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江苏省如东县教研室2008届高三上学期期末调研数学试题.


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江苏省如东县教研室 2008 届高三上学期期末调研 数学试卷
说明:本试卷满分 160 分,考试时间 120 分钟。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.答案填在题中横线上 1、复数

1 ? 2i 在复平面上对应的点位于第__ 3

? 4i
1 x

象限.

2、曲线 y ? e 2 在点 (4,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 3、在△ABC 中,BC=1, ?B ?

?
3

,当△ABC 的面积等于 3 时, tan C ? __

4、给出下列关于互不相同的直线 m, n, l 和平面 ? , ? 的四个命题: (1) m ? ? , l ? ? ? A, 点A ? m, 则 l 与 m 不共面; (2) l 、m 是异面直线, l // ? , m // ? , 且n ? l , n ? m, 则n ? ? ; (3)若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? 点A, l // ? , m // ? ,则 ? // ? (4)若 l // ? , m // ? , ? // ? , 则l // m 其中真命题是 (填序号)

5、一枚半径为 1 的硬币随机落在边长为 3 的正方形所在平面内,且硬币一定落在正方形内部或与正方形有 公共点,则硬币与正方形没有公共点的概率是 6、甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表 甲的成绩 环数 频数 7 5 8 5 9 5 10 5 环数 频数 乙的成绩 7 6 8 4 9 4 10 环数 6 频数 丙的成绩 7 4 8 6 9 6 10 4

s1,s2,s3 分别表示甲、乙、丙三人成绩的标准差,则 s1,s2,s3 的大小顺序是
7、某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把 500 名使用血清的人与另外 500 名 未用血清的人一年中的感冒记录作比较, 提出假设 H 0 : “这种血清不能起到预防感冒的作用” , 利用 2 ? 2 列联表计算得 ? 2 ? 3.918 ,经查对临界值表知 P( ? 2 ? 3.841) ? 0.05 .则下列结论中,正确结论的序号是 (1)有 95% 的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” (2)若某人未使用该血清,那么他在一年中有 95% 的可能性得感冒 (3)这种血清预防感冒的有效率为 95% (4)这种血清预防感冒的有效率为 5%

8、设 e1 , e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率, P 为两曲线的一个公共点,且满足
1

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PF1 ? PF2 ? 0 ,则

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2 e12 ? e2 的值为 (e1e2 ) 2

9、 设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, 若以点 O(0,0)、A(l , Sl )、B(m, S m )、C( p, S p ) 为顶点的四边形(其中

l ? m ? p ) 中 AB // OC , 则 l、m、p 之 间 的 等 量 关 系 式 经 化 简 后
为 .

10、如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? 11、已知函数 f ( x) 的导数 f ?( x) ? a( x ? 1)( x ? a),

若f ( x)在x ? a 处取到极大值,则 a 的取值范围是
12 、 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy , 已 知 平 面 区 域 A ? {( x, y) | x ? y ? 1, 且

x ? 0, y ? 0} ,则平面区域 B ? {( x ? y, x ? y) | ( x, y) ? A} 的面积为
13、一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥的底面 为正方形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、 三棱柱的高分别为 h1 , h2 , h ,则 h1 : h2 : h ? 14.已知点 p(a, b)与点Q (1,0)在直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的两侧,则下列说法

b 有最小值,无最大值;(3) ?M ? R? , 使 a 2 ? b 2 ? M 恒成立 ; a b 1 2 (4) a ? 0且 a ? 1 , b ? 0时 , 则 的取值范围为(- ?, ? ) ? ( , ? ?) . a ?1 3 3
(1) 2a ? 3b ? 1 ? 0 ; (2) a ? 0 时, 其中正确的是 二、解答题 15、在△ ABC 中,已知 AB ·AC =9,sin B =cos A sin C ,面积 S ?ABC =6. (1)求△ ABC 的三边的长; (2)设 P 是△ ABC (含边界)内一点, P 到三边 AC 、 BC 、 AB 的距离分别为 x,y 和 z,求 x+y+z 的取值范围. (把你认为所有正确的命题的序号都填上).

16、已知等腰三角形 PDCB 中(如图 1),PB=3,DC=1,PB=BC= 2 ,A 为 PB 边上一点,且 PA=1,将 △PAD 沿 AD 折起,使面 PAD⊥面 ABCD(如图 2).
2

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(1)证明:平面 PAD⊥平面 PCD; (2)试在棱 PB 上确定一点 M,使截面 AMC 把几何体分成的两部分 VPDCMA

: VMACB ? 2 : 1 ;

17、 有序实数对 ( x, y ) ,记 A 为事件 " x2 ? y 2 ? r 2 (0 ? r ? 6)" 。已知计算机随机产生的有序实数对 ( x, y ) 满足 ?6 ? x ? 6, ? 6 ? y ? 6,通过计算可得 P ( A) ?

?
9

。现在若用连续抛骰子两次分别得到的有序实数对

( x , y ) ,求 P ( A)

18、设椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,上顶点为 A,过点 A 与 AF 垂直的直线分别 a2 b2
??? ? 8 ??? ? 5

交椭圆 C 与 x 轴正半轴于点 P、Q,且 AP= PQ . ⑴求椭圆 C 的离心率; ⑵若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线 l: x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程. y A P F O Q x

19、已知函数 f ( x) ? ln( x0 ? (a, b) 1 ? e ) ? x( x ? R) 有下列性质:“若 x ?[a, b],则存在
x

使得

f (b) ? f (a) ? f ?( x0 ) ”成立, b?a
3

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(1)利用这个性质证明 x0 唯一. (2)设 A、B、C 是函数 f ( x) ? ln(1 ? e x ) ? x( x ? R) 图象上三个不同的点,求证: △ ABC 是钝角三角形.

a2, a3, ?, an( n 为正整数) 20、 如果有穷数列 a1, 满足条件 a1 ? a n ,a2 ? an?1 , ?,a n ? a1 , 即 ai ? an?i ?1
0 1 m 2 ?, n ),我们称其为“对称数列”.例如,由组合数组成的数列 Cm ( i ? 1,, 就是“对称数 , Cm , ?, Cm

列”.
b2, b3, b4 是等差数列,且 b1 ? 2 , (1)设 ?bn ?是项数为 7 的“对称数列”,其中 b1,

b4 ? 11.依次写出 ?bn ?的每一项;
ck?1, ?, c2 k? 1是首项为 50 , (2) 设 ? cn ?是项数为 2k ? 1 (正整数 k ? 1 )的 “对称数列” , 其 中 ck, 公差为 ? 4

的等差数列.记 ? cn ?各项的和为 S 2 k ?1 .当 k 为何值时, S 2 k ?1 取得最大值?并求出 S 2 k ?1 的最大值; (3)对于确定的正整数 m ? 1 ,写出所有项数不超过 2 m 的“对称数列”,使得 1,, 2 22, ?, 2m?1 依次是 该数列中连续的项;当 m ? 1500时,求其中一个“对称数列”前 2008 项的和 S 2008 .

江苏省如东县教研室 2008 届高三上学期期末调研 数学试卷参考答案
一、填空题
4

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1、 三 7、 (1) 8、 2 2、 e
2

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4、 (1)、 (2)、 (3) 10、 2550 11、 5、

3、

?2 3

1 25

6、 12、 2

s2 ? s1 ? s3
13、

9、 p ? m ? l

(0,+ ? )

3:2:2
二、解答题

14、 (3)(4)

15、解:设 AB ? c,AC ? b,BC ? a (1) ?

? bc cos A ? 9 4 3 4 ? tan A ? , sin A ? , cos A ? , bc ? 15 , 5 5 3 ?bc sin A ? 12

? sin B b 3 ?bc ? 15 ?b ? 3 ? cos A ? ? ,由 ? b 3 ? ? ,用余弦定理得 a ? 4 ? sin C c 5 c?5 ? ? ?c 5 12 1 ? (2 x ? y ) (2) 2S △ ABC ? 3x ? 4 y ? 5 z ? 12 ? x ? y ? z ? 5 5
?3 x ? 4 y ? 12, ? x ? 0, 由线性规划得 0 ? t ? 8 设 t ? 2x ? y , ? ? y ? 0, ?


12 ? x? y?z ?4 5

16、解:(1)证明:依题意知: CD ? AD.又 ? 面PAD ? 面ABCD

? DC ? 平面PAD.

又DC ? 面PCD

? 平面PAD ? 平面PCD.

(2)由(I)知 PA ? 平面 ABCD ∴平面 PAB⊥平面 ABCD. 在 PB 上取一点 M,作 MN⊥AB,则 MN⊥平面 ABCD, 设 MN=h

1 1 1 h S ?ABC ? h ? ? ? 2 ? 1 ? h ? 3 3 2 3 1 1 (1 ? 2) 1 VP ? ABCD ? S ?ABC ? PA ? ? ? 1? 1 ? 3 3 2 2 1 h h 1 要使 VPDCMA : VMACB ? 2 : 1, 即( ? ) : ? 2 : 1, 解得 h ? 2 3 3 2
则 VM ? ABC ? 即 M 为 PB 的中点.

5

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王新敞
奎屯 新疆

18、⑴解:设 Q(x0,0),由 F(-c,0) A(0,b)知 FA ? (c, b), AQ ? ( x0 ,?b)

? FA ? AQ,? cx0 ? b 2 ? 0, x0 ?
得 x1 ?

b2 c

设 P( x1 , y1 ),由AP ?

8 PQ , 5

8b 2 5 , y1 ? b 13c 13

8b 2 2 5 ) ( b) 2 13c ? 13 ?1 因为点 P 在椭圆上,所以 a2 b2 (
整理得 2b2=3ac,即 2(a2-c2)=3ac, 2e2 ? 3e ? 2 ? 0 ,故椭圆的离心率 e= ⑵由⑴知 2b 2 ? 3ac, 得

1 2

c 1 1 1 3 b2 3 ? a , 由 ? , 得c ? a 于是 F(- a,0) Q ( a ,0) , a 2 2 2 2 c 2 1 1 a,0),半径 r= |FQ|=a 2 2

△AQF 的外接圆圆心为(

1 | a ?3| x2 y2 ? ?1 所以 2 ? a ,解得 a=2,∴c=1,b= 3 ,所求椭圆方程为 4 3 2
? , x0 ? (a, b),且x0 ? ? x0,使得 19、(1)证明:假设存在 x0 f (b) ? f (a) ? (b ? a) f ?( x0 ) ?) f (b) ? f (a) ? (b ? a) f ?( x0
????① ????②

? ). ①-②得, (b ? a) f ?( x0 ) ? (b ? a) f ?( x0 ?) ∵ b ? a,?b ? a ? 0,? f ?( x0 ) ? f ?( x0
∵ f ?( x) ?

ex ?1 1 ?1 ? ,记g ( x) ? f ?( x) ? ? , x x 1? e 1? e 1? ex

∴ g ?( x) ?

ex ? 0, f ?( x)是[a, b] 上的单调增函数. (1 ? e x ) 2

?,这与x0 ? ? x0 矛盾,即 x0 是唯一的. ∴ x0 ? x0
(2)证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 ),且x1 ? x2 ? x3 ∵ f ?( x) ?

?1 ? 0, ? f ( x)是x ? R 上的单调减函数. 1? ex
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∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ). ∵ BA ? ( x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 )), BC ? ( x3 ? x2 , f ( x3 ) ? f ( x2 )), ∴ BA ? BC ? ( x1 ? x2 )(x3 ? x2 ) ? ( f ( x1 ) ? f ( x2 ))( f ( x3 ) ? f ( x2 )) ∵ x1 ? x2 ? 0, x3 ? x2 ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? 0, ∴ BA? BC ? 0,? cos B ? 0, ?B 为钝角. 故△ ABC 为钝角三角形.

20、解:(1)设 ?bn ?的公差为 d ,则 b4 ? b1 ? 3d ? 2 ? 3d ? 11,解得 d ? 3 ,

?

5 8 11,,, 8 5 2. 数列 ?bn ?为 2,,,

(2) S 2k ?1 ? c1 ? c2 ? ? ? ck ?1 ? ck ? ck ?1 ? ? ? c2k ?1

? 2( ck ? ck ?1 ? ? ? c2k ?1 ) ? ck ,

S 2k ?1 ? ?4( k ? 13) 2 ? 4 ?132 ? 50,
?
当 k ? 13 时, S 2 k ?1 取得最大值.

S 2 k ?1 的最大值为 626.
(3)所有可能的“对称数列”是: ① 1,, 2 22, ?, 2m?2, 2m?1, 2m?2, ?, 22,, 2 1; ② 1 ,, 2 22, ?, 2m?2, 2m?1, 2m?1, 2m?2, ?, 22,, 2 1; ③ 2m?1, 2m?2, ?, 22,, 2 1,, 2 22, ?, 2m?2, 2m?1 ; ④ 2m?1, 2m?2, ?, 22,, 2 1, 1,, 2 22, ?, 2m?2, 2m?1 . 对于①,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 2007

? 2 2008 ? 1.

当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 1 ? 2 ? ? ? 2

m?2

? 2m?1 ? 2m?2 ? ? ? 22m?2009

? 2 m ? 1 ? 2 m?1 ? 2 2 m?2 0 0 9 ? 2 m ? 2 m?1 ? 2 2 m?2 0 0 9 ? 1.
对于②,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 2
2008

?1.

7

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m ?1

当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 2

? 2 2 m?2008 ? 1 .

对于③,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 2 m ? 2 m?2008 . 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 2 ? 2
m 2009 ? m

? 3.

对于④,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 2 m ? 2 m?2008 . 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 2 ? 2
m 2008 ? m

? 2.

8


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