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2013高中数学奥数培训资料之指数函数 对数函数 密函数


兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料) §7 指、对数函数,幂函数
指数、对数以及指数函数与对数函数,是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学 竞赛中,都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质,熟练掌握指数函数与对数 函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系,对学习好高中函数知识,意义重大。 一、 指数概念与对数概念: 指数的概念是由乘方概念推广而来的

。相同因数相乘 a·a……a(n 个)=an 导出乘方,这里 的 n 为正整数。从初中开始,首先将 n 推广为全体整数;然后把乘方、开方统一起来,推广 为有理指数;最后,在实数范围内建立起指数概念。 欧拉指出:“对数源出于指数”。一般地,如果 a(a>0,a≠1)的 b 次幂等于 N,就是 ab=N, 那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作:logaN=b 其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 ab=N 与 b=logaN 是一对等价的式子,这里 a 是给定的不等于 1 的正常数。当给出 b 求 N 时,是指数运算,当给出 N 求 b 时,是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。 二、指数运算与对数运算的性质 1.指数运算性质主要有 3 条: ax·y=ax+y,(ax)y=axy,(ab)x=ax·x(a>0,a≠1,b>0,b≠1) a b 2.对数运算法则(性质)也有 3 条: (1)loga(MN)=logaM+logaN (2)logaM/N=logaM-logaN (3)logaMn=nlogaM(n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 3.指数运算与对数运算的关系: X=alogax;mlogan=nlogam 4.负数和零没有对数;1 的对数是零,即 loga1=0;底的对数是 1,即 logaa=1 5.对数换底公式及其推论:

换底公式:logaN=logbN/logba 推论 1:logamNn=(n/m)logaN

推论 2: 三、指数函数与对数函数 函数 y=ax(a>0,且 a≠1)叫做指数函数。它的基本情况是: (1)定义域为全体实数(-∞,+∞) (2)值域为正实数(0,+∞),从而函数没有最大值与最小值,有下界,y>0 (3)对应关系为一一映射,从而存在反函数--对数函数。 (4)单调性是:当 a>1 时为增函数;当 0<a<1 时,为减函数。 (5)无奇偶性,是非奇非偶函数,但 y=ax 与 y=a - x 的图象关于 y 轴对称,y=ax 与 y= -ax 的图象关于 x 轴对称;y=ax 与 y=logax 的图象关于直线 y=x 对称。 (6)有两个特殊点:零点(0,1),不变点(1,a) (7)抽象性质:f(x)=ax(a>0,a≠1), f(x+y)=f(x)· f(y),f(x-y)=f(x)/f(y) 函数 y=logax(a>0,且 a≠1)叫做对数函数,它的基本情况是: (1)定义域为正实数(0,+∞) (2)值域为全体实数(-∞,+∞) (3)对应关系为一一映射,因而有反函数——指数函数。 (4)单调性是:当 a>1 时是增函数,当 0<a<1 时是减函数。 (5)无奇偶性。但 y=logax 与 y=log(1/a)x 关于 x 轴对称,y=logax 与 y=loga(-x)图象关于 y 轴对称,y=logax 与 y=ax 图象关于直线 y=x 对称。 (6)有特殊点(1,0),(a,1) (7)抽象运算性质 f(x)=logax(a>0,a≠1), f(x· y)=f(x)+f(y), f(x/y)=f(x)-f(y)

例题讲解
1.若 f(x)=(ax/(ax+√a)),求 f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)

2.5log25 等于:( )

(A)1/2 (B)(1/5)10log25 (C)10log45 (D)10log52

3.计算

4.试比较(122002+1)/(122003+1)与(122003+1)/(122004+1)的大小。

5.已知

(a,b 为实数)且 f(lglog310)=5,则 f(lglg3)的值是( )

(A)-5 (B)-3 (C)3 (D)随 a,b 的取值而定

6.已知函数 y=((10x-10-x)/2)(X∈R) (1)求反函数 y=f-1(x) (2)判断函数 y=f-1(x)是奇函数还是偶函数

7.已知函数 f(x)=loga((1+x)/(1-x))(a>0,a≠1) (1)求 f(x)的定义域 (2)判断 f(x)的奇偶性并给以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 取值范围; (4)求它的反函数 f-1(x)

8.22003 的十进制表示是个 P 位数,52003 的十进位表示是个 q 位数,则 p+q=



9.已知 x2-2x+loga(a2-a)=0 有一正根和一负根,求实数 a 的范围。

10.设 y=log(1/2)[a2x+2(ab)x-b2x+1](a>0,b>0),求使 y 为负值的 x 的取值范围

课后练习
1.设 a,b,c 都是正数,且 3a=4b=6c,那么( ) (A)(1/c)=(1/a)+(1/b), (B)(2/c)=(2/a)+(1/b), (C)(1/c)=(2/a)+(2/b), (D)(2/c)=(1/a)+(2/b) 2.F(x)=(1+((2/(2x-1)))·f(x)(x≠0)是偶函数,且 f(x)不恒等于零,则 f(x)( ) (A)是奇函数 (B)是偶函数 (C)可能是奇函数也可能是偶函数 (D)不是奇函数也不是偶函数 3.若 f(x)=3x+5,则 f-1(x)的定义域是( ) (A)(0,+∞) (B) (5,+∞) (C) (8,+∞) (D) (-∞,+∞) 4.求值:6lg40× lg36 5 5.已知 m,n 为正整数,a>0,a≠1,且 logam+loga(1+(1/m))+loga(1+(1/(m+1))+…+loga(1+(1/(m+n-1)))=lgam+logan。求 m,n 6.X=((1/(log(1/2)(1/3))+(1/(log(1/5)(1/3))的值属于区间( ) (A)(-2,-1) (B)(1,2) (C)(-3,-2) (D)(2,3) 7.计算:(1)lg20+log10025 (2)lg5· lg20+(lg2)2 8.若集合{x,xy,lg(xy)}={0,∣x∣,y},则 log8(x2+y2)= 9.若 x∈(1,10),则 lg2x,lgx2,lglgx 的大小顺序是: (A)lg2x<lgx2<lglgx (B)lg2x<lglgx<lgx2 (C)lgx2<lg2x<lglgx (D)lglgx<lg2x<lgx2 。

10.计算:

11.集合{x∣-1≤log(1/x)10<-(1/2),x∈N}的真子集的个数是 。

12.求函数 y=(1/4)x2-2x-3 的单调区间。

13.已知指数函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1),求满足 f(3x2-4x-5)>f(2x2-3x+1)的 x 的取值。

14.解方程 8log6(x2-7x+15)=5log68

15.设有关于 x 的不等式 lg (∣x+3∣+∣x-7∣)>a (1)当 a=1 时,解这个不等式; (2)当 a 为何值时,这个不等式的解集为 R?

课后练习答案

1.(B);2.(A);3.(B);4.216;5.m=2,n=2; 6.(D);7.(1)2,(2)1;8.1/3;9.(D); 10.1/2;11.290-1;12.单调增区间(-∞,1],单调减区间[1,+∞) 13.当 a>1 时,x<-2 或 x>3,当 0<a<1 时,-2<x<3; 14.x1=2,x2=5; 15.(1)x<-3 或 x>7,(2)a<1

例题答案:
1. 分析:和式中共有 1000 项,显然逐项相加是不可取的。需找出 f(x)的结构特征,发 现规律,注意到 1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001=…=1, 而 f(x)+f(1-x)=(ax/(ax+√a))+(a1-x/(a1-x+√a))=(ax/(ax+√a))+(a/(a+ax·√a))=(ax/(ax+√a))+((√a)/(ax+√a))=( (ax+√a)/(ax+√a))=1 规律找到了,这启示我们将和式配对结合后再相加: 原式 =[f(1/1001)+f(1000/1001)]+[f(2/1001)+f(999/1001)]+…+[f(500/1001)+f(501/1001)]=(1+1+…+1) 5000 个=500 说明:观察比较,发现规律 f(x)+f(1-x)=1 是本例突破口。 (1)取 a=4 就是 1986 年的高中数学联赛填空题:设 f(x)=(4x/(4x+2)),那么和式 f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)的值= 。 x x (2)上题中取 a=9,则 f(x)=(9 /(9 +3)),和式值不变也可改变和式为求 f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+…+f((n-1)/n). (3)设 f(x)=(1/(2x+√2)),利用课本中推导等差数列前 n 项和的方法,可求得 f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为 。 这就是 2003 年春季上海高考数学第 12 题。 2.解:∵ log25=(10/2)log25=(10log25)/(2log25)=(1/5)× log25 5 10 ∴ 选(B)

说明:这里用到了对数恒等式:alogaN=N(a>0,a≠1,N>0) 这是北京市 1997 年高中一年级数学竞赛试题。

3.解法 1:先运用复合二次根式化简的配方法对真数作变形。

解法 2:利用算术根基本性质对真数作变形,有

说明:乘法公式的恰当运用化难为易,化繁为简。

4.解:对于两个正数的大小,作商与 1 比较是常用的方法,记 122003=a>0,则有

((122002+1)/(122003+1))÷ 2003+1)/(122004+1))=((a/12)+1)/(a+1)· ((12 ((12a+1)/(a+1))=((a+12)(12a+1)) 2 2 2 /(12(a+1) )=((12a +145a+12)/(12a +24a+12))>1 故得:((122002+1)/(122003+1))>((122003+1)/(122004+1))

5.

解:设 lglog310=t,则 lglg3=lg(1/log310)=-lglog310=-t 而 f(t)+f(-t)=

∴ f(-t)=8-f(t)=8-5=3

说明:由对数换底公式可推出 logab· logba=(lgb/lga)· (lga/lgb)=1,即 logab=(1/logba),因 而 lglog310 与 lglg3 是一对相反数。设 中的部分

,则 g(x)为奇函数,g(t)+g(-t)=0。这种整体处理的思想巧用了奇函数 性质使问题得解,关键在于细致观察函数式结构特征及对数的恒等变形。

6.分析:(1)求 y=(10x-10-x)/2 的反函数首先用 y 把 x 表示出来,然后再对调 x,y 即得到 y=f-1(x); (2)判断函数 y=f-1(x)的奇偶性要依据奇函数或偶函数的定义,看当 X∈ 时是否有 R f(-x)=-f(x)或(f(-x)+f(x)=0) 或 f(-x)=f(x) 恒成立。 解:(1)由 y=((10x-10-x)/2)(X∈ R)可得 2y=10x-10-x,设 10x=t,上式化为:2y=t-t-1 两边 乘 t,得 2yt=t2-1 整理得:t2-2yt-1=0,解得:

由于 t=10x>0,故将

舍去,得到:

将 t=10x 代入上式,

即得:

所以函数 y=((10x-10-x)/2)的反函数是

(2)由

得:

∴ f-1(-x)=-f(x)

所以,函数

是奇函数。

说明: 从本题求解及判断过程可以得到更一般的结论: ① 函数 y=((ax-a-x)/2)(X∈ R,a>0,a≠1) 的反函数是 ,它们都是奇函数。当 a=2,3,10 或 e 时就构造了新的特殊的题

目。进一步还可以研究它们的单调性,如 1992 年高考数学试题:函数 y=((ex-e-x)/2)的反函数 (A)是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数; (B)是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数; (C)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数; (D)是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数。 ② 函数 y=((ax-a-x)/2)是由 y=f(x)=ax 构造而得, 全日制普通高级中学教科书 (试验修订本。 必修)《数学》第一册(上)(人民教育出版社中学数学室编著)P107 复习参考题二 B 组 第 6 题:设 y=f(x)是定义在 R 上的任一函数, 求证:(1)F1(x)=f(x)+f(-x)是偶函数; (2)F2(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。 而 f(x)=F1(X)+F2(x),它说明,定义在 R 上的任一函数都可以表示成一个奇函数(F2(x)) 与一个偶函数(F1(x))的代数和。从这个命题出发,由 f(x)=ax 就可以构造出诸多奇函数,比 如,y=((ax-a-x)/2);y=((ax-a-x)/(ax+a-x))=((a2x-1)/(a2x+1))等等用自然对数的底 e≈2.71828…(无 理数)作底,作函数 sh(x)=((ex-e-x)/2),ch(x)=((ex+e-x)/2),th(x)=((ex-e-x)/(ex+e-x))它们分别叫做双 曲正弦函数,双曲余弦函数,双曲正切函数,它们具有如下性质: (1)ch2(x)-sh2(x)=1; (2)sh(x+y)=sh(x)· ch(y)+ch(x)· sh(y); (3)ch(x+y)=ch(x)· ch(y)+sh(x)· sh(y); (4)th(x+y)=((th(x)+th(y))/(1+th(x)· th(y))); (5)ch(-x)=ch(x); (6)sh(-x)=-sh(x); (7)th(-x)=-th(x). 令 x=y,则有 (8)sh(2x)=2sh(x)· ch(x); 2 (9)ch(2x)=ch (x)+sh2(x) 其中① ⑨ ⑧ 合起来,就是课本 P107 的第 8 题。 7. 解:(1)由对数的定义域知((1+x)/(1-x))>0 解这个分式不定式,得:(x+1)(x-1)<0,-1<x<1 故函数 f(x)的定义域为(-1,1)

(2)f(-x)=loga((1-x)/(1+x))=log((1+x)/(1-x))-1=-loga((1+x)/(1-x))=-f(x) 由奇函数的定义知,函数 f(x)是奇函数。 (3)由 loga((1+x)/(1-x))>0<=>loga((1+x)/(1-x))>loga1,

因为 a>1,所以由对数函数的单调性知((1+x)/(1-x))>1,考虑由(1)知 x<1,1-x>0, 去分母,得:1+x>1-x,x>0 故:0<x<1 所以对于 a>1,当 x∈ (0,1)时函数 f(x)>0 (4)由 y=loga((1+x)/(1-x))得:((1+x)/(1-x))=ay 应用会比分比定理得: ((1+x)+(1-x))/((1+x)-(1-x))=((ay+1)/(ay-1))即:(2/2x)=((ay+1)/(ay-1)) ∴ x=((ay-1)/(ay+1))交换 x,y 得: y=((ax-1)/(ax+1)), 它就是函数 f(x)=loga((1+x)/(1-x))的反函数 f-1(x)即 f-1(x)=((ax-1)/(ax+1)) 说明:(1)函数 y=loga((1+x)/(1-x))与 y=((ax-1)/(ax+1))是一对反函数。取 a=e,函数 y=((ex-1)/(ex+1))的反函数的定义域是 。这就是 89 年的高考题目。 (2)已知 f(x)=lg((1-x)/(1+x)),a,b∈ (-1,1)求证:f(a)+f(b)=f((a+b)/(1+ab))(P89 习题 2.8 第 4 题)可以看作该类函数的性质。

(3)y=ax 与 y=logax;y=((ax-a-x)/2)与 y=loga((1+x)/(1-x))这三对互反函数及其性质需要理解记忆。

;y=((ax-1)/(ax+1))与

8.解:∵ 2003 是个 P 位数, 2 ∴ p-1<22003<10p ① 10 ∵ 2003 是个 q 位数, 5 ∴ q-1<52003<10q ② 10 p+q-2 ①② × 得:10 <(2× 2003<10p+q 5) p+q-2 即 10 <102003<10p+q ③ ∴ 2003=p+q-1 ∴ p+q=2004 9.解:方程有一正根一负根的充分必要条件是: loga(a2-a)<0(由韦达定理而来)① 由 a>0,a≠1,a2-a=a(a-1)>0,可得 a>1 ② 从而由 loga(a2-a)<0=loga1 得:a2-a<1,a2-a-1<0, ,

解得:

③ ,由② 得: ③

10.解:∵ (1/2)<1,要使 y<0,只要 a2x+2(ab)x-b2x+1>1, 即 a2x+2(ab)x-b2x>0 →b2x[(a/b)2x+2(a/b)x-1]>0

→[(a/b)x]2+2(a/b)x-1>0 → →∵ → .

1° a>b>0 时,a/b>1, 当 2° b>a>0 时,0<a/b<1, 当 3° a=b>0 时,x∈ 当 R。




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