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必修1课件1.1.2集合间的基本关系


§1.1.2集合间的基本关系

思考
实数有相等关系、大小关系,如5=5,5<7, 5>3,等等,类比实数之间的关系,你会想到集合 之间的什么关系?

观察下面几个例子,你能发现两个集合之间的关系吗? ⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5}; ⑵设A为万州中学高一(2)班女生的全体组成的集合, B为这个班学生的

全体组成的集合; ⑶ 设C={x|x是两条边相等的三角形},

D={x|x是等腰三角形}.

1.子集的概念

一般 地,如果集合A的任何一个元素都是集合 B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合 A是集合B的子集(subset)。 记作: A? B(或B? A) 读作:A包含于(is contained in)B, 或 B包含(contains)A

用Venn图表示两个集 合间的“包含”关系

B

A

2.集合相等的概念

  如果集合A是集合B的子集(A ? B),且集合B是 集合A的子集(B ? A),此时,集合A与集合B中 的元素是一样,因此,集合A与集合B相 等,     记作   A=B

?A ? B A = B?? ?B? A
结论:任何一个集合是它本身的子集

3. 真子集的概念

如果A ? B, 但存在元素 x ? B且x ? A, 则称A是B的真子集

记作A?B,或B?A.

?

?

4.空集

 我们知道,方程x 2 ? 1 ? 0没有实数根,所以,方程 x 2 ? 1 ? 0的实数组成的集合没有元素.

不含有任何元素的集合称为空集(empty set), 记作:? 规定: 1.空集是任何集合的子集; 2.空集是任何非空集合的真子集。

5.集合之间的基本关系.

()任何一个集合是它本身的子集,即 1       A ? A ( )对于集合A、B、C,如果A ? B,B ? C,那么 2 A ? C.
 例3、写出集合{a, b}的所有子集,并指出哪些是它 的真子集.

6.反馈演练

1、下列命题: 空集没有子集; 任何集合至少有两个 (1) (2) 子休; 空集是任何集合的真子集; 若? ? A,则A ? (3) (4) ?.其中正确的有( A.0个 ) D.3个 B.1个 C.2个

y-3 2.设x, y ? R,A ? {(x, y) | y - 3 ? x - 2}, B ? {(x, y) | ? 1}, x-2 则A,B的关系是______.

3.已知A ? { x | ?2 ? x ? 5}, B ? { x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1}, B ? A, 求实数a的取值范围.

解: ? ? A, 当B ? ?,有a ? 1 ? 2a ? 1, 即a ? 2 ? ? ?2 a ? 1 ? a ? 1 ? 当B ? ?时,有?a ? 1 ? -2 ?2 a ? 1 ? 5 ? ?2 ? a ? 3 综上所述,a的取值范围a ? 3.

课堂练习

1 设集合A={x|1≤x≤3},B={x|x-a≥0} 若A是B的真子集,求实数a的取值范围。

2 设A={1,2},B={x|x?A},问A与B有什 么关系?并用列举法写出B?

4、设集合A ? {x | x 2 ? 4x ? 0}, B ? {x | x 2 ? 2(a ? 1)x ? a 2 - 1 ? 0, a ? R}, 若B ? A,求实数a的值.

解: A ? {0,4} B ? A,于是可分类处理. ? - , (1)当A ? B时,B ? {0,4}. 由此知: - 4是方程x 2 ? 2(a ? 1) ? a 2 ? 1 ? 0的两根, 0, 由韦达定理得 ?- 2(a ? 1) ? ?4 ? 2 ?a 解得 a ? 1

(2)当B ? A时,又可分为: (a) B ? ?时,即B ? {0} ,或B ? {-4} , ? ? 4(a ? 1)2 ? 4(a 2 ? 1) ? 0, 解得a ? ?1 B ? {0}满足条件; (b)B ? ?时,? ? 4(a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) ? 0, 解得a ? ?1 综合(1)、 知,所求实数a的值a ? ?1, 或a ? 1. (2)

包含

子集 真子集

真包含
相等
(1)

空集

A? A

(2) A ? B,且B ? C,则A ? C


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