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任意角的三角函数(课件)


第三知识块
第1讲

三角函数、解三角形

任意角的三角函数

【考纲下载】
1. 了解任意角的概念、弧度的意义.

2.能正确地进行弧度与角度的换算.
3.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.

1.角的概念

(1)定义:角可

以看成平面内一条射线绕着 端点
位置所成 的图形. (2)分类:按旋转方向分: 正 角、 负 角、

从一个位置旋转到另一个



角.

2.终边相同的角的集合
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集 360°,k∈Z} . 或 {β|β=α+2kπ,k∈Z} 合 {r|r=α+k· 前者α用角度制表示,后者α用弧度制表示. 提示:相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等,终边相同的角 ,

有无数个,它们之间相差360°的整数倍.

3.弧度制 (1)角度与弧度的换算关系 ①360°= 2π rad;②1°= rad;③1 rad= .

(2)设扇形的弧长为l,圆心角大小为α(rad),半径为r,则l= |α|r 扇形的面积为 S= = .

提示:在表示角的同一个表达式中,角度制和弧度制两种制度不能混用,如与30°

角终边相同的角的集合不能表示为{α|α=k· 360°+
30°,k∈Z}. 4.任意角的三角函数的定义

,k∈Z}或{α|α=2kπ+

设α是一个任意角,α的终边上任意一点P(除端点外)的坐标是(x,y),它与 原点的距离是|OP|=r= 则sin α= ;cos α= (r>0). ;tan α= .

5.三角函数在各象限的符号规律

象限符号函数









sin α









cos α









tan α









6. 三角函数线
设角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点P如下图所示,则图中的有向线段 MP,OM,AT的数量分别等于角α的正弦、余弦、正切的值,这些有向线段叫 做角α的 正弦 线、 余弦 线、 正切 线.

提示:三角函数线是有向线段,字母顺序不能随意调换.当角α的终边与x轴重合 时,正弦线、正切线分别变成一个点,角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终 边与y轴重合时,余弦线变成一个点,余弦值为0,正切值不存在.

1.已知cos θ· θ<0,那么角θ是 tan

象限角

解析:∵cos θ· θ<0, tan
∴当cos θ<0,tan θ>0时,θ为第三象限的角; 当cos θ>0,tan θ<0时,θ为第四象限的角.

2.α是第二象限角,P(x,

)为其终边上一点,且cos α=

x,则sin α的值是

解析:cos α=

x=

,r=

,sin α=



.

3.在(0,2π)内使sin x>cos x成立的x取值范围是________

解析:如右图所示,用单位圆内正弦线和余弦线来解,
要使sin x>cosx,只要x取阴影部分的角即可.

4.弧长为3π,圆心角为135°的扇形半径为________,面积为________. 解析:∵l=|α|· r,∴r= =4,

∴S=

lr=


×3π×4=6π.

答案:4;

利用终边相同角的表示,可以由角α所在的象限,判断 方法有: 1.范围限定法:将α的范围用式子表示出来,然后求出 据此范围进行判断.此时需要进行分类讨论.

, 等所在的象限,其

, 等角的范围,根

2.图示法:把直角坐标系中的各个象限依次进行二等分、三等分,从x轴右上
方开始按逆时针将各区域依次标上1,2,3;1,2,3;…;α是第几象限角就找数 字几,其对应的位置就是 , 等所在的象限.

【例1】 若α是第二象限的角,试分别确定2α,

的终边所在位置.

思维点拨:判断角θ在哪个象限,只需把θ改写成θ0+k· 360°(k∈Z),其中 0°≤θ0<360°. 解:∵α是第二象限的角, ∴k· 360°+90°<α<k· 360°+180°(k∈Z). (1)∵2k· 360°+180°<2α<2k· 360°+360°(k∈Z), ∴2α是第三或第四象限的角,或角的终边在y轴的非正半轴上. (2)∵k· 180°+45°< <k· 180°+90°(k∈Z), <n· 360°+90°; <n· 360°+270°.

当k=2n(n∈Z)时,n· 360°+45°<

当k=2n+1(n∈Z)时,n· 360°+225°<



是第一或第三象限的角.

拓展1:本例条件不变,试确定 解:∵k· 120°+30°< 当k=3n(n∈Z)时,

的终边所在象限.

< k· 120°+60°(k∈Z),

n· 360°+30°< <n· 360°+60°; 当k=3n+1(n∈Z)时, n· 360°+150°< <n· 360°+180°;

当k=3n+2(n∈Z)时,
n· 360°+270°< ∴ <n· 360°+300°.

是第一或第二或第四象限的角.

对于扇形应该由两个条件确定,可以将扇形所在圆的半径 r,扇形圆心角的弧度数α 和弧长l中的两个做为基本量进行计算和证明.弧度制下的弧长公式形式较为简单l= rα(其中α为扇形圆心角的弧度数). 【例2】 一扇形周长为20 cm,问扇形的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇 形面积最大? 思维点拨:建立圆心角、半径之间的等量关系,把面积表示成变量的函数. 解:设扇形圆心角为θ,半径为r,则2r+θr=20,θ= S扇形= θr2=
扇形的最大值为25cm

=(10-r)· r=10r-r2,当r=-
2,此时θ=2

=5时,S

rad.

变式2:若扇形的面积为定值,当扇形的圆心角为多少弧度时,该扇形的周长取

到最小值?
解:设扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l,根据已知条件 形的周长为:l+2R= 当且仅当R= 此时l=2 R≥4 lR=S扇,则扇

时等号成立, α= =2,

因此当扇形的圆心角为2弧度时,扇形的周长取到最小值.

由终边上一点P的坐标,可计算P到原点的距离,再由三角函数的定义求 值,值

得注意的是,当角的终边上点的坐标是以参数的形式给出时,常常要对 参数进
行讨论. 【例3】 已知角α终边上一点P,P到x轴的距离与到y轴的距离之比为3∶4,且 sin α<0,求cos α+2tan α的值. 思维点拨:先由已知求出角α终边上点P的坐标,再根据三角函数的坐

标法定义即可求出α的所有三角函数值.

解:设P(x,y),则根据题意,可得

= ,

∵sin α<0,∴α的终边只可能在第三、第四象限或y轴的非正半轴上.
①若P点位于第三象限,可设P(-4k,-3k)(k>0), 则r= 从而cos α= =5k, =- ,tan α= =

②若P点位于第四象限, 可设P(4k,-3k)(k>0),则r= 从而cos α = = ,tan α= =- =5k, ∴cos α+2tan α=- ,

由于

故α的终边不可能在y轴的非正半轴上.

综上所述,若P点位于第三象限,则cos α+2tan α= 若P点位于第四象限,则cos α+2tan α=-

变式3:已知角α的终边上一点P(- 值. 解:由题设知x=- = ,从而sinα= ,x=-

,m),且sin α=

,求cos α,tan α的

, y=m,所以r2=|OP|2=(-

)2+m2,得r

解得m=0或m=± ,cos α= =- ,tan α= =

当m=0时,r=

当m=-

,r= 2

,x=-

,cos α=

=-

,tan α= =

【方法规律】
1.弧度制与角度制的转换关系要抓住π弧度等于180°,弧度制沟通了角与
实数之间的一一对应关系,扇形的弧长公式l=|α|r和面积公式S = lr,是 解决有关圆问题的有效工具. 2.要确定角α所在的象限,只要把α表示为α=2kα0(k∈Z,0≤α0<2π),由α0所 在象限即可判定出α所在的象限,由已知角的范围求复合角的范围时,通 常要用不等式的性质来解决,切忌扩大角的范围. 3.任意角的三角函数的定义需注意: (1)在三角函数中,三角函数值和角的对应关系是多值对应关系; (2)三角函数值仅与角的终边位置有关,而与终边上所取点P(非原点)的 位置无关;(3)透彻理解三角函数的几何意义——单位圆中的三角函数

线,是解三角题的重要手段.

【阅卷实录】

【教师点评】

【规范解答】
解:∵x=3a,y=4a, ∴r= =5|a|, ……4分

(1)当a>0时,r=5a, ∴sin θ= cos θ= tan θ= ; ……8分

(2)当a<0时,r=-5a,
∴sin θ= cos θ= tan θ= .……12分

【状元笔记】
如果是在单位圆中定义任意角的三角函数,设角α的终边与单位圆的交点坐标为(x, y),则sin α=y,cos α=x,tan α= 点P(x,y),|OP|=r,则sin α= ,但如果不是在单位圆中,设角α的终边经过 ,tan α= .在这个定义中最容易弄

,cos α=

错的就是正弦和余弦的定义,在解决与三角函数定义有关的试题时,一定要注意 其准确性,不要把x,y的位置颠倒.

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