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《数学教学》2014-12


2 0 1 4 年第 1 2 期 

数 学款 学 

i 2 — 3 7  

继 续追 寻 问题 的本 源 
2 4 2 3 9 9   安徽省 宁国中学   刘定 勇  

《 数学教学 》 2 0 1 3 年第 1 1 期“ 追寻 问题 本  源 的一 个案例” 一文提 出 了一个 圆锥 曲线 的 问   题, 并且给 出了两种解析 , 仿该文模式, 继续探  究, 刨根 问底.  

0 ) 中小半 仃 于坐 标轴 的弦, 点 N 为 弦A召 的中   点, 则 。 Ⅳ.   B: 一   5 2
. 

0 

证 明只 需 点差 法 即可 .   结论 2  AA BCO O , 若 向里u - . - - -   + :- g
,  

问 题  已 知点P ( x o ,  ) 是椭圆 E : _+ 山  


1 上任意一 点, 直 线 m 的方 程 为 — w o   x+珈 = 1
. 



 



 ̄ U S / ,   B   =    ̄ / I   I 。 』   I   一 (   . 言 ) z .  
丢 \ / / l   I 。 l   J   ( 1 - C O S 2 <   ,   > )   、 / I   l 2     I I 。 一 (   .   ) z .  
+  0  : 1 . 连结( 二 )  , 设( 二 ) M 与 动 直 线 
,   P。 :  

( I )判 断直线 m 与椭 圆 E交点的个数;   ( I I )过 点( 2 , 3 ) 作动直线z 交 椭 圆 E于 两  个 不 同 的 点P、Q, 过 点P、Q作 椭 圆 的切 线,  
两条 切 线 的交 点为 点  , 设点 0为坐标 原 点,   当四边形 P OQM 的面积 为 4 时, 求直线 2 的方 
程.  

证 明 : S A A B C = 吉 l     l I   f   s i n <  ,  >  




 

特 别地, 在△( 二 )  B中, o( o , 0 ) 、A( x l , Y 1 ) 、  

文 … 给出第一种做法:设直线 f 的斜率,  
然后用斜率表示 点 M , 随后 以PQ为底, 点( 二 ) 、  

B ( x 2  ̄ Y 2 ) , 则 有   。 A B = 三 I X l Y 2 - X 2 Y l 1 .  
对原 问题 , 设M (   0 , y o ) , 可得直线P Q的方 
程 是  l 交于 点 N, 如图2 所 示 . 由  。 M =一 Y 0
x0
一  

到 它 的距 离 分别 为 高, 即可 得 到 面积 的方 
程.  

第二种 做法:设M ( x o ,  ) , 然 后用切线 方 
程 表示 两 条切 线, 即可观 察 出直线J P Q的方 程 
是   A 

+Y o Y= 1 ( 也即点 M 的极线) . 剩下的算 

可得   M , 尼 P Q=一   1



由结 论 1 , 用 同 一 

法 同第一种方法.  

法 可 知 点 N 即 为 PQ的 中 点.   这 样 四 边 形 
P0 QM 的面积就 被O M 平 分.所 以AOP M 面  积为2 .  

其实 , 沿袭 第二种 方法 , 本题 还可 更加 简 
单 一 些 .要 用 到 以下 两 个 较 为 常见 的 结 论 
L  

i  ̄P( 2 C O S 0 , s i n 0 ) , 可得  l l 2 y OPM = o   c o s  -x o   s i n 0 1 :2 .   将( 2 , 3 ) N I ( 2   c o s   O , s i n   ) 分别代入  +  


M 

P,  

\  \   、 \一  
/ / i  
/ 

1 , 可得  +3 y 0 =1 和 

+y o   s i n  :1 .  

图1  
y2 结论 1   若A  是 椭圆  x 2+ 


联 立 目 口 { I   x _ o c ‘   ) o   s 0 + y o   s i … n    上 :  …. 1  \ (   2 )  
1 ( 。 >6 >  

f   x o   2 n   0 一 珈 c o   I  , … ㈥  
I   X O + 3 y 0 : 1 . … … …… . . ( 3 )  

1 2 — 3 8  

数 学教 学 

2 0 1 4 年第 1 2 期 

2 0 1 4 年 全 国高 考福 建 卷理 科 第2   1 题 赏析 1  
3 5 1 0 0 3 福建 省厦 门第一 中学   王淼 生  



年 一 度 的 高 考 落 下 帷 幕 .赏 析 每 年 的 高 

( I )求a 的值;  

考试 题 成为 一线 教师 常态 的必 修课 . “ 关 注 交 

( I I ) 若P 、q 、r 为正实 数, 且满 足P+ q +  
r= a , 求证: P  +q  + r  ≥ 3 .   对于 ( I ) , 我 们 可 以从 以 下 几 个 视 角 来 处 
理:  

汇 、注重探究、规避模式 、强调应用、凸显理  念” 的高考 命题 风格 日趋 成 熟, 在 夯实 基础 知  识 、基本技能的同时重视数学 思想及基本方法  的考 查, 突 出考 查推理 思维 能力; 考查 对数 学  问题 本 质 认 识 的深 刻 程 度 ; 考 查 利 用 数 学 思 想  寻求 解题方法 的素养 ; 考 查面对新情 景、新 问   题 时应用知识 的能力与创新 意识; 考 查分析 问   题 、解 决 问题的综合能力.笔者对2 0 1 4 年全国  

解法 1 :从 绝 对 值 不 等 式 的 视 角 可 以 这 样 
思考 :  

f ( x ) =I z+1 1 +l  一2 l   ≥l ( X+1 ) 一(  一2 ) l =3 ,   当且仅 当( X+ 1 ) (  一2 ) ≤0 , 即一 1≤ X≤ 2 时 
等号成立 , 故a=3 .   解法2 : 从分段 函数 的视角可 以这样思考:  

高考 福建卷 理科第2 1 题( 3 ) ( 以下简称题 1 ) 情有 
独 钟, 以下谈谈 自己的一 点心得 体会 , 不 当之 
处  恳请批评指正.  

1 .一题 多解 、 凸显 思 想 方 法 

f ( x ) ={ 【 3 , 一 1 ≤  ≤2 ,  从而. 厂 (   ) ≥3 .  


『 , 2 x 一1 ,  >2 ,  

2 x + 1,   < 一1 ,  

题1   已知定义 在 R 上 的函数 f ( x ) =I X +  
1 I +I X一2 I 的最小值 为a .  

解法3 :从 轴对 称 的视 角 来 审视 :  

不难 发现f ( x ) =f ( 1 一  ) , 即函数 =f ( x )  

l  

1= 0 或 l l x一4 y一 1 0= 0 .  

M 

P,  

/ 
/ / i  

反思计 算过程, 我 们 得 到 了 一 个 很 好 的副 
产 品— — 一 个 新 的 结 论 .  

\   、 \  
/ 

结论3 若P Q 是椭圆山 _+   :1 ( 0 > b >  
0 ) 中不平 行 于坐 标轴 的弦, 过 点P、Q作椭 圆  
的切 线 , 两条切线 的交点为M ,  ̄ J J k O M. k p Q=  
h 2  
一  

图2  



并 且 OM 平 分 弦 PQ.  

( 1 ) z + ( 2 )   得 譬 +   : 5 , 与 ( 3 ) 联 立 可 得  
r  
22   5
’  

“ 

证 明和 刚才 的一样, 不再赘述.  
参 考 文 献 

4 ’和 

直线方程 为  一   +  



f 1 ] 郑 日锋. 追寻 问题本源 的一个案例 『 J 1 .   数学教学, 2 0 1 3 ( 1 1 ) : 3 5 - 3 7 .  

5  

本文系全国教育科学规划教育部重点课 题( 立项批准 号: GOAl 0 7 0 1 7 ) “ 小学 生数感的发展 与特征研 究及课程设计” ;   福建省 “ 十二五” 规  ̄2 0 1 3 年 度课 题( 立项批准 号: F J J K X B 1 3 -0 8 3 ) “ 优化学生思维 品质 的魅 力数 学课 堂模 式研 究” 及厦   门市2 0 1 3 年 第三批课 改课题 ( 立项批准号: Z 3 0 4 2 ) “ 数学构造 思想方法优 化学生思维品质 的实践研 究” 的阶段性成果.  

2 0 1 4 年第 1 2 期 

数 学款 学 

1 2 - 2 7  

看 图像 别看 走 了眼——压 轴题 错 解 辨析 
5 1 1 4 4 2 华 南师大附 中番 禺学校 夏新桥 

广 州 市各 区 教研 交 流试 题 : 如 图1 , 平 行  于X 轴 的直 线 A B与 直 线 OB:Y 1= k x相 交  于 点 B,点  为 OB 的 中 点,以 点  为 顶 点 的 
线  D上  轴 于 点 D.  

这个 结果看上去好像是正确 的. 从几 何直 

观 上看 , 一条铅垂线分别与直线 l 和抛物线 j y 3  
交于 点 P、Q, 则 线段 PQ的长度 ( P、Q之 间 
垂 线 从 左 边 向 1 与 蜘 的左 交 点运 动 时 , PQ逐 

抛物线Y 2=   +b x+妄 经过点A 、B, 直  的铅垂 距 离) 就 是I   3 一  1 I .从 图像 上看, 当铅 
( 1 ) 求点  的坐标及 b 的值;   ( 2 ) 将抛 物线平 移, 得 到的抛物 线 Y 3 经 过  点  、 D, 与直线 B交于 点 E、F, 当 X在什 么  范 围取值时, I Y 3 一Y 1 l 的值 随 X的增大而减小?  
J   w y  

渐减 小到 0 ; 接着在 向Y 3 的顶点运动时, PQ逐  渐 增大 ; 再向  1 与 3 的右交 点运 动时, PQ又  逐渐减小到 0 ; 过 了右交点, 尸 Q又逐渐增大, 于  是得到 了前述结果.   但 是, 上述 结果 是错误 的, 有 _个地 方看  走 了眼 !从  3 的 顶 点开 始, 铅 垂线 往 右 移动 


B 

D 

/  一  
图 1  

点 点, 上 端 点 P 上 移 ,下 端 点 Q 也 上 移 ,两 

个 端 点 都 上 移 ,你 怎 么 就 敢 说 PQ 变 小 呢 ?  

请你 睁大 眼睛 仔细看 :在  的顶 点右边 附近,   点 Q上 移 的 距 离 微 小 , 而 点P 上 移 的距 离 好  像稍 大一 点儿( 就是 说点 P上 移速度 比点 Q稍 

( 3 )将抛 物线 再次 作适 当 的平 移, 得 到抛 

物线Y 4 =( X一  )   . 若 2<   ≤ m 时, Y 4 ≤k x  
恒成立 , 求 m 的最 大 值 .  

快) ,导致 P Q好像 变 大 !过 了某 个 临界位 置 
后, 点 Q上 移 的距 离 又 会 大 于 点 P上 移 的距 

这 道 中考 压 轴 题 倒 是 颇 有 高 考 题 的 味  道, 所 以本 题 也 适 合 高 中 教 学. 其 中第( 2 ) 小 

离( 就是 说点 Q上移 速度 比点 P稍 快) , 那 么这 
个临界位 置到底在 哪里 呢?   如图3 , 画 一条 与直 线  1 平行 的直 线, 并 
把 它 平 移 到 与 抛 物 线 3 相切, 切 点 就 是 我 们 所  说 的 临 界 点 ! 请 你 睁 大 眼 睛 仔 细 看 ,是 不 是 ?   在 移 动 过 程 中 ,铅 垂 线 夹 在 两 平 行 线 间 的 部 

题的原解大意是: 求得直线Y 1 =去   与抛物  
0  1  

线Y 3 =z   一   +去 的 交点的 横坐 标是   1 =  
1—

2  

:1 +  

, 而抛物 

的顶点横坐 

不变 的, 借助切线 就可 以直观地  标 是 差 , 由 图 2 可 知 ,  ̄ x < l -  或   <   <   分长度是保持 看 出( 不再说“ 好 像” 啦) :从 Y 3 的顶 点 到切 点,  

1 十  

时, l Y 3 -Y l I 的值随 的增大而减小.  
J ‘  

PQ变 大; 过 了切点, PQ又变 小.  


\  
< 
// ,  
  l

\   I   i I   /  
/  

:  
I  

:  
l  

  :
  l

/   o 

  。



  ;
图3  

图2  

1 2 — 2 8  

数 学教 学 

2 0 1 4 年第 1 2 期 
1 = {  

那 么临 界点 的横坐 标 是什 么呢 ?这 个用  眼睛 看 是看 不 出来 的, 不经 过 一 番计 算 可 不  r   1   .  

行 ! 由 { l  
Y  

X   一 

+   ’1   一 2 计 丢 岳 
+ 
. 

{  
图5  

0 , 当 A : 0时, 此方程有等根 X l= X 2= 1 , 即  切 点 的横 坐 标 为 1 .   所 以正 确 答 案应 是 : X<1 一   或1 <X<  

下 面两道例题 , 用I f ( x ) 一9 (   ) I 的几何意 
义 来解很简单 明了, 而 如果去绝对 值化为 分段 
函 数 反而 麻 烦 .  

1 +  

时, I Y 3 一Y l I 的值随 z的增大而减 小.  

引 导 学 生 进 一 步 深 化 认 识 :过 抛 物 线 上  任 一 点 作 抛 物 线 的 切 线 ,当 切 点 在 点 ( 1 , 0 ) 时,  

例 1 设a 为 参 数 ,函 数 f ( x )= X  +  

切 线 跟 直 线 1 平行( 陡峭 程 度 相 同) ;当 切 点 
在( 1 , 0 ) 左 边 附近 时, 切 线不如直 线 Y 1 陡峭, 点 
Q上 移速 度 不 如 点 P快, PQ变 大; 当切 点在 

l  —a I +1 ,   ∈R, 求f ( x ) 的最小值.   分析 : f ( x ) =( X  +1 ) 一( 一I  —a 1 ) , 它表 

示g ( x ) =X   +1 与h ( x ) =一I X—a I 的图像间  
的铅 垂 距 离 .  

( 1 , 0 ) 右边 附近 时, 切线 比直线 Y l 陡峭, 点 Q上 
移 速 度 比 点 P快 ,J F ) Q 变 小 ,所 以 当 切 点 在 

如 图6 ,画 抛 物 线 的 两 条 切 线 , 分 别 平 

点( 1 , 0 ) 时, PQ最大( 局部最大) .  
下 面 我们 换 个 角度 来 分 析 , 会 更 加 直观 .  

行于折线 h ( x ) 的 两支 , 分 别令 g   x )= 2 x=  





图像, 如 图4 , 观 察 图像 升 降情 况 .  

先 算 出 I Y 3 - Y l l = I   2 一 罢   + 互 1 一 去   l =  Q ( _ _ 1   j ) .   2   +   1   I , 画 出 函 数   = I   一 2   + 去 I 的  
  。

1 和 9   (   ) = 2   = 一 1 , 得 切 点 为 P (   1 ,   ) ,  

g  ) =  :  

、 

图 4  

由图显见 , 当 n>   时, 通 过切 点 J F ) 的 铅 

抛物线Y —  。 一2 x +去 与  轴的交点 横  
坐 标 为 1一   和 l+   , 抛 物 线 顶 点 的横 
或 1< z <  

垂 线 段 最 短 , 长 度 为 差 + ( 。 一 互 1 ) =   3 十 。 ;  
当 n< 一   1 时


通 过切 点 Q的铅垂线段最短 , 长 

坐标 为 1 ,由 图 显 见 :   < 1一  

度 为   5 + ( 一   1 一 。 ) =   3 一 。 ; 当 一 互 1 ≤ n ≤ 丢 时 ,  
为a 2+ 1 .  
r   3   1  

1 +  

时,   l 3 一  1 l 的值随 的增大而减小.  

顺便 给 出第( 3 ) 小题 答案: 看 图像( 图5 ) 并  辅 以计 算, 得到 m 的最 大值 为 ( 当 2≥ X O 且 
m ≤x o ' 时符合 题意, X O= 2 对应 的 x o ' 就 是 m  的最 大 值 ) .  

综上所述, , c z  



{   _ +   ,   < ) 丢  

2 0 1 4 年第 l 2 期 

数 学教 学 

l 2 — 2 9  
×  

例 2 若P 、q为 实 数 , 且 对 于 0≤ X ≤ 1 ,  

点 到 直 线2 的“ 铅 垂 距 离” 都 恰 是 
.  

恒 成 立 不 等 式 I 、 / , 可 一 p x — q≤  
求P 、q的值 .  

,  
=  

兰  

1  


因此 圆弧上 所有 点到直 线 f 的 


分析: 把原不等式变形为: 『  

~( p   +  

历  1  

“ 铅垂距离” 都不大于 

二 .  

g ) I ≤  

, 问题 的几何意义就是 : 已知四分 

之一 的圆弧 Y= 、 / / 1 一  2 与直 线 Y=p x+q 之 
间的 “ 铅垂距离” 不 大 于  =   , 求P 、q的值 .  

显然, 直线 2 是 唯 一 满 足 条 件 的直 线 ( 因  为根 据 对 称 性 它稍 有 “ 动 弹” 便不满足条件) ,   所 以直 线 Y = p x+ q 应与直 线f 重 合 .易 知  直线f 的斜率 为 一1 , 纵截 距为  ( = ) E:  
+  1+  
—   一

×  

如图7 ,设 圆 弧 的两 个 端 点 为 点  、B, 弧 

的 中点 为点  , ( = )   与 B交于 点 D, 取 D之  中点 E, 过 E作垂直于 ( = )   的直线 f .  
Y   ~ ,  

) :  

p 一一 

‘  

结束 语: 在 平 时的教 学 中, 我们要 重视几  何 直观, 但 也不 要过 分依 赖直观 , 要把 形 的直  观 和数的精密 结合起来, 才 能更深 刻 、更有 效  地 解决 问题. 还 是华 罗庚 先生 说得好 , 数 缺形 
~  

时少直观, 形缺 数 时难 入微; 数形 结合无 限好,  
割裂分家万事休 !  

0 

B  

图7  

参考文献 

… 余 红兵, 严 镇军.构造 法解 题 [ M1 . 合 
, 所 以 cE  
B、   三 

NN  CD :OC一( = ) 。 


肥: 中国科学技术大学 出版社, 1 9 9 2 .  

[ 2 】 王 呼.一 道含 参最值 题 的解法  . 中 
DE =  CD =  ,于 

学生数学, 2 0 0 6 ( 7 ) : 1 1 .  

( 上接 第1 2 — 1 7 页)   强 、推 广等) , 研一研 ( 深 入挖 掘 问题 的本 质) .   这样下 来, 每一个数 学 问题才会 显得丰满和 立  体, 且对 于初学者专业的成长是大有 裨益的.  

【 2 ]程 汉 波,杨 春 波 , 胡典顺. “ 变 换 主  元, 柳 暗 花 明” —— 简解 一 道竞 赛 题 引发 的 思 

考  . 数学通讯 , 2 0 1 2 ( 1 0 ) ( 下半月) :5 7 - 5 9 .  
[ 3 ] 安振 平.三十 个有趣 的不等式  . 中 

“ 不 积跬 步, 无 以至千里 , 不积 小流, 无以   成 江海” ,“ 数 学 问题 与解 答” 栏 目刊 登 出来 的  数学 问题都 是经 过精挑细 选 出来 的、 是数 学师 
生 沟通 交流 的一 个共 同平 台, 笔者 认为, 在 如 

学数学教学参考, 2 0 1 1 ( 1 1 ) ( 上旬刊1 : 5 8 .  
【 4 】 宋庆 .一个不 等式 的简 洁证 明  . 中  学数学 ( 湖北) , 1 9 9 9 ( 1 1 ) : 3 7 .  
『 5 ] 宋庆.一个美 丽不等式 的推广  . 中 

今“ 题 海” 如 火如荼 的背 景下, 坚 持对每期 的 问   题( 或部 分 问题) 进行研 究性学 习, 既是检 验教  师 自我知识水 平的尺度 , 也是 锻炼提升 自身素 

学数学 ( 湖北) , 2 0 0 7 ( 1 0 ) : 3 9 .  
『 6 1 程 汉 波, 杨春 波. 利用 整 体 代 换 证 明  

质 能力的擂 台, 是一件非常值 得我们 用耐心与  恒心坚持去做 的事.   参 考 文 献  … 邵 明宪 . 一 个 数 学 问题 的 另证 与 推 

不等式 [ J ] . 数学通讯 ( 学生刊) , 2 0 1 3 ( 7 、8 ) :  
3 3 —3 4 .  

[ 7 】 程汉波 , 杨春 波. 一道预赛试题 的渊源 

广 『 J ] . 数 学通讯 , 2 0 1 3 ( 3 ) ( d : : 半月) : 3 6 - 3 7 .  

与推广  . 数学教学, 2 0 1 3 ( 7 ) : 3 4 - 4 8 .  

l 2 — 3 o  

I t . 学教 学 

2 0 1 4 年第 1 2 期 

立 足课 本 ,研 究命题 


谈2 0 1 4 年 江苏 高考 函数解 答题 

2 1 5 0 0 6 苏州 大学数学科 学学院研 究生  王  凯 

函 数 与 导 数 是 中 学 数 学 中最 重 要 的 主 干 

导得 (   ) =1 ~  

, 即, 当  ∈( 0 , e 一1 ) 时,  

知识, 其观 点与思想贯 穿整 个高 中数学 教学的  全过程 , 是历年全 国各 省市高考考查力度 最大  的模 块 .   2 0 1 4 年 高考 江 苏卷 数学 函数类 试题 中没 
有 涉 及 到任 何 生僻 的 知 识 和冷 门的 方 法 .但 是  在 区 分 度 较 高 的 函数 与 导 数 相 结 合 的解 答 题  中,需 要 学 生 理 解 数 学 问题 的 核 心 , 理 清 知 识  的 内部 联 系 , 才 能 透 过 现 象 看 本 质 .本 文 试 图 

^   (   ) <0 ; 当 ∈( e 一1 , + ∞) 时,   (   ) >0 . 故  (   ) 在( 0 , e —1 ) 上单调递减, 在( e —l , +o 。 ) 上单 

调 递 增 . 又 ^ ( e ) =   ( 1 ) = 0 . 从 而 , 当 号 + 去<  
a<e 时, h ( a ) <h ( e ) =0 , 即0 —1<( e 一1 ) I n   a ,   从而e 。   <a   ; 当a>e 时, h ( a ) >  ( e ) =0 ,  
即0— 1> ( e— 1 ) I n   a , e 。 一  > a e 一   ; 当a= e 时,  
e0 —1 = ne 一1

. 

分析2 0 1 4 年江苏卷 函数解答题的相关背景与相 
关题.  


解 法 二 :要 比较 e a - 1 和0 。 - 1 的 大 小 ,只 需 

比较( 0—1 ) i n e 和( e一1 ) I n 0 的大小.进一步,  


试 题 解 答  由于 0> 1 , e> 1 , 故 只 需 比较 
e — l  

题1  ( 2 0 1 4年 高 考 江 苏卷 第 1 9 题) 已知 函 

和 


a ~ l  

的 

数f ( x ) =e   +e _ 。 , 其中e 是 自然对数的底数 .  
( 1 ) 证 明: . 厂 (   ) 是 R 上偶 函数 ;  

大小. 为此考虑函数9 (   ) :  
, , m、  =

±  其 导 数 

( 2 ) 若关于  的不等式mf ( x ) ≤e - X +m一1   在( 0 , +。 。 ) 上恒成立, 求实数m的取值范围;  



旦± 

( 1 +  )  
<  

( 3 )已知正 数 a 满足 :存在 X O∈ [ 1 , 十 ∞) ,  

可 以证 明在 z> 一1 ,   ≠0 时, 有 — 

使得f ( x o ) <n ( 一   3 +3 x 0 ) 成立. 试比较e a - 1 和  
a   的大 小 , 并证 明你 的结 论 .  
解 :( 1 ) 、( 2 ) 略.  

l n ( 1+  ) , 故g   (   )<0 ,即- 9 (   ) 在( 一 1 , +。 。 ) 上 
单 调 递 减 .因 此 :当n>e 时,   >   ,即 


( 3 ) 解 法一: 容易计算对任意X   E『 1 +c o ) ,  

e a - 1> 。 e 一   ; 当n= e 时, e n 一 1 =。 e 一   ;  

,  ) -e   一e _ z >0 , 即,  ) 在[ 1 , +。 。 ) 上单调递 
增, 且f ( 1 ) =e+   .令g ( x ) =一 X 0 +3 x , 则  9   (   ) =一 3 x   +3 =一 3 ( x +1 ) ( X 一1 ) , 因此g ( x )   在[ 1 , +∞) 上单调递减, J i g ( 1 ) = 2 .若存在X o∈   [ 1 , +∞) , 使得f ( x o )<a g ( x o ) 成立, ̄ J J f ( 1 ) <  

;  
< 0< e 时,   <   , 即e n 一 1< n e _。 .  

解 法 三 :由指 数 函数 与幂 函 数 趋 于 无 穷 的  速 度 比较 可 知 , 当a 充分 大时, e 一 >a e 一 一   .因 

此 只 需 找 到 区 问 ( 号 +  , + ∞) 上 两 者 的 临 界  
点, 即使得e  1 =a e - 1 成立 的 a的取值即可.  
用 解 法 一 的方 法 可 以 证 明 , a =e ¥ H a =1 分 

a g ( 1 ) , 即 e + 言 < 2 a , 解 得 0 > 5   + E   >1 .  
要 比 较e 0 一 -   和a e 一 -   的 大 小, 只 需 比 较 

I n e a - 1 和I n a e - 1 ,即0— 1 /  ̄ N ( e一 1 ) l n a 的 大 小.   为此, 考虑 函数h ( x ) =(  —1 ) 一( e 一1 ) i n X . 求 

别 是( e 一1 , + 。 。 ) 和f 1 , e —1 ) 上唯一使得e 。 _ 。 =  

a e - 1 成立的n 的取值( 如图1 ) . 注意到1<昙+  

2 0 1 4 年第 1 2 期 


数 学敦 学 

1 2 - 3 1  

< e- l , 因此 , 当 n> e 时, e 。 一 1   a e - 1 ; 当 

n = e 时 , e a - 1 = a e - 1 ; 当 三 +   1 < 。 < e 时 ,  
ea 一 1 < ae ~
. 

可 以看 出, 上 述解法 完全套用 题 1 的解法  二 或者 说 题 1 的解 法 二 完全 套 用此 题 解 法.   所 以说 , 高 考 题 确 是 课 本 中 思 想 的延 伸 .当然 ,  
此 题还 可 用数 学 归纳法 和 作商 比较 的方 法证 
明.  

三 、高观 点下的解法分析  仔 细分 析解法 二 发现,比较e   和a   的 

大小, 其本质考虑的是函数夕 (   ) :  
估计, 即:  

±型 的  

单调 性.这 个过 程 中最 重要 的是对l n ( 1 +x ) 的 

在X>- 1 , X≠0 时, 成立不等式÷
图1  

<  

l n ( 1 +  1 <X .  
这 在 高等 数 学 中是一 个非 常重 要 的不等  式. 当然 , 此不等式可 以用初等方法证 明. 但若 

二 、课 本背景  课本 是高考命题 的基本 依据, 很 多高考题  源 自课本, 或是 课本 习题 的改编 , 或 是课 本 中   思想的延伸 . 此题也不例外 .   题2 ( 苏 教版 必修 一第 1 1 0 页 复 习题 1 6 )  

结合高等数学中的 L a g r a n g e 中值 定理  过程将 
非常简 明.  
一  

证 明: 记^ (   ) =l n ( i +  ) ,  ̄ U h ( x ) =h ( x )   ( 0 ) .由L a g r a n g e 中值定理: 存在∈∈( 0 , 1 ) ,   ) =   .  

设a 、b 、c 都 是 不等于 1 的正数 , 且a b ≠1 , 试  比较 a l o g c b 和b l o g c 。 的大 小 .  
解: 令x =a l  ̄ g  , y =b l o g  , 只 需比较 l o g c X   和l o g   Y的 大 小 . 由 于l o g c   =l o g c   b? l o g c   a=  

使得 

l o g   Y ,结合 函 数f ( x ) =l o g   z 的单 调 性 可 得:  
X= a l  ̄ g c 6= Y = b l o g c 一 一
. 

从 而  ) =  ÷  . 对   > 0 和 一 l <  < 0 分 别  
讨论得 
1 <  .  

<r 

<  ? 因此 

<l n(   +  

此课 本 习题 不 仅在 表述 形式 上 与今 年 的 

考题 类 似 , 而 且解 法 的 大致 思 想 也是 相 同 的.  

我们将在 下面的相关题研究 ( 题5 ) 中再 次 
使用 此 不 等 式 .  


在直接 比较两数 大小遇 到 困难时, 都是通过 取  对数 , 结合对数函数的单调性解 决 问题 .   与此 类 似 的 问题 在 苏教 版教 材 中屡 见不 
鲜:  

般 地, 结合g ( x ) 的单 调性 , 我 们 可 以 比 

较a 6 一  和 b 。 一  的 大 小 ( 0> l , b> 1 ) :当 a>b  
时, a 6 一  < b “ _。 .  

题3 ( 苏教版 选修 2 — 2 第1 0 3 页 复 习题 l 4 )  
试 比较 f n+ 1 ) n S N n n +   的大 小 .  

再 看 解 法 三,此 中 的 关 键 在 于 指 数 函 

解: 只需 比较 l n ( n+ 1 )  和 l n n n + 1 , 即n?   l n ( n+1 1 和( n +1 ) l n n的大小. 进一步, 只需比  

数Y=e x 与幂 函数Y=   (  > 0 ) 趋于无 穷的“ 速  度 陕慢 .我们称之 为指数 函数 的数 量级 问题 .  


e-1  

从极 限的角度看: l i m 

=0 , 即当0 充分 

较 
=  

n 十

上  

和  的大小. 为此考虑函数九 (   )  
n 

大 时, 一 定有e 0 一 一 1 >a e 一 1 .因此只要确 定区间 



求导得  , (   ) =  

. 50 <  <e 时,  

( 兰 +  , + ∞ ) 上 唯 一 使 得 e n _ 1   a e - 1 成 立 的  
a 的取值 即可 . 此方法是理解 了问题 的核心, 透  过现象看 到了本质, 将题 目的结果 “ 看” 了出来.   但 这需 要对指 数 函数 的数量 级有 充分 的认识,   对 中学生来说 有一定 的困难 . 不 过这个 问题在  苏教版教材 中是有体现的:  

^   (   ) >0 , 函数^ (   ) 单调增加; 当X >e 时, 九   (   )   <0 , 函数 h ( x ) 单调 减少 .因此, 当n≥ 3 时,  
<  
n + l   n 

, 即( n+ 1 ) 亿 <n 佗 + 1 .当 礼 :1  

或 佗= 2 时, ( 佗+ 1 )  > n 佗 +   .  

1 2 — 3 2  

数 学教 学 


2 0 1 4 年第 1 2 期 

题4  f 苏教版必修 一第三章 复习题s )  ̄ J l 用 
计 算 器 分 别 计 算 当  = 1 , 2 , 3 , … , 1 0时 ,函 数 


l n 8> 0 , 9 ( 3 ) =I n 6 4 一I n 8 1 <0 .故存在 唯 



的  ∈( e —l , 3 ) , 使得l 9 ( t ) :l n ( t +1 )   一 I n  +  
0 . 从而 , 存在 唯一的t ∈f e 一1 , 3 ) , 使得  蚪1  

2   ,   =l o g 2  , 及  =z 。的值 , 并 分 析 判 断 



当  无 限 增 大 时, 这 三 个 函 数 中 哪 个 函 数 增 长 



(   +1 )   . 进一步, 当   ∈( 0 , t ) 时, (  +1 )  >  
十   ; 当  ∈(   , +。 。 ) 时, (  + 1 ) z<   + 1 .  



的更快些 ?   解:通过 图像观 察 容易 得 到,   无 限增 大  时, 指数 函数 =2   增长 最快, 其 次是幂 函数  2 最 后 是 对 数 函数 =l o g 2  .   四 、相 关 题 研 究  从 题 3的 结 论 出发 , 能 否 作 一 些 联 想 和 推 
 

注:用数 学软件Ma t l a b 可求 出实数 t 的值 

大致为 t= 2 . 2 9 3 2 …; 此题 源 自文[ 1 】 , 但 原书 
中的证 明有误( 其 中的实数  —e ) , 此处 已更正.  
题1 解 法 二 和 题 4的 证 明过 程 中 构 造 了 辅 



广 ?  

助函数9 (   ) :  

± 型 和^ (   ) 一  


利 用 函 

题 5 计算可 以发现:   ( 1 )当 =1 . 1 或2 . 2 时, (  + 1 )  >x x + l ;   ( 2 ) 当 =2 . 9 或3 . 2 时, (  + 1 )  <x z +   ;   问能否找到实数 t , 使得对任 意  ∈( 0 , t ) ,  

数 单 调 性 比较 大 小 .特 别 值 得 一 提 的 是 , 此 类  函 数 的 相 关 性 质 成 为 不 少 高 考 试 题 的 命 题 背 

景. 比如 , 2 0 1 3 年高考江苏卷第 2 0 题:  

(  +1 )  >   +   ; 对任意 ∈( t , +o 。 ) , ( z+1 )  
<x x + l 恒 成 立 ?进 一 步 , 试 比较 0 6 和6 o的 大 

小( 0 >6 >0 ) .   解:类似 于题 3 的解 法, 只 需 比较 l n ( z+   1 )    ̄ D l n z   +   , 即 I n ( z +1 ) 和(  +1 ) i n  的大/ J 、 ,  
进 一 步, 只 需 比 较  和  的 大 小 . 为 

题6 ( 2 0 1 3 年 高考江苏卷第 2 0 题) 设f ( x )   i n  一0   , 9 ( X ) =e   一n   , 0∈R. 若夕 (   ) 在  ( 一1 , + ∞) 上单调递增, 求, (   ) 的零点个数.  


解 :由9 (   ) 的单调性易得0 ≤二 . 函数f ( x )  
e 

1   T 1  

的 零 点 个 数 即 为方 程 0 =  
1 n , n 

的解 的个 数 , 也 即 

y =a 与h ( x ) =  


的图像 的交 点个 数.   (   ) =  

此考虑 函数h ( x ) =  

.当0 <  <e 时,  (   ) >  

当 ∈ ( 0 , e ) 时, h p (   ) >0 ,  (   ) 在( 0 , e )  

0 , 函数 ^ (   ) 单调递增 ; 当  > e 时, 九   ( z ) <0 ,   函数 h ( x ) 单调递减.  
因此 , 当0 <  , 且 +l < e , 即0<  <e 一1 时,  

是增 函数; 当   ∈( e , + o 。 ) 时,  (   ) <0 ,  (   ) 在  ( e , + 。 。 ) 是减函数.因此 当  =e 时, 函数^ (   ) 有 

(  +1 ) x >x z +   ; 当 >e 时, (   +1 )   <  + 1 .  

最大值二 ,  (   ) 的 值域为( 一 。 。 ,  ) ; 当   + o O  
时, h ( x ) 一0 ;当  一 0 时,  (   )   一 。 。 .函数  h ( X ) 的图像 分别 以   轴,  轴 为渐 近 线. 画 出示 

结合 函数h ( X ) =  
>6 >e 时,  
e 时,   >  

的单调 性可 得:当 n  

<  

, 即0 b <b n ; 当0 <6<n<  

意图( 见图 2 ) 即得:当  ∈( 一 o o , 0 】 U{ 妄 } 时,  
,   1 、  

, 即0 6> b n .  

. 厂 (   ) 有一个零点; 当 0 ∈( 0 ,  ) 时 , . 厂 (   ) 有两个  
零 点.  

但当e 一1< z< e 时, 还 未 曾 比较 (  +1 )   和  +   的大 小, 即: 未找到 题述 中的实数 t .下  面证 明题 中实数 的存在性.  

令y ( x ) =  +   一(  +1 )   , 贝 0 . 厂 ( 2 ) <0 , f ( 3 )   >0 . 故. 厂 (   ) 在( 2 , 3 ) 上存在零点. 进一步, 在区  间( e ~1 , 3 ) 上考虑 函数夕 (   ) =  l n ( z +1 ) 一(  +  

1  
e  … 。  

h  )  
、 一  



:  

一  

0  / 1   e  

x 一  

1 ) I n z . 由 于 当   ∈ ( e 一 1 , 3 ) 时 , i n ( 1 +   ) < 素 .   于 是 : 9 / (   ) = i n (   + 1 ) +   {   — l n x m 一 山  =  

图2  

I n (   +   ) 一   一  < 一   < 0 .  
即9 ( z ) 在区间( e 一1 , 3 ) 上单调. 又9 ( 2 ) : l n   9  

参 考 文 献 

[ 1 ] 虞涛.从课本到高考——数学研究性  学习 [ M] . 上海: 华东师 范大学 出版社 , 2 0 0 9 .  

2 0 1 4 年第 1 2 期 

数 学款 学 

1 2 - 1  

浅谈 如何 进 行 习题 推 广 式 改编 


从一道教 师 专业素质 测试题谈起 
2 0 0 4 3 5   上海市岭南 中学+刘华为  

笔者所 在 区教 师参 加职 称 评 审时都 要进  行专 业素质测试 , 很 荣幸, 受 区人才 中心委托,   2 0 1 3 年中级职 称专业素质测试卷 f 数学) 由笔者  命制并批 阅. 从考试 结果来看 , 整 体状况 尚可,   但 一道考 查 命题 能 力的考 题却 倍 受参 评老 师 
的“ 冷 遇” , 结果不甚理想.   1 .题 目与设 计 说 明 

题 的设计较为开放, 当 点  动 起 来 时,本 身  可 设 计 为 线 段类 函数 综 合 题 ( 如B E =  ,  
CM =Y , 求Y 关 于 X的函数关系式, 其中 M 为   直线 EF与直线  D 的交点) ; 面积类 函数综合  题( 如 BE=X , 某一 多边形 的面积 为 , 求Y 关  于  的函数 关系式1 ; 也可把 图 l 放在 直角坐标  系中, 与一次 函数 、反 比例 函数 或二次 函数相  结合 , 设计成存在性综合题 .   2 . 数 据 分 析  共有 1 3 位教师参加 了本次测试 , 有6 位教  师 设计 了第 ( 2 ) 小 题, 其中5 位 老 师把 点 E设  计为线 段 C上 任一 点, 只有两位 老师给 出 了   解答 ; 另一 位 老师 把 点  设 计 为 “ 射线J E ;   上  任 一 点” , 并给 出 了正确 解 答. 而且 只 有 这位  老师 设 计 了第 ( 3 ) 小 题 ,问 题 为 :当 点 E 在 线  段B  上运 动时, 设BE =X 、AE=Y , 求Y 关  于 X的 函数关 系式, 并指 出 Y 是否存在最大值 ,  

题目  ( 原卷第 1 5 题) 基本题: 如图 1 , 四边  形A BCD是 正 方 形, 点 E是 边B  的 中 点.  

A A EF = 9 0 。 、 且 F交正方形外角A DC G的平  分线 F于点 F, 求证 : AE =E F.  

\ \ \ /   一  
图1  

请对基本题进行 重新设计, 要求共 3 小题 ,  

若存在请求 出最大值; 若不存在, 请说 明理 由.   很遗 憾, 透过 上述 数据, 我们不难 发现 教  师 改编题 的水平 不容乐观.虽然 形成的原因众  多, 但 主要源 于两个 方面:一是教 师单一 的习   题教 学模 式所 致. 据笔 者调 查, 多数 教师讲 题  时只局 限于就题论 题f 即 简 单 分 析 思 路 、 板 书 
解题过程) , 缺乏对 习题深层次的研 讨, 至少 “ 一  题 多变” 的意 识都 较 为淡 薄; 二 是组卷 时采 用 

第( 1 ) 小题 为基 本题 的结 论; 第( 2 ) 小 题是第 ( 1 )   小 题 的推 广, 为 开放题; 第( 3 ) 小题是 与 函数有  关 的综合题, 且为存在性 问题 ( 所设计 的问题请 
附上简解1 .   设计说 明: 基本题是2 0 1 1 年区八年级质量  监 控题, 也是一道 普见于各类 复 习资料 的常规  题. 笔 者编制本题 主要 目的除 了考查教师 命题  能力外, 还想 引导教师在 平时 的教学 中加强对 

简 单的 “ 拿来主 义” . 考题主 要来源于教辅材 料  和 各类 统考 、模 拟及 中考试 卷, 甚至 成套考卷 
拿 来 就 用, 连 必要 的筛 选环 节 都 “ 慷 慨” 舍 去.   长期 以往 , 教师 改编题 能力 怎不逐渐退化 ?   3 . 如何进行命题推广式改编 ?  

习题潜在 功能 的挖掘 与研讨, 走 出就题 论题 的  桎 梏.   结果 预测 :设计 第( 2 ) 小题 时只要 让 点 E   动 起 来 即 可, 结 果可 能为 “ 当 点 E为 线段 J E }  
( 射线 B  或 直 线 B  ) 上 任 意 一 点 时, A E与  EF有什么数 量关系 ?并加 以证 明. ”第 ( 3 ) 小 

众所 周知, 推 广数学命题 就是把一个数 学  命题 中特殊条件 一般化, 从而得 出更普遍 的结  论. 因此 , 常 见 的推 广 方 法 有 :  

2 0 1 4 年第 1 2 期 

数 学教 学 

1 2 一 五 3  

想 、方程思想 、函数思想等 重要数学思想 , 命  题者 真是匠心独具.新定义题型 以不 同形式来  呈现 , 从 不 同角 度 来 考 查 学 生 现 有 的数 学 知 识 ,   它 以各种情境 为载体, 综合考查 学生在新情境 
I p   、  

中的运用 能力. 立足于基础 , 而 不拘泥于课标 ,   为 日常教 学带来新 的导 向, 也 为今后 的教学 带  来新 的生机 .  
J  

图3  
V 

‘ 

/_、 、  
\ \   一  / /   0   j  



(  

图5  

图4  

图5 , 双 曲线 x y= 1 ;图 6 函 数 Y = X+  
的 图像 .  

Y   /  
0 

图3 、4 、5 、6 都存在 无数条分隔线 .   4 .试 题 启 示  本 题 综合 考 查 了学生所 学 的几 种类 型 的  函数 , 也考 查 了分 类 讨论 思 想 、 数 形 结合 思 

/ 
图6  

( 上接 第1 2 — 2 页)  
3 . 4个 数 n化 

关系 ( n为正整数)  

例4   已 知 正 方 形 DEFG 的 边 EF 在 三  角 形 ABC的边 BC上 , 顶 点 D、G分 别 在 边 AB、  

上 .若AA BC的边 B  长为6 0 c m,高 A日   为4 0 c m, 求正方形 DE FG的边长 .   这 是上教 版九年 级 《 数 学》 第 一学期 第 3 8  
页的例 7 , 若 对 正 方 形 的个 数 进 行 n化 处 理 , 则 
可推 广 得 :  
C 

改编题 5 如 图 6 , 正方 形 B  + 1   F 钆 C n + 1  

的 边 
B  +1 、  

在 AAB 他 c n的 边 

上, 顶 点  当然, 关于 习题 推广式改编 的方法远不只  以上 四种, 只要我们做个有心人 , 善于积累, 那  么命题能力必然会有质 的飞升 .  

+ 1 分 别 在 边 AB  A   上.   已 知 

AAB1 C1 的 边 B1  1 长为a ,高 日 为 h , 试 探 求  正 方形B   + l   F 礼   + 1 的边长X  与 a 、h的 

2 0 1 4 年第 1 2 期 

数 学教 学 

1 2 - 5  

数 学教 学 中学生联 想 能 力的培养 
2 2 5 0 0 9 江 苏省邗 江 中学   袁 昌华 

发 展数 学思 维 能力是 中学 数 学教 学 的一  项基 本任务, 联想作 为产生直觉和 形成猜想 的  基本 思维 活动之一, 与其他数学活 动密切相关,   大到重大数学 问题的解 决、数学定理 的发现和  推 广, 小 到 中学 数 学 解 题 的 奇 思 妙 想 都 是 以  联 想 为 先 导 .前 苏联 心 理 学家 克鲁 捷 茨 基 认 为 :   数 学 能 力 就 是 用 数 学 材 料 去 形 成概 括 的 、简 短  的、灵活可逆 的数 学联想 能力【 1 J _ 本 文结合数  学联想 的特点, 对 联想 能力 的培养作一些探讨.   数学联想思维 的特点  联 想是将 研 究对 象 的特 点与 个体 自身 的  


种 自觉 的、有 目的的想 象. 数 学联想是指通 过  感知 问题情境, 唤起贮 存在记忆 中的相关材料,   加工形成 新 的联想, 从而为 数学 问题 的解 决创  造 灵感. 数 学联想思维具有 以下特 点:  
1 .非逻 辑 性 

逻 辑 思维往 往都 是按某种 顺序 进行 推理,   而联 想 思维 是在 充分 调动 记忆 中存 储 的信 息  后, 灵 感火花 的瞬 间进 发, 有 时候连一 点来 龙  去脉都 说不清. 但恰是这一特 点帮助学 生从 一  时找不 到逻辑起 点的困境 中走 出来 , 多角度 的 
研 究 数 学 问题 .  



知 识经验联系起 来进行想象 的思维方 式, 是一 

兰 [  
<  ( 3 河

贺, 该 同学探 究成 功 的喜 悦溢 于言表 . 生 态  一   ] <   +   1 + 丽 1 + . . . +  祝 课 堂,自然 清新 , 同学们 成功 地把这 个 问题 进 

_1 ) ( n  

.  


如果设函数 . 厂 (   ) =   1(  >0 ) 其 中  >0  
且  ≠ 1 , 可 得 更 一 般 的不 等 式 :  

] <1 +   1+   1+ 1  [ ( 竹 +1 ) 1 - a 1 丁 二
_



+ 

去< 1 +   1 (   1 ) ( n ≥ 2 ) .  
证明:  +   1+  1+




去 > / r  d   =  
< 1+

1  


l _ a I   州 =   [ ( 礼 +   ) l - a _ 1 ] ,  
1 1 + … +  + 
na

行 了一 次有深度 的拓展, 创 新思维 能力得 到进  步提升.   在数 学课 堂教 学 中, 教 师要用 好教 材, 善  于利用 教材 上 提供 的例 题 、习题 、阅读材 料  等 素材, 从知识 的发生过程和 学生的认知过程  出发精 心设计教学活动, 通过教师 “ 暗中相助” ,   让 学 生 自主 地 参 与 到 学 习 中 来 , 把 课 堂 还 给 学  生, 让 课 堂 成 为 绿 色 的生 态 课 堂 .通 过 学 生 大  胆 地 体 验 和 发 现 、探 究 , 使 得 学 生 学 习更 有 深  度和广 度. 只有 这样 , 创新 思维 能力 的培养才  会有肥沃 的土壤 , 课堂才会如此精彩 .   参 考 文献 


1   +  1+  1  

+  +  + … + 一 <   + /   r   d   一  
x l _ a l   = 1 +   1( 佗 1 ~ 一 1 ) .  

『 1 1 华东 师范 大学 数学 系. 数 学分 析 [ M] .   北京: 高等教育 出版社 , 1 9 9 1 .   『 2 1 曹瑞彬 . 高中数学本真 教学: 课堂 生态 

的理性重构  . 中学数学教学参考: 2 0 1 3 ( 1 1 ) :  
2 5 —2 7 .  

f 3 ] 朱瑞晨 . 一道 数列不等式证 明的放缩方  完成探 究后, 全班 同学报 以热烈 掌声 以示 

法  . 中学数学教学参考: 2 0 1 3 ( 1 2 ) : 4 0 - 4 1 .  

2 —  
2 .直 观 性 

数 学教 学 

2 0 1 4 年第 1 2 期 

③联想 现实生 活:因为 b >0 ,   可 以看 作 
糖水 的浓度, 而往糖 水加糖 m, 糖 水显然更甜 ,   即浓 度 增 大 , 不等 式 成 立 .   总之, 联想 能力的培养需要先 落实学生 的  基 础 知 识 、基 本 技 能和 基 本 数 学 活 动 经 验 .  
2 .联 想 需要 “ 宽 容, ’  

联 想是数学形象 思维的主要方法, 而 形 象 

思维必然运用直观形象、信 息来间接反映事物  的本质 规律 . 数 学解题 活动 中, 学 生 往 往 是 根  据 问题 条 件 或 结 论 的 直 观 结 构 特 征 产 生 联 想 .   这一特 点要 求学生在数学联想 时, 要 善于抓住  问题 的外 形特 征巧妙联想, 或不断转化将 比较  隐蔽的关系直观化.  
3 .独 创 性 

联 想 能 激 发 出 新 的认 识 .一 定 意 义 上 , 数  学 联 想 突 破 了 原 有 思 维 方 式 的束 缚 , 明显 带 有  创 新 的特 点.   二 、 数 学联 想 能 力 的培 养 
1 .联 想 需 要 “ 基础 ”  

与 逻 辑 思 维 不 同, 联 想 思 维 往 往 不 受 逻 辑  模 式 的限制 , 表 现 出一 定的跳跃 性.学生有 时  想 到一个念头, 但不知道这个念头 的来 龙去脉,   不 理解其 实质 , 只有 当他经 过反 复思考 , 冷 静  分 析, 才 能 找 到 念 头 产 生 的 合 理 性 .因 此 ,在  面 对 学 生 跳 跃 性 的 联 想 思 维 时, 教 师 应 多 一 份  宽容 , 不 必 苛 求 有 理有 据 . 例 如, 某 学 生 在 推 导 

联 想是 以知识和 经验 为基础 的思维活动 ,   知 识越 多, 联 想 范 围就 越广 泛, 经 验越 多, 联  想 方式 就 越 灵 活. 因此, 培 养 学 生 的 联 想 能  力 ,首 先 要 打 好 坚 实 的 知 识 基 础 . 教 师 必 须  帮 助 学 生做 好 知 识 的整 理 工 作, 通过 概 念 、   公式 、定理 、法 则 等基 础 知 识 的教 学, 将 大  量 分散 的知识 组织 成有 条理 的 、有系 统 的结  构, 变 大 量 的记忆 为 联想 型 思 维. 例 如, 指 数  式a b =N 中 的 底 数 、 指 数 、幂 , 分 别 对 应 于 对  数式 l o g   N =b 中 的底 数 、对 数 、真数, 于是  两个 同底数幂 的乘法法则就对 应于两个正数积  的对 数的运算法则, 即由   . a q =a p + g 联想 到  l o g 。 M Ⅳ =l o g 。 M +l o g 。 N. 类似的, 由n p ÷  

前 n个正整数 的平方和 公式 时, 想到如 下 的方  法[ 2 ] :   构造等式: n 3 一( 礼 一1 ) 0 =3 n 2 -3 n +1 .由   佗=1   2 , 3 , … 逐 项 写 出:  
1 3— 03= 3 × 1 2— 3 × 1+ 1 :   2 3— 1 3= 3 × 2 2— 3   X   2+ 1 :  

3 3— 2 3= 3 × 3 2— 3   X   3+ 1 :  

( n一1 ) 。 =3 n   一3 n+1 .   左右两边分别相加 , 得: 礼 3=3 ( 1  +2   +  
佗。


3   +? ? ? +n   ) 一3 ( 1 +2 +3+… +礼 ) +n .  
易得 

1 2 +2 2 + 3 2 + . . . + n 2 :  

±  
b  

±  

. 

a q =a p — q 和(  )  =a p 佗 , 分别联想到l 0 g 。 等 


l o g 。 M —l o g 。 N和l o g 0 M  = nl o g 口 M.  

教 师 还 应 该 督 促 学 生 及 时 总 结 和 整 理 学  习 中 的 基 本 经 验 ,学 生 的 经 验 来 源 于 日 常 的  数学解题 实践, 实践得 多, 就 经 验 多 、联 想 多 .   例 如 ,己 知 b , a ,m 为 正 实 数 ,且 b> a ,求 证 :  


如 此漂 亮 的解 法, 令众 学生 赞叹不 已, 但  当教师 问他 , 你 为什 么想到这样 做 ?该学生却  时语塞 , 憋 了半 天 , 说 了句 “ 没 有 什 么 具 体 的  思路, 我 是 灵 光 一现 !” 惹得众人大笑.   面对 如 此 情 景 , 教 师 应 多 一 份 宽 容 、 多 一  点 理 解 ,“ 灵 光一现” 的 学 生 可 能 事 后 会 说 出某  种思路, 但 在 当时 他 确 实无 法 回答 “ 为什 么” .   宽容 更 多的表现 在 学 生联想 发 生错误 的 


<  a+ m


这是一道常见的不等式问题 , 常规 

方法 “ 作差” 或“ 作 商” 均可解 决, 但也可 以联想 
其 他 知识 来 解 决如 下 .   ① 联 想 斜 率 公 式 :观 察 了 a和 『__ a+ m 的 结 

时候 .由于 联想 思 维对 事物 关 系 的反 映具 有  猜测 性和 随意性 , 难 免会 出现错 误, 对此 教师  首先应 该积 极 的鼓励, 而 不是打 击扼 杀, 因为  学生稚嫩 的想法里蕴含着 创新发展 的可能, 其 
次应帮助学生分析错误 原因, 使联想趋 于合理.   联 想 思 维 只 能在 宽容 的土 壤 里 自在 的 生 长 .  
3 .联 想 需要 “ 问题”  

构特 征, 想 到直线 斜率 公式, 于 是构造 一个 几  何 图形 、 可 以很 直 观 地 加 以证 明 .   …’   ② 联想 函数单调性: 观察不等式左右两边 

数 学 联 想 能 力 的 培 养 离 不 开 问题 . 在 问题 

的形式, 想到构造 函数 f ( x ) =  

(  ≥0 ) , 由  

函数的单调递增 , 得t 厂 ( 0 ) <. 厂 ( m) 即可.  

的选 择上, 应 突 出外形特 征 明显, 或转 化后 易  于学生观察, 便于联想思维产生的 问题 .  

2 0 1 4 年第 1 2 期 

数 学款 学 

1 2 - 7  

例 如 , 求s i n   1 9 。+ 、 / / 3   s i n 1 9 。 s i n1 1 。+   s i n  1 1 。的 值 [ 3 1 . 本 题 若 由 外 形 结 构 联 想 到 
AABC的 余 弦 定 理 0 2 =6 0 +C 2 —2 b c C O S A,并 

知识 之 间 的互 相 渗 透 和 密 切 的 内在 联想 进 行 的 
联想 .  

( 4 ) 相 似联想 法: 对 当前 事物或 问题产生  相似直感 , 而对 另一具有 图形 、 图式或结论相  似 的外形 结构特 征, 联想到使用 与形式相似 的  有 关知 识、思想 、方法来解题的思维方法 .   f 5 )等 价 联 想 法 :将 已知 问题 赋 予 新 关  系、新序和新形式, 使之与原 问题等价 的联想.   f 6 )模 型 联 想 法 :假 借 已 知 条 件 中 的 元 素  为“ 元件” , 依 托 已知 的数 学关 系为 “ 支 架” , 构 

由此进 一步联想 到余 弦定理变形 公式 :  
s i n 2 A :s i n 2 B +s i n 2   -2   s i n   B  s i n   C  C O S   A
,  

于 是在△AB  中, 令B =1 9 。 , C :1 1 。 , 则A=   1 5 0 。 , 原式=s i n  1 9 。 书i n 0   1 1 。 一2   s i n1 9 。 s i n1 1 。  
c 0 s   1 5 0 。: s i n 2   1 5 0: 一 1
. . 

4  

再如, 求 : — 2 -C O S   X的 值 域
_



学 生若 将 函 

数 变形 为方 程 C O S  +  s i n X=2 ( s i n   X ≠0 ) , 则  可 以产生多种联想 :  
① 联 想 正 弦 函 数 的 有 界 性 ,化 简 得 到 
== = 

造 出一种 新的数学模型, 沟通数 学模型 间的相  互 关 系 的方 法 .   ( 7 )类 比联 想法:根据 两个对象 结构 、形  式 、或数值特 征上 的相似 , 推 测它们在其他方  面也可 能存在相似或相 同, 从 而把信息从一个 
对象转移到另一个对象 的思维方式.   f 8 )外形联 想法:根据 问题 的条 件或结论  所显露的外形结构特 征联想与之密切相关的另  数学模型.  


( 其 中 t a n   = = =  
  l ‘ )   l  

由 I s i n (   l I   、 / 1 十 寿I   一 l  ) 解  ≤  


、 / / 3或 Y≥ 、 / / 3 .  

经检验,函数 值域 为( 一 。 。 , 一4 5 ] u   f 、 / 3 ,  
+∞ 1 .  

② 联想 向量 的数量积 , 设  = ( c 0 s   X , s i n  ) ,  

n=( 1 ,  ) , 由l   ?  I ≤l 赢I ? 1 胃I 得 

以上 面 的 “ 对 立 联 想 法” 为例 , 实 际是 一  种背离对 原来 问题认识 , 在对 立 的意义上探 索  新发展的逆 向思维方法 . 例如, 解方程 X 3 +( 1 +   )   —2= 0 . 解三 次方程较 为 困难, 由未 知  数对立 联想 到常量, 则可 以将  看 作未 知数,   X 看作“ 常 量” , 则得 到 关 于  的 一元 二 次方  程(   )   一X 2.   一( X 3 +x 2 ) =0 , 解得 
一   。 :— -1  ̄  v / l +  4 v  ̄
. 

l C O S x + y   s i n X I ≤V / c o s   x + s i n   X ? 、 / / 1 +  ,   即、 / / 1 +Y   ≥2 , 解得Y≤一 、 / / 3 或Y≥、 / 3 ( 当  
且仅 当   与  共线 时取等号) .   ③ 联 想柯 西不等式 , 因为 ( C O S   X+s i n   X )   ( 1 +  ) ≥( C O S   +y s i n  )  =4 , 解得 Y ≤一 , / 5  

或Y ≥   ( 当且仅当C O S  =去 时取等号) .  
4 . 联 想 需要 “ 方法”  

联想思维作 为一种形象 思维, 其与逻辑 思  维 的关系 辨证 而统 一, 唯有认 识到这 一 点, 才  能使学生 的数学思维能力获得全面发展.   参考 文献 

“ 授 人予 鱼, 不 如授 人予渔” , 不 同的思 维  内容 决定 了不 同的思维 方法, 因此 , 教师 可 以  根据 联想 思维 的特 点, 结合 平 时的教 学, 以示  范 的形 式, 教给 学 生一些 数学联 想 的方法 , 下  面 就 是 几 种 比较 常 用 的方 法 :   f 1 ) 接近 联想 法:利用形态 或性质 等方 面  接近 的 问题在人们 思维 中产 生的关系, 由一个  问题 想 到 与 之 接 近 的另 一 个 问题 .   f 2 ) 对 立联想法 :由当前 的 问题想 到与 此  具 有 相 反 关 系 的 问题 的 回忆 活 动 .   f 3 ) 关 系联想 法:根据数 学知识之 间 的从  属关系 、特殊关系 、一般关系、 因果关系及 各 

… 克 鲁 捷 茨 基 .中 小 学 数 学 能 力 心 理  学 『 M1 . 李 伯 黍, 洪 宝 林 译. 上 海:上 海 教育  出版 社 , 1 9 8 7 .  

[ 2 】 喻平 .著 名特 级 教师 教学 思想 录 f C 】 .  
江苏: 江 苏 教育 出版 社 , 2 0 1 2 .  

『 3 1张 祖 寅. 谈 数 学 解 题 的 外 形 联 想 策 

略 _ J ] . 中学数学月刊, 2 0 1 4 ( 8 ) : 5 8 — 6 2 .   f 4 】 万 平方. 联想, 构造 的先 导 『 J 1 . 数学教  学研究, 2 0 0 9 ( 3 1 : 2 3 — 2 7 .  

2 0 1 4 年第 1 2 期 

数 学教 学 

1 2 一   7  

n 

④ 

o  o ( 三 ) o  o  o ① o ( 三 ) o ( 三 ) o  o  o  O  o  O  O  o  O  o  O  o  O  o  o  O 

数 学 问 题 与 解 答 
2 0 1 4 年第 1 0 期 问题 解 答 
o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o - :   o 

9 2 6 . 已知 点  为 △ABC 的 与 BC边 相 切 
N  一

一 一

的旁切 圆圆心, 求证 :  
I C 

一  

一  

午一 一 7   M  

BC . C A 

( 2 4 3 1 5 1安徽 省 当涂 县青 山中学 令 供题 )  
证: 如图1 , 设 o 与边 B  及   、  

标 
的 

延长 线分别切于 点  F, 连 结  F.   分 别 延 长 BA、CA至 点  、Ⅳ,使  AⅣ =  A ,连 结 M Ⅳ,延 长  交  Ⅳ 于 


点 G.  

图1  

点 评 :考 生 一 见 到矩 阵而 且 不 是 方 矩 , 感 

到元 素太多, 心有畏惧; 又见符号繁杂 , 结论不  明, 致 使部 分考 生放 弃作答 . 如考 生进一 步 思  考, 经简单检验 ( m =n= 2 , 或m :2 , n=3 ) ,   会 猜 出结论 , 但对 证 明感到无 从 下手, 至 于 找  到解 答思路, 完成解答者 , 人数会很 少, 得分将  呈 现 两 极 分 化 .试 题 的 区 分 度 不 高 , 但 选 择 性  较 强. 本题属 高难度试题 .   本题 具有 明显 的高等 数学背景. 在高等代  数等 学科 中, 数 列 的排 序是 常用 方法, 有置 换  法 、最值法等构造性 方法, 本题 以此 为源 拟制.   本题 注重 考核 直观 想象 能力和 推理 思 维能力 .   熟悉数 列排序 的考 生, 可能得 高分 .至于离 开  构造性方 法而直接 证明猜测 结论 的正确 性, 个 
别考 生 也 可 能 做 到 .  

现在 已是 教学 重点, 成 为 高考命题 热 点, 但 却  被“ 北约” 拒之试题之外.从数学知识 、方法 、   思想层 面分析, 圆锥 曲线 内容似可删 去或大幅  压缩.  

实行 教 学与 考 试分 离 , 为 高考 命题 瘦 身.   “ 北约” 将导数与积分、概率等 内容未纳入试题  范 围, 这就 提示人 们 思考, 有 些 内容 属教 学范  围   但不作考试要求 .  
调整选择题结构, 减少考 生得分 的随机性.   高考选择题 运行多年, 已显现诸 多弊端, 从“ 北  约” 的 6道 选 择 题 即 可 见 一 斑 , 适 度 调 整 选 择  题 ,已很 必 要 . 选 择 题 的 拟 制 应 以 含 盖 基 础 知  识 为主 ; 备选答案应精 心设计, 力求得 当; 每题  不超过 3 分, 分数之和控制在总分的 2 0 % 以 内.   参考文献  『 1 1 于凤军, 童文斌 , 查正开.2 0 1 3“ 北约”  

统 观这 套试 题, 也 给人们 一些 启示 , 取其  要者略述如下.   删 减 中 学教 材 , 减 轻 教 学 负担 .现 行 中  学数 学 教材 与 上 世 纪 5 0 年 代相 比, 有 很大 变  化.以圆锥 曲线 为例, 当初并未 全部列 入教材,  

自主招生数学试题解析  . 数学通讯, 2 0 1 3 ( 5 )  
f 下半 月) :5 3 — 5 6 .  

『 2 1 查正 开.2 0 1 3 年北 约 自主招 生数学试  题评析 f J ] . 中学数学杂志, 2 0 1 3 ( 5 ) : 5 4 — 5 6 .  

1 2 — 4 8  
则/ M AG = ZNAG,   G_ l h M Ⅳ.  
故 Rt △ G 
S△A GM = SAAE I .  

数学教  学 
2  

2 0 1 4 年第 1 2 期 
( X l +   2 +… +   n ) n.  
nn+lXlX2 ?一 X
2  


: = n  ?— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — ? ? — — — — — , — — — — —   - — - —   一 — — - — ? —   - — — - — - - - — — — — — ? — - - - - - — — — 一 
n 

_ _  

R t t △AE  Rt △AF   ,  

Xl+ x2 + ? ? ? + n  



进而知 S A A MN = S 四边形△ A E J F .  
AN   s i n/ M A N 

≥( n   +1 )  

因 此 
SAAM N 
S AA BC  



= =:  

B  s i n/B AC 

佗2+ 1  
n 

SA EI F 
S△A BC   S AB EI D
=  

J   f

;  

= 

n 

S CF I D  
SAAB C‘  

9 2 9 .已知 , Y , Z 为正数, a , b , C 为三 角形 

注 意 到S a E S r— S B E I D — S C F I D =  

S A A B C, 得 
I A2   CA . AB 
B2  

Y  

+  +   +  + 



+  Y

≥  

、  
一 c 

舶  + 

C 2 ) , 当且i v , 当  
BC . C A  = 1 .  

=—  =  
p— D  

时取等号.  

p — a 

B . J E }  

9 2 7 . 实数 a 、b 、C 满足 I n — b I ≥1 , I b —C I ≥   1 , I C —a I ≥1 , 求a   十6   +c   的最小值.  
( 2 0 1 2 0 3 华 东 师 范 大 学 第 二 附 属 中 学  周建新供题)   解 :由对称性, 不妨设 a≥ b≥ c , 于是有 

证:   a 2 x

2 Z b 2 y +  C

十   +  +  

+  



(  +  +  

) (   +   5 2+   c 2   ) 一 ( a 2 + b 2 + c 2 ) =  


a -b ≥1 , b —c ≥1 , 故a —c =( a —b ) +( b —C ) ≥  

2 , n  +b   +c  =  [ ( 0—6 )  +( b —c )  +( c 一  
0 )   +( a +6 +c )   ] ≥2 , 等号当且仅当 a —b =1 ,  
b —C= l , a+b +C= 0 , 即 a= l , b= 0 , C -  ̄ - - -1  

2   塑 [ 【 ( 、 \ 而 a)   +   _ = F  / ’   (   ) 。 + (   )   ] _ ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥  
、 

时取 到 .  
‘ . .

丢 (   。 而 a+  
c 
‘ 

‘  
: 
+ 

十  
:  

a   +b 2 +C   的最小值是 2 .  

J 2 一 ( 。   + 6   + c   ) =印   一 ( 。  
: 
Y+ Z   X + Y 

9 2 8 .已知 X l , X 2 , …, X n>o ( 1≤n∈N) ,  
求证 :  
+ 
一  

+6   +c   1 . 当 且仅 当 

+ 一’ + 


虿  __ 
1一  
.  

、  

÷>0 时取等号, 即  
b+ C- ak


l  2…   n

2+ l  

( p -  

( 7 1 2 0 0 0 陕西 省咸 阳师 范学 院基础 教育  课程研究 中心 安振平供题 )  

证: 因为堕 ±丝 ±   ±丝 ≥  
: —   :  

f ,   兰  二   1 n , 所 以 利 用礼 2 + 1 元 、 n  
元  —G   不等式, 得  +  呈+… +z  


P— a  

P— D  

P— c  

时取等号.  

_  
_ _  



l X 2…  



十 





( X l +X 2 +… +  竹 ) 札.  
 

十 

历   _ - _  

2 0 1 4 年第 1 2 期 

数 学数 学 
的, 且 其 三 边 长 分 别 为 
1 25

1 2 — — 4 9  
1 0 0  

陈宽宏供题 )   解: 如 图 2 ,等 腰 AABC 的 周 长 为 1 5 0 ,  
BD 为腰 AC 上 的 中线 , AABD、△BCD 的周  长分别为 P l 、P 2 .设 AB =AC= 2 n . BD =m,  
+m 则【 3   n 5。


3, 丁 , 了

2 0 1 4 年第 l 2 期问题 
9 3 1 .已知 两 圆 内切 , J F ) 为大 圆上一点, 大  圆 的 两 条 弦 尸 和 J F )   分 别 切 小 圆 于 点  和 
F, 求证 : EF   =4 AE . BF.  



pl,

3 札+ m

+   P   解 得l m % 礼 : p。 .
-  

/ )   1

15
_   _



 

0 _
,  






±曼

B 

图3  
l 5 0 - 4 n  

( 4 0 1 5 5 5 重庆 市合 川太 和 中学 供题1  

袁 安 全 

图2  

在 AA BC中, 由中线长 定理, 得4 BD  +  

9 3 2 .   求参 数 a 的 所 有 的 值,使 得 方 程 

A C 2= 2 ( A B  + BC   1 . 所 以4 m + 4 n  =   2 1 4 n 0 +f 1 5 0~4 礼  .  
整 理得 m2 —9 n 2 =1 1 2 5 0 —6 0 0 n .即 

2  

+(  一0 )  而

=0 有唯一的解.  

( 0 5 0 0 4 8 石 家 庄市 铁 院北 路 4 号4 3 -2 -   2 0 2 王玉 怀 供 题 1  

( m  4 - 3 n ) ( m 一3 n ) =1 1 2 5 0 —6 0 0 n .  
将 尸1 、尸 2 代入 , 得  (   一1 5 0 ) =1 1 2 5 0 -  

9 3 3 .已知抛物线 Y   =2 p x ( p>0 ) , M( t , 0 )  
为 X轴 正 半 轴 上 任 意 一 点 , ( 二 ) 为坐 标 原 点 , 过 点  作 抛 物 线 的 两 条 与  轴 不 垂 直 的 弦  和  BD,点  、D 在  轴 的 同 侧 ,过 点 M 且 垂 直  于  轴 的 直 线 分 别 交 直 线 AD、BC于 点 E、   F, 求 证 :△( 二 )  F为 等 腰 三 角 形 .   ( 6 5 2 3 9 9 云南 省弥 勒市 第一 中学
文供题 )  

l O O ( P 1 一P 2 -1 4 5 0 ) . 整理得 P 1   - 5 o / i一1 f 0 0 P 2  
+3 7 5 0= 0 , 即 

( 尸 1 —1 0 0 ) ( 尸 2 —5 0 ) =1 2 5 0 . …… ………   由① 得 P 1 >1 0 0 , P 2 >5 0 . 否则P 1 <i 0 0 ,   P 2 <5 0 , 导出P 1 +P 2 <1 5 0 .此 时 m <0 .  
注 意 到  =  B+   D +BD < AB +AD 
+ B  +  D = 1 5 0 , P l 2= B  + CD  - BD < 4  

孔 繁 

9 3 4 . 设正实数 a , b , C 满足 a b c≤1 , 求证:  
l  
— — — — 一

+  J [ ) +  

+  D = 1 5 0 , 所以1 0 0< P1<  

l  
_ L — — ——  I

1  
、' 1  

n 6+ 0 + l 。6 c+ b+ 1 。c 0+ c+ 1  

1 5 0 , 0< P1 —1 0 0< 5 0 , 0< P 2—5 0< 1 0 0 .  

由于 P 1 、P 2 都 为正整数, 1 2 5 0 =2  ̄ 5 4 , 所 

f 7 1 2 0 0 0 陕 西 省 咸 阳师 范 学 院 基 础 教 育  课 程研 究 中心 安振 平供 题 )  

以  ̄ 1   P 1   -。


1 00



25 5 。






’ 解 得 { 惫   :   : 此 时 m =  

9 3 5 . 已知 a , b 为正 数, 求 证 

1 3 , / f   丽 a  +  
杨 先 

萼 一 
  .

1 0 0  

= A C 一 2 n = 学, B C = 1 5 0 一  、 / — 3 a +b —   ≤   V  
( 4 3 4 3 0 0 湖 北 省公 安县 第一 中学
义供 题 1  

4 钆   了 ‘  
综上, 满 足 题 设 条 件 的等 腰 三 角 形 是 唯 一 

1 2 一 i 8  

数 学教 学 

2 0 1 4 年第 1 2 期 



道解析几何题探究 的心路历程 
2 1 4 1 0 1 江 苏省天一 中学  孙承辉 

在 最 近 一 次 练 习 中,笔 者 选 用 了泰 州  市2 0 1 3 年 高三第 一学 期期末 试卷 里 的一 道解  析几何题 , 该题集 中考查 了学生对 条件 的转化  能力 以及运算 求解 能力 . 在 讲评过程 中, 一位 

因 为0 < Y o <  , 所以   Q ∈ ( 一   , o ) ,  
\   o  /  
/  .

/  

、  

即点Q纵坐标的取值范围是f 一   , 0 ) .  
评析: 上 述 解 法 对 条件 进 行 了巧 妙 的转  化, 它借 助角 平分 线定理 求 出 P Q与 X 轴 的交  点 S的坐标 , 然后表示 出直线 P Q的方程, 极大  地 减少 了计算量 .当然, 如果 利用椭 圆的光学  性质去求解 则会更简便.  
2 .探 究 心路 
2 . 1一 石 千 浪 : 极 限 思 想 失 效 了吗 

数学素养较好 的学生根据极限思想提 出了他 的  困惑, 从而 引发 了笔者对题 目的思考和探究.  
笔 者把 探究 该 问题 的心路 历程 整理如 下,  
以期 与 同行 探 讨 交 流 .为表 述 方 便 和 突 出 问题  原题 已略作 修 改.  
1 . 试 题 呈现 

题目   在 平 面 直 角 坐标 系 x Oy中 , 椭 圆  :  

在 题 目讲 评 临近 尾 声 时 , 班 里 一 位 数 学 素 

+  

= 1 的 左 、右 焦 点 分 别 是 F 1 、   ,  

养较好 的学生提 出了他的疑惑:   “ 当 点 P趋近 于短 轴 上 顶 点 时, P Q的倾  斜角接 近于 9 0 。 , 所 以凭直觉 , 点 Q在 Y 轴负半  轴 上 应 该离 原点越 来越 远 直 到 无 穷远 处,因  

点 尸是 椭 圆 C上位 于第一 象 限内的点, P Q平  分 F 1 P F2 且与Y 轴 交于 点 Q, 求 点 Q纵坐 标  的取值 范围.   此 题 的解法 较 多, 笔者 先给 出体 现 “ 通 性 
通法” 且 计 算量 较 小 的一 种 解 法 .  

此Y Q∈( 一 O 0 , 0 ) .但是根据( 冰 ) 式, 点 Q是在 有 
限 的 范 围 内运 动 . 为什 么会 产 生 这 种 矛 盾 呢 ?   难 道 是 极 限思 想 失 效 了吗 ?”  

解 答: 如 图1 ,设 点 P( x o , y o ) , J F ) Q与 X轴  交于 点 s ( m, 0 ) .  

笔者 首 先肯 定 了这位 学生 思考 问题 的方  式, 即利 用极 限的思 想考 察 问题 的极 端状 态,   并 探 索 出 问题 的答 案 . 然后 , 师 生 展 开 了 热 烈  的讨论, 大家一致 认为: 最初 的解析法 求解f 即  上文给 出的“ 解答” ) 肯定是正确的, 所 以只可能  是他 的“ 直觉” 出错 了, 那么错 在哪里呢 ?这 个  疑 问犹 如一石投入 湖 中, 顿时激发 了师生思考 
的兴 趣 以及 探 究 的 欲 望 .  

根 据 角 平 分 线 定 理可 知  PF 1  



PF  2
 





所 以 

经过几 分钟 的讨论和 争辩, 并未产生 明确  的结论, 而 此 时 下 课 铃 声 响起 ,因此 对 该 问 题  的思考很 自然地延续到 了课堂之 外.   2 . 2柳暗花明: 四点共 圆凸显 问题本质  课后 , 笔者 反复琢 磨此 题, 不 由地 联 想 到 

所 以直线 J F ) Q 的方程为  一   =   4 y o (  


害, 解 得 m :  s (  .  
 

了竞 赛 中 的平 面 几何 模 型:在 △A BC中  若  A B AC的平 分 线 与 B C边 的垂 直 平 分线 相 交  于 点 D, 则 、   、   、D 四点 共 圆 .  

z 。 ) , 令  : 0 , 得  : 一   . ………… . (   )  

2 0 1 4 年第 1 2 期 

数 学教  学 

1 2 — 1 9  

再 回 到 原题 , 谜 团 终 于解 开:点 P、F 1 、   Q、F 2 在 同一个 圆上 !   证 明如下: 如图2 , 连 结 Q  、Q  .  

拓展延伸 , 从而 得到更一般 的结论 呢?进一步  地, 是 否可 以借用 上述 四点共 圆的结论 , 用 几  何法 来研 究 点 P和 点 Q到椭 圆长 轴 的距 离之  比呢f 结果用椭 圆的基 本量来表示) ?经过思考  和探究, 笔者得到 了以下 的结论.   性质 已知椭 圆  的焦点分别是 F 】 、F 2 ,   点 P 是 椭 圆 C上 异 于 顶 点 的 一 动 点 ,   F1 PF2   的平 分线 P Q交长 轴于 点 , 交 短轴 所在直 线  于点 Q, 若椭圆  的离心率为 e , 则 

图2  

( i )   PS
Q   F 1    
  。 Q   F 2 ’  


=  


1 ;  

在 △J F ) F l Q中, 根据正弦定理,  
PQ  
— —

( i i ) P、Q两点到长轴 的距 离之 比为  一  
e  

s i n   ZPF I Q’   同 理,  ̄ _ APF 2 Q   o O ,   PQ 

1 , P、S 两点到短轴的距离之 比为 去.  
证 明: 如图3 , 在 四边形  1 Q F 2 中, 根据 

1  



=  

托勒密定理, F 1 Q? J F ) F 2 +F 2 Q? PF 1 =nF 2 ? PQ,   即F I Q? 2 a= 2 c? PQ, 所 以 PQ =  .  

s i n   PF 2 Q   又 因为 QF 1= Q F 2 , Z Q PF 1 =/ QPF 2 ,  

所 以s i n  PF 1 Q =s i n  PF 2 Q, 于 是 PF 1 Q  
=  

PF 2 Q 或  P  Q +  J F ) F 2 Q =丌 .  

若 P F 1 Q=  P F 2 Q, 则 易知 △PF I Q  
△PF 2 Q, 所 以 PF 1 = PF 2 , 这 与 点 P 在 第 一 象 
限矛 盾 .  

因此  P   Q +  PF 2 Q = 丌.   故 P、 F 1 、Q、F 2 四 点共 圆 .  
2 . 3豁 然 开 朗 : 极 限 思 想 并 未 失 效 
图 3  

根据上述结论可知, 既然 四 点 P、 F 1 、Q、   共 圆, 再 结 合 图形 , 点 Q 的运 动 范 围必 然 是 

根据 P 、 日、 Q、 F 2 四点 共 圆 , 易 知 AS QEt  

有 限的, 这正是那位 学生 的“ 直觉” 出错 的原 因.   当然 , 这 也 从 另一 个 方 面 说 明 极 限 思想 并 未 失  效, 下面给 出用极 限思想求解此题的正确 思路.   当点 P趋 近 于长轴 右顶 点 时, PQ的倾 斜  角接 近于 0 。 , 所 以点 Q在 轴 负半轴上趋近 于  原点, 即 o _ _ + 0 ;当点 P趋 近 于 短 轴 上 顶 点 时 ,  

SQ, 故S Q = e. F】 Q.  

 ̄ A F 1 Q P j 于 是 貉=  ,  砰 = P Q ?   因 此 j 磊=   P Q -   S Q =   1 _ 1   .
故 P、Q两点到长轴的距离之 比等于 
u  



 



1 , P、s两 点 到 短 轴 的 距 离 之 比 等 于 


假设 点 P在 点( 0 ,   ) 时, 根据 P、F 1 、Q、F 2   四点共 圆, 可 知  P F 1 Q=9 0 。 , 根 据射影 定理 

PS +
— —

可 得 , O Q = 筹=  , 所 以  一  .   高考 山东卷理科第 2 2 题:  
因 此 , 点  纵 坐 标 的 取 值 范 围 是 f 一  , 0 ) .  
2 . 4完 美 收 官:拓 展 让 精 彩 得 以绽 放 
a  D‘  

S Q ! 曼  1 一   SQ   S Q 。   e 2 ‘   根 据此 性质 可很迅 速地 求解 2 0 1 3年 全 国 

椭圆 :   +   一l ( a>b >0 ) 的左、右 
焦 点 分别 是 F 1 、F 2 , 离 心率 为  , 过点F 1 且  垂直于 轴 的直线被椭 圆   截  线段长为1 .  

解 完 此 题, 笔者对 上文“ 解 答” 中反 映 出  

的X S =   P 和Y Q=一 言   产生了思 考 : 这  
两个 关系 式 是否表 明可 以将 原题 适 当地进 行 

( 1 ) 求椭圆  的方程;  

i 2 — 2 o  

数 学教学 

2 0 1 4 年第 1 2 期 

错 题 正解 引发 的探 究及 思考 
2 1 1 1 0 2 江苏省南京师大附 中江 宁分校 王修汤  沈保兵 





试 题 重 现 

课 本 上 这 道 题 的 解法 比较 简 单 , 方 法 多 
样, 现 仅 给 出其 中 一 种. 如 图 2 , 取BD的 中 
点 M, 连 结 M E、M F, 因 点E、F分 别是 AD、  
的 中 点 ,故  : 2   : 2   .  

江 苏 省扬 泰 南连 淮2 0 1 3 届 高 三第 三 次模  拟考试第 1 3 题: 在 平 面 四边 形 ABCD中, 点 E、   F分别是A D、BC的中点, 且 B:1 , E F= v  ̄,  

D:   , 若   . 蔚 :1 5 , 则  . 历 的值 
为—
.  


而赢 :  

+  

, . ? .   +  

:2   .  

二 、追 根 溯源 

本 题 来 源 于 苏 教版 教材[ 1 ] 必修4 第6 6 页 
第7 题, 题 目为: 如 图1 , 在任 意 四边 形 B  D  中,点E、F 分 别 是A D、B C的 中 点,求 证:  
— — — — —

÷

— — — — — — }

— — — _

 

AB + DC = 2 EF ,  

\  
、 

图2  

厂  /   1
F 

三 、学 生 答 案  试 题 的参 考 答 案 是 1 3 , 讲 评 时答 对 的 学 生  都 是 先 由课 本 题 得 到  +   :2   ,两 边 

C 

图1  

平方得 

+  

+2   .  

:4 蔚 2 , 因  

( 2 )点 P是椭 圆  上 除 长轴 端 点 外 的 任 


有惊 喜 、有顿悟 , 其 中 P、F 】 、Q、F 2 四点共 
圆 的 发 现 是 解 决 难 题 的 关 键,而 将 原 题 的   结 论 进 行 拓 展 并 用 几 何 法 证 明 则 进 一 步 揭 
示 了 问 题 的 核 心 利 用 这 个 结 论 还 可 以 得  出 △P F1 F 2 和 △ QF1 F 2 的 面积 比 , 等等.  

点, 连结 J F ) F1 、P F 2 .设 F 1 P F 2 的角 平 分 

线P M 交  的长轴于 点 M ( m, 0 ) , 求 m 的取值 
范围:  

( 3 ) 略.  
2  

解析 : 第( 1 ) 小题求得椭 圆 C的方程是  +  
Y。 = 1


另外, 笔者在解 决 问题 的过程 中真切感 受  到 解 析法 与几 何 法 的不 同魅 力.解 析 法借 助  平面直角坐标 系, 将点 、线等几何元素代数化 ,  

对 于第( 2 ) 小题, 根 据 上 述 性 质 可 
q  —   o 

知 P、M 两 点 到短 轴 的距 离 之 比 为  =   ,  

通过代数运算来研 究几何 元素间的位置关系或 
数 量关系 , 体现 了程序 性 、简洁 性等优 势; 几 
何 法 借 助 几 何 定 理 、 性质 等 来演 绎 论 证 几 何 元 

所 以m =   P , 又X p∈ ( 一 2 , 2 ) ,因此m ∈  

, , 一兰  、  

2 ’ 2 / ‘  

3 .回 顾反 思 

素 间的位 置关系或 数量 关系, 体现 了逻 辑性 、   简约 性等独特 的魅 力. 在 解题 时, 如果将 这两  种解 法有 机地 结合起 来, 让 两者 比翼双 飞, 那  么可 能会有许多意外且巧妙的收获.  

纵 观 问 题 的 解 决 过 程 ,笔 者 经 历 了 “ 学 

生 质 疑——师 生 讨 论——思 考 探 究——拓 展  延 伸” 等 阶 段 ,在 这 些 心 路 历 程 中 有 疑 虑 、  

i 2 — 2 2  

数 学教 学 

2 0 1 4 年第 1 2 期 



道 三 角题 的错解 、误解 、正解 、  

真解 、通 解 、巧解 
3 1 7 0 0 0 浙江省 临海市教研 室 徐世 白  

近 日在本 市一所高 中调研 时, 听 了一 节高  三 复 习课, 对 其 中一道 例题 的 教学 感触 颇 深,  
现将 教学片断整理如 下, 借此谈 谈 自己对数 学 
解 题 的一 些看 法 , 希 望 能起 到抛 砖 引玉 的作 用 .   1 .教 学 案例 

现一   ≤C O S  s i n  与 三 角 函数 的 有 界 性 矛 盾 ,  
4  

事 实上 是取 不 到一  的, 所 以这个 答 案是 错误 
4 

的. 同样 ,也 明确 了错 解 2的 错 误 原 因 在 于 取  不 到 这 个 值 .  
4 

侈 0 题
取值范围.  

已  ̄ H s i n O z c o s  =÷ , 求c o s O L   s i n  的  

至 此 教 师 感 到 水 到 渠 成 询 问学 生 : 现 在  你 能 求 出 正确 的取 值 范 围吗 ?   不 久 ,班 里 有 学 生 提 出,将 错 解 1 和 错  解 2综 合 起 来 取 交 集 就 得 到 解 答 ,教 师 一 边  请学生述 说, 一 边 在 黑 板 上 把 两 位 学 生 的解 答 

教 师抛 出例题后 , 请学生 思考 . 不一会 儿,   有 学 生做好 , 教师请 他在 黑板上 板书 , 结果如 
一 V:  

错解1 :   因 为s i n ( a+  )= s i n  C O S  +   C O S 血s i n l f , 由- 1 ≤s i n ( a+, 臼 ) ≤l 及s i n  C O S  
=  

进行修改, 得 出如下解法:  

解法1 : 因J J , s i n ( a+  )= s i n   O Z   C O S  +  
c 。 s  s i n   =   +c 。 s  s i n  ,s i n (  —  ) =  
s i n   a   c o s   l—c f 。 s   n   =   一c 。 s   n  ,由 




可 以得 N -i≤   +C O S   O L   s i n   ≤l , 解 得 


一  

≤C O S  s i n9 ≤   .因此 , c o s 0   s i n9 的 取 值 

范 围 是 f _   5 ,  
马上有 学生在下面议 论, 说这个解 法是错  误 的, 我用 的是另一 个公式 , 得 出的结果 也不 


1≤s i n ( a+  ) ≤1 和一1 ≤s i n ( a—  ) ≤1 得 

样, 于 是教师 也让 这位 学生上 去板 书, 得 到 

f 一 1 ≤   1 -  ̄ - C O S   O L   S i n   ≤ 1 ,   l — l ≤   一 c 。 s   s i n   ≤ l  
5  

如下解法:  

C O S   O  ̄ S i n   ≤   ,  

错解 2 : 因 为s i n ( a—   )= s i n QC O S  一   C O S  s i n  , 由一 1≤s i n ( a一  ) ≤1 )  ̄s i n O L C O S  
=  

I 一 芸 ≤ c 。 s   Q   s i n   ≤   5 ,  
取 交 集 得 C O S O  ̄ S i n   的 取 值 范 围 是 [ 一   3 ,   ] , 当  
且仅 当 +   =2   丌+   5 T (  ∈z ) 时 右 边 等 号 




可 以得 到 一1≤   一c o s   a   s i n   9≤ 1 , 解 得 



一  

≤C O S  s i n9≤   o 因此, c 0 s  s i n  的取值 

范 围是  3  
对于错解 1 和错解 2 两 种 明 显 矛 盾 的 解 

成立, 当且仅 当 ~f l= 2 k 丌一  (  ∈z ) 时, 左 
边等号成立.   对此, 很 多 学生 唏嘘 不 已, 非常兴奋, 发 现  正 确 与 错 误 之 间 原 来 如此 接 近 .  

答, 许多学生既惊讶又显得不知所措 . 于是, 教  师 引 导 说, 求取 值 范 围 问题 特 别 是 求最 值 问   题, 一定要注意 能否取 到等 号. 不久, 有 学生发 

这时, 下面有一位 同学提 出: 老师 , 我 的解  法 不一样 , 得 出 的 结 论 不 同 但 是 我 看 不 出 问 

2 0 1 4 年第 l 2 期 

数 学教 学 

i 2 ~ 2 3  

题所在 .看得 出教师 感觉有 点意外 , 于是请 学  生上来板书, 具 体如 下:   错解 3 :C O S 2 O l   s i n   =( 1 一s i n  ) ( 1一   C O S 0  ) :1 +s i n  O L C O S   一( s i n  O J +C O S 2  )=  


至此 , 教师 不失 时机地 总结, 求 取值 范 围  可 以转 化为最值 问题 , 但 要注 意检验 能否取到  最大 、最小值, 避 免不必要 的错误.  
2 .解 法 深 究 
2 . 1 .误 解 

( s i n   a +c o s  ) , 由于s i n   a +c o s   ≥0 所 
s 2   ≤ 1 7


刚c o s   a   s i n  

,  

当且仅当s i n 2   +C O S   一0 时取到等 号. 因此,  

解法 1 看似 自然, 从学 生最容 易想到 的公  式直接入手 , 通 过对两个 原本错误 的解答 取交 

c o s   m   的 取 值 范 围 是 l _  ,  I .  
刚才 还 兴 奋 不 己的 学 生 又 陷 入 了深 思.   不 久, 有 学 生 提 出 了:这 是 错 解 , 错 误 的错 因 

集后 , 得到 正确 的解答 . 但 个人 觉得 这样 的解  法偶 然性 过大, 解题 方 法没有 普适 性, 缺乏 说 
服力, 且解法 自身暗藏杀机, 很难准确求解, 没  有 多大 的教学 意义. 所 以我认 为解法 1 只 能算 
是误打误撞的 “ 误解” .  
2 . 2正 解  

在于 没有考 虑s i n 2   O Z +C O S   _ 臼 能否 取到 0 , 因为  当s i n   +C O S 2   =0 时, 应 该有 s i n   =C O S  =   0 , 但显然不满足s i n  C O S  :   3 - 1 . 所 以不等式取  不到等号, 解法错误 .  
这 时, 有 学 生举手 说, 只 要 将 上 面 解 法 稍  微 修改, 就可 以得 出正确结论, 具体解 法如下:   解法2 :C O S 2  s i n 2   : ( 1一s i n   O L ) ( 1一  

解法 2 思路 并不 自然 , 同样用 完全平 方变 
形, 两 种变 形结 果却天 差地 别, 估 计 不 少 学 生 

很难 真正体会 个 中缘 由.但 作为解题 教学, 由   学生 的错解 , 通过辨 析 修正, 找 出错误 原 因后  得到 正确 的解 答, 从这 个角度上 看解法 2 的教  学过程还 是具有一定 的教学意义 . 这种解法 不 
妨称之为 “ 正解” , 也 只 是 正 确 而 已.   2 . 3真 解  试 想 ,教 学 若 止 于 此 ,学 生 的 收 获 有 多 

C O S   ) :1 +s i n   O z C O S   一( s i n   +C O S  ) =   1 7 [ ( s i n   a-c o s # )  + 2   s i n   o L   c o s   =  9




 

( s i n O Z —C O S  ) 。 ,由( s i n   一C O S  )  ≥ 0 ,得  c 。 s   O L   S i 1 1 2   ≤T g   , 当且仅 当s i n   =c 。 s  = = =   1  
时 ,等 号 成 立 . 所 以C O S O l   s i n  的 取 值 范 围 是 

大 ?教师 自身的收获又有几何 ?于是笔者继续  思考 , 有没有更好 的解题方法 ?  
1  

面 对着这种 “ 峰 回路 转” , 学生更 加觉得奇  怪, 但 这 时 又 有 学 生 提 出 问题 , 如 果 我 用 的不  是这个 公式, 得 出的还 是不对啊 ?教师继续请  该学生叙述, 并书 写 如 下 :   错解 4 :C O S 2  s i n   =( 1一 s i n  ) ( 1一  

考虑到s i n   O L   C O S  ={ , 这说明  和   之间  
4 

存在一种 互相制约 关系, 但 上面 的解法 显然没 
有 看 出这 种 制 约 关 系 , 所 以解 题 存 在 盲 目性 和  偶 然 性 .因此 如 何 挖 掘  和  之 间 的互 相 制 约 

关系成 为关键. 联想 到两 者之间 的沟 通 关系是 
s i n ( a+ b 1= s i nO L C O S b+ C O S Q   s i n  , s i n ( a—  

C O S  ) =1 +s i n 。 O l C O S   一( s i n   O L +C O S  ) =   1 7 s i n 2   +C O S 2  ) =而 1 7 [ ( s i n   +c 。 s  )  
一 一 一

)= s i n aC O S   一C O S  s i n / 3 ,变 形 为 s i n  ?  
c。s   :  , c。s   n  :  

2 s i n  C O S  ] =   一( s i n a+c o s 3 )   ,  ̄( s i n  

+c o s  )  ≥0 , 得C O S   s i n   ≤   z o , 当且仅 当  
s i n   = ~C O S  时, 等 号成立 . 所 以C O S  s i n  的 

上  
n  



于是 原 题 变成 已知 


取 值 范 围 是 I 一   5 ,   I .  
刚说 完 , 该 同学马 上 找 到 了错误 的原 因,   既要 满足s i n O l = 一C O S  , 又 要满 足s i n  C O S  


A   7   求C ’  O S  ̄ S i n   , 一   :  


的取值范 围. 如果还不 

{是不可能的, 所以该解法错误.  

够清晰的话, 换元 , 令m=s i n (  +  ) , n =s i n( O z   ) , 原题又转 为 已知m+仡:   1 且 一1≤ m ≤  
—  



1 2 — 2 4  

数 学教学 

2 0 1 4  ̄

1 2 期 

1 , 一 1 ≤n ≤1 , 求去 ( m一礼 ) 的取值范围 . 至此,  


i +   } +   ; +   ; ≥ 2 x l Y 2 + 2 x 2 Y l =去 + 2 x 2 y 1 .  
当X 2 与Y l 同号 时 , 有0 <x 2 y 1 ≤  , 当且 仅 当 X l  
:   :  

切 豁 然 开 朗, 原 来 该 题 的 本 质 是 线 性 规 划 问 

、 / / Y 2   +- 5   X 2   Y l   - 4 - 5 - 3 时取到 ; 当X 题 , 画 出 图 像 , 不 难 求 得 取 值 范 围 是 l 一   3 ,   I .   =  =  ,   =  =   。 时 取 到 ; 当 2 与 
,   :   :   -

由于此种解法揭 示 了问题本质 , 思路 自然流畅,  
2 . 4 通 解 



 

‘ 士 

此 解 应 是 该题 的 “ 真 解” 了.  

Y l 异号时, 有一   ≤x 2 y l <0 , 当且仅 当z 1 :y 2  


“ 正 解” 虽 能 揭 示本 质, 但 往往 也 难 想 到,   有没有更符合学生思维的解题方法呢 ?继续思  考, 注意 到本题 的条件s i n O z C O S  =二 A , 可 以看 
成 是关于两个 变量 s i n  和 C O S   的 关 系 式 .考  虑 到 多 变 量 问题 的 常 用 处 理 方 法 是 消 参 , 于 是 

士 吉 ,   2 = 一 y 1 = 土  时 取 到 一   3 ; 当   2 与   1  

有 一个为 0 时( x 2 与  1 不会 同时为 0 ) , x 2 y 1 为0 ,  

综 上   2   1 即 c o s   s i n   的 取 值 范 围 是 I 一 三 ,   1 .  
继续 思考 该 问题, 由于上面采用 了基本不  等 式解 题, 所 以笔者 突发奇 想 两组平 方 和与  柯 西 不 等式 非 常 接 近, 是否 可 以用 柯 西不 等  式 解 题 ?于 是 思 考 后 又 有 了下 面 的解 法 :当 2  

有下列解法: 把s i n O L C O S   ={ 变形为s i n O L =  
4  
1  


代Xc o s  s i n  中消元, 得c o s   s i n   =  
r  一 1 

4  U 

与Y l 同号时, 由柯西不等式可得1 =(   } +  } )  
解 得一   o≤X 2 Y 1 ≤   t gx 2 Y 1> 0 , 所 以0 <x 2 y 1  


( 1 - s i n 2   a  邶 =  

4   cos

  2 1 _   2 ) ≥ (   l   2 +   2 Y 1 )   , 即 1 ≥ (   1 +   2   1 )   ,   )   =  (
≤  ; 当X 2 与  1 异号时( 不妨 设  2<0 ) , 由柯西 

( 1 -C O S 2  ) = 一c 。 s  一  
+ 2 - 1


由基 本 不 等 式 知 道 , 当且 仅 当一C O S   = 


不等式可得1= ( X i +  } ) ( ( 一 x 2 ) 。 +  i )≥  



 

即 c 。 s   = 士 壶 时 , c 。 s  s i I I 2   有 最  ( X l Y 2 - x 2 Y   , 肌≥ (   1 一  )   , 解 得 一   ≤  
X 2 与  l 有 一 个 为0 时( x 2 与! , 1 不 会 同 时 为0 ) ,  
x 2 Y l 为0 .综 上,  2 Y 1  ̄ J C O S  s i n  的 取 值 范 围 
是  3


y 1≤  , 但x 2 y l <0 , 所 以一   ≤x 2 y 1< 0 ;当  大 值   素 , 从 而   C O S O L   S   i n   的 取 值 范 围 是 [ I 一   3 ,   差 ] J . ?   x2

这 里我们根据数 学通性通法, 用消元法 化归为  基本不 等式求最 值, 最 终解题 , 思维简单 , 过程  稍繁 , 但体现通性通法 , 学生易于理解 掌握 , 此 
解 应 该是 该 题 的 “ 通解” .  
2 . 5 巧 解 




] .  

分析上 面解题 , 发 现本质是利用 基本不等 
式 解题, 于 是 继 续 寻 求 更 优 解 .考 虑 到 “ 正解”   中, 换 元 后 ,问题 更 加 清 晰 , 于 是 令s i nO z =X l ,   C O S O l =Y l , s i n   =X 2 , C O S l=Y f 2 , 则 原题 化 为 已 

考 虑 到既然 换元 后 可 以用 柯 西不 等式 解  题, 那 么 原 题 也 应 该 可 以直 接 用 基 本 不 等 式  和 柯 西 不 等式 求 解, 关 键 是要 注 意 交 叉 项 的  组合 即可 . 继 续 思考 解法 2 , 利 用 基本 不 等 式 

得  一 ( s i n 2   +c 。 s  ) ≤  

一2   s i n  c 。 s  ,  

 ̄ ] x l y 2 =  , 求x 2 Y l 的值. 由两个隐含条件  i +  

几乎可 以秒 杀该题 , 限于篇幅, 不再多说.   以上 几 种 解 法 , 相 对 于 原 来 的“ 误解” 、  
“ 正解” 、“ 真解” 、“ 通解” 而 言 ,由于 对 原 题 有 

Y } =1 ,  ; +   ;=1 , 联L  ̄ , NN的标准方程 
+Y   =l , 首 先 想 到 用 数 形 结 合 化 归 为解 析 几 何 

求解, 但是  1 Y 2 ={ 没有实际意义, 所以舍弃数 
形 结合 思想 . 又 考 虑 到 1 和  2 是 交叉 项 , 因此 考 

虑用基本不等式解题. 具体如下:由   } +  } =   1 , X ; +   ;=l 相加, 利用基本不等式得到2 =  

了更深层次 的理解, 所 以解题更加快 捷、简洁,   但 实 际解 题 中如 何 构 造 条 件 使 用 基 本 不等 式 和  柯 西不等式 是个难点, 而且三角 函数逆代也 属  于技巧性较 高的解题方法  所 以称 这几种解 法 
为“ 巧解” 应该不过分.  

2 0 1 4 年第 1 2 期 

数 学款 学 

l 2 — 2 5  

2 0 1 3 年高考江苏卷第 1 3 题 的高等数 学背景 
2 2 6 5 0 0 江 苏省如皋市教 师进修 学校 徐 道 

2 0 1 3 年全 国高考江 苏卷第 1 3 题是:  

问题与高等数学 中的曲率及 曲率圆有关 .  

在平 面 直角 坐标 系 x O y中 ,设 定 点 A( a ,   。 ) , P是函数 =  (  > 0 ) 图像上一 动点, 若点 
P、   之 间的最 短距 离 为 2   , 则满 足 条件 的  实数 a 的所有值为  有考生声称, 此题可 “ 秒 杀” : a =-1 , 3 . 这 


曲率, 刻划 曲线 在某 一点 的弯 曲程 度. 圆  
上 的 所 有 点,曲 率 均 相 同.即 可 认 为 ,圆 上 任 

点 的弯 曲程 度相 同. 圆的半径 越大 , 曲率越 

小, 反 之 曲率 越 大. 圆的 半径 趋 于无 穷, 其曲  

率 趋于零 . 直 线 的 曲率 为零 , 即直线 一点儿 也 
不“ 曲” .  

些考 生很 快便 知, 这里有 “ 陷阱” , 正确 结果应  是a =一 1 , 、 / / 1 0 . 这道题 未深入 分析 时似 乎很 简 
单, 可 “ 秒杀 ”, 稍加分析不难 发现, 要 获得 正  确 结果, 需 要 考 生 具 备 较 强 的数 学 思 维 品 质 及  较 高的运用 数学 方法 的能力.笔 者认为, 此题  的一个最显著特征是有浓厚 的高等数学背景.   若将 这 道考 题 的条件 “ P、   之 间 的最 短 

当 曲线 Y= f ( x 1 在某 一 点 的一 、二 阶导 
数均存在 时, 其 曲率 计算 公 式 为 

k :I 0 — 

( 1 +   )  I  

1 .  
1  

曲线在这一点的曲率圆的半径定义为R=÷ .  
现 在我们 来求 Y= 二(  >0 ) 的 曲率及 曲  
率 圆半 径 .  
Y  = 一  一2 Y  = 2 x一3
, ,  

距 离” 改为 、 / / 2 , 则可 “ 秒 杀” :a= 0 , 2 . 这就 产 
生 一 个 问题 : 何 时 a的 取 值 能 使 对 应 的两 个 点  关 于( 1 ,1 ) 对 称 ,何 时不 关 于 ( 1 ,1 ) 对 称 ?这 个 

3 . 解 后 反 思 

比较 以上 几种 解 题方 法 , 我们 不 难 看 出,   “ 错解” 是普 遍存在 的, 但有经验 的教师可 以通  过 纠 正错 解, 帮助 学 生得 到 正确 的解题 方 法,  

在 矫枉 过 正 的过 程 中, 提 高 学 生 的解题 能力.  
在我们 的教学 中经常存在 一些看似 “ 正解” , 实  则“ 误解” 的解题方法 , 这样 的解题 往往有很 大  的偶然 性, 也 是解题 教 学的大 忌, 导致 的原 因  
经 常 是 教 师 自身 没 有 透 彻 理 解 , 从 而 学 生 也 是 

囫囵吞枣, 所 以我们教师不应该满足 于“ 误解” ,   而应该在 “ 错解” 和“ 误解” 的基础上进一步挖掘 

题 目, 寻求 问题 的“ 正 解” .“ 真解 ” 往 往揭 示 了  
问题 的本 质, 挖 掘 出 出题 的真 正 出发点, 但 不  可 否 认, 对 很 多题而 言, 要找出“ 真 解” 是很困   难 的, 笔者人认 为找 出“ 真 解” 对于 学生来说太 

难, 但对 教师来 说, 则非 常有 必要, 可 以让 教师  对数 学的本质认识更上一层楼.我们更应该从  通 性通 法上 入手, 通过 “ 通 解” , 让 学生有 法可  依 、有 法可 用, 做 到 以不 变而应 万变 , 遇 不 同  的题 目都 能泰然 处之, 通法 解之 , 这 才 是解题  教 学之道, 因此 高三 复习 时教师 要更注重通 性  通 法.至于 “ 巧解” , 过 于强调 技巧,曲高和 寡,   学生 不 易掌握 , 教学 时如 果 “ 巧解 ” 过 多, 久 而  久 之 可 能会 伤 及 学生 的学 习兴 趣 和 自信 心 .   题 多 解 对 于 思 维 训 练 的 重 要 性 早 已达  成共 识, 并成 为数 学教 学 的学科特 点, 但 教 师  在 教学 时应注 意进行 比较, 而不是为多解 而多  解, 应 该让学 生通 过甄别 比较 各种解题方 法 的   优 劣, 优化 自己的解题思 路, 在 以后 的学习 中,  


逐 步提升 自己的解题 能力, 这 才是一题 多解 的  真 正 意 义 所在 .  

2 0 1  年第 1 2 期 

数 学麸学 

l 2 一 l 1  



道数学竞赛 附加题证法探究 
0 5 0 0 6 1   河北经贸大学数学 与统计 学院   王亚辉 
0 5 0 0 4 8 河北省石家庄学 院数 学系   王玉怀  

2 0 1 3 年浙 江 省 高 中数 学竞 赛 A卷 的 一道 
附加 题 为 :   试 题  设 a 、b 、c∈R+ , a b -b 4 . c -c 4 . a≥ 3 ,  
证 明:  

约去 5 , 然后两边 5 次方, 再开平方, 整理得 

Ⅳ ≥ T 2  ̄ ( a b  ̄ b c  ̄ c a )≥  

= 6 . . .


③ 

a   -b 4 .   +c 。 -a 4 . 3 ( 6   -C 4 .   ) -b 4 . 3 ( c 。 -a 4 .   ) - 4 .   c 。 (  . -b 4   ) ≥9 . ……………… ………… . . ( 水 )  
命题 者 提 供 的证 法 , 是将 ( 木 1 式 变 为 其 等 价  不 等 式 

( a 。 -6 4 . 。 -C 4 . 3 ) ( 0   -b 4 .   -c 4 .   ) ≥9 . ……. ①  然 后应 用幂 平均 不等 式 证 明 了① 式.本 文参 
照文献 【 1 】 的方法, 应用算术一 几何 平均 不等式 
首 先证 明 ( 木 ) 式; 而对 于 ① 式 , 给 出不 同形式  的加强, 其 证明方法也较简单 .   证(   ) 式 :构 造 五 元 均 值 不 等 式, 得a 5+  
b 0. - l+ 1+ 1≥ 5 4 a b , b  . -C 4  . - 1. 4 - 1+ 1≥ 5 4 b c ,  
C 5. -a 4 5. - 1. 4 - 1- 4 4 -1≥ 5 c a

综上, ②+③, ( 木 ) 式得证 .   下面证明 ① 式.   证法 1 :设 A = 0 3 +6 0 +c 3 , B =0   -b 4 .   -  4 . C 2 构造二元均值 不等式 ,   0 3   0 2   2 a §   十百 多   ’  


6 0   b 2  

2 6 量  

十百 
c 3   c 2   2 c  

’  

十百 岁   ’   三个不等式相加 , 得 


. 

2 ( 0  . -6 4  . -c 4 ≥ )   A   T百  — —   一 ’  
A  B
I  




 

\  

一  



,  

三个 不等式相加 , 得 

2 ( a   -b 4 .   - 4 - C   ) -9≥5 4 . ( a b -b 4 . c -c 4 . a ) ≥1 5 ,  
即 

约去 2 , 然 后 两边 平 方 , 整 理 得  J E ; ≥( 0 5 i +6   5 +  


5 ) 2 , 由幂平均不等式得 

2 ( a   -b 4 . 0 -C 4 .   ) ≥6 ,  
所 以 

A B ≥ [ 3 (  

)   ]  

a  . -b 4   - 4 - C   ≥3 .… … … … … … … … ② 

设 N =a 3 ( 6   -c 4 .   ) -b 4 . 3 ( c   -a 4 .   ) -C 4 . 3 ( n   - 4 .  
6   ) , 构造五元均值不等式, 得 
a 3 b 2   b 3 a 2   1   1   1   5 a b  

≥ [ 3   a b - 4 . b c - 4 - c a )   ]  
证法 2 :由条 件 0 6 +6 c. -c 4 a≥ 3 , 又a  . - 4  
b 。- 4 -C  ≥ a b. - b 4 c. -c 4 a ≥ 3 显然 ( 0 。. -b 4 。. - 4  


+  
b 3 c 2  

- 4 .  . - 4  . - 4   ≥丽
1   1   1   5 b c  

,  

c 3 ) ( a   -b 4 .   -C 4 .   ) ≥( a   -b 4 .   -c 4 . 2 )   是 ① 式的加 
强, 只要 能证 a 3 -b 4 . 3 -C 4 . 3≥ a  . -b 4  . -C 4  即可 .  

c 3 b 2  

+  
c 3 a2  

-石 4 . -石 4 . -石≥。 4 . 丽
l   1   1   5 c a  

,  

由均值 不等 式, 设 A=a 3 -b 4 . 3 -C 4 . 3 , 得 
n 3   n 3   1   3 a2  

a3 c 2  

十   +  ≥丽
b 3   b 3   1   3 7 ) 2  

,   ,  

]  + ]   . - 4   + 石. -石≥— 4  ̄ / 6 3 — N2 ‘  
三个不 等式相加 , 得 


+  +   ≥丽
c 3  


3 ≥5 +   ( a b -b 4 . c -c 4 . a )  


c 3  

1  

3  2  





 

? 

A+   +   ≥—  ̄ / 3 — A 2 。  

i 2 一 i 2  

数 学教 学 

2 0 1 4 年第 1 2 期 

意外 的探 究 ,更大 的收获 
2 1 5 0 0 6 江 苏省 苏州市 高新 区第一 中学   王福利 

在数学课 堂上, 学生经常会有许 多新 的问   题, 打 断老师 原定 的教学节奏.有 的老师 是把  问题 留到课后跟 学生解 释. 但是如果在课堂上  能跟 学生一起合 作探 究, 探 索解题 的思路和 方  法, 对 学生来 说会有 更大 的收 获.下面就笔 者  的一 节 向量 复 习课 作 为 案例 , 抛砖引玉.   在 向量复 习课 中, 有这样一道 填空题:   若点 ( 二 ) 为 △ B  的 重 心 f 三 角 形 三 条 中  线 的交点1 , 则O A   +o B +O C=   .   此题 不难, 如图 1 ,因 为 点 ( = ) 为 △. A   的  重心 , 所 以OA = 一 2 ( = ) D.又点 D 为 B   中点,  
+  
:  

讲解 完此题 以后 , 正准 备讲 下一道 题, 突  然有个 学生 冒出一句: 如果点 ( = ) 是三角形其他  的心, ( 二 )  、 ( 二 ) 雪、( = )   三 个 向 量 之 间又 有 什 么  关 系呢 ?学生 的 问题跟 向量有关 系, 笔 者决定 
跟 学 生一 起 来 探 究 这个 问题 .   探究一 若点 ( = ) 为 △AB   的外 心 f 三 角  形 三 边 中垂 线 的 交 点 ) , ( 二 )  、O矗、OC  三 个 向 

量之 间有何关系式成立?   师: 如图2 , 此 图 中三个 向量 0  、D 秀、   D   的关系 不是 很 明显 , 我 们怎 么找 到它们 三 
个 之 间 的等 式 关 系 呢 ?  

: 2  

: 一  

,即 

+  

+ 

D 

C 

图1  

图2  

三个不等式相加, 得  + l ≥— 3 ( a   2 +   b 2   + c  ̄
. 

约去 3 , 然后 两 边 三 次方 , 再 开平 方 , 整 理 得 

A ≥  ±  
≥a 2   4 - b 2   4 - C 2
. 

至 :  

证法 4 : 显然 ( n 0 +b 0 +c 3 ) ( a   +b   +C   ) ≥   9 +( a 一6 )  +( b —c ) 0 +( C 一0 ) 0 . ……………⑤  是 ① 式 的加强, 也就是 ( a 0 +b 3 +C 3 ) ( n 0 +b   +   C 2 )≥ 9+ 2 ( a  + b  +C 2 ) 一2 ( a b +b c +c a ) ,  
由a 6+ 6 c+ c a≥ 3 , 于 是 上述 不 等 式 可 再 加 强 

×f a 2 +b 2   4 - C 2 )  

为( 0 。 +6 0 +c 0 ) ( 0   +6 2 + c 2 ) ≥3 +2 ( a   +b 2 +c   ) ,  
再进一步加强为  。 a   +b   +C  ≥3 )  

证法 3 : 将 ① 式加强为( 0 0 +6 0 +C 3 ) ( 口 6 +   6 c +o a ) ≥9 , 或证 0 0 +b 0 +C 3 ≥3…………. ④ 
即可 .  

( n 0 +6 3 +c 0 ) ( n   +6   +c 。 ) ≥3 ( a   +6   +c   ) ,  
也 即需 证 n 0+6 3 +C 3≥ 3 .  

因为 0 0+ 6 0+ l≥ 3 a b , b 3+C 3+ 1≥  
3 b c ,C 3+ a 3+ l ≥ 3 c a .三 个 不 等 式 相 加 ,  

该 不 等 式 的证 明可 见 上 述 证 法 3 ,所  以 ⑤ 成立, 于是 ① 式得证 .  
参 考 文 献 

得2 ( a 3 +b 。 +c 。 )≥ 3 ( a b +b c +c a ) 一3 , 所 
以n 3   4 - b 3+ C 0≥ 3 .  

[ 1 】 王亚辉 . 另证一个不等式 的再推广 『 J ] .  

即④ 式成立 , 从而 ① 式得证 .  

数 学教学 , 2 o o s ( 8 ) : 3 4 .  

2 0 1 4 年第 1 2 期 

数 学教 学 

l 2 — 3  



道 习题 探 究教 学 案例 设计 
4 1 8 0 0 0   湖南省怀化市第 三中学   骆秀金 

美 国心 理 学 家 吉 尔 福 的研 究 表 明, 创 新 性 

教帅 提 I 司:此 趑 除 J , 用放缩 法证 明外, 还 

思维具有流 畅性 、变通性和独 创性 的特 点.对  已有知识 的综合运用 与创造性运用 , 表 明 了相  应思维活动具有 一定的流 畅性 、变通性和独创  性 .我 们 应 当注 重 学 生 在 学 习活 动 中 的 自主 性  和 思维发 散性的培养, 让 学生积极主动地 去探  索 问题, 大胆地提 出设想 、质 疑. 在数 学教学,   特别是复 习课 的教 学中, 教师 更要关注 让思维  焕 发活 力 的课 堂 教学 设计 理 念.不再 是 为 了   讲题 而讲题 , 更不 是为 了答案 而讲 题. 在 教 学  中 ,教 师 需 创 设 良好 的 心 理 环 境 , 让学 生想象 ,   从 想 象 中进 行 创 造 性 构 思 , 充 分 挖 掘 习题 有 益  的“ 探 究元 素” , 打破条 条框 框, 鼓 励 学生大 胆  提 问, 大胆探 索, 引导学 生提 出创造 性解 决 问   题 的方案并展 开讨论, 鼓励学 生摆脱 习惯性认  识程序 的束缚 , 以新奇 、首创的思维探索 问题.   本 案例是 笔者在 教学 《 数学选 修4 " 5 不等  式选讲 》 ( 人教A 版) 第 二讲 “ 证 明不等式 的基 本  方 法” 后 的一节 习题 课 的教 学设 计, 设 计该 课  的起 因是学生做 完该题后提 出很 多有益 的设想  与变 式 问题 .  
I .习 题 重 现 

有 其 他 的证 明方 法 吗 ?  

学生1 : 还可 以用数学归纳法证明:  

( 1 ) 当礼 =1 时, 不等式左边=1 , 右边= 2 , 不  等式成立 ;  

( 2 ) 假 设当他 :   时不等式成立, 即1 +  I+  


+ …

+  1 < 2  
? 

那 么 当n=  + l 时,  

1 +   +  + 击 + . … 一 . +  + 去 +   < 2   、 /   +  
1+  




<2  



一帕



?  

这说 明当n=   +1 时不等式也成立 .  

综合( 1 ) 、( 2 ) 可知, 对一切n   E   N  不等式 
都成 立 .  

2 . 不等 式的加强  我们 已经证 明了不等 式: 1 +   、 /+   +   2   43  


+。   <2 v  ̄( neN  ) ?能不能把这个 不等 

式 加 以强 化 呢 ? 有 两 位 同学 立 即 回答:1 +   +   十… + +   可 日 ] 能大 于关于 他的一个 

题目  ( 高 中数 学选修4 - 5 教材 P 2 9 , 习题  2 . 3 第3 题) 用放缩法证 明: 1 +   +   +… +  
x / 2   、 / 3  
1  

代 数式 , 很 有预见 性.其他 同学们也在 草稿纸  上演算起来.   学 生2 : 我可 以设计这样 的问题: 1 +   +  
、 / / 2  

÷

x / n 

<2 、   (   ∈N  ) .  
’   、  

通 过批 阅学 生的作业, 发现主要有 下列 的 
证法 :  

证 明:当n≥i N,  
1  

+  

<2   , 从 

击+ . . ‘ +  > 2 (   一   ) ?  
证 明如 下 :当礼≥1 时,   +   >2   ,  

而有 

x /扎  

<2 (   一  
1   1  

) .  
1  

所 以1 +_ _ = _+   +…+  ≥ <2 『 ( 1 — 0 ) +  
v ' 2   、 / 3   、 /   一  

(   一 1 ) + (   一   ) + . . . (   一  
不等式得证 .  

) 】 =2   .  

从 而 有   、 f n   > 2 (   一  ) ? 所 以   + 壶+ \ f ‘     去 + . . 斗   1 > 2 [ (   一 1 ) + (   一   ) + . . . +  
(  而 一   ) 】 =2 (  讯 一1 ) .这样, 得到 

1 2 一  


数 学教学 
一1 )< 1 +  

2 0 1 4 年第 1 2 期 

个 加 强 了的不 等式 :2 f 、 / / 讯


1 ) +l =2   一1 <2  

+  

+… +  

<2   、 / / 礼 . ?  

对 于这 样 一个 结论 , 学 生是 普 遍认 可 的,   符 合心理 预期, 也 符合 学生 的审美观 , 显现 了   不 等 式 的对 称 美 .有 了这 样 的 尝 试 发 现 后 , 有  些 学生迫不及待地想进行 进一步探 究, 希望 发  现未知 的“ 新 大 陆” .  
3 . 几 何 意 义 的 探 求  不等 式 的证 明 到此告 一段落, 紧接着 , 笔 

图1  

者提 出 了这样一道 思考 题: 这个 不等式有什 么  样 的几何 意义 呢 ?问题 一 出, 同学 们 既纳 闷,   又 惊讶,自言 自语道:“ 这个 问题真 刁, 还有 几  何 意义 ?”一瞬 间, 学 生的积极 性充分调 动起  来 .每 个小 组 内的 同学 都展开 了认 真 的讨 论.   在 笔 者 看 来 ,这 个 问 题 是 训 练 学 生 创 新 思 维  的绝 好 素材.抓 住 时机 , 笔 者这 样 启发 学 生:  

个实数赋于几何意义, 同学们有 怎样的想法 ?   学生 3 : 可 以赋于线段 的长度, 平面 图形的  面积, 几何体的体积, 物体的质量、重量等等.   老师: 回答得很好, 很有创 意, 那么在我们  所学的知识 中, 哪 一个知识点涉及 赋于几何意  义的数列求和 呢 ?追 问到这里 同学的眼晴一  亮, 茅 塞顿 开 露 出 了幸福 的微 笑, 齐 声 回答:   “ 定 积 分 !”学 生 共 同完成 , 证 明过 程 如 下 :  

+ 击+  + … + 赤是 几 个 实 数 的 和 , 对 每  

图2  

通 过 这 样 一 个 学 习环 节 , 学 生 不 仅 对 已学 

的定积 分知识 的几何 意义 有 了更深 刻 的理 解,   而且对该不等式赋于了生动、具体 、形象 的几 
何 意义 . 学 生 的创 新 思维 得 到 了极 大 的发 展 .   4 .问题 的拓 展 探 究  通 过 对 不 等 式 的几 何 意 义 的探 求 , 同学 们 

找到 了证 明该不等式 的一种 新方 法, 创新思维  得到 了有 效训练.根 据此证法 , 还能得 到哪些  类似 的不等式 呢?  
学 生4 :刚 才 通 过 不 等 式 几 何 意义 的 探 求 ,  

设函数. 厂 (   ) =  

(  >0 ) , 其 图像如图1 所 

示. 因 函数. 厂 (   ) 在( 0 , +。 。 ) 上 是 向下 凸 的, 一  方面 , 在 区间【 k , k+ 1 ] ( k= 1 , 2 , … , n ) 上 的所 
有 小 矩 形 的面 积 之 和 大 于 曲边 梯 形 的面 积,  

我 发现, 只 要改变 被积 函数, 会得 到 一系列类  似 的不等式.  

即 1 +   +   + …+   >J 厂   d z :   x / 2   x / 3   、 / 礼     、 / X  
2 x   :2 ( 丽 一1 ) ;  
+ …

例如: 设函数t 厂  ) =  (  >0 ) , 则1 +   1 +  

+ 



/   d x = l n x   1   = I n ( 扎 +   ) ,  
< l+



另 一 方 面, 如 图2 , 在 区 间f k , k+ 1 1 ( k=   1 , 2 , … , n一 1 ) 上 的 所 有 小 矩 形 的面 积 之 和 小 

1 1 1 +   +  4 -? ? ?+  


+   +  一 ‘ + 一 <   + . / 。   ~ X d   = =   l +  
+ 二 < 1+I nn( 礼≥ 2 ) .  

于曲边梯形的面积, 即   +   +… +÷ <  
、 / 2   x / 3   、 / n  

I n x I 1 — 1 + l n   n ?  ̄l n ( n - 4 - 1 ) < 1 + 主 + 言 +  


√、 /   /   d   : 2 x   I 1   : 2 (  一 1 ) .  
所 以1+  1 +  1 +




如 果设 函数, (   )=  1 (  >。 ) 同 理 可 


+ 

<2 (   一  

得 

2 0 1 4 年第 1 2 期 

数 学教 学 

1 2 - 5  

数 学教 学 中学生联 想 能 力的培养 
2 2 5 0 0 9 江 苏省邗 江 中学   袁 昌华 

发 展数 学思 维 能力是 中学 数 学教 学 的一  项基 本任务, 联想作 为产生直觉和 形成猜想 的  基本 思维 活动之一, 与其他数学活 动密切相关,   大到重大数学 问题的解 决、数学定理 的发现和  推 广, 小 到 中学 数 学 解 题 的 奇 思 妙 想 都 是 以  联 想 为 先 导 .前 苏联 心 理 学家 克鲁 捷 茨 基 认 为 :   数 学 能 力 就 是 用 数 学 材 料 去 形 成概 括 的 、简 短  的、灵活可逆 的数 学联想 能力【 1 J _ 本 文结合数  学联想 的特点, 对 联想 能力 的培养作一些探讨.   数学联想思维 的特点  联 想是将 研 究对 象 的特 点与 个体 自身 的  


种 自觉 的、有 目的的想 象. 数 学联想是指通 过  感知 问题情境, 唤起贮 存在记忆 中的相关材料,   加工形成 新 的联想, 从而为 数学 问题 的解 决创  造 灵感. 数 学联想思维具有 以下特 点:  
1 .非逻 辑 性 

逻 辑 思维往 往都 是按某种 顺序 进行 推理,   而联 想 思维 是在 充分 调动 记忆 中存 储 的信 息  后, 灵 感火花 的瞬 间进 发, 有 时候连一 点来 龙  去脉都 说不清. 但恰是这一特 点帮助学 生从 一  时找不 到逻辑起 点的困境 中走 出来 , 多角度 的 
研 究 数 学 问题 .  



知 识经验联系起 来进行想象 的思维方 式, 是一 

兰 [  
<  ( 3 河

贺, 该 同学探 究成 功 的喜 悦溢 于言表 . 生 态  一   ] <   +   1 + 丽 1 + . . . +  祝 课 堂,自然 清新 , 同学们 成功 地把这 个 问题 进 

_1 ) ( n  

.  


如果设函数 . 厂 (   ) =   1(  >0 ) 其 中  >0  
且  ≠ 1 , 可 得 更 一 般 的不 等 式 :  

] <1 +   1+   1+ 1  [ ( 竹 +1 ) 1 - a 1 丁 二
_



+ 

去< 1 +   1 (   1 ) ( n ≥ 2 ) .  
证明:  +   1+  1+




去 > / r  d   =  
< 1+

1  


l _ a I   州 =   [ ( 礼 +   ) l - a _ 1 ] ,  
1 1 + … +  + 
na

行 了一 次有深度 的拓展, 创 新思维 能力得 到进  步提升.   在数 学课 堂教 学 中, 教 师要用 好教 材, 善  于利用 教材 上 提供 的例 题 、习题 、阅读材 料  等 素材, 从知识 的发生过程和 学生的认知过程  出发精 心设计教学活动, 通过教师 “ 暗中相助” ,   让 学 生 自主 地 参 与 到 学 习 中 来 , 把 课 堂 还 给 学  生, 让 课 堂 成 为 绿 色 的生 态 课 堂 .通 过 学 生 大  胆 地 体 验 和 发 现 、探 究 , 使 得 学 生 学 习更 有 深  度和广 度. 只有 这样 , 创新 思维 能力 的培养才  会有肥沃 的土壤 , 课堂才会如此精彩 .   参 考 文献 


1   +  1+  1  

+  +  + … + 一 <   + /   r   d   一  
x l _ a l   = 1 +   1( 佗 1 ~ 一 1 ) .  

『 1 1 华东 师范 大学 数学 系. 数 学分 析 [ M] .   北京: 高等教育 出版社 , 1 9 9 1 .   『 2 1 曹瑞彬 . 高中数学本真 教学: 课堂 生态 

的理性重构  . 中学数学教学参考: 2 0 1 3 ( 1 1 ) :  
2 5 —2 7 .  

f 3 ] 朱瑞晨 . 一道 数列不等式证 明的放缩方  完成探 究后, 全班 同学报 以热烈 掌声 以示 

法  . 中学数学教学参考: 2 0 1 3 ( 1 2 ) : 4 0 - 4 1 .  

i 2 一 i 2  

数 学教 学 

2 0 1 4 年第 1 2 期 

意外 的探 究 ,更大 的收获 
2 1 5 0 0 6 江 苏省 苏州市 高新 区第一 中学   王福利 

在数学课 堂上, 学生经常会有许 多新 的问   题, 打 断老师 原定 的教学节奏.有 的老师 是把  问题 留到课后跟 学生解 释. 但是如果在课堂上  能跟 学生一起合 作探 究, 探 索解题 的思路和 方  法, 对 学生来 说会有 更大 的收 获.下面就笔 者  的一 节 向量 复 习课 作 为 案例 , 抛砖引玉.   在 向量复 习课 中, 有这样一道 填空题:   若点 ( 二 ) 为 △ B  的 重 心 f 三 角 形 三 条 中  线 的交点1 , 则O A   +o B +O C=   .   此题 不难, 如图 1 ,因 为 点 ( = ) 为 △. A   的  重心 , 所 以OA = 一 2 ( = ) D.又点 D 为 B   中点,  
+  
:  

讲解 完此题 以后 , 正准 备讲 下一道 题, 突  然有个 学生 冒出一句: 如果点 ( = ) 是三角形其他  的心, ( 二 )  、 ( 二 ) 雪、( = )   三 个 向 量 之 间又 有 什 么  关 系呢 ?学生 的 问题跟 向量有关 系, 笔 者决定 
跟 学 生一 起 来 探 究 这个 问题 .   探究一 若点 ( = ) 为 △AB   的外 心 f 三 角  形 三 边 中垂 线 的 交 点 ) , ( 二 )  、O矗、OC  三 个 向 

量之 间有何关系式成立?   师: 如图2 , 此 图 中三个 向量 0  、D 秀、   D   的关系 不是 很 明显 , 我 们怎 么找 到它们 三 
个 之 间 的等 式 关 系 呢 ?  

: 2  

: 一  

,即 

+  

+ 

D 

C 

图1  

图2  

三个不等式相加, 得  + l ≥— 3 ( a   2 +   b 2   + c  ̄
. 

约去 3 , 然后 两 边 三 次方 , 再 开平 方 , 整 理 得 

A ≥  ±  
≥a 2   4 - b 2   4 - C 2
. 

至 :  

证法 4 : 显然 ( n 0 +b 0 +c 3 ) ( a   +b   +C   ) ≥   9 +( a 一6 )  +( b —c ) 0 +( C 一0 ) 0 . ……………⑤  是 ① 式 的加强, 也就是 ( a 0 +b 3 +C 3 ) ( n 0 +b   +   C 2 )≥ 9+ 2 ( a  + b  +C 2 ) 一2 ( a b +b c +c a ) ,  
由a 6+ 6 c+ c a≥ 3 , 于 是 上述 不 等 式 可 再 加 强 

×f a 2 +b 2   4 - C 2 )  

为( 0 。 +6 0 +c 0 ) ( 0   +6 2 + c 2 ) ≥3 +2 ( a   +b 2 +c   ) ,  
再进一步加强为  。 a   +b   +C  ≥3 )  

证法 3 : 将 ① 式加强为( 0 0 +6 0 +C 3 ) ( 口 6 +   6 c +o a ) ≥9 , 或证 0 0 +b 0 +C 3 ≥3…………. ④ 
即可 .  

( n 0 +6 3 +c 0 ) ( n   +6   +c 。 ) ≥3 ( a   +6   +c   ) ,  
也 即需 证 n 0+6 3 +C 3≥ 3 .  

因为 0 0+ 6 0+ l≥ 3 a b , b 3+C 3+ 1≥  
3 b c ,C 3+ a 3+ l ≥ 3 c a .三 个 不 等 式 相 加 ,  

该 不 等 式 的证 明可 见 上 述 证 法 3 ,所  以 ⑤ 成立, 于是 ① 式得证 .  
参 考 文 献 

得2 ( a 3 +b 。 +c 。 )≥ 3 ( a b +b c +c a ) 一3 , 所 
以n 3   4 - b 3+ C 0≥ 3 .  

[ 1 】 王亚辉 . 另证一个不等式 的再推广 『 J ] .  

即④ 式成立 , 从而 ① 式得证 .  

数 学教学 , 2 o o s ( 8 ) : 3 4 .  

2 0 1 4 年第 1 2 期 

数 学 教 学 

1 2 - 1 3  

生 甲: 可不 可 以用待定系数法 呢?由平面  向量基 本定 理可知 , 存在 X 、Y∈R, 使D  =   ( = )  +  《 二 )  , 然后想办法求 出系数 X 、Y即可.   师: 甲同学 的想法很好 . 三角形 是 已知 的,   也 就 是三 条 边 a 、b 、C 和三 个 角  、   、   是  已知 的, 系数 、Y 会不会与三角形的边角有关  系 呢?   生 乙:可 以在 等 式两 边 同乘 以一 个 向量,   利 用 向量 的数 量积 可 以转 化 为 向量 的模 与 夹  角, 再找到模 、夹角与三角形的边、角的关系.  
由( 二 ) A =x OB + y OC, 可 得  OA . OB = z OBz +y OC ? 0B, ………? ? ① 


图3  

综上, 结 论成 立 .  

、  

师: 补 充得 很 好, 考虑 问题要 全面 , 要把  们 得 到 一 个 结 论:若 点 D为 △A B  的外心,  
则s i n2 A. OA+s i n2 B. DB+s i n2 C. 0C = 0.  

o d:  
——— ———  

. o d+  

我  2 . … …. ②  每种 情 况 都 证 明.在 三 位 同学 的合 作 下,

由①得 l O A 【 . I o 雪 I . c o s   Z A O B=x l O B i   I   I  
— — — — — — —



+y l OCf . I OBi ? C O S   Z B OC,  
O A = OB = O C ,  


( 二 ) B =2 C ,ZB OC 

接下来笔者把 同学们分成两组, 一组 同学 

2 A, 所 以上式可化 简为 
C O S2 C =  + YC O S 2 A. ………… …………?  

探 究若 点 O为 △  B   的 内心 时, 0  、( 二 ) 雪、  
0   三个 向量 之 间 有何 关 系 式成 立 ?另 一组  同学 探 究 若 点 0为 △ BC的垂 心 时,( 二 )  、   ( 二 ) J E } 、   三个 向量之 间有何关系式成立 ?  

同理 由② 可得 
C O S   2 B : XC O S   2 A+Y . ……… ……………?  

由⑧ 、④ 得  : — c o s 2 — C   -c o   s   2 A 广 c o — s   2 B=  

第 一 组 同 学 得 到 的 结 论 是: 若 点 O为 

c o s ( 2 A+2 B1 一C O S 2 AC O S 2 B  
同理 解 得  = 一   s i n   2   C  所 以  =一   一  

s i n 2 B  

AA BC的 内心 ( 三 角 形三 条 内角平 分 线 的交 
点1 , 则 a. 0A   +b. 0B  + C. 0C : 0   .   证 明:如 图4 ,圆 《 二 ) 与 三 边 分 别 相 切 于 

,  

点 D、E、F,O  、( = ) B、( 二 )  分 别 与 圆 0相  交于 点 P、Q、日, 故圆 O即为 APQ H 的外接 
圆, 即 点 D 为 △J F ) Q日 的外 心 .  

即s i n2 A. OA+s i n2 B. OB+s i n2 C. OC =  

0. ……………………………………………? ?   ……( ( 木 )  
… … … … … … … … … … … … … . o  o . … . .


师: 非 常 好 !这 个 推 导过 程 用 到 了 刚 刚 复  习过 的 向量 的 数 量 积 , 同 时 充 分 利 用 圆 的性 质 ,  

得 到 了结 论 !但 是 对这 个 过程 有没 有要 补 充 
的?  

生 丙: 黑板 上 的 图形 是个 锐角三 角形 , 还 

要考虑直角和钝角三角形这两种情形.   ( 1 ) 当三角形为直角三 角形, 假设 A=9 0 。 ,   则外心点 ( 二 ) 为 BC 中点 , 即( 二 ) 百 = 一OC, 而 且  s i n2 A=0 , s i n2 B =s i n2 C, 所 以f 木 ) 式 一 定 成 
立.  

C 

f 2 ) 若 AA BC为 钝 角 三 角 形,如 图 3 .  
《 = ) A = 0B = 0C.   A 0B : 2  ,   B O C = 

图4  

3 6 0 。 一2 A , ③ 、④ 式 仍然 成立, 所以( 丰 ) 式仍  然 成立.  

由 探 究 一 可 知, s i n   2 ZQPH .   +   s i n 2 Z PQH.   +s i n 2  P 日Q.   :- 0 . ÷ ( 料)  


l 2 — 1  

数 学教学 
s i n   ? C O S   A  t a n   C 

2 0 1 4 年第 1 2 期 
t a nA ’  
.  

因为点 O是 △AB   的 内心 , 即 AO、BO、   ( 二 )   为 角 平 分 线 ,所 以 Z BOC =  7 V+ 百 A 故 


s i nA . C O S C 

同 理 可 得  : 一. t   a n   B
t a n   B  - - -   +
一 _


s i n 2 A Q P H? O — _ P=s _ ÷ i n Z B O C - O — _ P=s - ÷   i n ( /  + 7 r    

所 以 

:  

t a i l   C  - - -   +
_


A ) .  : c 。 s   A .  .  
在直角 AOA F中,  

c。 s  

t a nA 

t an A 

即 

t a nA . OA +t a nB . OB + t a nC . 0C = 0   .  
—A O A




.   = c。s  
.   .

( 2 )若 AABC为 钝 角 三 角 形 ,不 妨 设 A 
. 

CO S  

为钝角, 如图6 .   由平 面 向量 基 本 定 理 可 知 , 存 在 、   ∈   R, 使D   =X ( = ) 百+  ( 二 )  , 得 
OA ? A C = Y? OC ? AC.  

?

o A - C O S   A . S i n   A .  = 三 s i n   .  .  
同理 可得 

s i n 2 Z P Q H? O Q=三 s i n B? O B,  
s i n   2 Z PHQ? OH =  s i n   C? O C.  

C O S   0 C A.  

1  l ? l  I . C 。 s   A D A C = y   O - d l ? 【  1 .  
i O A I ? C O S Z O A F=Y ? l o c l ? C O S Z O C A ,  
即 AF = = = Y? FC,  

所以 ( 木 术 ) 式 即为  1   s i n   A
1  

. 

i n   B .   +  s

1  

+ 

s i n   C.  

:   , 再 由正 弦 定 理 可 得 

所 以   = 篙=  
C ? ( 一C O S A )  
a. c o s   C 

=  
t a n   C  t a n   A 

a. 0A + b. 0B + C. OC = 0   .  

s i n C? C O S A  
s i n   A. C O S   C 
. 

第 二 组 的 同 学 得 到 的 结 论 是 :若 点 0 为 

斜 AABC的 垂心 ( 三 角 形 三条 高 的交 点) , 则 
t a n   A.   +t a n   B .   +t a n   .   :  .  

同理  = 一 丽 t a n   B
所 以  =一   一   tan 
即 

证 明:( 1 ) 若 AA BC为锐 角三 角形 , 点0  
在 AABC 的 内部 , 如图5 .  

t an A  

A 



t a n A.   + t a n B.   + t a n C. o d:  ,  
D 

C 

D 

C 

图5  

图6  

由平 面 向量基 本 定 理可 知 , 存 在 , Y∈R,  

综上, 结 论成 立 .  

使( = )  =  ( = ) 矗+  ( = )  , 得 

今天 的课堂任务虽然 没有完成 , 但 是 收 获 

O A? A C = Y? O C? A C , f O AI ? l A C l ?   到 了三个结论, 有成功 的喜 悦; 其 次, 在探 究的  过程 当 中, 我们也 复习 向量基本 定理、 向量 的  ( 一 C O S   Z O A C ) :Y   l o c I . 1 A C I ? C O S   Z O C A ,  
即一  E = Y? CE,  

却 很大 !首先 , 学 生们通 过 自己的努 力探究得 

所 以  = 一   AE
= 一

A B   ̄ c o s     A
  =  

数量积 、圆的性质 、三角 函数等知识 点, 这个  可能 比单纯 复习知识 的效果 要好, 因为这是在  运 用 中 掌握 的知 识 .  

l 2 — 8  

数 学教 学 

2 0 1 4 年第 l 2 期 

由一道 全 国 高 中数 学联 赛试 题 引 出的  圆锥 曲线 统 一性 质 
2 2 6 1 0 0   江苏省海 门中学  石  鑫 

文f 1 ] 研究 了 2 0 1 1 年全 国高 中数学联赛 安 

要过无 穷远 处 的顶 点 ( B) 和 点  作直线, 只要 

徽赛区初赛试卷第1 2 题: 设点A( 一 1 , 0 ) , B( 1 ,   0 ) , c( 2 , 0 ) , D在 双 曲线 。 一Y  :1 的左 支上 ,  
D ≠ A, 直 线 CD 交 双 曲线 2 一   =l 的 右 支 

过点 E作对称轴 的平行线即可 【 2 j . 于是有 :   结论 3 如 图 1 , 0是抛物线 Y 2 =2 p x ( p >  
0 ) 的顶 点,  ( m, 0 1 ( m ≠0 ) , D是抛物线上任意  点, D ≠( 二 ) , 直线 D 交抛物 线 于另 一 点  ,   则 过 点  平 行 于  轴 的 直 线 与 直 线 0D 交 


于点 E  求 证:直 线 A D 与 BE的交 点 P在直 
线  =   得 出 了双 曲线 和 椭 圆 的如 下 结 论 :  

点 P的轨 迹 在 一 条 平 行 于 Y 轴 的定 直 线 X=  


m 上 
’  

结 论 1 设 点 ( 一 a , 0 ) ,B( a , 0 ) , C( m, 0 )  
( m≠0 ) , J [ ) 是双 曲线  x - 一   b 2  1 ( 。 >0 , 6 >0 ) 的 
左 支上任 意一 点, D ≠A , 直线 D交 双 曲线 
一  

P 

E  



1 的右 支于 点 E, 则直线 A D与 BE  
D 



 

r 

的 交 点 尸 的轨 迹 在 一 条 平 行 于 Y 轴 的 定 直 
线  :   上.  

结 论 2 设 点  ( 一 a , 0 ) , B( a , 0 ) , C( m, 0 )   ( m≠0 ) , D是椭圆  x十   y -= l ( a>b >0 ) 上任 
意一点, D ≠A, D ≠B, 直线 C D 交椭 圆  +  
2  
口-

图1  

. r

2  

. 2  

证 明: 直 线 CD 的方 程 为   =£   +m, 并 

设D( X l , y 1 ) ,E( x 2 ,   2 ) ,P( x o , y o ) ,由方程 组 

U一  



0  

1 于 另 一 点  , 则 直 线 AD 与 BE 的 交 点 
2  

{ y   2 : =   2 p + x  ̄ m , 消 去 z , 得   2 — 2 p r y - 2 p m = 0 ,  
所 以Y l Y 2= 一2 p m.  

P的轨迹 在一条平行于 Y 轴 的定直线 X =   上.   文f 1 ] 还 得 出结 论 1 和 结论 2 的逆 命 题 也  是成立的.   那 么抛物 线是 否有类 似 的结论 呢 ?文 …  未作探 究, 最近 笔者研 究 发现, 双 曲线和 椭 圆  的上述结论 不仅可 以延伸 到抛 物线, 而且可 以  推广到一般 的圆锥 曲线, 从而得 出圆锥 曲线 的  个统一性质, 成文如下.   结论延伸 


直 线 OD 的方程为 Y =  

, 令Y =Y 2 , 得 
— —

2 pm) 点 P横坐 标 0 :   丝 :— X l   Y l — Y 2: — x l   ( -  

=一 m,所 以 过 点 E平 行 于 X 轴 的直 线 与 直  线 OD交 点 P的轨 迹 为 一 条 平 行 于 Y 轴 的定 
直 线  = 一m.  

结论 3 的逆命题也是成立的 f 略) .  

文『 3 ] 把 点 C( m, 0 ) 、直线 f :  =   称为  
椭圆  X 2 +   y 2 1 ( 。>b >0 ) 和双 曲线  X 2

一  





y2  

对于抛物 线而言 , 一个定 点 (  ) 就是坐标  原点 ( = ) ,另 一顶 点 ( B) 在对称轴 的正无穷远处,  



l ( a >0 , b >0 ) 的类焦 点、类 准线 ( 椭 圆中 0 <  

2 0 1 4 年第 1 2 期 

数 学教 学 
f  

1 2 — 9  

l 仇1 <a , 双 曲线 中 l ml >n ) ; 点  ( m, 0 ) 、直线  z :  =一 m( m>0 ) 称 为抛物线 Y   :2 p x( P >0 )  
的类焦 点 、类 准 线. 则结 论 1 、2 、3 可统 一概 
括 为 圆锥 曲线 的一 个 性 质 :  

7  

I  
口  

定理1   在 横 向 的 标 准 圆 锥 曲线 中,   、   B是 它 的两个顶 点,己知 定点 C和 定直 线 f 是 


图2  

对类焦 点和类 准线 , D是 圆锥 曲线上 任意一 
点  , 则直线 A D 与 BE的交 点 P的轨迹 在 
定理 1的逆 定 理 也是 成 立 的 , 即:  

当  、B、D、   中有 一 个 在 轴 时,即  为定 理 1 的 情 形 ,故 以下 推 证 均 假 设 c o s   厂 v  

点, D ≠A, D ≠B, 直 线 CD 与 圆锥 曲线 交 于 另 


c o s   3   " C O S  

≠0 .  

直线 2 上.  

由  、   、P 1 共线 , 得 

定 理 2 在 横 向 的 标 准 圆 锥 曲线 中,   、  
B 是 它 的 两 个 顶 点 ,已知 定 点  和 定 直 线 f 是 


(   1 - 6 s i n   ) ( n c 。 s 7 一 。 c 。 s   ) 一 (   a 2 一  
。 c。s  

) ( 6 s i n 7 一 b s i n a ) = 0 ,  
c o s   =啪 ms i n   +砌 c 。 s  

对类焦 点和类 准线 , D、E 是 圆锥 曲线 上 异 

于  、B 的 两 点 ,若 D  与 BE 的 交 点 P 在 2  

上, 则直线 DE恒过定点 C.   评 注 : 当 曲线 是 抛物 线 时, 它 的一个 顶  点  即坐标原点, 另一个顶 点 B在 开 口无 限远  的地方 , 此 时直线 BE即为过 点  平行 于对称 
轴 的直 线 .  
一  

‘  .


?

’  
? ?

二 、统 一 推 广  注 意到 结论 1 和 结 论 2中 的 顶 点 弦 AB和 

6 ( n —m ) c 。 s 詈 c 。 s  一6 ( 仇+。   s i 1 n   詈 s i l n   : = = 一   y l m [ ,   c 。 o s   詈 s 1 i n   + s l i n   詈 c 。 o s   ) / l ,  
. 。
?

6 ( m+n ) t a n  t a n   +b ( m— n )  




= = : —

 

an   l  t   :



,  

弦 DE都 过 同一 点 C, 如果将 顶 点弦 AB一般  化, 拓广为 “ 过 点  的弦 A B ” , 结论是否仍然成 



a  n t  

I  

立呢 ?对 这个 问题 的探究, 我们发现 了椭 圆和  双 曲线 的 一 个 更 一 般 结 论 , 而 且 该 结 论 仍 然 可 
以延 伸 到 抛 物 线 , 于 是 得 到 圆锥 曲线 的如 下 统 


腿  = = b ( m + 。 ) t a n 鲁 t a n   + b ( m 一 。 )  
同 理  . 一
—  

荸 

’  



性质:  

?

叫 r  

: : :—

 

定 理 3 在横 向的标 准 圆锥 曲线 中, 已知  定 点  和定 直线 f 是 一对类 焦 点和类 准线 , 过  定 点 C作 圆锥 曲线 的两 条 弦 A B、DE, 则 直  线A D与 BE的交点 P的轨 迹在直线 f 上.  
, v

b ( m + 。 ) t a n 譬 t 姐 罢 + 6 ( m 一 。 )  

2  

口 , 2  
一 一

证 明: 如图 2 , 不妨 设椭 圆方 程  + 
a 


D  

l ( a> b> 0 ) , A( a C O S O L , b s i n  ) , B( a C O S  ,   b s i n  ) , D( a C O S 7 , b s i n  ) , E( a C O S  , b s i n  ) ,   ( 0 ≤O z <7 <  <  <2 丌 ) ,  ( m{ 0 ) , ( 0 <f T t <0 ) ,  
2 : X =   , P( x o ,  0 ) , 设直 线 A D、BE分 别与 



  ’

( t a n 鲁 + t a n 鲁 )   ’   6 (   + 。 ) t a n 詈 t a n 鲁 ( t a n   一 t a n   )   t ( t a n 詈 + t a n  a n   + t a n 鲁 )   6 (   + 。 ) t a n   t a n 鲁 ( t a n 詈 一 t a n 鲁 )   t ( t a n 詈 + t a n   ) ( t a n 鲁 + t a n   )  


直 线 f 交 于 P 1 ( / 一 a 2 ,   1 、 ) , P 2 ( , 一 a 2 ,   2   , 即 证  
与  重 合 于 点 P.  

+  ( t a n 詈 + t a n   ) ( t a n   + t a n   )  … ①  

i 2 一 l o  
又 A、B、C共 线 , 即  与 

数 学 教 学 
共 线 

2 0 1 4 年第 1 2 期 

D、E 、C共 线,即5 - 5与   共线  

b s i n  ( n C O S   —m) 一b s i n  ( n C O S O d —m) =0 ,   s i   =   n a- -s i n  )   c o s  

(   一 m )   一 ( 笨 一 m )  0  剃 4 =  
一2 pr o.  
n  

= -   C O S   ( m  c 。 s 量 c 。 s 鲁 = ( m +   又 直 线   D 的 方 程 为 ( Y l - Y 3 ) (   一  ) 一   。 ) s i n  譬  t a n 詈 t a n 鲁 =   m - a ,   ( 堕 2 p 一 凳 ) (   I 饥 ) _ 0 j 即   2 p x 一   } ) 一(   1 +  ) (   一Y 1 ) =   0 , … …  ②  同 理 ,   , E ,   共 线  t a n   t a n 鲁 =   (



- a




则 ① 





,  

+ 

b ( m  [  ( t a n   一 t a n 鲁 + t a n  a n 鲁 ) ]   ( t a n 詈 + t a n   ) ( t a n 鲁 + t a n 兰 )   b ( m 一 。 ) ( t a n   + t a n 兰 - t a n 詈 一 t a n   )   ( t a n 詈 + t a n   ) ( t a n 鲁 + t a n   )  





直 线 B E 的 方 程 为 (   z - v 4 ) (   一 豸 ) 一 ( 豸 一  
) (   一 y 2 ) : 0 , 即  
( 2 p x 一   ; ) 一 ( Y 2 q - Y 4 ) ( Y — Y 2 ) -0 , … … … ? ? ③ 
联立 ② 、③ 解得点 P 的横坐标:  
1   Y1   Y2  4 + B2 Y3  4一 1  2  3一 1   Y3 Y4  
蜘 = = =   。— —  

1 -2 p ay r 4— 2 pr ay 2 +2 pr ay 3+ 2 p a y1 r  



Y 1= Y 2 ,即 PI 与P 2 重 合 于 点 P, 所 以 

印 
= = = 一 _ , , 0 -  

2 +  一  1 一   3  

点 P在 直 线 l 上,即 A D 与 BE的 交 点 P的 轨 
迹在直线 f :   :   上.  

即 AD 与 BE 的 交 点 P 的 轨 迹 在 直 线 f:   =  


m上 .  

双 曲线情 形 的证 明方法与椭 圆类似 , 不赘 

综上 , 定 理 3成 立 .  

述  下面就抛物线情形给 出定理 3 的证 明:   证 明: 不妨设抛物线方程 y 2 = - 2 p x ( p >0 ) ,  

可 以证 明定 理 3的逆 命 题 也 是 成 立 的, 即:  

定理 4 在横 向的标准 圆锥 曲线 中,已知  定 点  和定 直线 Z 是 一对 类焦 点和 类准 线, 尸  
是 圆 锥 曲 线 上 异 于  、J E } 的 两 点 ,若 DA与 

c ( m , o ) ( 仇 > 0 ) , z :  = 一 仇 , 设   (   ,   ) ,   是f 上一 点, AB是 经 过 点  的一条 弦, D、  

B ( 鬈 ,   ) , D ( 豸 ,   。 ) , E (   ,   4 ) , (  
Y 4 互不相等) .  

E交 点 P在 Z 上 , 则 直 线 DE 恒 过 定 点  .  

f 证 明留给读者)  
参考文献 

则  = (  一  ) ,  = ( 筹 一  


【 1 1 吴成强 . 一道 竞赛题 的探 究与思考  .  
2 ] 宋广志 , 邢友宝. 抛物 线的另一 “ 顶 点”  

2 0 1 2 ( 2 ) : 5 9 — 6 1 .   ) ,   = ( 豸一  s ) ,  = ( 丝 2 p —   中学数学教学,
由A、B、c共线, 即  与  共线 

m,  4   1 .  

与“ 焦 点” .数 学通 讯( 下 半 月) , 2 0 1 0 ( 1 0 ) :2 4 —  
25 .  

f 3 1 邹生书. 圆锥 曲线 极 点 与 极 线 的 一 组性  ( 豸 一 m )  ( 笨 一 m ) 一0  灿 z =  质 - J ] . 中学数学教学, 2 0 1 0 ( 4 ) : 2 2 — 2 4 .  

2 0 1 4 年第 1 2 期 

数 学教 学 

l 2 一 l 5  

《 数 学教 学  几道 数 学 问题 的探 源 


兼谈 “ 数 学 问题 与 解 答 ” 栏 的研 究性 学 习  
5 1 0 5 3 0 广东省广州市第二 中学 程 汉波 

作为 《 数学教学》 一个备受关注 的栏 目, 双  月刊精选适合 中学师生 的有趣、新颖、深 浅适  度且 富有 启发性 的 5 道 数学 问题, 供读 者思考  探究, 多年 来它 已成 为启迪思 维、开发智力 的  小智囊 , 也 为 初 等 数 学研 究 提 供 了一 些 很 好 的 
素材.  

为0 时, 令  :  ,  :  ,  : 一 a 则原不等式转 


a 

D  

c  

化为 以下第 4 9 届I MO试题 :  

题源 1 ( 第4 9  ̄I M0 试 题) 设 实数 X 、 Y 、  
都 不等 于 1 , 且x y z= 1 , 求证 :  

每 当拿 到 新一 期 的 《 数 学教 学 》 杂 志, 笔 

(  ) 。 + (  ) 。 + (  )  
上题可采 用整体代换法 , 自然 地尝试迁移  至数学 问题 8 4 4 , 得到如下简单证法 .  
珊 设  =  0 ,   = 


者 总是忍不住翻 到 “ 数学 问题与解答” 栏 目, 对 
数 学 问题 ( 双 月 刊) 与解 答 ( 单 月 刊) 进 行 一番  探究. 坚 持对每道题 目进行独立 思考 、背 景探  源 、合 理推广 等多角度 的研 究性学 习, 回顾这  段对 问题不 断 挖掘 、剖 析 、反 思和 打磨 的经  历, 解题 、研题 与评 题能力均 得到 了有效 的锻  炼, 深感获益匪浅. 在这个过程 中, 笔者也发现  某 些 问题 其 实是 由以往 的经 典试题 改 编而来 ,   某些 问题 有较 提供 的答 案更 简洁 易懂 的解法 ,   某些 问题能够进 行合理 的推广, 现 以几道 不等 

D  

D— C  

C 一 

a,  

则 詈 D   =   X 一 上   , C 皇 =   一   1 , a 三 =   z 一 l   , 由 于 1 =  
a  o   c  


x 

z 

b   C — a  

。  

’  

料  

z x= x+ Y+Z一 1 , 所 以 

研 a 2+ 十   = _   + 十   南 = _     = =   十   十  


式题 目为例 , 将 笔记 组织 整理 成文, 与读者 一 
起分享.  

( X+Y +  )  一2 ( x y +y z +Z X ) 一( X+Y+  
)   —2 (  +Y+  ) +2: f X+! , +  一1 ) 2 +1≥ 1 ,  

例1  f 数 学 问题 8 4 4 ) 设a 、b 、c 是三个互 
不 相 等 的 实数 , 求证:  
旷  
  l

得证 .  

类 似 地, 用 整 体 代 换 的方法 可 以解 决 以   下2 0 0 4 年泰 国奥 赛题 以及这 类 问题 的推 广形 
I   、 1  

b 2  

( 0—6 ) 。 ‘( b —c )   ’( c 一0 )  
式  十  
I  

式, 详细过程可见文 f 6 1 .  
题源 2 ( 2 0 0 4 年泰 国奥赛题) 设a 、b 、C 是 

分析 : 本 刊给 出的解 答 中首 先证 明了恒等 
b  
c2  

三个互不相等 的实数, 求证 :  
一   1   一 

= _  

十  
l  

( 2   a - b '  ̄   2 \ 、 2 6 b   - c  ̄ 2 + f ,   c - a / 、  
推 广:设实 数 a 、b 、C 、m、佗满足 :a 、   b 、c   V i 不相等, 且 m +n≠0 , 求证:  

(  +  +  一   )   .  
进而证得 原不等式成立 . 读后感觉恒等式 

的构 建煞 是突 兀, 不好 接受. 其 实, 当a 、b 、C   中有一个为 0 时,显 然 成 立;当 a 、b 、C 均 不 

( m 百 a + n b   '  ̄ 2 +   b 6 - + 眦 c   ] + 一 m c + n a a  ̄ /  
≥ m 2+ n2 .  

1 2 - 1 6  

数 学教 学 
求证 :  

2 0 1 4 年第 1 2 期 

例2 ( 数 学 问题 8 5 4 ) 设X i> l , i =1 , 2  
?

例3 ( 数学 问题8 6 0 ) 设a 、b 、C ∈ R+ ,  



n( n≥3 , n∈N) , 且

= n一1 , 求 证 
i   =1   Xi

1 /   , 竹  ≥   n   ’  
分 析: 本 刊 给 出 的证 明是 :  

( 2 a +b + c )  . ( 2 b + c +a )   .( 2 c +a +b ) 。   2 a   +( 6 +c ) 。‘ 2 b 2 +( c +a )   2 c 2 +( 0 +6 ) 。  

∑  =1  


式 
n  i =l  

>  

, 同理还 有另 外 

∑ 

两式  然后三式累加得证. 证法简洁  而局部不  1 歹 0 4 ( 数字 I 司趑 8 7 4 ) 己知 X i ∈R十 ( i =1 ,  

, … , m, m ∈N  , m ≥2 ) , ∑X i =S , n∈N   ,   耋 去 (  + 妻)  其 中 二 元 均 值 不  2
~  
.  

=1  

等式 的巧妙运用 令人赞 叹, 但 也不 易想到.其  实 该题 是 由如 下 一 道 伊 朗奥赛 题 推 广 得 到 .  
题源 1  f 1 9 9 8年 伊 朗 数 学 奥 林 匹 克 第 三 

且 礼≥ 2 , 求证:  

=  xi   1  V u 一 

/  

分 析: 看 罢此题 , 笔者不 禁 回想起 以下题 

源1 ( 文[ 4 ] ) 、题 源 2 ( 文[ 5 ] ) ,其 中,题 源 1 是 
在1 9 9 9 年全 国不等式研究学 术会 议上提 出的   当时杨路 教授应 用通用 软件 B OT T E MA给 出  了其 “ 机器证 明”  后来 与会 的宋庆老 师给 出了  


轮试题 ) 已知 、  

>1 , 且  +  +   :2 .  

求 证:   『 干 而
、     .

≥  

+  

+  

该 奥赛题 的证法 已有很多, 笔者迁移其 中   最简洁 的一种 , 得到数学 问题 8 5 4 的如下简证:  
证 明 : 由 条 件  n 证 明: 由条 件 ∑



个简洁的 “ 可读证 明”  发表在 《 中学数学 》 杂 

志上, 八年 之后, 宋庆老师将 其推广, 得 到 了以  
下题 源 2 .《 数学教学》 2 0 1 3年 第 1 0 期 再 次 出 




: 佗一 l 变 形 得 到 

  Xi   i 1

现类似 的题源 3 .
— —  

i -1    

源 1 . 若  b 、 c 为 正 数 , 则 、 /  +   1 , 则 由 柯 西 不 等 式 知 , \ /  =   题 \ / /  > 2 .   \ /   ? 耋   t ≥ 耋 \ / /   =  
Xi- - 1


b  



题源 2 :若 扒 b 、c 为 正 数 ,则 

+  

∑ 

, 得证.  

数 学 问题 8 5 4是 由题 源 1 进 行 元 数 推 广 而 

+   熹  .  
题源 3 :若 玑 b 、c 为 正 数,则  +  

得 到, 若对题源 1 进行 次数推广 , 即可得到 以下  题源 2 与题源 3 , 证 明请读者 自己完成.  
题源 2  f 《 数 学通 讯 》 2 0 1 3 年第 5 期 问 题 

征解 1 3 9 ) 设 、   求 证:  

>1 , 且  1+   1+   1=2
.  

\ /   +  
日 月.

> 2 ’  

数 学 问题 8 7 4是 题 源 2 进 行 元 数 推 广 后 的 

(  +Y+  )   ≥   ̄ / — x 2 - —1+  

结果, 平 移 以往 的证法, 可 以得 到如下 简洁证 
— —  

 ̄ / — y 2 _ —1 + ̄ / — z 2 - —1 .   题源 3 ( 文[ 3 】 3 0 个有趣不等式中第 8 个)  
设 、   >l , 且  +  1 +  1


证 明:   对 每 一 个  , 有 
2  

=  

2 ( n∈N+ ) ,  
+ 

求 证:  
+ ”   .  

≥   +  ̄ / X — n- — 1+ -  

≥ _ 1 _ 而
z 

 

2 0 1 4 年第 1 2 期 
f ) ,   n  
— — —

数 学教 学 
c  +d 2 +n 2  
  . 十  

i 2 一 l ’  
d 2+0 2 +b  
\ f )  

竺羔 _  


容 易证 明 


/  

(  )  
、 元 2  

由柯 西不 等式 的分式变形形 式得 ( 用∑a  

( \ J ∑ ≠  /  )   n ≤ J ∑ ≠     昙 ( 仡 ≥ 2 ) , 故  
、 /  
i :l    

 ̄ 表示 。 + 6 +c +d ) , 左端 ≥ —


x / a 2     +   b 2   +   c 2 ) 2
 

,  

又( ∑ V ' a 2 + b 2  ̄ e 2 )   = 3 ∑ 0   + 2 ∑  
+ 2 v / — a 2+ b — 2+ c 2.  
+2   .  

互 ≥ T  

■  所 以  


—  

匹 S- X i≥  
类似 地, 可 以将数 学 问题 8 7 4 推 广为如 下 
形式.  

≥ 3 ∑0 2 + 2 ∑( b 2 +c 2 + a d ) + 2 ( c 2 +a   +b d )   +2 ( d   +b   +a c ) =8 ∑a   +( ∑n )   :8 ∑a  
+ 1 6 .  
n 

所 以 


≥  

推广 :已知 X i ∈R+  :1 , 2 , … , m, m∈  

N   , m i >   2 ) , 常 数   ∈ ( 一 。 。 , 1 1 , 记 s =   m   t ,   4 , 所 以 詈 一   托耋 (  )  
例5 ( 数学 问题s 8 o ) 设a 、b 、C 、d ∈ R+ ,   且 满 足 a+ b+ C+ d = 4 ,f( a , b , C , d )=  
l   ’   1  

= = = 一 3   1 2   +3   Y  ̄ a 2 ’ 义出   厶 倪 乡—  


垦一—   一

又由于 ∑ 。   ≥_ ( E  a ) 2


一  

≥ 善 一  2  证 .  

即f ( 0 , b , c , d ) 的最大值 为 .  
其实, 我们可 以将 以上 问题进 一步推广 为  如下两种情 形, 读 者 可 类 似 地 仿 照 上 述 方 法 证  明.  

3+ a 2十 6 2+ c 2  

‘  

3+ b 2+ C 2+ d 2  

‘  

+  

, 求  , 6 ,  

推广 1 设正数 X l , X 2 , … ,   满足 ∑ X i   =n ( n≥3 , n∈N   ) , 且记 ∑  = S , 求证:  
t =1  
n  ,   … ,   几 1  

c , d 1 的最大值.   分析: 看 罢此题 , 经 历一番努力与 失败后,  
笔者 不禁 回想起 以下 2 0 0 9 年伊 朗数 学奥林 匹 
克试 题 .  

)  

的最大 

题源 1 ( 2 0 0 9 年伊 朗数学 奥林 匹克试题)   已知 a 、b 、c> 0 , 且满 足 a+b+ C= 3 , 求证:  

值 为 

?  

推 广 2 设 正数X l , X 2 , … , X   满足 ∑ X i  

+  
3  

干  +  

干   ≤  
=n ( 礼≥3 , n∈N   ) , 且记 ∑  =S( m ≥2 ) ,  
t =l  
n  1  

该题 巧妙 的证 法 曾一度让 师 生拍手 叫绝 ,   笔 者 据 此 得 到 以下 优 美 的 解 答 .  

求 证 , (   1 ,   2 , …,   n ) =   二 二 _   南
最大值为  ?  

的  

解: 当a - b = C - d - - - 1 时, . 厂 ( 0 , b , c , d ) =三 ,  
于是只需要证 明  
1  
— .   一 一 — —  

1  
l   一   上  

3+ a 2+ b 2+ C 2   。   3+ b 2+ C 2+ d 2   ’  
1   1  
十 
.  

,2  
’  

著 名数 学家 与数 学教 育家 波利 亚在 其 著  作《 怎样解题 》 中教育我们 : 当我们看到一个数  学 问题 之 后 , 首先 要进行 有效 的联 想, 有 时 不  妨 去翻 翻历 史, 检索 一番, 在 前人 经验 的基础  上 ,自己再 尝试 去做 一 做 ( 解答 或证 明) , 变一 

等价于证 明  
0  + b 2+ C 2   b 2 +c 2 +d 2  
3+ n 2+ 6 2+ c 2   ‘   3+ 6 2+ c 2+ d 2   。  

变( 变 式训练等) , 拓一拓 ( 对 问题进行改进 、 加 
( 下转 第1 2 — 2 9 页)  

2 0 1 4 年第 l 2 期 

数 学教 学 

l 2 — 2 9  
×  

例 2 若P 、q为 实 数 , 且 对 于 0≤ X ≤ 1 ,  

点 到 直 线2 的“ 铅 垂 距 离” 都 恰 是 
.  

恒 成 立 不 等 式 I 、 / , 可 一 p x — q≤  
求P 、q的值 .  

,  
=  

兰  

1  


因此 圆弧上 所有 点到直 线 f 的 


分析: 把原不等式变形为: 『  

~( p   +  

历  1  

“ 铅垂距离” 都不大于 

二 .  

g ) I ≤  

, 问题 的几何意义就是 : 已知四分 

之一 的圆弧 Y= 、 / / 1 一  2 与直 线 Y=p x+q 之 
间的 “ 铅垂距离” 不 大 于  =   , 求P 、q的值 .  

显然, 直线 2 是 唯 一 满 足 条 件 的直 线 ( 因  为根 据 对 称 性 它稍 有 “ 动 弹” 便不满足条件) ,   所 以直 线 Y = p x+ q 应与直 线f 重 合 .易 知  直线f 的斜率 为 一1 , 纵截 距为  ( = ) E:  
+  1+  
—   一

×  

如图7 ,设 圆 弧 的两 个 端 点 为 点  、B, 弧 

的 中点 为点  , ( = )   与 B交于 点 D, 取 D之  中点 E, 过 E作垂直于 ( = )   的直线 f .  
Y   ~ ,  

) :  

p 一一 

‘  

结束 语: 在 平 时的教 学 中, 我们要 重视几  何 直观, 但 也不 要过 分依 赖直观 , 要把 形 的直  观 和数的精密 结合起来, 才 能更深 刻 、更有 效  地 解决 问题. 还 是华 罗庚 先生 说得好 , 数 缺形 
~  

时少直观, 形缺 数 时难 入微; 数形 结合无 限好,  
割裂分家万事休 !  

0 

B  

图7  

参考文献 

… 余 红兵, 严 镇军.构造 法解 题 [ M1 . 合 
, 所 以 cE  
B、   三 

NN  CD :OC一( = ) 。 


肥: 中国科学技术大学 出版社, 1 9 9 2 .  

[ 2 】 王 呼.一 道含 参最值 题 的解法  . 中 
DE =  CD =  ,于 

学生数学, 2 0 0 6 ( 7 ) : 1 1 .  

( 上接 第1 2 — 1 7 页)   强 、推 广等) , 研一研 ( 深 入挖 掘 问题 的本 质) .   这样下 来, 每一个数 学 问题才会 显得丰满和 立  体, 且对 于初学者专业的成长是大有 裨益的.  

【 2 ]程 汉 波,杨 春 波 , 胡典顺. “ 变 换 主  元, 柳 暗 花 明” —— 简解 一 道竞 赛 题 引发 的 思 

考  . 数学通讯 , 2 0 1 2 ( 1 0 ) ( 下半月) :5 7 - 5 9 .  
[ 3 ] 安振 平.三十 个有趣 的不等式  . 中 

“ 不 积跬 步, 无 以至千里 , 不积 小流, 无以   成 江海” ,“ 数 学 问题 与解 答” 栏 目刊 登 出来 的  数学 问题都 是经 过精挑细 选 出来 的、 是数 学师 
生 沟通 交流 的一 个共 同平 台, 笔者 认为, 在 如 

学数学教学参考, 2 0 1 1 ( 1 1 ) ( 上旬刊1 : 5 8 .  
【 4 】 宋庆 .一个不 等式 的简 洁证 明  . 中  学数学 ( 湖北) , 1 9 9 9 ( 1 1 ) : 3 7 .  
『 5 ] 宋庆.一个美 丽不等式 的推广  . 中 

今“ 题 海” 如 火如荼 的背 景下, 坚 持对每期 的 问   题( 或部 分 问题) 进行研 究性学 习, 既是检 验教  师 自我知识水 平的尺度 , 也是 锻炼提升 自身素 

学数学 ( 湖北) , 2 0 0 7 ( 1 0 ) : 3 9 .  
『 6 1 程 汉 波, 杨春 波. 利用 整 体 代 换 证 明  

质 能力的擂 台, 是一件非常值 得我们 用耐心与  恒心坚持去做 的事.   参 考 文 献  … 邵 明宪 . 一 个 数 学 问题 的 另证 与 推 

不等式 [ J ] . 数学通讯 ( 学生刊) , 2 0 1 3 ( 7 、8 ) :  
3 3 —3 4 .  

[ 7 】 程汉波 , 杨春 波. 一道预赛试题 的渊源 

广 『 J ] . 数 学通讯 , 2 0 1 3 ( 3 ) ( d : : 半月) : 3 6 - 3 7 .  

与推广  . 数学教学, 2 0 1 3 ( 7 ) : 3 4 - 4 8 .  

2 一  

数 学款 学 

2 0 1 4 年第 1 2 期 

2 0   1   3 年 “ 北 约 " 自主招生 数 学试 题  的解 答攻 略 与评析 
1 0 0 1 0 1   北京朝 阳 区   马殿荣 

“ 北 约” 2 0 1 3 年 自主招 生 数学 试题 已引起 

式相减 , 得(   +   ) (   —Y ) = 一2 ( x 一   ) , 所 以 X+  
Y =- 2 . 将 已知两式相加, 代入 x + y =- 2 , 则得 
x y =-1 . 将 待 求 式 写 成 由 z+Y和  表 达 的形 

关注 [ 1 】 、 【 2 j . 对其评论 多有溢美之词. 本文从考  试答 题角 度, 说说解 答攻 略; 在学 习 、探 讨层 
面, 作点试题评析. 均属个 人拙见, 敬请 同仁指 
正.  

式, 即得其值 为 - 1 6 , 故选 ( D) .   点 评 :本 题 以韦 达 定 理 的 引 伸 应 用 为 背  景, 求解 简明流畅. 但对试题 背景不熟悉者, 或  放弃解答 ; 或 通过解算 、Y 的值 , 再求待求 式  的值, 计算 繁杂, 因时限难 于获得结果; 又因为  被选 答案 中有 “ ( D) 以上 答案 都不 正确”  也促  使 认 真 计 算 待 求 式 的 值 .由此 可 见 , 试 题 解 答  面 临途径 较多 、难度适 中、 区分度 较好, 是一  道 很 好 的 选 择题 .   4 .在 △ B   中, J [ ) 为 B  边 的 中 点 , DM   平 分Z A DB交A B于 点  , DJ 7 v 平 分 AD  交  C于点 Ⅳ, 则 BM +CN 与  Ⅳ 的 关 系 为 f)  

1 .   以 

和 1一  

为 根 的 有 理 系 数 一 

元 n次方 程 的最 高 次 数 n的 最 小值 为 … … f )  

( A ) 2 ;   ( B ) 3 ;   ( c ) 5 ;   ( D ) 6 .   解: 粗略地分析, 以2 次根式 ( 如、 / / 2 ) 为根  的有 理 系数 ( 等 价于 整数 系数) 一元方 程 的次 
数 至 少 为 2( 如 2— 2 =0 ) ,以 3次 根 式 ( 如 1一  

) 为 根 的有 理 系 数 一 元 方 程 的 次 数 至 少  为3 ( 如( X一1 ) 0 +2=0 ) , 两者相乘, 即知答案  为5 , 故选 f C) .   点评:以多项式 的根为背景, 简 明易答.   2 .在 6× 6的棋 盘 中, 放 置 3个 完 全 相 同  的红车 和 3 个 完全 相 同 的黑车  要求6 个 车 不 
在 同一 行 或 同一 列 , 则 放 法 有 … … … … …( )  

( A ) 7 2 0 ;   ( C ) 2 0 ;  

( B ) 5 1 8 4 0 ;   ( D )1 4 4 0 0 .  

( A ) B  +  Ⅳ>MⅣ;   ( B ) BM +C N =M N;   ( C ) B M+  Ⅳ<M N;   ( D ) 不能确定.   解: ( 原题图略1 以特例求答案. 令 △A召  
为 等腰 直角 三角 形,   为 直角 .很容 易得 到 
BM = DM , CN = DN , 故选 ( A) .  

解: 6 个 两 两 不 同 的车 , 要 求 不 在 同 一  行 同 一 列 ,共 有 放 法 为 6   1 . 6   1 ,而 有 3 个 完 全  相 同 的红 车 和 3 个 完 全 相 同 的 黑 车 ,故 放 法 

点评: 本题是 以角平分线性质 为背景的一  般几何题. 如改为问答题或证 明题, 很优 美. 但  作 为选 择题 , 被 以特 例 求答 案, 很容 易, 因此  本 题 的考 试 功 效 不 高 .   5 .已知 a l =l , 对任意的 礼≥1 有  + 1 =  
4 0  +2 , 贝 0   a 2 o 1 3=………… …………………? (  )   ( A)3 0 1 9 × 2 2 o 1 2 ; ( B)3 0 1 9 × 2 2 o i 3 ;  

有 

=1 4 4 0 0 , 故选 ( D) .  

点评 :中等 难度 的排 列组合 问题, 多数 考  生可 以从 容 找 出答 案 .  

3 . 已知 X  =2 y +5 且Y  =2 x +5 ( x≠  ) ,  
则 。一 2 x   Y 0+y 3 =… … … … … … … … . ( )  

( A) - 1 0 ;  
( C 1- 1 4 ;  

( B ) - 1 2 ;  
( D)以上答 案均不正确.  


( C ) 3 0 1 8 z 2 2 o i 2 ; ( D )以上答案均不正确.   解:由于备选 项 ( D) 的特殊 表述, 必须 统  面对 ( A ) 、( B ) 、( C ) . 为此 , 猜测 通 项 a n由   两 项 乘积 组 成, 令a   =A  . B   .为 使B 2 0 1 3=  

解: 首先想到待求式可用 X +Y 和  表示,   这 是学 习韦达 定理获得的感悟 ; 再 由已知两式  求出 X +Y 和z  的值, 即可找到答案. 将 已知两 

2 0 1 4 年第 1 2 期 

数 学教学 

 ̄ 2 - 4 5  

2 2 0 1 2 或2 2 0 1 3 , 取B n =2 ” _ 。 , 其 中z=0 、1 ; 为  使A n: 3 0 1 9 或3 0 1 8 ,取 A  =   ,其 

猜测 M = 4 , 所 以必须否 定 M =5 . 为此 , 只需 
证 明, 对 任 选 的 5个 数 ,总 能 从 中 找 出三 个 数 ,  
其和是合数.  

中 Y= l , 3 . 以a 1 =l 确定 x 、Y的值 : 由于 a l =  


21 _。



得 

:1 .当   :0 时  : 2 ,  

判 断 三 个 数 之 和 是 否 为 合 数 ,即 能 否 被  

某 个 数 n整 除, 等 同于 这 三 个 数 被 佗 除 的余  数之 和是 否 为 n的倍 数. 自然 从 小的数 试起 ,   取n= 2 . 此 时只 要 所 选 的 5 个 数 全 是 奇数 ,   则其 中任何 三个数之 和必 为奇 数, 不 能被 2 整  除, 因此, n= 2 不 能否定 M : 5 . 再试 n: 3 .   如 从选 定 的 5 个 数 中, 总 能找 到三个 数 , 其 和  是3 的倍 数, 从而 否 定 M = 5 .为此, 注 意整  数被 3 除 的余 数 是 0 、l 、2 .在选 定 的 5 个数  中, 如能找 出三个 数.它们被 3 除 的余 数分 别  为0 、1 、2 , 则这三个数 的和 是 3 的倍数; 否则 
选定的5 个 数 被 3除 的余 数 最 多 是 0 、1 、 2中 

不 合 要 求 ;当 X = 1 时 Y= 1 ,由 此 a 2 o 1 3 = 


2 2 0 1 3 一 l: 3 0 1 9×2 2 0 1 2



故选 ( A) .  

点评:由数 列通项 的递推 关系求 通项 , 已  成为 高考 重 点试 题, 有 的甚 至成 为压 轴题, 为   此, 对 于解 答 已有很 多分析 和探 讨, 所 以此类 
题对 考 生是似 曾相 识.本 题如 果改 为 问答 题,   由部 分和与通 项 的关 系, 可得 到 3 项线性 递推 

关系 a   + 1 :4 a n一4 a 竹 一 1 , 再经 变换得 到两项  递推 关 系, 进 而求 出通 项 a  : ( 3 n一 1 ) 2 —2 .   如 是, 本题 具有 较高 的难 度. 但本 题作 为选择  题, 其 备选 答案 形式 规整, 为实施 便捷 的选 择  攻略提供 了可操作性, 致 使考试 功效下 降.   6 . 复数  1 、z 2 、Z 3 的模都为 1 , 且Z I - + - Z 2 - - F -   Z 3≠ 0 .则 — Z l Z 2 +z 2 z 3 +Z 3 Z l的模 为 ( )  
— … …

的两个数. 于是必有三个余 数相 同 ( 抽屉 原理) .  
故 对 应 的 三 个 数 之 和 必 是 3的 倍 数 .综 上 , 在 

任选 的 5 个数 中, 总能找到三个数 , 其和是 3 的 
倍数.  

1+   2十  

1  

( A ) 去 ;( B ) 1 ;( C ) 3 ;( D ) 不能确定.  
解 :以特 殊 值 求答 案 . 取Z 1 =Z 2= Z 3= 1 ,  

点评 :本题 以整 除性 规则 以及 简 易抽 屉  原 理 为 背景 , 选 用 贯 通 中学 数 学 与 高等 数 学  的基础数学 元素 , 精 心拟制而 成.试题重 点考  核 归纳推 理能力 . 本 题奥 数韵味较 浓. 有 的考  生初 看 便放 弃 解 答: 但 多数 考 生 通过 试 探 选  出l 、3 、7 f 或 者其他三个 数) , 判 断 M ≥3 ; 也  可 能有 部分考生试探 出 1 、3 、7 、9 , 推断 M ≥   4 ; 但能以3 的整除性特 征否定 M =5 , 进而给  出完整 的解答 , 大概 人数 不多, 其 中可 能多为  经过奥数 训练 的考生.由此, 本题 的区分度 、   选择度 以及难度均较高 .   8 . a 佗 全部为实数, a l +0 2 +… +a 2 0 1 3 =0 ,  

则待 求值 是 1 , 故选 ( B 1 .   点评 : 拟 制本题 的初衷是考 查复数模 计算 
的简化 能力.该题 作 为计 算题或 问答题 , 很 适  当, 但作 为选 择题, 被 以特 殊值求答案, 失去 了   试题作用 , 可谓拟题有失, 考试功效低下 .   7 .至多 能取 多少 个两两 不 同的正整数 使  得 其 中任 意三 个 数之 和 为质数 ?证 明你 的结  论.   解: 对 这种欲 求 结论开 口较 大 的题 目, 一  般从 简单 的特 例入 手; 就本 题而 言, 猜测 所求 

的数 ( 记 作  ) 不 会很 大, 否则 从较 多个数 ( 指  正整数) 中任取 三个数 , 判断其和是质数, 是个  很难完 成 的演算 . 以上两 点应作 为解 答 的基本 
攻略.  

l a l 一2 a 2 l =f a 2 —2 a 3 I = 一? =l a 2 o 1 3—2 a l 1 ,   求 证 :a l =a 2= a 3 = … :a 2 o 1 3= 0 .  
解 :处理绝对 值 问题 , 一般常 用两种替 换  方 法, 平方 或按 正负分 别讨 论. 本题 用平 方替 

取l 、3 、7 , 其和 1 1 是 质数, 这表 明 M ≥   3 . 再探试, 取9 , 形成 1 、3 、7 、9 , 其 中任何 三 
个数 的和确 实是质数, 所 以  ≥ 4 .再 试 探 几  

换, 变成 ( a   一2 a i + 1 )  = a 2   a 为确 定 的实 数) ,  
导致 二 次 等 式, 一 时 找 不 到后 续 手 段. 因此 

个数, 无法满足试题条件. 如果 M =5 , 从选定  的5 个 数 中任选三 个数, 共有  = 1 0 种可 能,  

用a { 一2 a 件1: 士  (  ≥0 ) 替换绝对 值 关系,  
先分析 简单 情况, 令a   一2 a   + 1 = A, 逐次列 出  
关系式:  

判 断其和 为质 数, 非短 时间 内可 以完 成, 因此 

1 2 一  
al- 2 a 2  ̄ A,    

数 学款 学 

2 0 1 4 年第 1 2 期 

能对繁 杂的表达式从容化 简, 是 高 等 数 学 学 习  的常 用 手 段 , 这 应 是 本 题 的拟 制背 景 .  
… … …

㈩ 



1 0 .已知 由m× 仡 个数组成 的阵列{ 0  }   ( 1 ≤i ≤m, 1≤J≤ n ) , 有 m行 礼列, 已知对 于  任意 1 ≤i ≤m, 当1 ≤   1 <j 2 ≤n时有a i j   ≤a i j   .  
现 对 该 阵 列 的 每 一 列 进 行 重 新 排 列 ,形 成 

{ a   }   , 使得 新 阵 列 中对 于任 意 1 ≤J≤n ,   当1 ≤i l <i 2 ≤m时有n :   j ≤0 :   问新阵列  
中, 每行中n 个 数 的排列 满足 怎样 的规 律, 并 
证 明你 的 结论 .  

解 :题 面文字 较长 , 符 号下 标较 多, 需要  心绪 沉静, 想清 问题 的实 质.本 题 是说, 阵列  每行 单调不 减, 将每 列从 小到大 重排, 形 成每  列单调不减 的新阵列, 问新 阵列 每行满足什么  规律 . 首先 要想 清 楚 同一 列 从小 到大排 列 ( 称  排序) 是怎 么操 作 的.可 以这么 做: 先从 该列  中选 最小数 ( 如 不止一个, 可 任选其 一, 下 同) ,  
排 到 新 阵 列 中 该 列 的 第 一 行 ;再 从 该 列 剩 余 

的数 中选 最 小 数, 排 到新 阵列 中 该列 的第 二  行, 依此类 推, 即可 完成某 一 列数 从小 到大 的  重 新排序 . 以此 为依据  分 析 新阵列 同一行 数  列 的大 小. 为此 ,比较 左 、右 两 列 中 同行 两  数 的 大 小 . 由 于 原 阵 列 同 一 行 左 列 的 数 不 比  右 列 的数 大, 所 以左 列 中 的最 小 数 即新 阵 列  中 左 列 的 第 一 个 数 ,仍 不 大 于 右 列 中 的 最 小  数 即新 阵列右列 的第一个数 , 依此 类推 . 初 步  猜 测, 新 阵列 中同行 数列 仍然 是 左 不大 于 右,   即 同行 数 列仍 然 是 单调 不 减 的, 为 符 号简 便 

起 见, 设 原左 、右 两 列 为 {  ) ,{  ) , P i ≤q i ,  

对应 的新左 、右两 列为{ p : ) , { q   ) , P : ≤p   ,  
q  ≤  


1≤ i< J ≤ m. 记 P  一



1  

mi n{  ) ,  


T,  

q  = … mi n{  } , 则p  
i  7, 0  

p   , q   q   . 因为 P i ≤q i ,  

所 以P   ≤q   , 故P   ≤q   . 调整 原两列剩 余元素:   划掉 P   q   , 如r =8 , 调整完成; 否则, 将P   移 
P  的 位 置 .将 P 。 在 原 位 划 掉 ,调 整 完 成 . 因 

为P   ≤q s ≤q r , 所 以调整 后的  ( 就是 P   ) ≤q r .   综上, 调 整 后 的原 左 、 右 两 列划 掉 一 行 ( P   q  
所 在行被 划 掉) , 并仍保 持 同行左 不 大于 右 的  关系 , 重 复上 述 过 程 , 知  ≤   依此类 推, 即  得P : ≤  , i =1 , 2 , … , m.  

2 0 1 4 年第 1 2 期 

数 学教 学 

1 2 一   7  

n 

④ 

o  o ( 三 ) o  o  o ① o ( 三 ) o ( 三 ) o  o  o  O  o  O  O  o  O  o  O  o  O  o  o  O 

数 学 问 题 与 解 答 
2 0 1 4 年第 1 0 期 问题 解 答 
o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o  o - :   o 

9 2 6 . 已知 点  为 △ABC 的 与 BC边 相 切 
N  一

一 一

的旁切 圆圆心, 求证 :  
I C 

一  

一  

午一 一 7   M  

BC . C A 

( 2 4 3 1 5 1安徽 省 当涂 县青 山中学 令 供题 )  
证: 如图1 , 设 o 与边 B  及   、  

标 
的 

延长 线分别切于 点  F, 连 结  F.   分 别 延 长 BA、CA至 点  、Ⅳ,使  AⅣ =  A ,连 结 M Ⅳ,延 长  交  Ⅳ 于 


点 G.  

图1  

点 评 :考 生 一 见 到矩 阵而 且 不 是 方 矩 , 感 

到元 素太多, 心有畏惧; 又见符号繁杂 , 结论不  明, 致 使部 分考 生放 弃作答 . 如考 生进一 步 思  考, 经简单检验 ( m =n= 2 , 或m :2 , n=3 ) ,   会 猜 出结论 , 但对 证 明感到无 从 下手, 至 于 找  到解 答思路, 完成解答者 , 人数会很 少, 得分将  呈 现 两 极 分 化 .试 题 的 区 分 度 不 高 , 但 选 择 性  较 强. 本题属 高难度试题 .   本题 具有 明显 的高等 数学背景. 在高等代  数等 学科 中, 数 列 的排 序是 常用 方法, 有置 换  法 、最值法等构造性 方法, 本题 以此 为源 拟制.   本题 注重 考核 直观 想象 能力和 推理 思 维能力 .   熟悉数 列排序 的考 生, 可能得 高分 .至于离 开  构造性方 法而直接 证明猜测 结论 的正确 性, 个 
别考 生 也 可 能 做 到 .  

现在 已是 教学 重点, 成 为 高考命题 热 点, 但 却  被“ 北约” 拒之试题之外.从数学知识 、方法 、   思想层 面分析, 圆锥 曲线 内容似可删 去或大幅  压缩.  

实行 教 学与 考 试分 离 , 为 高考 命题 瘦 身.   “ 北约” 将导数与积分、概率等 内容未纳入试题  范 围, 这就 提示人 们 思考, 有 些 内容 属教 学范  围   但不作考试要求 .  
调整选择题结构, 减少考 生得分 的随机性.   高考选择题 运行多年, 已显现诸 多弊端, 从“ 北  约” 的 6道 选 择 题 即 可 见 一 斑 , 适 度 调 整 选 择  题 ,已很 必 要 . 选 择 题 的 拟 制 应 以 含 盖 基 础 知  识 为主 ; 备选答案应精 心设计, 力求得 当; 每题  不超过 3 分, 分数之和控制在总分的 2 0 % 以 内.   参考文献  『 1 1 于凤军, 童文斌 , 查正开.2 0 1 3“ 北约”  

统 观这 套试 题, 也 给人们 一些 启示 , 取其  要者略述如下.   删 减 中 学教 材 , 减 轻 教 学 负担 .现 行 中  学数 学 教材 与 上 世 纪 5 0 年 代相 比, 有 很大 变  化.以圆锥 曲线 为例, 当初并未 全部列 入教材,  

自主招生数学试题解析  . 数学通讯, 2 0 1 3 ( 5 )  
f 下半 月) :5 3 — 5 6 .  

『 2 1 查正 开.2 0 1 3 年北 约 自主招 生数学试  题评析 f J ] . 中学数学杂志, 2 0 1 3 ( 5 ) : 5 4 — 5 6 .  

2 0 1 4 年第 1 2 期 

数 学款 学 

l 2 — 2 5  

2 0 1 3 年高考江苏卷第 1 3 题 的高等数 学背景 
2 2 6 5 0 0 江 苏省如皋市教 师进修 学校 徐 道 

2 0 1 3 年全 国高考江 苏卷第 1 3 题是:  

问题与高等数学 中的曲率及 曲率圆有关 .  

在平 面 直角 坐标 系 x O y中 ,设 定 点 A( a ,   。 ) , P是函数 =  (  > 0 ) 图像上一 动点, 若点 
P、   之 间的最 短距 离 为 2   , 则满 足 条件 的  实数 a 的所有值为  有考生声称, 此题可 “ 秒 杀” : a =-1 , 3 . 这 


曲率, 刻划 曲线 在某 一点 的弯 曲程 度. 圆  
上 的 所 有 点,曲 率 均 相 同.即 可 认 为 ,圆 上 任 

点 的弯 曲程 度相 同. 圆的半径 越大 , 曲率越 

小, 反 之 曲率 越 大. 圆的 半径 趋 于无 穷, 其曲  

率 趋于零 . 直 线 的 曲率 为零 , 即直线 一点儿 也 
不“ 曲” .  

些考 生很 快便 知, 这里有 “ 陷阱” , 正确 结果应  是a =一 1 , 、 / / 1 0 . 这道题 未深入 分析 时似 乎很 简 
单, 可 “ 秒杀 ”, 稍加分析不难 发现, 要 获得 正  确 结果, 需 要 考 生 具 备 较 强 的数 学 思 维 品 质 及  较 高的运用 数学 方法 的能力.笔 者认为, 此题  的一个最显著特征是有浓厚 的高等数学背景.   若将 这 道考 题 的条件 “ P、   之 间 的最 短 

当 曲线 Y= f ( x 1 在某 一 点 的一 、二 阶导 
数均存在 时, 其 曲率 计算 公 式 为 

k :I 0 — 

( 1 +   )  I  

1 .  
1  

曲线在这一点的曲率圆的半径定义为R=÷ .  
现 在我们 来求 Y= 二(  >0 ) 的 曲率及 曲  
率 圆半 径 .  
Y  = 一  一2 Y  = 2 x一3
, ,  

距 离” 改为 、 / / 2 , 则可 “ 秒 杀” :a= 0 , 2 . 这就 产 
生 一 个 问题 : 何 时 a的 取 值 能 使 对 应 的两 个 点  关 于( 1 ,1 ) 对 称 ,何 时不 关 于 ( 1 ,1 ) 对 称 ?这 个 

3 . 解 后 反 思 

比较 以上 几种 解 题方 法 , 我们 不 难 看 出,   “ 错解” 是普 遍存在 的, 但有经验 的教师可 以通  过 纠 正错 解, 帮助 学 生得 到 正确 的解题 方 法,  

在 矫枉 过 正 的过 程 中, 提 高 学 生 的解题 能力.  
在我们 的教学 中经常存在 一些看似 “ 正解” , 实  则“ 误解” 的解题方法 , 这样 的解题 往往有很 大  的偶然 性, 也 是解题 教 学的大 忌, 导致 的原 因  
经 常 是 教 师 自身 没 有 透 彻


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