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2013高中数学奥数培训资料之集 合


兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料) §3 集 合
集合的划分反映了集合与子集之间的关系,这既是一类数学问题,也是数学中的解题策 略——分类思想的基础,在近几年来的数学竞赛中经常出现,日益受到重视,本讲主要介绍 有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。 1.集合的概念 集合是一个不定义的概念,集合中的元素有三个特征: (1) 确定性 设 A 是一个

给定的集合, a 是某一具体对象,则 a 或者是 A 的元素,或者不 是 A 的元素,两者必居其一,即 a ∈ A 与 a ? A 仅有一种情况成立。 (2) 互异性 一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同 一个元素。 (3) 无序性 2.集合的表示方法 主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如: N , Z , Q, R 应熟记。 3.实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换,有序实数对的集合与平面上的点集可以互 相转换。对于方程、不等式的解集,要注意它们的几何意义。 4.子集、真子集及相等集 (1) A ? B ? A ? B 或 A = B ; (2) A ? B ? A ? B 且 A ≠ B ; (3) A = B ? A ? B 且 A ? B 。 5.一个 n 阶集合 (即由个元素组成的集合) 2 个不同的子集, 有 其中有 2 -1 个非空子集, 也有 2 -1 个真子集。 6.集合的交、并、补运算
n n n

A ? B ={ x | x ? A 且 x ? B }; A ? B ={ x | x ? A 或 x ? B }

A ? {x | x ? I 且 x ? A }
要掌握有关集合的几个运算律: (1)交换律 A ? B = B ? A , A ? B = B ? A ; (2)结合律 A ? ( B ? C )=( A ? B ) ? C ,

A ? ( B ? C )=( A ? B ) ? C ; (3)分配律 A ? ( B ? C )=( A ? B ) ? ( A ? C ) A ? ( B ? C )= ( A ? B ) ? ( A ? C )
(4)0—1 律 (5)等幂律 (6)吸收律

A ? ? = A , A ? I = A , A ? I = I , A ? ? =?

A ? A=A,A ? A=A A ? ( A ? B )= A , A ? ( A ? B )= A

(7)求补律 (8)反演律

A ? CIA= I , A ? CIA= ?

A ? B ? A ? B, A ? B ? A ? B

7.有限集合所含元素个数的几个简单性质 设 n( X ) 表示集合 X 所含元素的个数,(1) n( A ? B) ? n( A) ? n( B) ? n( A ? B) , 当 n( A ? B) ? ? 时, n( A ? B) ? n( A) ? n( B) ( 2 )

n( A ? B ? C ) ? n( A) ? n( B) ? n(C )



n( A ? B) ? n( A ? C ) ? n( B ? C ) ? n( A ? B ? C )

例题讲解
元素与集合的关系 1.设 A ={ a | a = x 2 ? y 2 , x, y ? Z },求证:(1) 2k ? 1 ∈ A ( k ? Z ); (2) 4k ? 2 ? A (k ? Z )

2.以某些整数为元素的集合 P 具有下列性质:① P 中的元素有正数,有负数; ② P 中的元素有奇数,有偶数;③-1 ? P ;④若 x , y ∈ P ,则 x + y ∈ P 试判断实数 0 和 2 与集合 P 的关系。

3.设 S 为满足下列条件的有理数的集合:①若 a ∈ S , b ∈ S ,则 a + b ∈ S ,

ab ? S ;②对任一个有理数 r ,三个关系 r ∈ S ,- r ∈ S , r =0 有且仅有一个成立。 证明: S 是由全体正有理数组成的集合。

两个集合之间的关系 在两个集合之间的关系中,我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特 殊关系。 这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的, 因而判断两个集合之间的关系通常可 从判断元素与这两个集合的关系入手。 4.设函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b (a, b ? R) ,集合 A ? {x | x ? f ( x), x ? R} ,

B ? {x | x ? f [ f ( x)], x ? R} 。
(1)证明: A ? B ; (2)当 A ? {?1,3} 时,求 B 。 (3)当 A 只有一个元素时,求证: A ? B .

5. S1 , S 2 , S 3 为非空集合,对于 1,2,3 的任意一个排列 i, j , k ,若 x ? Si , y ? S j ,则

x ? y ? Sk
(1)证明:三个集合中至少有两个相等。 (2)三个集合中是否可能有两个集无公共元素?

6.已知集合:

A ? {( x, y) | ax ? y ? 1}, B ? {( x, y) | x ? ay ? 1}, C ? {( x, y) | x 2 ? y 2 ? 1}问
(1)当 a 取何值时, ( A ? B) ? C 为含有两个元素的集合? (2)当 a 取何值时, ( A ? B) ? C 为含有三个元素的集合?

7.设 n ? N 且 n ≥15, A, B 都是{1,2,3,?, n }真子集, A ? B ? ? ,且

A ? B ={1,2,3,?, n }。证明: A 或者 B 中必有两个不同数的和为完全平方数。

课后练习
1 . 下 列 八 个 关 系 式 :①{0}= ? ② ? =0 ⑦ ? ? {0} (A)4 ⑧ ? ? { ? } 其中正确的个数 (B)5 (C)6
? ③? ?

{ ? } ④ ? ? { ? }⑤{0} ? ? ⑥0 ? ? ( ) (D)7 ( )

2.设 A、B 是全集 U 的两个子集,且 A ? B,则下列式子成立的是 (A)CUA ? CUB 3 . 已 知 (B)CUA ? CUB=U (C)A ? CUB= ?

(D)CUA ? B= ?

M= {x | x ? 3n, n ? Z }, N ? {x | x ? 3n ? 1, n ? Z }, P ? {x | x ? 3n ? 1, n ? Z } , 且 ( (D) M ? P ( ) )

a ? M , b ? N , c ? P ,设 d ? a ? b ? c ,则 d ?

(A)M

(B)N

(C)P

4.设集合 M ? {x | x ? (A) M ? N

k 1 k 1 ? , k ? Z}, N ? {x | x ? ? , k ? Z} ,则 2 4 4 2

(B) N ? M

(C) M ? N

(D) M ? N ? ?

5.设 M={1,2,3,…,1995},A 是 M 的子集且满足条件: 当 x∈A 时,15x ? A,则 A 中元素的 个数最多是_______________. 6.集合 A,B 的并集 A∪ B={a1,a2,a3},当且仅当 A≠B 时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这 样的(A,B)对的个数有_________________. 7.若非空集合 A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使 A ? A∩B 成立的 a 的取值范围是 _______________. 8.若 A={x|0≤x2+ax+5≤4}为单元素集合,则实数 a 的值为___________________. 9.设 A={n|100≤n≤600,n∈ N},则集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的个数为 ______________. 10.己知集合 A={x|x=f(x)},B={x|x=f(f(x))},其中 f(x)=x2+ax+b (a,b∈ R), 证明:(1)A ? B (2)若 A 只含有一个元素,则 A=B .

11.集合 A={(x,y) x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0 },集合 B={(x,y) x ? y ? 1 ? 0 ,且 0 ? x ? 2 },

又 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围.

课后练习答案
1-4 C C B A 5.解:由于 1995=15?133,所以,只要 n>133,就有 15n>1995.故取出所有大于 133 而不 超过 1995 的整数. 由于这时己取出了 15?9=135, ? 15?133=1995. 故 9 至 133 的整数都不 能再取, 还可取 1 至 8 这 8 个数, 即共取出 1995—133+8=1870 个数, 这说明所求数≥1870。 另一方面,把 k 与 15k 配对,(k 不是 15 的倍数,且 1≤k≤133)共得 133—8=125 对,每对数中至多能取 1 个数为 A 的元素,这说明所求数≤1870,综上可知应填 1870 6.解:A=φ 时,有 1 种可能;A 为一元集时,B 必须含有其余 2 元,共有 6 种可能;A 为二元集时,B 必须含有另一元.共有 12 种可能;A 为三元集时,B 可为其任一子集.共 8 种可能.故共有 1+6+12+8=27 个. 7. 解: A 非空知 2a+1≤3a-5, a≥6. 由 A?A?B 知 A?B. 即 3≤2a+1 且 3a-5≤22, 解 由 故 之,得 1≤a≤9. 于是知 6≤a≤9
2 2 2 2 8.解:由 x ? ax ? 5 ? ( x ? 1 a) ? 5 ? 1 a .若 5 ? 1 a ? 4 ,则 A 有无数个元,若 2 4 4

5 ? 1 a 2 ? 4 ,则 A 为空集,只有当 5 ? 1 a 2 ? 4 即 a ? ?2 时,A 为单元素集 {?1} 或 {1} .
4 4

所以 a ? ?2 9. 被 7 除余 2 的数可写为 7k+2. 由 100≤7k+2≤600.知 14≤k≤85. 又若某个 k 使 7k+2 解: 能被 57 整除,则可设 7k+2=57n. 即 k ? 57n ? 2 ? 56n ? n ? 2 ? 8n ? n ? 2 . 即 n-2 应为 7 的
7 7 7

倍数. 设 n=7m+2 代入,得 k=57m+16. ∴14≤57m+16≤85. m=0,1.于是所求的个数为 85-(14-1)-2=70 10.证明:(1)? x ? A ? f ( x) ? x, ? f ( f ( x)) ? f ( x) ? x ? x ? B ? A ? B (2)设 A={c},即二次方程 f(x)-x=0 有惟一解 c,即 c 为 f(x)-x=0 的重根. ∴ f(x)-x=(x-c)2 即 f(x)=(x-c)2+x,于是 f(f(x))=(f(x)-c)2+f(x), f(f(x))-x=(f(x)-c)2+f(x)-x=[(x-c)2+x-c]2+(x-c)2=0 ∴?

?( x ? c) 2 ? x ? c ? 0 ? ?x ? c ?
?x 2 ? m x ? y ? 2 ? 0 ? 得 x 2 ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 ?x ? y ? 1 ? 0 ?
2

故 f(f(x))=x 也只有惟一解 x=c,即 B={c}. 所以 A=B 11.解:由 ?

?0 ? ? m ?1 ? 2 ? 2 或 f ( 2) ? 0 设 f ( x) ? x ? (m ? 1) x ? 1 由数形结合得: ? ?? ? (m ? 1) 2 ? 4 ? 0 ?
解得: m ? ?1

例题答案:
1.分析:如果集合 A ={ a | a 具有性质 p },那么判断对象 a 是否是集合 A 的元素的基本 方法就是检验 a 是否具有性质 p 。 解:(1)∵ k , k ? 1 ∈ Z 且 2k ? 1 = k 2 ? (k ? 1) 2 ,故 2k ? 1 ∈ A ; (2)假设 4k ? 2 ? A (k ? Z ) ,则存在 x, y ? Z ,使 4k ? 2 = x 2 ? y 2 即 ( x ? y)(x ? y) ? 2(2k ? 1) (*)

由于 x ? y 与 x ? y 具有相同的奇偶性,所以(*)式左边有且仅有两种可能:奇数或 4 的倍数,另一方面,(*)式右边只能被 4 除余 2 的数,故(*)式不能成立。由此,

4k ? 2 ? A (k ? Z ) 。
2.解:由④若 x , y ∈ P ,则 x + y ∈ P 可知,若 x ∈ P ,则 kx ? P (k ? N ) (1)由①可设 x , y ∈ P ,且 x >0, y <0,则- y x =| y | x 故 x y ,- y x ∈ P ,由④,0=(- y x )+ x y ∈ P 。 (2) ? P 。 2∈ P , P 中的负数全为偶数, 2 若 则 不然的话, 当- 2k ? 1 ) P ( k ? N ) ( ∈ 时,-1=(- 2k ? 1 )+ 2 k ∈ P ,与③矛盾。于是,由②知 P 中必有正奇数。设 (| y |∈ N )

? 2m,2n ? 1 ? P (m, n ? N ) ,我们取适当正整数 q ,使 q? | ?2m |? 2n ? 1 ,则负奇数 ? 2qm ? (2n ? 1) ? P 。前后矛盾。
3. 证明: 设任意的 r ∈ Q ,r ≠0,由②知 r ∈ S , 或- r ∈ S 之一成立。 再由①, 若 ∈S ,
2 则 r ? S ;若- r ∈ S ,则 r ? (?r ) ? (?r ) ? S 。总之, r ? S 。
2 2

r

取 r =1,则 1∈ S 。再由①,2=1+1∈ S ,3=1+2∈ S ,?,可知全体正整数都属于 S 。 设 p, q ? S , 由① pq ? S , 又由前证知

p 1 1 ? S ,所以 ? pq ? 2 ∈ S 。因此,S 含 2 q q q

有全体正有理数。 再由①知,0 及全体负有理数不属于 S 。即 S 是由全体正有理数组成的集合。 4.解:(1)设任意 x 0 ∈ A ,则 x0 = f ( x0 ) .而 f [ f ( x0 )] ? f ( x0 ) ? x0 故 x0 ∈ B ,所以 A ? B . (2)因 A ? {?1,3} ,所以

?( ?1) 2 ? a ? ( ?1) ? b ? ?1 ? 2 ? 3 ? a ?3? b ? 3

解得 a ? ?1, b ? ?3

故 f ( x) ? x 2 ? x ? 3 。由 x ? f [ f ( x)] 得

( x 2 ? x ? 3) 2 ? ( x 2 ? x ? 3) ? x ? 3 ? 0
解得

x ? ?1, 3, ? 3

B ={ ? 1,3,? 3, 3}。
5.证明:(1)若 x ? Si , y ? S j ,则

y ? x ? S k , ( y ? x) ? y ? ? x ? Si
所以每个集合中均有非负元素。 当三个集合中的元素都为零时,命题显然成立。 否则,设 S1 , S 2 , S 3 中的最小正元素为 a ,不妨设 a ? S1 ,设 b 为 S 2 , S3 中最小的非负 元素,不妨设 b ? S 2 , 则 b - a ∈ S 3 。 若 b >0,则 0≤ b - a < b ,与 b 的取法矛盾。所以 b =0。 任取 x ? S1 , 因 0∈ S 2 ,故 x -0= x ∈ S 3 。所以 S1 ? S 3 ,同理 S 3 ? S1 。 所以 S1 = S 3 。 (3)可能。例如 S1 = S 2 ={奇数},S 3 ={偶数}显然满足条件,S1 和 S 2 与 S 3 都无公共元素。 6.解: ( A ? B) ? C = ( A ? C ) ? ( B ? C ) 。 A ? C 与 B ? C 分别为方程组 (Ⅰ) ?

? ax ? y ? 1 2 2 ?x ? y ? 1

(Ⅱ) ?

? x ? ay ? 1 2 2 ?x ? y ? 1
2a 1? a2 , );由(Ⅱ)解得 1? a2 1? a2

的解集。由(Ⅰ)解得( x, y )=(0,1)=(

( x, y )=(1,0),(

2a 1? a2 , ) 2 1? a2 1? a

(1)使 ( A ? B) ? C 恰有两个元素的情况只有两种可能:

? 2a ?0 ? ?1 ? a 2 ①? 2 ?1 ? a ? 1 ?1 ? a 2 ?

? 2a ?1 ? ?1 ? a 2 ②? 2 ?1 ? a ? 0 ?1 ? a 2 ?

由①解得 a =0;由②解得 a =1。 故 a =0 或 1 时, ( A ? B) ? C 恰有两个元素。

2a 1? a2 (2)使 ( A ? B) ? C 恰有三个元素的情况是: = 1? a2 1? a2
解得 a ? ?1? 2 ,故当 a ? ?1? 2 时, ( A ? B) ? C 恰有三个元素。 7.证明:由题设,{1,2,3,?, n }的任何元素必属于且只属于它的真子集 A, B 之一。 假设结论不真,则存在如题设的{1,2,3,?, n }的真子集 A, B ,使得无论是 A 还 是 B 中的任两个不同的数的和都不是完全平方数。
2 不妨设 1∈ A ,则 3 ? A ,否则 1+3= 2 ,与假设矛盾,所以 3∈ B 。同样 6 ? B ,所

以 6∈ A ,这时 10 ? A ,,即 10∈ B 。因 n ≥15,而 15 或者在 A 中,或者在 B 中,但当 15∈ A 时,因 1∈ A ,1+15= 4 ,矛盾;当 15∈ B 时,因 10∈ B ,于是有 10+15= 5 ,仍 然矛盾。因此假设不真。即结论成立。
2

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