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湛江二中2010-2011学年高一上学期期末考试(数学)


湛江二中 2010—2011 学年高一级上学期期末考试 数 学 试 卷
参考公式:锥体的体积公式 V ?

2011.01.17

考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,

1 sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高 3

/>第Ⅰ部分 选择题 共 50 分 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分,每小题只有一个正确选项) 1. 若集合 M ? ( x, y ) x ? y ? 0 , N ? ( x, y) x ? y ? 0, x ? R, y ? R ,则有(
2 2

?

?

?

?



A. M ? N ? M

B. M ? N ? N

C. M ? N ? M

D. M ? N ? ? )

2. 若函数 f ( x) ? 3x ? 3? x 与 g ( x) ? 3x ? 3? x 的定义域均为 R ,则( A. f ( x)与g ( x) 均为偶函数 C. f ( x)与g ( x) 均为奇函数

B. f ( x ) 为偶函数, g ( x) 为奇函数 D. f ( x ) 为奇函数, g ( x) 为偶函数

3.以下四个命题: ①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直; ②若平面外两点到平面的距离相等,则过这两点的直线必平行于该平面; ③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线; ④两个互相垂直的平面,一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线. 其中正确的命题是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④ 4. 已知 ab ? 0, bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c 通过( A.第一、二、三象限 C.第一、三、四象限 )

B.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限
0

5. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45 ,腰和上底均为 1 的等腰梯 形,那么原平面 图形的面积是( A. 2 ? 6. 函数 y ? A. ?1,??? ) C. )

2

B.

1? 2 2

2? 2 2

D. 1? 2

log 1 (2 ? x) 的定义域为(
3

B.

?? ?,2?

C.

?1,2?

D.

?1,2?

7. 如图, 一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为 2 的正 三角形,俯视图轮廓为正方形,则此几何体的表面积是( ) A. 4 ? 4 3
主视图 侧视图

B.12C

4 3

D.8

俯视图

1

? 8. 两 直 线 3x ? y ? 3

0 6 x ? my ? 1 ? 0 平 行 , 则 它 们 之 间 的 距 离 为 与
( )

A. 4

B.

2 13 13

C.

5 13 26

D.

7 10 20

9. 已知两点 A(?2,0), B(1,0) ,如果动点 P 满足 | PA |? 2 | PB | ,则点 P 的轨迹所包围的图 形的面积等于 ( ) A. 9 ? B. 8 ? C. 4 ? D. 10. 如图,正四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 中,AB=3,BB1=4.长为 1 的线段 PQ 在棱 AA1 上移动,长为 3 的线段 MN 在棱 CC1 上移动,点 R 在 棱 BB1 上移动,则四棱锥 R–PQMN 的体积是( ) A.6 B.10 C.12 D.不确定 第Ⅱ部分 非选择题 共 100 分 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. 已知 x ? y ? 4x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 logx ( y ) 的值是
2 2

?
D1 A1 B1 C1

·N

·R
P· Q· A D B

·M
C

x

.

12. 已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点, PA, PB 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的切 线, A, B 是切点, C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值是 .

13. 若过定点 M (?1 , 0) 且斜率为 k 的直线与圆 x 2 ? 4x ? y 2 ? 5 ? 0 在第一象限内的部分 .... 有交点,则 k 的取值范围是
2

.

14. 若函数 f ( x) ? x ? ax ? 3a 在[2,+ ? ) 上是增函数,且函数 g ( x) ? 的定义域为全体实数,则实数 a 的范围是 . 请用黑色字迹签字笔或钢笔在答题卡相应区域作答, .... 不得使用计算器! 三、解答题(共 80 分,请写出详细解答过程和必要演算步骤) 1 5.(本小题满分 12 分)

1 ax2 ? x ? a 4

如图,在底面是矩形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 面 ABCD , E 、F 为别为 PD 、 AB 的中点,且 PA ? AB ? 1 , BC ? 2 , P (Ⅰ)求四棱锥 E ? ABCD 的体积; (Ⅱ)求证:直线 AE ∥平面 PFC E A F B C
2

D

16. ( 本小题满分 12 分)
x?2 x 2 若函数 y ? lg 3 ? 4 x ? x 的定义域为 M。 x ? M 时, f ? x ? ? 2 ? 3? 4 的最 值及相 当 求

?

?

应的 x 的值。

17. (本小题满分 14 分) 如图,直三棱柱 A1B1C1—ABC 中,C1C=CB=CA=2,AC⊥CB. D、E 分 别为棱 C1C、B1C1 的中点. (1)求 A1 B 与平面 A1C1CA 所成角的正切值; (2) 求二面角 B—A1D—A 的平面角的正切值;

A1 B1

C1

D

A C B

18. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? x ?16 x ? q ? 3 :
2

(1)若函数在区间 ??1,1? 上存在零点,求实数 q 的取值范围; (2)若不等式 f ( x) ? 51 ? 0 对任意 x ? [q,10] 均成立,求实数 q 的取值范围.

3

19. (本小题满分 14 分) 已知圆 C 的圆心在直线 2 x ? y ? 3 ? 0 上,且经过点 A(5,2), B?3,2? , (1)求圆 C 的标准方程; (2)直线 l 过点 P(2,1) 且与圆 C 相交的弦长为 2 6 ,求直线 l 的方程. (3)设 Q 为圆 C 上一动点, O 为坐标原点,试求 ?OPQ 面积的最大值.

20.(本小题满分 14 分) 已知圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 ,直线 l : y ? kx ,且 l 与 C 相交于 P 、 Q 两点, 点 M ? 0, b ? ,且 MP ? MQ . (Ⅰ)当 b ? 1 时,求 k 的值; (Ⅱ)当 b ? ?1, ? ,求 k 的取值范围.

? 3? ? 2?

湛江二中 2010—2011 高一期末考试数学答案
4

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分,每小题只有一个正确选项) 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A B D C A D B 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. 0 12.

8 D

9 C

10 A

2 2

13. 0 ? k ? 5

14.

1? a ? 4

三、解答题 15.(本小题满分 12 分) 【解】 (1)取 AD 的中点 O,连接 EO,则 EO 是 ? PAD 的中位线,得 EO∥PA,故 EO ? 面 ABCD, EO 是四棱锥 E ? ABCD 的高,VE ? ABCD ? 分

1 1 1 1 S ABCD ? EO ? ? 1 ? 2 ? ? 3 3 2 3

……………6

1 (2) PC 的中点 G,连 EG,FG, 由中位线得 EG∥CD,EG= 2 CD=AF, ? 四边形 AFGE 是平行四 取
边形,

AE ? 面PFC? ? ? FG ? 面P FC ? ? AE AE // FG ? ?
16. (本小题满分 12 分)

∥ 面PFC

…………………12 分

2 2 【解】 y ? lg 3 ? 4 x ? x ,? 3 ? 4 x ? x ? 0 ,…………………1 分 :

?

?

M ?{ 解得: x ? 1或x>3} ,∴ M ? {x ? 1或x>3}

……………3 分 ……………4 分 ……………6 分

f ? x ? ? 2x ? 2 ? 3 ? 4 x = 4 ? 2 x ? 3 ? (2 x ) 2
,∴ t ? 8或0 ? t ? 2 令2 x ?M ? {x ? 1或x>3} t, ∵
2 2 ∴f(x)= 4 t ? 3t ? ?3( t ? ) ?

2 3

4 3

( t ? 8或0 ? t ? 2 )……………7 分

由二次函数性质可知: 当0 ? t ? 2时,f(x)? ? - 4, ?, 3

? ?

4? ?

……………9 分

? 当t ? 8时,f(x)? ?- ?,-160
2

……………10 分

当 2x ? t ?

2 4 3 ……………11 分 ,即:x ? log2 时, f ( x ) ? 3 3

5

18. (本小题满分 14 分) 【解】解:⑴ ∵二次函数 f ( x) ? x ?16 x ? q ? 3 的对称轴是 x ? 8
2

∴函数 f ( x ) 在区间 ??1,1? 上单调递减

……… 2 分 ……… 4 分

∴要函数 f ( x ) 在区间 ??1,1? 上存在零点须满 足 f (?1) ? f (1) ? 0 即 (1 ? 16 ? q ? 3) ? (1 ? 16 ? q ? 3) ? 0 解得 ?20 ? q ? 12 ⑵ 记 g ( x) ? f ( x) ? 51 ? x ? 16x ? q ? 54
2

……… 6 分

当 q ? 8 时, g ( x) min ? g (8) 又∵ q ? 8

∴ g (8) ? 0 即 64 ? 128? q ? 54 ? 0 解得 q ? 10 ∴ 无解 ……… 10 分
6

当 q ? 8 时, g ( x) min ? g (q) 又∵ q ? 8 综上可得 9 ? q ? 10

∴ g (q) ? 0 即 q 2 ? 16q ? q ? 54 ? 0 解得 q ? 9 或 q ? 6 ∴q ? 9 又 由题意可知 q ? 10 ……………………14 分

20.(本小题满分 14 分) 已知圆 C : x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 ,直线 l : y ? kx ,且 l 与 C 相交于 P 、 Q 两点,
2 2

点 M ? 0, b ? ,且 MP ? MQ . (Ⅰ)当 b ? 1 时,求 k 的值; (Ⅱ)当 b ? ?1, ? ,求 k 的取值范围.
7

? 3? ? 2?

【解】 (Ⅰ)圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 ,
2 2

当 b ? 1 时,点 M ? 0, b ? 在圆 C 上, 当且仅当直线 l 经过圆心 C 时, 满足 MP ? MQ . ……2 分

? 圆心 C 的坐标为 ?1,1? ,
? k ? 1.
(Ⅱ)由 ? ……4 分

? y ? kx, ? 2 2 ?? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1. ?

2 2 消去 y 得: 1 ? k x ? 2 ?1 ? k ? x ? 1 ? 0 .

?

?



设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,

? x1 ? x2 ?

2 ?1 ? k ? 1 , x1 x2 ? . 2 1? k 1? k 2

…… 6 分

? MP ? MQ ,

? MP ? MQ ? 0 .
? ?x1 , y1 ? b? ? ?x2 , y2 ? b? ? 0 , 即 x1 x2 ? ? y1 ? b?? y2 ? b? ? 0 .

? y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,

?? kx1 ? b?? kx2 ? b? ? x1x2 ? 0 , 即 ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? kb ? x1 ? x2 ? ? b 2 ? 0 .
2 ?1 ? k ? 2 1 ? ?1 ? k 2 ?? ? kb? ?b ? 0 , 1? k 2 1? k 2


……8 分

2k ?1 ? k ? b2 ? 1 1 ? ?b? . 2 1? k b b
1 ? 3? ,则? f ? b ? 在区间 ?1, ? 上单调递增. b ? 2?
……11 分

令 f ?b? ? b ?

? 3? ? 13 ? ? 当 b ? ?1, ? 时, f ? b ? ? ? 2, ? . ? 2? ? 6?
?2 ? 2k ?1 ? k ? 13 ? . 1? k 2 6

8

?2k ?1 ? k ? ? 2 ?1 ? k 2 ? , ?k ? 1, ? ? 即? 解得 ? 13 2 ?k ? 6 ? 23或 k ? 6 ? 23. ? ?2k ?1 ? k ? ? ?1 ? k ? . 6 ?

?1 ? k ? 6 ? 23 或 k ? 6 ? 23 .
由①式得 ? ? ? 2 ?1 ? k ? ? ? 4 1 ? k ? ?
2

……13 分

?

2

? ? 0 , 解得 k ? 0 .

?1 ? k ? 6 ? 23 或 k ? 6 ? 23 .
? k 的取值范围是 1, 6 ? 23 ? 6 ? 23, ?? .

?

? ?

?

……14 分

9


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