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第20讲 三角函数与恒等变形基础练习


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第 20 讲
一、选择题

三角函数与恒等变形基础练习

1. 【2008 年广东文】 5.已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x, x ? R ,则 f ( x ) 是

? 的奇函数 2 ? C、最小正周期为 ? 的偶函数 D、最小正周期为 的偶函数

2 2. 【2008 年宁夏理】 1.已知函数 y ? 2sin(? x ? ? )???(? ? 0) ) 在区间 ?0, 2? ? 的图像如下:那么 ? ? 1 1 (A)1 (B)2 (C) (D) 2 3 3 ? sin 70? ? 3. 【2008 年宁夏理】 7. 2 ? cos 2 10? 1 2 3 (A) (B) (C)2 (D) 2 2 2 4. 【2008 年宁夏文】 11.函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为 3 3 A. ? 3,1 B. ? 2,2 C. ? 3, D. ? 2, 2 2 ? ? 5. 【2008 年山东理】 3. (文科 3)函数 y ? ln cos x( ? ? x ? ) 的图象是 2 2
A、最小正周期为 ? 的奇函数 B、最小正周期为

6. 【2008 年山东理】5. (文科 10)已知 cos(? ? A. ?

?
6

) ? sin ? ?

4 7? 3 ,则 sin(? ? ) 的值是 5 6

4 4 D. 5 5 1 2 7. 【2007 广东理】3.若函数 f ( x) ? sin x ? ( x ? R ) ,则 f ( x ) 是 2 ? A.最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为 ? 的奇函数 2 C.最小正周期为 2? 的偶函数 D.最小正周期为 ? 的偶函数 ? ? 8. 【2007广东文】9.已知简谐运动 f ( x) ? 2sin( x ? ? )(| ? |? ) 的图象经过点 (0,1) ,则该简谐运动的 3 2 最小正周期 T 和初相 ? 分别为

2 3 5

B.

2 3 5

C. ?

A. T ? 6, ? ?

?
6

B. T ? 6, ? ?

?
3

C. T ? 6? , ? ?

?
6

D. T ? 6? , ? ?

?
3

9. 【2007 年海南、宁夏理】9. (文科 9)若

A. ?

7 2

B. ?

1 2

cos 2? 2 ,则 cos ? ? sin ? 的值为 ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ? 1 7 C. D. 2 2

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10. 【2007 年海南、宁夏理】 3. (文科 3)函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? π ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是 3? ? 2 ?

y
? ? 3

y

1
? 6

1
?

? ? 2

O
?1

x

?

? ?? O 3 2

?1

? 6

? x

A.

B.

y

y
?
? 3

1
? ? 2 ? ? O 6

?

x

?

?1

? 2

? 6

1
? 3

O
?1

? x

C. D. ? ? 11. 【2007 年山东理】 (5)函数 y ? sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) 的最小正周期和最大值分别为

6

3

(A) ? ,1

(B)

?, 2

(C) 2? ,1

(D) 2? , 2

12. 【2007 年山东文】 4.要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ?

? ?

?? ? 的图象 ??

? 个单位 ? ? C.向左平移 个单位 ?
A.向右平移 二、填空题

? 个单位 ? ? D.向左平移 个单位 ?
B.向右平移

1. 【2008 年北京理】13. (文科 13)已知函数 f ( x) ? x2 ? cos x ,对于 ? ? , ? 上的任意 x1,x2 ,有如下 2 2 条件: ① x1 ? x2 ;
2 2 ② x1 ? x2 ;

? π π? ? ?

③ x1 ? x2 . . .

, 2. 【2008 年北京文】9.若角 ? 的终边经过点 P(1 ? 2) ,则 tan 2? 的值为
3. 【2008 湖南单招】12.不等式 ?

其中能使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立的条件序号是

? 1 1 ? . ? ? ? (sin x ? 2) ? 0 的解集为 ? x ?1 x ?1 ? ? ? ? ? ? 4. 【2008 年辽宁理】 16.已知 f ( x) ? sin(? x ? ) (? ? 0), f ( ) ? f ( ) ,且 f ( x ) 在区间 ( , ) 有最 3 6 3 6 3 小值,无最大值,则 ? ? __________. 2sin 2 x ? 1 ? ?? 5. 【2008 年辽宁文】16.设 x ? ? 0, ? ,则函数 y ? 的最小值为 . sin 2 x ? 2? ? 6. 【2008 年上海理】6.函数 f ( x) ? 3 sin x ? sin( ? x) 的最大值是 . 2 ?? ? 7. 【2008 上海春招】4.方程 2cos ? x ? ? ? 1 在区间 ( 0, ? ) 内的解是 . 4? ? ?? ? ?? ? 8. 【2008 上海春招】6.化简: cos ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? . ?3 ? ?6 ?

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9. 【2008 年四川延考理】 (15)已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

6 4? , 2? ) 单调减少,则 ? ? 加,在 ( . 3 10. 【2008 年四川延考文】 14.函数 f ( x) ? 3sin x ? cos2 x 的最大值是____________. ? 3 11. 【2008 年浙江文】 (12)若 sin( ? ? ) ? ,则 cos 2? ? _________. 2 5 12 . 2008 年 广 东 理 】 12 . 已 知 函 数 f ( x) ? ( s i n ? c ox ) s xn x , 则 f, ( x ) 的 最 小 正 周 期 【 x s i ?R
是 . 13. 【2008 年江苏】1.若函数 y ? cos(? x ?

) (? ? 0) 在 (0,

4? ) 单调增 3

?
6

)(? ? 0) 最小正周期为

? ,则 ? ? 5



三、计算题 1. 【2008 年广东理】 16. (文科 16) (本小题满分 13 分)

0 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 M ? , ? .
(1)求 f ( x ) 的解析式;

?π 1? ? 3 2?

3 12 , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13 ? 1 【解析】 (1)依题意有 A ? 1 ,则 f ( x) ? sin( x ? ? ) ,将点 M ( , ) 代入得 3 2 ? 1 ? 5 sin( ? ? ) ? ,而 0 ? ? ? ? , ? ?? ? ? , 3 2 3 6
(2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ?

? ?

π? 2?

) ? cos x ; 2 3 12 ? (2)依题意有 cos ? ? , cos ? ? ,而 ? , ? ? (0, ) , 5 13 2 3 4 12 5 ?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,????sin ? ? 1 ? ( )2 ? , 5 5 13 13 3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 。 5 13 5 13 65 2. 【2008 年江苏】 15.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 ?,? ,它们的终 2
边分别交单位圆交于 A,B 两点.已知 A,B 两点的横坐标分别是 (1)求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 ? ? 2 ? 的值. 【试题解析】 (1)由已知条件即三角函数的定义可知, cos ? ?

?? ?

?

,故 f ( x) ? sin( x ?

?

2 2 5 、 . 10 5

2 2 5 ,cos ? ? , 10 5 7 2 2 因 ?为锐角, sin ? ? 0 ,从而 sin ? ? 1 ? cos ? ? 故 . 10 1 5 2 同理可得 sin ? ? 1 ? cos ? ? ,因此 tan ? ? 7, tan ? ? . 2 5 1 7? tan ? ? tan ? 2 ? ?3 . 所以 tan(? ? ? ) = ? 1 ? tan ? ?tan ? 1 ? 7 ? 1 2

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(2) tan(? ? 2? ) ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ?

? ?1 . 1 1 ? (?3) ? 2 ? ? 3? 3? 又0 ? ? ? , 0 ? ? ? , 故0 ? ? ? 2 ? ? , 从而由 tan(? ? 2? ) ? ?1 得 ? ? 2? ? . 2 2 2 4 3. 【2008 年山东理】 17. (本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 3sin(?x ? ?) ? cos( ?x ? ?)(0 ? ? ? ?, ? ? 0) ? 为偶函数,且函数 y ? f ( x) 图象的两相邻对称轴间的距离为 . 2 ? ? (I)求 f ( ) 的值; (II)将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点的横 8 6 坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( x) 的单调递减区间.
【标准答案】:(Ⅰ) f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ? 2 ?

?3 ?

1 2

? 3 ? 1 sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ? 2 ? 2 ?

π? ? ? 2sin ? ? x ? ? ? ? .因为 f ( x) 为偶函数,所以对 x ? R , f (? x) ? f ( x) 恒成立, 6? ? π π? ? 因此 sin(?? x ? ? ? ) ? sin ? ? x ? ? ? ? .即 6 6? ? π? π? π? π? ? ? ? ? ? sin ? x cos ? ? ? ? ? cos ? x sin ? ? ? ? ? sin ? x cos ? ? ? ? ? cos ? x sin ? ? ? ? 6? 6? 6? 6? ? ? ? ? π? π? ? ? 整理得 sin ? x cos ? ? ? ? ? 0 .因为 ? ? 0 ,且 x ? R ,所以 cos ? ? ? ? ? 0 . 6? 6? ? ? π π π? ? 又因为 0 ? ? ? π ,故 ? ? ? .所以 f ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? 2cos ? x . 6 2 2? ? 2π π π ?π? ? 2 ? ,所以 ? ? 2 .故 f ( x) ? 2cos 2 x .因此 f ? ? ? 2cos ? 2 . 由题意得 ? 2 4 ?8? π π? ? (Ⅱ)将 f ( x ) 的图象向右平移 个单位后,得到 f ? x ? ? 的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来的 4 6 6? ? ?x π? 倍,纵坐标不变,得到 f ? ? ? 的图象. ?4 6? ? ? x π ?? ? x π? ? x π? 所以 g ( x) ? f ? ? ? ? 2cos ?2 ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? . ?4 6? ?2 3? ? ? 4 6 ?? x π 2π 8π ? x ? 4kπ ? ( k ? Z )时, g ( x) 单调递减, 当 2kπ ≤ ? ≤ 2kπ ? π ( k ? Z ) ,即 4kπ ? 2 3 3 3 2π 8π ? ? 因此 g ( x) 的单调递减区间为 ? 4kπ ? . ,kπ ? ? ( k ? Z ) 4 3 3? ? 4. 【2008 年山东文】 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )( 0 ? ? ? π , π ? ? 0 )为偶函数,且函数 y ? f ( x) 图象的两相邻对称轴间的距离为 . 2 ?π? (Ⅰ)求 f ? ? 的值; ?8? π (Ⅱ) 将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 个单位后, 得到函数 y ? g ( x) 的图象, g ( x) 的单调递减区间. 求 6

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【标准答案】 第(Ⅰ)问同理科 17 第(Ⅰ)问 (Ⅱ)将 f ( x ) 的图象向右平移 所以

π 个单位后,得到 6

π? ? ? π ?? ? g ( x)? f? ? ? ? 2 c o s ? 2? ?? ? x x ? 6? 6?? ? ? ? π 2kπ ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? π ( k ? Z ) 当 ,即 3 π 2π ? ? 因此 g ( x) 的单调递减区间为 ? kπ ? ,kπ ? ( k ?Z ) . 6 3? ? ?

π? ? f ? x ? ? 的图象, 6? ? π? ? 2?c o s x 2 . ? ? 3 ? ? π 2π kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, g ( x) 单调递减, 6 3

三、计算题 1. 【2008 年安徽理】 (17)(文科 17) . (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) . 3 4 4 , ] 上的值域. 12 2

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [? 解: (Ⅰ)? f ( x) ? cos(2 x ?

? ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

3 sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 ? 3 1 3 ) sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? s i n (x2? 6 2 2 2 2? ? ? k? ? ? ? .由 2 x ? ? k? ? (k ? Z ) ,得 x ? ? (k ? Z ) . ∴周期 T ? 2 6 2 2 3 k? ? ? (k ? Z ) 。 ∴ 函数图象的对称轴方程为 x ? 2 3 ? ? ? ? 5? ] (Ⅱ)? x ? [? , ],? 2 x ? ? [? , 12 2 6 3 6 ? ? ? ? ? 因为 f ( x) ? sin(2 x ? ) 在区间 [? , ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 6 12 3 3 2 ? 所以当 x ? 时, f ( x ) 取最大值 1。 3 ? ? 3 ? 1 3 ? f ( ) ? ,∴ 当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 又 ? f (? ) ? ? 。 12 12 2 2 2 2 ? ? 3 所以函数 f ( x ) 在区间 [? , ] 上的值域为 [? ,1] 。 12 2 2
2. 【2008 年北京理】15. (文科 15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin (Ⅰ)求 ? 的值;
2

1 ? cos 2 x ? 2 1 ? cos 2 x ? 2

? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2
?

? ?

π?

? 2π ? ? ? 1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 【标准答案】: (Ⅰ) f ( x) ? 2 2 2 2 2
(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3
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π? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 6? 2 ?
因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 ,所以 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin ? 2 x ?

2π ? π ,解得 ? ? 1 . 2?

π? 1 ?? . 6? 2 2π π π 7π 1 π? ? 因为 0 ≤ x ≤ ,所以 ? ≤ 2 x ? ≤ ,所以 ? ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 , 3 6 6 6 2 6? ? π? 1 3 ? ? 3? 因此 0 ≤ sin ? 2 x ? ? ? ≤ ,即 f ( x ) 的取值范围为 ?0, ? . 6? 2 2 ? ? 2?
3. 【2008 年湖北理】 16. (本小题满分 12 分)

? ?

1? t 17? , g ( x) ? cos x ? f (sin x) ? sin x ? f (cos x), x ? (? , ]. 1? t 12 (Ⅰ )将函数 g ( x) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? [0, 2? ) )的形式; (Ⅱ )求函数 g ( x) 的值域.
已知函数 f (t ) ? 解: ) g ( x) ? cos x? (Ⅰ

1 ? sin x 1 ? cos x (1 ? sin x)2 (1 ? cos x)2 ? sin x? ? cos x? ? sin x? 1 ? sin x 1 ? cos x cos2 x sin 2 x 1 ? sin x 1 ? cos x ? cos x? ? sin x? . cos x sin x

? 17? ? ? x ? ? ?, ,? cos x ? ? cos x, sin x ? ? sin x, ? 12 ? ? 1 ? sin x 1 ? cos x ?? ? ? sin x ? cos x ? 2 = 2 sin ? x ? ? ? 2. ? g ( x) ? cos x? ? sin x? ? cos x ? sin x 4? ? 17? 5? ? 5? , <x ? ? . (Ⅱ )由 ? ? x ? 得 12 4 4 3 ? 5? 3? ? ? 3? 5? ? ? sin t 在 ? , ? 上为减函数,在 ? , ? 上为增函数, ? 4 2? ? 2 3? 5? 5? 3? ? 5? ? 17 ? ? ? sin ,????????? sin ? sin( x ? ) ? sin 又 sin (当 x ? ? ?, , ?) 3 4 2 4 4 2 ? ?
即 ?1 ? sin( x ? ) ? ?

? 4

2 ? 故 ,? ? 2 ? 2 ? 2 sin( x ? ) ? 2 ? ?3, g ( x) 的值域为 ? ? 2 ? 2, ?3 . ??? ? 2 4

?

4. 【2008 年湖北文】 16.(本小题满 12 分)

x x x cos ? cos 2 ? 2. 2 2 2 (Ⅰ )将函数 f ( x ) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0, ? ?[0, 2? )) 的形式,并指出 f ( x ) 的周期; 17? ] 上的最大值和最小值。 (Ⅱ )求函数 f ( x )在[? , 12 1 1 ? cos x 1 3 2 ? 3 ? 2 ? (sin x ? cos x) ? ? sin( x ? ) ? . 解: ) f ( x) ? sin x ? (Ⅰ 2 2 2 2 2 4 2 故 f ( x ) 的周期为 2k? ,(k ? Z , k ? 0) 。 17 5 ? 5 ? ,得 ? ? x ? ? ? . (Ⅱ )由 ? ? x ? 12 4 4 3 2 ? 3 ? 5 ? ? 5 17 ? sin( x ? ) ? 在 ?? , ? ? 上是减函数,上 ? ? , ? ? 是增函数。 因为 f ( x) ? 2 4 2 ? 4 ? ? 4 12 ?
已知函数 f ( x) ? sin
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5 17 6? 6 3? 2 ? 时, f ( x) 有最小值 ? ;而 f (? ) ? ?2, f ( ? ) ? ? ? ?2 , 4 12 4 2 所以当 x ? ? 时,有最大值 ?2 。 x 2 x ? sin 2 ? sin x . 5. 【2008 年湖南文】 17.已知函数 f ( x) ? cos 2 2 ? ? 4 2 (I)求函数 f (x) 的最小正周期; (II)当 x0 ? (0, ) 且 f ( x0 ) ? 时,求 f ( x 0 ? ) 的值。 4 6 5 π 解:由题设有 f ( x) ? cos x ? sin x ? 2 sin( x ? ) . 4 (I)函数 f ( x ) 的最小正周期是 T ? 2π.
故当 x =

π 4 4 2 π 4 2 得 2 sin( x0 ? ) ? , 即 sin( x0 ? ) ? , 4 5 5 4 5 ? π π ? 因为 x0 ? (0, ) ,所以 x0 ? ? ( , ). 4 4 4 2 π π 4 2 3 2 从而 cos( x0 ? ) ? 1 ? sin ( x0 ? ) ? 1 ? ( ) ? . 4 4 5 5 ? π ? π ? 于是 f ( x 0 ? ) ? 2 sin( x0 ? ? ) ? 2 sin[( x0 ? ) ? ] 6 4 6 4 6 π ? π ? ? 2[sin( x0 ? ) cos ? cos( x0 ? ) sin ] 4 6 4 6 4 3 3 1 4 ? 3 2 6 ? 2( ? ? ? ) ? . 5 2 5 2 10 1 5 6. 【2008 年江西文】 17.已知 tan ? ? ? , cos ? ? , ? , ? ? (0, ? ) 3 5 (1)求 tan(? ? ? ) 的值;
(II)由 f ( x0 ) ? (2)求函数 f ( x) ? 2 sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) 的最大值. 【解析】 (1)由 cos ? ?

5 2 5 , ? ? (0, ? ) 得 tan ? ? 2 , sin ? ? 5 5 1 ? ?2 tan ? ? tan ? 所以 tan(? ? ? ) = ? 3 ? 1. 2 1 ? tan ? tan ? 1? 3 1 1 3 , cos ? ? ? (2)因为 tan ? ? ? , ? ? (0, ? ) 所以 sin ? ? 3 10 10 f ( x) ? ? 3 5 5 5 2 5 sin x ? cos x ? cos x ? sin x ? ? 5 sin x , f ( x) 的最大值为 5 . 5 5 5 5
5 4 , cos C ? . 13 5

7. 【2008 年全国Ⅱ理】 17. (本小题满分 10 分) 在 △ ABC 中, cos B ? ?

33 ,求 BC 的长. 2 5 12 4 3 【解析】 (Ⅰ)由 cos B ? ? ,得 sin B ? ,由 cos C ? ,得 sin C ? . 13 13 5 5 33 所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? . 65
(Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)设 △ ABC 的面积 S△ ABC ?
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33 1 33 33 得 ? AB ? AC ? sin A ? ,由(Ⅰ)知 sin A ? , 2 2 2 65 A B? s i n B 2 0 ? AB 故 AB ? AC ? 65 ,又 A C ? , sin C 13 20 13 AB ? sin A 11 AB 2 ? 65 , AB ? .所以 BC ? ? . 故 13 2 sin C 2
(Ⅱ)由 S△ ABC ? 8. 【2008 年陕西理】 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值;

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3? x x x ? x π? 2 x 解: (Ⅰ)? f ( x) ? sin ? 3(1 ? 2sin ) ? sin ? 3 cos ? 2sin ? ? ? . 2 4 2 2 ?2 3? 2π ? f ( x) 的最小正周期 T ? ? 4π . 1 2 ? x π? ? x π? 当 sin ? ? ? ? ?1 时, f ( x ) 取得最小值 ?2 ;当 sin ? ? ? ? 1 时, f ( x ) 取得最大值 2. ?2 3? ?2 3? π? ? x π? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin ? ? ? .又 g ( x) ? f ? x ? ? . 3? ?2 3? ? x ?1 ? π ? π? ? x π? ? g ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 cos . 2 3 ? 3? ?2 2? ?2 ?
(Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ?

? ?

x ? x? ? g (? x) ? 2cos ? ? ? ? 2cos ? g ( x) . 2 ? 2? ? 函数 g ( x) 是偶函数.
9. 【2008 年陕西文】 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 3 cos . 4 4 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ?

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?

解:类理科 17(本题(Ⅰ)少了一步化简,其余完全一样)

x x ? x π? ? 3 cos ? 2sin ? ? ? . 2 2 ?2 3? 2π ? f ( x) 的最小正周期 T ? ? 4π . 1 2 x π? ? ? x π? 当 sin ? ? ? ? ?1 时, f ( x ) 取得最小值 ?2 ;当 sin ? ? ? ? 1 时, f ( x ) 取得最大值 2. ?2 3? ?2 3? π? ? x π? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin ? ? ? . 又 g ( x) ? f ? x ? ? , 3? ?2 3? ? x ?1 ? π ? π? ? x π? ? g ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 cos . 2 3 ? 3? ?2 2? ?2 ?
(Ⅰ)? f ( x) ? sin

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x ? x? ? g (? x) ? 2cos ? ? ? ? 2cos ? g ( x) . 2 ? 2? ? 函数 g ( x) 是偶函数.
10. 【2008 年上海理】18. (文科 18) (本题满分 15 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小 题满分 10 分。 已知函数 f ( x) ? sin 2 x, g ( x) ? cos(2 x ?

?

6

) ,直线 x ? t (t ? R) 与函数 f ( x)、g ( x) 的图像分别交于

M 、N 两点。
⑴ 当t ?

? 时,求 MN 的值; 4 ? ?? ⑵ 求 MN 在 t ? ?0, ? 时的最大值。 ? 2? 【解析】设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) ,则由题意, x1 ? x2 ? t , MN ? y1 ? y2
? 2? 2? ? 1 3 时, MN ? y1 ? y 2 ? sin ? cos( ? ) ? 1 ? ? 4 4 4 6 2 2 ? ?? ⑵ 当 t ? ?0, ? 时, ? 2? ? 3 1 MN ? y1 ? y2 ? sin 2t ? cos(2t ? ) ? sin 2t ? cos 2t ? sin 2t 6 2 2
⑴ 当t ?

?
∵t ? ?0,

3 3 sin 2t ? cos 2t ? 2 2
∴ 2t ? 当

3(

3 1 ? sin 2t ? cos 2t ) ? 3 ? sin(2t ? ) 2 2 6

? ?? , ? 2? ?

?
6

?

?
2

,即 t ?

?
3

时, MN

max

? 3。

11. 【2008 上海春招】17. (本题满分 12 分)

2 cos ? 2 ?? ? ? 的值. , ? ? ? , ? ? ,求 sin 2? sin ? 3 ? 2 ? 2 cos ? 1 ? cos 2 ? sin ? ? ? ? 【详解】原式 ? . 2sin ? cos ? sin ? sin ? cos ? cos ? 2 7 2 ?? ? 又 cos ? ? ? , ,? ? ? , ? ? ,∴ sin ? ? 1 ? ? 9 3 3 ?2 ?
已知 cos ? ? ? ∴

…… 5 分 …… 9 分 …… 12 分

2 cos ? 14 . ? ?? sin 2? sin ? 2
2 4

12. 【2008 年四川理】 17. (文科 17) (本小题满分 12 分) 求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x 的最大值与最小值。 【解】 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x
2 4

? 7 ? 2sin 2 x ? 4 cos 2 x ?1 ? cos 2 x ? ? 7 ? 2sin 2 x ? 4cos2 x sin 2 x
2 2

? 7 ? 2sin 2 x ? sin 2 2 x ? ?1 ? sin 2 x ? ? 6
由于函数 z ? ? u ? 1? ? 6 在 ??11? 中的最大值为 , 最小值为

zm a x? ? ? ?1 1 ?

2

?6 ?1, 0

zm i n? ?1 ? 1 ?

2

?6 ?6 ,

故当 sin 2 x ? ?1 时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2 x ? 1 时 y 取得最小值 6 【点评】此题重点考察三角函数基本公式的变形,配方法,符合函数的值域及最值; 【突破】利用倍角公式降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关键;

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数学

13. 【2008 年天津理】 (17) (本小题满分 12 分)

2 ? ? ?? ? , x ?? , ? . ?? 4 ? 10 ?2 4 ? (Ⅰ)求 sin x 的值; ?? ? (Ⅱ)求 sin? 2 x ? ? 的值. 3? ?
已知 cos? x ?

? ?

??

本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角函数值、两角和的正弦、两角差的余弦、二倍角 的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分. 【解】 (Ⅰ)解法一:因为 x ? ?

? ?? ? ? ? ? 3? ? , ? ,所以 x ? ? ? , ? ,于是 4 ?4 2? ?2 4 ?

?? ?? 7 2 ? ? . sin? x ? ? ? 1 ? cos2 ? x ? ? ? 4? 4 ? 10 ? ? ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? sin x ? sin ? ? x ? ? ? ? ? sin ? x ? ? cos ? cos ? x ? ? sin 4? 4? 4? 4 4? 4 ? ? ??
7 2 2 2 2 4 ? ? ? ? . 10 2 10 2 5 1 2 2 2 解法二:由题设 ,即 cos x ? sin x ? . cos x ? sin x ? 5 2 2 10 4 3 2 2 2 又 sin x ? cos x ? 1 , 25sin x ? 5sin x ? 12 ? 0 ,解得 sin x ? 或 sin x ? ? . 5 5 4 ? ? ?? ? 因为 x ? ? , ? ,所以 sin x ? 5 . ?2 4 ? ?
3 ?4? ? ? 3? ? , ? ,故 cos x ? ? 1 ? sin 2 x ? ? 1 ? ? ? ? ? . 5 ?5? ?2 4 ? 24 7 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? ? , cos 2 x ? 2 cos 2 x ? 1 ? ? . 25 25 ?? ? ? 24 ? 7 3 ? 所以 sin? 2 x ? ? ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? ? . 3? 3 3 50 ?
2

(Ⅱ)因为 x ? ?

14. 【2008 年天津文】 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos
2

? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1( x ?R,? > 0) 的最小正周期是 .

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值,并且求使 f ( x ) 取得最大值的 x 的集合.

? 2

【解析】 本小题主要考查特殊角三角函数值、 两角和的正弦、 二倍角的正弦与余弦、 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的性质等基础知识,考查基本运算能力. 【答案】 (Ⅰ)

1 ? cos 2? x ? sin 2? x ? 1 ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 ? ?? ?? ? ? ? 2 ? sin 2? x cos ? cos 2? x sin ? ? 2 ? 2 sin ? 2? x ? ? ? 2 . 4 4? 4? ? ? ? 2? ? ? ,所以 ? ? 2 . 由题设,函数 f ?x ? 的最小正周期是 ,可得 2? 2 2 ?? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ?x ? ? 2 sin? 4 x ? ? ? 2 . 4? ? f ? x? ? 2 ?
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数学

k? ?k ? Z ? 时, sin ? 4 x ? ? ? 取得最大值 1, ? ? 4 2 16 2 4? ? ? k? ? ? 所以函数 f ?x ? 的最大值是 2 ? 2 ,此时 x 的集合为 ? x | x ? ? ,k ? Z ?. 16 2 ? ?
当 4x ?

?

?

?

? 2k? ,即 x ?

?

?

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