ? ? f ( x) y轴 y ? f ( x) ??? y ? f (? x)

y ? f ( x) ????? ?? y ? f ( x) ? k

y ? f ( x) ?原点 ? ?? y ? ? f (? x)
y?x y ? f ( x) ??? ? y ? f ?1 ( x) y轴右边不变,左边为右 边部分的对称图 y ? f ( x) ?? ?????????? y ? f ( x ) x轴上方图,将 x轴下方图上翻 y ? f ( x) ?保留 ?? ?????? ?? y ? f ( x)

3.伸缩变换:

?? ? y ? f ( x) ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? y ? f (?x) 来的A倍 y ? f ( x) ?仍一点的纵坐标变为原 ?????? ??? y ? Af ( x)

?1? 仍一点的横坐标变为原 来的 ? ? 倍

(二)有关结论: 1、若f(a+x)=f(a-x),x∈R恒成立,则y=f(x)关于x=a对称 2、若f(a+x)=f(b-x),x∈R恒成立,则y=f(x)关于x=(a+b)/2对称 3、 若 f(a+x)= -f(a-x),x∈R 恒成立,则 y=f(x)关于点(a,0)对称 (三).图象对称性的证明:注意区别一个图象,还是两个图象 (1) 、证明函数图象的对称性:图象上任一点关于对称轴(对称点)的对称点仍在图象上 (2) 、证明两个图象 C1C2 的对称性:证 C1 上任意点关于对称轴(对称点)的对称点在 C2 图象上,反之也对. 二.典型例题 关于图象描点 例 1:书 P26 例 1 注意点:1.分析函数的解析式,绝对值问题一般是去绝对值进行分类讨论. 2.以描点法为理论依据,用特殊点来寻找选择支 练习 P26,5 P27,7 关于图象变换 例 2、作出函数 y ? ? log2 ( x ? 1) 的图象,并说明与函数 y ? log2 x 的图象的关系 参考答案: y ? log2 x 先向右移 1 个单位,再关于 x 轴对称 思维分析:关键是明确函数表达式之间的关系,运用平移、对称、伸缩变换的结论加以解决 练习:已知函数 y=2x 的图象,如何作下列函数的图象:

1? ?1?y ? ? ? ? ? 2?

?2 x ?1

? 2;

?2?y ? ?2

1 x 2

;

?3?y ? log2 x; ?4?y ? 2 x?1

向由 1/2 单位,x 变为原来的 1/2,向上 2 个单位 x 变为 2 倍,再关于 x 轴对称 关于 y=x 对称 y 轴右侧保留,左侧由由侧对称得到,再向左移 1 个单位 关于图象对称 例 3:书 P26 例 2 练习:设函数 y=f(x)的定义域为R,则函数 y=f(x-1)与 y=(1-x)的图象关系为( D A、直线 y=0 对称 B、直线 x=0 对称 C、直线 y=1 对称 D、直线 x=1 对称 关于数形结合 例4.问方程 x ? lg x ? 2 的实根共有几个? (2 个) 变式一:书例 3 练习、若方程 2 x ? 1 ? x ? m 有两个不同的实数根,求实数 m 的范围

)

1 ? m ?1 2

(备)综合运用 例 5、已知函数 f ( x) ?

a ax ? a

(a ? 0且a ? 1)

(1)证明函数 y=f(x)的图象关于点(1/2,-1/2)对称 (2)求 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)的值 (-3) 三.【课堂小结】 1、作函数图象的基本方法有两种: (1)描点法 (2)图象变换法:利用基本初等函数变换作图 其中掌握好(1)平移变换:(2) 对称变换: (3) 伸缩变换 2、图象对称性的证明: 3、有关结论: 4、利用数形结合,求参数问题,交点个数问题等 四.【作业布置】优化设计


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