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03-江苏省启东中学11-12学年高一下学期期中考试数学试题


江苏省启东中学 2011~2012 学年度第二学期期中考试

高一数学试题
一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1.a、b、c∈R,则下列命题为真命题的是 ①若 a>b,则 ac >bc
2 2 2


2 2 ②若 ac >bc ,则 a>b

/>
③若 a<b<0,则 a >ab>b

2

④若 a<b<0,则



2.一直线倾斜角的正切值为

3 ,且过点 P ?1, 2 ? ,则直线方程为_____________。 4

3.已知点 A(2, ?3), ,若点 P 在直线 x ? y ? 7 ? 0 上, AP 的最小值为 4 . 已 知 直 线 (a ? 2) y ? (3a ? 1) x ? 1 , 为 使 这 条 直 线 不 经 过 第 二 象 限 , 则 实 数 a 的 范 围 是
2



5.已知 M ? {( x, y) | y ? 9 ? x , y ? 0} , N 取值范围是 _____ .

? {( x, y) | y ? x ? b} ,若 M ? N ? ? ,则 b 的

6.已知向量 a=(x,2),b=(1,y),其中 x≥0,y≥0.若 a· b≤4,则 y-x 的取值范围为________. 7.设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3a 与3b 的等比中项,则 8.函数

1 1 ? 的最小值为 a b

.

y ? a x ?1 ? 2(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点
.

A,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中

m、n ? 0 ,则 1 ? 2 的最小值为
m n
则 b6b8= 。

9.已知各项不为 0 的等差数列{an},满足 2a3-a72+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,

10.若 a =(-3,4) =(5,12) ,b ,则 a· = b 11.用不等号 “<”或“>”连结 sin1___cos1.



12.等差数列{an}的前 16 项和为 640,前 16 项中偶数项和与奇数项和之比为 22∶18,则公差 d, a9 的值分别是 a8 。

13.若关于 x 的不等式(组) 0 ? x ?
2

7 2n 2 x? n ? 对任意 n ?N? 恒成立,则所 2 9 (2 ? 1) 9
.

有这样的解 x 的集合是

?x ? y ?1 ? 0 ? 14.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( ? 为常数)所表示的平面区域内的面积 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
等于 2,则 a 的值为 。

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解关于 x 的不等式 ax2-2≥2x-ax(a∈R).

16.已知{an}是递增的等差数列,满足 a2·4=3,a1+a5=4. a (1)求数列{an}的通项公式和前 n 项和公式; b1 b2 bn (2)设数列{bn}对 n∈N*均有 + 2+…+ n=an+1 成立,求数列{bn}的通项公式. 3 3 3

17.已知 ? , ? 都是锐角,sin ? =

3 5 ,cos ? = ,求 sin( ? + ? )的值. 5 13

18.已知前 n 项和为 S n 的等差数列 {an } 的公差不为零,且 a2 ? 3 ,又 a4 , a5 , a8 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)是否存在正整数对 (n, k ) ,使得 nan ? kSn ?若存在,求出所有的正整数对 (n, k ) ;若不 存在,请说明理由.

19.已知函数 f ( x) ?

x ,数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , a n ?1 ? f (a n )( n ? N ? ) x?3

(1)求数列 ?a n ?的通项公式 a n ; (2)若数列 ?bn ?满足 bn ?

1 an an ?1 ? 3n , Sn ? b1 ? b2 ? …+ bn ,求 S n . 2

20.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,点 (n,

Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y=-x+12 的图像上. n (Ⅰ)写出 S n 关于 n 的函数表达式;

(Ⅱ)求数列 {| an |} 的前 n 项的和

启 东 中 学 高一第二学期期中考试答案
一.填空题(共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分)
1. 2. .②③ 3.

4. a ? 2 。提示:显然直线经过定点 ( , ) ,又当 a ? 2 时, x ? 时, y ? 5.

3a ? 1 1 1 要使直线不经过第二象限,只需 x? ? 0 ? a ? 2 ,综上 a ? 2 。 a?2 2?a 2?a

1 3 5 5

1 ,不经过第二象限,当 a ? 2 5

?x≥0 ? 6.解析: 依题意得?y≥0 ?x+2y-4≤0 ?

,在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线 y-

x=0,平移该直线,平移到经过该平面区域内的点(0,2)与 (4,0)时,相应直线在 x 轴上的截距达到 最小与最大,y-x 分别取得最大值与最小值,即 y-x 的最大值与最小值分别是 2 与-4,结合图 形可知,y-x 的取值范围是[-4,2]. 答案: [-4,2] 7. 9. 11.> 8.答案: 3 ? 2 2 10.33

12.解析: 设 S 奇=a1+a3+…+a15,S 偶=a2+a4+…+a16,则有 S 偶-S 奇=(a2-a1)+(a4-a3) +…+(a16-a15)=8d, 8?a2+a16? 2 S偶 a9 = = . S奇 8?a1+a15? a8 2
? ? ?S奇+S偶=640, ?S奇=288, 由? 解得? ?S奇∶S偶=18∶22, ?S偶=352. ? ?

S偶-S奇 64 a9 S偶 11 因此 d= = =8, = = .故选 D. 8 8 a8 S奇 9 答案: D 13.答案: {?1, } 14.3 15.解:a=0 时,x≤-1;a>0 时,x≤-1 或 x≥ ,-2<a<0 时, ≤x≤-1;a=-2 时,x=-1;
2 a 2 a

2 9

a<-2 时,-1≤x≤ . 16.解析: (1)∵a1+a5=a2+a4=4,再由 a2·4=3, a 可解得 a2=1,a4=3 或 a2=3,a4=1(舍去). a4-a2 ∴d= =1,∴an=1+1· (n-2)=n-1, 4-2 n?n-1? n Sn= (a2+an-1)= . 2 2 bn-1 b1 b2 bn b1 b2 (2)由 + 2+…+ n=an+1 得,当 n≥2 时, + 2+…+ n-1=an, 3 3 3 3 3 3 bn 两式相减,得 n=an+1-an=1(n≥2), 3 ∴bn=3n(n≥2), b1 当 n=1 时, =a2,∵a2=1,∴b1=3,也适合上式. 3 ∴bn=3n. 17.解:∵sin ? =

2 a

3 4 ,且 ? 是锐角,∴cos ? = .………………………2 分 5 5 5 12 又∵cos ? = ,且 ? 是锐角,∴sin ? = .……………………4 分 13 13
∴sin( ? + ? )=sin ? cos ? +cos ? sin ? …………………………6 分 = ?

3 5 4 12 63 . ………………………………10 分 ? ? ? 5 13 5 13 65

18.解: (Ⅰ)因为 a4 , a5 , a8 成等比数列,所以 a52 ? a4 a8 . 设数列 {an } 的公差为 d ,则 (a2 ? 3d )2 ? (a2 ? 2d )(a2 ? 6d ) . 将 a2 ? 3 代入上式化简整理得 d 2 ? 2d ? 0 . 又因为 d ? 0 ,所以 d ? ?2 . 于是 an ? a2 ? (n ? 2)d ? ?2n ? 7 ,即数列 {an } 的通项公式为 an ? ?2n ? 7 . (Ⅱ)假设存在正整数对 (n, k ) ,使得 nan ? kSn ,则由(Ⅰ)知 Sn ?
n(a1 ? an ) ? 6n ? n2 . 2 na n(7 ? 2n) 2n ? 7 5 当 n ? 6 时, nan ? kSn 不成立,于是 k ? n ? . ? ? 2? 2 Sn 6n ? n n?6 n?6

因为 k 为正整数,所以 n ? 6 ? 5 ,即 n ? 11 ,且 5 被 n ? 6 整除, 故当且仅当 n ? 6 ? ?5 ,或 n ? 6 ? 1 时, k 为正整数. 即当 n ? 1 时, k ? 1 ; n ? 11 时, k ? 3 ; n ? 7 时, k ? 7 . 故存在正整数对 (1,1) , (11,3) , (7,7) ,使得 nan ? kSn 成立.

19. (1)由已知: a n ?1 ?

an 1 3 ? ? ? 1. ………2 分 a n ? 3 a n ?1 a n

?

1 a n ?1

?

1 1 1 1 1 3 ? 3( ? ), 并且 ? ? 2 an 2 a1 2 2

? 1 1? 3 ? 数列 ? ? ?为以 为首项,为公比的等比数列, 3 2 ? an 2 ? 1 1 3 2 ? ? ? ? 3 n ?1 ,? a n ? n …………6 分 an 2 2 3 ?1
(2)bn ? 2 ? 3n (3n ? 1)(3 ? 1)
n?1

?

1 1 ? n ?1 n 3 ?1 3 ?1

……………9 分

? Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? n ? n ?1 ? ? n ?1 . 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 2 3 ?1

【解析】 (Ⅰ)由题设得

Sn ? ?n ? 12 ,即 S n ? n(?n ? 12) ? ? n 2 ? 12n . n (Ⅱ)当 n ? 1 时, an ? a1 ? S1 ? 11 ;

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 = (?n 2 ? 12n) ? (?(n ? 1) 2 ? 12(n ? 1)) = ?2n ? 13 ; 由于此时-2×1+13=11= a1 ,从而数列 {an } 的通项公式是 an ? ?2n ? 13 . (Ⅲ)由(Ⅱ)知,a1 , a2 ,? a6 ? 0 ,数列 {an } 从第 7 项起均为负数.设数列 {| an |} 的 前 n 项的和为 Tn . 当 n ? 6 时, Tn ?| a1 | ? | a2 | ? ? ? | an | = a1 ? a2 ? ? ? an = S n ? ?n 2 ? 12n ; 当 n ? 7 时, Tn ?| a1 | ? | a2 | ? ? ? | an |? a1 ? a2 ? ? ? a6 ? a7 ? ? ? an = (a1 ? a2 ? ? ? a6 ) ? (a7 ? ? ? an ) = 2(a1 ? a2 ? ? ? a6 ) ? (a1 ? a2 ? ? ? a6 ? a7 ? ? ? an ) = 2 S6 ? S n = n 2 ? 12n ? 36 .
??n 2 ? 12n, n ? 6 ? 所以数列 {| an |} 的前 n 项的和为 Tn ? ? 2 . ?n ? 12n ? 36, n ? 7 ?


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