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浙江省诸暨中学2013届高三第一学期期中考试数学(理)试题


浙江省诸暨中学 2013 届高三第一学期期中考试数学(理) 试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知复数 a ? bi ? i ?1 ? i ? (其中 a, b ? R , i 是虚数单位) ,则 a ? b 的值为 A. ?2 B. ?1 C.0D.2

>?2 x , x ? 2 2.函数 y ? ? 定义域为 ??3x ? 1, x ? 1
A. (??,1)

B. (2, ??) C. (1, 2) D. (??,1) ? (2, ??)

3. a ? 2 ”是“函数 f ( x) ? ax ? 2x 有零点”的. “ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.对两条不相交的空间直线 a 和 b,则 A.必定存在平面α ,使得 a ? ? , b ? ? B.必定存在平面α ,使得 a ? ? , b / /? C.必定存在直线 c,使得 a / / c, b / / c D.必定存在直线 c,使得 a / / c, b ? c 5.函数 y ? tan x ? sin x? | tan x ? sin x | 在区间(

? 3? , )内的图象大致是 2 2

A

B

C

D

6.已知两个非零向量 a 与 b ,定义 a ? b ? a b sin ? ,其中 ? 为 a 与 b 的夹角. 若 a = ? ?3, 4? , b = ? 0,2? ,则 a ? b 的值为 A. ?8 B. ?6 C.8D.6 7.已知 a ? b, ab ? 1, 则

a2 ? b2 的最小值是( a ?b

) .

A 2 2

B

2

C 2

D

1

8.已知等比数列 ?an ? 中,各项都是正数,且 a1 , A. 1? 2
2

1 a ?a a3 ,2a 2 成等差数列,则 8 9 等于 2 a6 ? a7

B. 1? 2

C. 3 ? 2 2

D. 3 ? 2 2

9.抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过 F 且倾斜角等于 60°的直线 与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A , AB ? l ,垂足为 B ,则四边形 ABEF 的面积 等于 A. 3 3 B. 4 3
n

C. 6 3

D. 8 3

10.设函数 f ( x) ? x ? x ? 1(n ? N ? , n ? 2) .则 f (x) 在区间 ? ,1? 内

?1 ? ?2 ?

A.不存在零点 B.存在唯一的零点 xn ,且数列 x2 , x3 ,?, xn ?单调递增 C.存在唯一的零点 xn ,且数列 x2 , x3 ,?, xn ?单调递减 D.存在唯一的零点 xn ,且数列 x2 , x3 ,?, xn ?非单调数列 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分 11.正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的体积为▲ 12.如图,已知 ABCDEF 是边长为 1 的正六边形,则 BA ? ( BC ? CF ) 的值为▲
D E

??? ??? ??? ? ? ?

C

F

B

A

第 11 题 13.已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? 则 ? 的取值范围是▲

?
4

) 在 ( , ? ) 上单调递减, 2

?

第 12 题

14 . 若 点 P 在 直 线 l1 : x? m y 3 ? 0上 , 过 点 P 的 直 线 l2 与 圆 ?

C : ( x ? 5)2 ? y 2 ? 16 只有一个公共点 M,且 | PM | 的最小值为 4,
则m?▲ 15.按如右图所示的程序框图运算,若输入 x ? 2 ,则输出 k 的值是▲ 第 15 题

16.设 g ( x) 是定义在 R 上以 1 为周期的函数,若 f ( x) ? x ? g ( x) 在区间 [0,1] 上的值域 为 [?2,5] ,则 f ( x) 在区间 [0,3] 上的值域为▲

x2 y 2 17.设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A , x 轴上有一点 Q(2a, 0) ,若双曲线上 a b 存在点 P ,使 AP ? PQ ,则双曲线的离心率的取值范围是▲

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分 14 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 1, cos B ?

4 ,求 ?ABC 的面积. 5

19.(本小题满分 14 分) 已知公差不为零的等差数列 ?an ? 与等比数列 ?bn ?中, b1 ? a1 ? 1, b2 ? a2 , b3 ? a5 。 (Ⅰ)求数列 {an },{bn } 的通项公式 (Ⅱ)设数列 {cn } 满足: cn ? 3an ? ?bn , 且 cn?1 ? cn (n ? N? ) 恒成立,求实数 ? 取值范围。

20.(本小题满分 14 分) 如图 , 已知四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, ?DAB ? ?ABC ? 90? , E 是线段 PC 上一点, PC ? 平面 BDE 。 (Ⅰ)求证: BD ? 平面 PAC (Ⅱ)若 PA ? 4 , AB ? 2 , BC ? 1 ,求直线 AC 与平面 PCD 所成角的正弦值.
P

A E

D

B

C

21.(本小题满分 15 分) x2 y 2 如图,椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的点到左焦点为 F 的最大距离是 2 ? 3 ,已知点 a b M (1, e) 在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率。 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过原点且斜率为 k 的直线交椭圆于 P 、 Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 x 轴上 的 射影为点 N ,直线 QN 交椭圆于另一点 H . 证明:对任意的 k ? 0 ,点 P 恒在以线段 QH 为直径的圆内。

22.(本小题满分 15 分) 已知 a , b 是正实数,设函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ?a ? x ln b 。 (Ⅰ)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求 h( x) 的单调区间; (Ⅱ)若存在 x0 ,使 x0 ? [

a ? b 3a ? b b , ] 且 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 的取值范围。 4 5 a

题号 答案

1 D

2 D

3 A

4 B

5 A

6 D

7 A

8 C

9 C

10 B

高三理科数学测试题参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.) 11

12 3

12 .

3 2

13.

1 5 [ , ] 2 4

14.

?1

15.

5

16.

[?2,7]

17.

(1,

6 ) 2

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.(14 分)解: (1)∵ (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C , ∴ (2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin Acos C . 即 2sin B cos A ? 3 sin A cos C ? 3 sin C cos A . ∴ 2sin B cos A ? 3sin( A ? C) . 则 2sin B cos A ? 3 sin B ,∴ cos A ? 因为 0 ? A ? ? 则 A ? (2)由cos B =
3 , 2

?
6

.??????????7 分

4 3 得, B ? sin 5 5 3 1 又 cos A ? , sin A ? , 2 2 1 4 3 3 4?3 3 ? sin C =sin(A+B)= ? + ? = 2 5 2 5 10 a b 6 ? 由 得, b ? sin A sin B 5 1 12 ? 9 3 ??????????14 分 ? S?ABC ? ab sin C ? 2 50 19.(14 分)解: (1)令 an ? 1 ? (n ?1)d, bn ? qn?1

? 1? d ? q ?d =2 ?? ,又d ? 0, ?? 2 ?1 ? 4d ? q ? q=3 n-1 ?an =2n-1,bn =3 ??????????7 分
(2)?Cn =32n-1 +?3n-1 由 Cn?1 ? Cn 得 3
2 n +1

?Cn+1 =32n+1 +?3n

+? 3n ? 32 n-1 +? 3n-1

? ? ? -4 ? 3n ? n ? N+ ? ? ? -12 ? -4 ? 3n ? -12 ??????????14 分

20.(14 分)解: (1)? PA ? 平面ABCD

? PA ? BD 又PC ? 平面BDE ? PC ? BD ? BD ? 平面PAC

??????????7 分 (2)如图建立空间直角坐标系,可求出 AD=4。

A(0,0,0), B(2,0,0),C (2, 1,0),D(0, 4, 0),P(0,0, 4) ???? ??? ? ??? ? z ? AC ? (2,1,0), PC ? (2,1,-4), PD ? (0,4,-4) ? P 令平面 PCD 的法向量为 n=(x,y,z ) ???? ? ? PC ? n=0 ?2x +y -4z=0 ? ? ? ??? ? ?? ? ? 4y-4z=0 ? PD ? n=0 ? A E ? 3 ? x= 2 ? 3 ? 令 z =1, 则 ? y =1 ,? n=( ,1,1) C B 2 ? z =1 x ? ? ???? ? ???? ? AC ? n 8 ?sin ? =|cos<AC,n>|=| ???? ?? |= 85 ????????14 分 |AC| ? |n| 85

D

y

?a +c = 2+ 3 ? ?a 2 = 4 c2 ? ?1 21.(15 分)解: (1)由题可知 ? 2 + 2 2 =1 ,解得 ? 2 ?b =1 ? ?a a b ?a 2 =b 2 +c 2 ? 2 x ? 椭圆的方程是 +y 2 =1 ??????6 分 4 (2)令 P (x1 ,kx1 ), H (xH , yH ) ,则 Q(-x1 ,-kx1 ),N(x1 ,0) k ? kQN ? 2 x2 2 k +y =1 整理得 直线 QN 的方程为 y = (x -x1 ) ,代入 2 4 (1+k 2 )x2 -2k 2 x1 x+k 2 x12 -4=0
2k 2 x1 ? (? x1 )+x H = , 1+k 2 ??? ? ? PQ ? (-2x1 ,-2kx1 ) ? xH = 2k 2 x1 +x1 1+k 2

???? 3kx1 2k 2 x1 -kx1 k PH ? (x H -x1 ,y H -kx1 )=(x H -x1 , x H )=( , ) 2 2 1+k 2 1+k 2 ???? ???? -4k 2 x 2 2k 2 x 2 -2k 2 x 2 1 1 1 ? PQ ? PH = + = 1+??? ????+k 2 k 2? 1 1+k 2 ? k >0, x1 >0 ? PQ ? PH <0 ? 对任意 k >0 ,点 P 恒在以线段 QH 为直径的圆内。??????15 分 22.(15 分)解: (1) h(x )=x ln x-x ln b+a, x ? (0,+?) ? h'(x )= ln x +1- ln b b 由 h'(x )>0 得 x > e b b ? h(x )在(0, )上 单调递减, 在( ,? )上单调递增。???????6 分 + e e 3a +b a +b b ? (2)解法一:由 得 ? 7 ????????8 分 5 4 a a +b b 3a +b e b 3e ? ? ? ? (i)当 ,即 时 4 e 5 4-e a 5-e b b h(x )min =h( )= - +a e e b b 由 - +a ? 0 得 ? e e a b 3e ?e ? ? ????????10 分 a 5-e b a +b 4-e b (ii)当 < 时, a > e 4 e a +b 3a +b ? h(x )在[ , ]上d 单调递增。 4 5 4-e 3? b-b a +b a +b a +b a +b b 3a-b 3-e e h(x )min =h( )= (ln -lnb)+a ? (ln -lnb)+a = > = b >0 4 4 4 4 e 4 4 e ?不成立 ?????????12 分 b 3a +b b 3e 5-e b (iii)当 > ,即 > 时, a < e 5 a 5-e 3e a +b 3a +b ? h(x )在[ , ]上d 单调递减。 4 5 5-e 2? b-b 3a +b 3a +b 3a +b 3a +b b 2a -b 2-e h(x )min =h( )= (ln -lnb)+a < (ln -lnb)+a= < 3e = b<0 5 5 5 5 e 5 5 3e b 3e 时恒成立????????14 分 ?当 > a 5-e b 综上所述, e ? <7 ????????15 分 a

解法二:由

3a +b a +b b ? 得 ? 7 。????????7 分 5 4 a

?a b ?a b ? ? ?4 ? ? ?4 ? x0 x0 ? x0 x0 3a ? b ?a ? b ? 3a b ? 3a b ? x0 ? 由? ? ?? ? ?5?? ? ?5 5 ? 4 x0 x0 ? x0 ln x0 ? ?a ? x0 ln b ? ? x0 x0 ? a ? b ? a ?ln ? ? b ? e x0 ? x0 x0 ? x0 ?



b y a b ? x, ? y, 则 ? ,题目转化为: a x x0 x0

?3 x ? y ? 5 ?x ? y ? 4 y ? 已知 x y 满足 ? ,求 的取值范围。???10 分 , x x ?y ? e ? x > 0,y > 0 ?
作出( x y )所在平面区域(如图) 。求出 y =e x 的过原点的切线。 , 设过切点 P ? x0,y0 ? 的切线为 y ? ex0 ? ex0 ( x ? x0 ) , 因为过原点,故有 ?ex0 ? ? x0e x0 , 即 x0 ? 1, P(1, e) , ∴

y 的最小值在 P ? x0,y0 ? 处,为 e 。此时,点 P(1, e) 在 y =e x 上 A, B 之间。???13 分 x

1 ? ? x ? 2 ,即 C ( 1 , 7 ) ?y ? 4 ? x ? 当( x y )对应点 C 时,由 , ?? ? 2 2 ? y ? 5 ? 3x ? y ? 7 ? ? 2

∴ ∴

y 的最大值在 C 处,为 7。????14 分 x b y 的取值范围为 ? e, ? ,即 的取值范围是 ? e,7 ? 。?????15 分 7 a x


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