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2012高一数学 1.2.2 函数的表示法 第二课时课件 新人教A版必修1


1.了解分段函数的概念,会画分段函数的图象,并能解决相关问题. 2.了解映射的概念及含义,会判断给定的对应关系是否是映射.

1.2.2

函数的表示法(二)

1.了解分段函数的概念,会画分段函数的图象, 并能解决相关问题. 2.了解映射的概念及含义,会判断给定的对应 关系是否是映射.

自学

导引
1.分段函数 (1)分段函数就是在函数定义域内,对于自变量 x的不同取值范围,有着不同的_________的函数. 对应关系 (2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分别 并集 是各段函数的定义域、值域的_____;各段函数的定 义域的交集是空集. 分别作出每一段的 (3)作分段函数图象时,应_________________ 图象 . _____

2.映射的概念 设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定 的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在 都有唯一 集合B中_________确定的元素y与之对应,那么就称 一个映射 对应f:A→B为从集合A到集合B的_________ .

自主探究
函数与映射的主要联系和区别是什么? 答:函数是一个特殊的映射,函数是非空数集 A到非空数集B的映射;而对于映射而言,A和B不一 定是数集.

预习测评
1.已知集合A={a,b};B={0,1},则下列对 应不是从A到B的映射的是 ( )

解析:A、B、D均满足映射定义,C不满 足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之 对应,且集合A中元素b在集合B中无唯一元素 与之对应. 答案:C

?x-1 ? 2. 已知 f(x)=?0 ?x+1 ? 值是

?x>0? ?x=0?, ?x<0?

则f

? ?1?? ?f? ??的 ? ?2??

( 1 A. 2 3 D.- 2

)

1 3 B.- C. 2 2 ?1? 1 1 ? ?= -1=- , 解析:∵f 2 2 ? ? 2

∴f

? ?1?? ? 1? 1 1 ?f? ??=f ?- ?=- +1= . 2 2 ? ?2?? ? 2?

答案:A

3.函数

?2x, ? y=? ?-4, ?

x>0 的定义域为________. x<0
?2x, ? y=? ?-4, ?

解析: 因为在解析式

x>0 中自 x<0

变量 x 的取值范围是 x<0 或 x>0, 所以函数的定义 域为(-∞,0)∪(0,+∞).

答案:(-∞,0)∪(0,+∞)

4.已知A=R,B=[1,+∞),对应关系f: x→x2+1,则A中元素1对应于B中的元素________, A中元素-1对应于B中的元素________,A中的元素 ________对应于B中元素1. 解析:x=1时,x2+1=12+1=2;x=-1时, x2+1=(-1)2+1=2;x2+1=1时,解得x=0. 答案:2 2 0

要点阐释
1.分段函数 (1)有些函数在它的定义域中,对于自变量x的 不同取值区间,对应关系也不同,这样的函数通常 称为分段函数,分段函数是一个函数,而不是几个 函数,其解析式是由几个不同的式子构成的,它们 合为一个整体表示一个函数. (2)画分段函数的图象时,一定要考虑区间端点 是否包含在内,若端点包含在内,则用实点“·”表示, 若端点不包含在内,则用虚点 “。” 表示.

(3)写分段函数定义域时,区间端点应不重不 漏.

(4)处理分段函数问题时,要首先确定自变量的 取值属于哪一个范围,然后选取相应的对应关系. (5)求分段函数的定义域则是各段定义域的并集; 求分段函数的值域也是分别求出各段上的值域后取 并集;求分段函数最大(小)值则是分别在每段上求出 最大(小)值,然后取各段中的最大(小)值.

2.映射 (1)映射f:A→B是由非空集合A、B以及A到B的 对应关系f所确定的. (2)映射定义中的两个集合A、B是非空的,可以 是数集,也可以是点集或其他集合,A、B是有先后 次序的,A到B的映射与B到A的映射一般是截然不同 的,即f具有方向性. (3)映射f:A→B要求:对于集合A中的任何一个 元素在集合B中都有唯一的元素和它对应,这样有: ①A中每一个元素都可以在B中找到一个且只有 一个元素和它对应.

②A中的不同元素允许对应B中的相同元素,即 映射允许“多对一”“一对一”,但不允许“一对多”. ③B中的元素允许A中无元素与之对应.

典例剖析
题型一 分段函数的图象
|x|-x 【例 1】 已知函数 f(x)=1+ (-2<x≤2). 2

(1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域. x-x 解:(1)当 0≤x≤2 时,f(x)=1+ =1; 2
-x-x 当-2<x<0 时,f(x)=1+ =1-x, 2

?1 ? ∴f(x)=? ? ?1-x

0≤x≤2 . -2<x<0

(2)函数f(x)的图象如图所示.

(3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3).

点评:1.对含有绝对值的函数,要作出其图象, 首先应根据绝对值的意义脱去绝对值符号,将函数 转化为分段函数,然后分段作出函数图象. 2.由于分段函数在定义域的不同区间内解析式 不一样,因此画图时要特别注意区间端点处对应点 的实虚之分.

?1 ? ?0<x<1? x 1.作出函数 y=? 的图象,并 ?x ?x≥1? ? 求其值域. 1 解: 0<x<1 时, x的图象是双曲线的一部分. 当 y= 当x≥1时,图象为直线y=x的 一部分. 如图所示,由此可知,值域 y∈[1,+∞).

题型二

分段函数求值
?3x ? f(x)=? 2 ?x -4x+6 ?

【例 2】 (1)已知函数 则 f(f(1))=________; (2)函数 ________.

-1≤x≤1 , 1<x<5

?x+2,x≤-1 ? f(x)=? 2 ?x ,-1<x<2 ?

中,若 f(x)=3,则 x=

解析:(1)因为 1∈[-1,1],所以 f(1)=3×1=3. 又 3∈(1,5),所以 f(3)=32-4×3+6=3.即 f(f(1))=3. (2)若 x≤-1,由 x+2=3,得 x=1>-1,舍去; 若-1<x<2,由 x2=3,得 x=± 3,由于- 3<- 1,舍去 x=- 3,故 x= 3.

答案:(1)3 (2) 3

点评:(1)给定自变量求函数值时,应根据自 变量所在的范围,利用相应的解析式直接求值; (2)若给函数值求自变量,应根据每一段的解 析式分别求解,但应注意要检验求得的值是否在 相应的自变量取值范围内.

2.(1)已知函数 ________;

?x-2,|x|≤1 ? f(x)=? ?1+x2,|x|>1 ?

,则 f

? ?1?? ?f? ??= ? ?2??

?x+1,x≥0 ? (2)已知函数 f(x)=? 1 ,若 f(x)=2,则 x ?|x|,x<0 ? =________.
?1? 解析:(1)由于 ?2? ≤1,所以 ? ? ? 3? ?- ?>1,所以 ? 2?

f

?1? 1 3 ? ? = -2=- ,而 2 ?2? 2

f

? 3? ? 3?2 13 ?- ?=1+?- ? = .所以 4 ? 2? ? 2?

f

? ?1?? 13 ?f? ??= . 4 ? ?2??

(2)若 x≥0,由 x+1=2,得 x=1; 1 1 1 若 x<0,由 =2,得 x=± ,由于 >0,舍 x= |x| 2 2 1 1 ,所以 x=- . 2 2 1 故 x=1 或- . 2

13 答案:(1) 4

1 (2)1 或- 2

题型三 映射概念及应用 【例3】 判断下列对应是不是从集合A到集合B的 映射: (1)A=N*,B=N*,对应关系f:x→|x-3|; (2)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应 关系f“作圆的内接矩形”; (3)A={高一· 一班的男生},B={男生的身高}, 对应关系f:每个男生对应自己的身高;
(4)A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤6},对应关系 f: 1 x→y= x. 2

解:(1)由于A中元素3在对应关系f作用下其与3的差 的绝对值为0,而0?B,故不是映射. (2)因为一个圆有无数个内接矩形,即集合A中任何 一个元素在集合B中有无数个元素与之对应,故不是映 射. (3)对A中任何一个元素,按照对应关系f,在B中都 有唯一一个元素与之对应,符合映射定义,是映射. 1 (4)是映射,因为 A 中每一个元素在 f:x→y= x 作 2
用下对应的元素构成的集合 C={y|0≤y≤1}?B, 符合映 射定义.

点评:给定两集合A,B及对应关系f,判断 是否是从集合A到集合B的映射,主要利用映射 的定义,用通俗的语言讲:A→B的对应有“多对 一”、“一对一”、“一对多”,前两种对应是A到B 的映射,而最后一种不是A到B的映射.

3.判断下列对应关系哪些是从集合A到集合B的映 射,哪些不是,为什么?
?1 ? (1)A=R, B={0,1}, 对应关系 f: x→y=? ?0 ?

?x≥0? ; ?x<0?

1 (2)A=Z,B=Q,对应关系 f:x→y=x;

(3)设A={矩形},B={实数},对应关系f:矩形 和它的面积对应. 解:(1)对于集合A中任意一个非负数在集合B中 都有唯一元素1与之对应,对于A中任意一个负数在 集合B中都有唯一元素0与之对应,所以这个对应是 映射. (2)集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对 应,故不是映射. (3)对于每一个矩形,它的面积是唯一确定的, 所以f是从集合A到集合B的映射.

误区解密

因忽视分段函数自变量的范围而出错
?x2-1 ? f(x)=? ?2x+1 ?

【例 4】 已知函数 若 f(x)=3,求 x 的值.

?x≥0? , ?x<0?

错解:由x2-1=3得x=±2; 由2x+1=3,得x=1,故x的值为2,-2或1. 错因分析:本题是一个分段函数问题,在解决 此类问题时,要紧扣“分段”的特征,即函数在定义 域的不同部分,有不同的对应关系,它不是几个函 数,而是一个函数,求值时不能忽视x的取值范围.

正解:当x≥0时,由x2-1=3,得x=2 或x=-2(舍去);当x<0时,由2x+1=3,得x =1 (舍去),故x=2. 纠错心得:对于分段函数分为几部分应 看成一个整体才有意义,它的定义域应是各 部分x范围的并集,求某个自变量的函数值, 容易不看自变量的范围直接代入解析式而求 错解.

课堂总结
1.分段函数求值要先找准自变量所在的区间; 分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、 值域的并集. 2.判断一个对应是不是映射,先看第一集合A: 看集合A中的每一个元素是否都有对应元素,若有, 再看对应元素是否唯一;至于集合B中的元素不作任 何要求.


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