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2012年新高一数学竞赛05


2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

平面几何竞赛基础 05

─── 三角形中位线
姓名 _____________

爱因斯坦曾说:如果平面几何不能激起一个人的好奇心,那么这个人在科学上的发展也不会很远诶. 自学处理方法:先阅读完成例题解答,再独立完成练习并将解答回发 jylingbin@163.com 邮箱,以便批阅反馈. 注意要求目的: 要求独立完成, 可以参阅资料. 目的是开学后考试选拔 100 名思维好且钻研能力强的竞赛选手.

例 1.已知如图,△ABC 中,D 是 AC 上一点,DC=AB,E,F 分别是 AD,BC 的中点,FE 交 BA 延 长线于 M;求证:AM=AE.
(提示:法一连 B D 取中点 P ,连 E P ;法二延长 C E 到 N 使 E N ? E C ,连 B N )
M

A E D

B

F

C

例 2.已知如图,△ABC 中,BE、CF 分别平分∠ABC 和∠ACB,AE⊥BE,AF⊥CF; 求证:EF∥BC. (提示:延长 A E 、 A F 交 B C 于 M 、 N )
A

F

E

B

C

1

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

例 3.已知:如图,△ABC 中,∠B=2∠C,AD⊥BC,E 是 BC 的中点;求证:DE=

1 2

AB.

(提示:法一取 B C 的点 E ,取 A C 的中点 F ,连 EF 、DF ;法二延长 C B 到 N ,使 BN ? AB ,连 A N )
A

B

D

C

例 4.已知:如图,正方形 ABCD 中,AC、BD 交于 O,F、E 分别是 OD,BC 的中点; 求证:AF⊥EF. (提示:取 O B 的中点 M ,连 M E )
A D

F

O

B

E

C

2

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

例 5.已知:如图,△ABC 中,∠ABC= 9 0 ? ,AB=BC,D,E 分别 AB、BC 上的点, DM⊥AE 交 AC 于 M,BN⊥AE 交 AC 于 N,若 BD=BE;求证:MN=NC.
(提示:连 C D 交 B N 于 P )
A

M D

N

B

E

C

例 6.已知:如图,P 是△ABC 内一点,PE⊥AB,PF⊥AC,D 是 BC 中点,若∠PBE=∠PCF; 求证:DE=DF.(提示:取 PB、 PC 的中点 M 、 N ,连 EM 、 D M 、 FN 、 D N )
A

E F P

B

D

C

巩固练习 05

(以下两道题的解答要回发到邮箱 jylingbin@163.com)
3

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

1.△ABC 中,分别以 AB、AC 为边向形外作正方形 ABFE、ACMN,作 AD⊥BC 于 D 交 EN 于 G, 求证:EG=GN.
E G

N

A M

F C D

B

2.梯形 ABCD 中,AB∥DC,AD=BC,AC,BD 交于 O,P、Q、R 分别是 OA、OD、BC 的中点, 若∠AOB= 6 0 ? ,求证:△PQR 是等边三角形.
A B

P O R

Q

D

C

4


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