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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版选修 排列(二)


§1.2(二)

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§1.2(二)
【学习要求】 1.进一步加深对排列概念的理解. 2.掌握几种有限制条件的排列,能应用排列数公式解决简单 的实际问题.
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【学法指导】 无限制条件的排列问题和带限制条件的排列问题, 涉及的材 料背景是多方面的:

(1)基本思路: 一是从条件出发, 直接考虑符合条件的排列数; 二是先不考虑限制条件,求出所有排列数,然后再从中减去 不符合条件的排列数.(2)基本方法:特殊元素,特殊位置分 析法,排除法(也称去杂法),对称分析法,捆绑法,插空法, 构造法等.

试一试·双基题目、基础更牢固

§1.2(二)

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An-3 n 1.4×5×6×?×(n-1)×n=________.(用排列数表示)

解析

原式可写成 n×(n-1)×?×6×5×4.

试一试·双基题目、基础更牢固

§1.2(二)

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2.6 名学生排成两排,每排 3 人,则不同的排法种数为

720 ________.
解析
6 排法种数为 A6=720.

试一试·双基题目、基础更牢固

§1.2(二)

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3.从集合 M={1,2,?,9}中,任取两个元素作为 a,b, x2 y2 ①可以得到多少个焦点在 x 轴上的椭圆方程 2+ 2=1? a b x2 y2 ②可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲线方程 2- 2=1? a b

72 ② 其中属于排列问题的是________,其结果为________.

试一试·双基题目、基础更牢固

§1.2(二)

4.有 5 名男生和 3 名女生,从中选出 5 人分别担任语文、数 学、英语、物理、化学学科的科代表,若某女生必须担任
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840 语文科代表,则不同的选法共有________种.(用数字作答)
解析 由题意知,从剩余 7 人中选出 4 人担任 4 个学科科 代表,共有 A4=840(种). 7

研一研·题型解法、解题更高效

§1.2(二)

题型一
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无限制条件的排列问题

例1

(1)有 5 本不同的书,从中选 3 本送给 3 名同学,每人各

1 本,共有多少种不同的送法? (2)有 5 种不同的书,要买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本, 共有多少种不同的送法? 解 (1)从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学, 对应于
从 5 个不同元素中任取 3 个元素的一个排列,因此不同送法的
3 种数是:A5=5×4×3=60,所以,共有 60 种不同的送法.

研一研·题型解法、解题更高效

§1.2(二)

(2)由于有 5 种不同的书, 送给每个同学的 1 本书都有 5 种不同 的选购方法,因此送给 3 名同学,每人各 1 本书的不同方法种 数是:5×5×5=125,所以,共有 125 种不同的送法.
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小结

本题两小题的区别在于: 第(1)小题是从 5 本不同的书中

选出 3 本分别送给 3 名同学,各人得到的书不同,属于求排列 数问题;而第(2)小题中,给每人的书均可以从 5 种不同的书中 任选 1 本,各人得到哪本书相互之间没有联系,要用分步计数 原理进行计算.

研一研·题型解法、解题更高效
跟踪训练 1

§1.2(二)

(1)某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖

直的旗杆上表示信号,每次可以任意挂 1 面、2 面或 3 面,并 且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的 信号?
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(2)将 4 位司机、 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上, 4 每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员, 共有多少种不同的 分配方案?
解 (1)分 3 类:第一类用 1 面旗表示的信号有 A1种; 3
2 第二类用 2 面旗表示的信号有 A3种; 3 第三类用 3 面旗表示的信号有 A3种,

由分类计数原理,所求的信号种数是:
1 3 A3+A2+A3=3+3×2+3×2×1=15, 3 即一共可以表示 15 种不同的信号.

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§1.2(二)

(2)由分步计数原理,分配方案种数共有 N=A4· 4=576. A4 4
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即共有 576 种不同的分配方案.

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题型二 元素“在”与“不在”问题

§1.2(二)

例 2 用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成多少个没有重复数字 的三位数?

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方法一

(特殊位置)

由于在没有重复数字的三位数中,百位上的数字不能是 0, 因此可以分两步完成排列.
第 1 步,排百位上的数字,可以从 1 到 9 这九个数字中任选 1 个,有 A1种选法; 9

第 2 步,排十位和个位上的数字,可以从余下的 9 个数字 中任选 2 个,有 A2种选法. 9

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=648.
方法二 (特殊元素) 符合条件的三位数可以分成三类: 3 每一位数字都不是 0 的三位数有 A9个,
2 个位数字是 0 的三位数有 A9个, 2 十位数字是 0 的三位数有 A9个,

§1.2(二)

2 根据分步计数原理,所求的三位数的个数为 A1· 9=9×9×8 9A

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3 2 由分类计数原理,符合条件的三位数的个数是:A9+A2+A9=648. 9

方法三

(间接法)

3 从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字的排列数为 A10,其中以 0 为开 2 头的排列数为 A9,因此符合条件的三位数的个数是 A3 -A2=648. 10 9

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§1.2(二)

小结 解决排列应用题,常用的思考方法有直接法和间接法. 排列问题的实质是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排
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列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上或某个 位子不排某些元素,解决该类排列问题的方法主要是按“优 先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊位子.

研一研·题型解法、解题更高效
在两端的排法有多少种?
解 方法一 (先满足特殊位置)

§1.2(二)

跟踪训练 2 五个学生和一个老师站成一排照相,问老师不排

由于排头和排尾两个位置有限制要求, 因此先从五个学生中选
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2 出两个坐在排头和排尾,有 A5种方法,余下的四人可任意站, 4 有 A4种方法, 2 所以符合要求的排法为 A5· 4=480(种). A4 方法二 (先满足特殊元素)

老师既然不能排在两端,于是可以从中间四个位置中任选一
1 个,有 A4种方法.五个学生在余下的五个位置中任意排列, 5 5 有 A5种排法.因此符合题意的排法为 A1A5=480(种). 4 方法三 (间接法)
6 由于六个人任意排有 A6种排法, 但实际必须除去老师排在排头的 5 6 A5种方法和排在排尾的 A5种方法,因而有 A6-2A5=480(种). 5 5

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题型三 例3 元素“相邻”与“不相邻”问题 7 人站成一排.

§1.2(二)

(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种? (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种?
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(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种? (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种?
解 (1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素,与其余 5
6 人全排列,共有 A6种排法.甲、乙两人可交换位置,有 A2种 2 6 排法,故共有 A6· 2=1 440(种)排法. A2 7 (2)方法一 (间接法)7 人任意排列,有 A7种排法,甲、乙两人
2 7 相邻的排法有 A2· 6种,故甲、乙不相邻的排法有 A7-A2· 6= A6 A6 2

3 600(种).

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方法二

§1.2(二)

5 (插空法)将其余 5 人全排列,有 A5种排法,5 人之间

及两端共有 6 个位置, 任选 2 个排甲、 乙两人, A2种排法. 有 6 故 共有 A5· 2=3 600(种)排法. 5 A6 (3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余 4 人全排列,
5 5 有 A5种排法, 乙、 甲、 丙三人有 A3种排法, 共有 A5· 3=720(种) A3 3

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排法.
4 (4)(插空法)将其余 4 人排好,有 A4种排法.将甲、乙、丙插入 3 5 个空中,有 A5种排法. 4 故共有 A4· 3=1 440(种)排法. A5

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§1.2(二)

小结

处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体, 后

局部”的原则.元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻
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的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列, 然后 再松绑,将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题,一般 用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列, 然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.

研一研·题型解法、解题更高效
跟踪训练 3 对于本例中的 7 人, (1)甲、乙两人之间只有 1 人的排法有多少种? (2)甲、乙、丙排序一定时,有多少种排法?
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§1.2(二)

(3)甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法?
解 (1)第一步:从其余 5 人中选 1 人放于甲、乙之间,有 A1种 5 方法. 第二步: 将甲、 乙及中间 1 人看作一个元素与其他四个人全排,
5 有 A5种方法.

2 第三步:甲、乙及中间 1 人的排列为 A2.
1 5 根据分步计数原理得 A5×A2×A5=1 200(种), 2

故有 1 200 种排法.

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(2)方法一

§1.2(二)

7 人的所有排列方法有 A7种,其中甲、乙、丙的排 7

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序有 A3种,又对应甲、乙、丙只有一种排序,所以甲、乙、 3 A7 7 丙排序一定的排法共有 3=840(种). A3 方法二 (填空法)7 人站定 7 个位置,只要把其余 4 人排好,
剩下的 3 个空位,甲、乙、丙就按他们的顺序去站,只有一种
4 站法,故有 A7=7×6×5×4=840(种).

(3)甲在乙的左边的 7 人排列数与甲在乙的右边的 7 人排列数相 1 7 等, 7 人排列数恰好是这二者之和, 而 因此满足条件的有2A7= 2 520(种).

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§1.2(二)

1.用 1,2,3,4,5 这 5 个数字,组成无重复数字的三位数,其中
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奇数共有________个. 36
解析 选法.
1 由分步计数原理,共有 A3×A2=36(个)无重复数字的三位奇数. 4

1 分 2 步完成:个位必为奇数,有 A3种选法;

从余下的 4 个数中任选 2 个排在三位数的百位、 十位上, A4种 有 2

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§1.2(二)

2.6 人站成一排,甲、乙、丙 3 个人不能都站在一起的排法种 数为________. 576
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解析

3 (间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为 A4×A3; 4

6 不考虑任何限制,6 人的全排列有 A6. 6 3 ∴符合题意的排法种数为:A6-A4×A3=576. 4

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§1.2(二)

3.某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又 增加了两个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中,
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那么不同的插法种数为________. 42
解析
2 分两类:①两个新节目相邻的插法有 6A2种;

2 ②两个新节目不相邻的插法有 A6种. 故 N=6×2+6×5=42.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§1.2(二)

4.将红、黄、蓝、白、黑 5 种颜色的小球,分别放入红、黄、 蓝、白、黑 5 种颜色的小口袋中,若不允许有空袋,且红
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口袋中不能装入红球,则有________种不同的放法. 96
1 解析 先装红球,且每袋一球,所以有 A4×A4=96(种). 4

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§1.2(二)

1. 对有特殊限制的排列问题, 优先安排特殊元素或特殊位置.
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2.对从正面分类繁杂的排列问题,可考虑使用间接法. 3.对要求某些元素相邻或不相邻的排列问题,可使用“捆绑 法”、“插空法”.


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