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13.6实系数一元二次方程


实系数一元二次方程 导入:a、b、c ? R 解一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)



b 2 b2 ? 4ac (x ? ) ? 2a 4a 2 b ? 1?当? ? 0时 ? x1,2 ? ? ? 2 a 2a b 2?当? ? 0时 ? x1,2 ? ? 2a ?? b 3?当? ? 0时 ? x1,

2 ? ? ? i 2a 2a
注:、必须是实系数一元二次方程; 1

?



?

2、当? ? 0时,

方程有两个共轭 虚根;
3、当? ? 0时, 根与系数满足韦达定理; 4、ax 2 ? bx ? c ? a( x ? x1 )( x ? x2 )

补充例题:

1、若关于x的一元二次方程x2 ? 2kx ? k ? 0有虚根,则实数k的取值范围 (?1,0) 是 ______
? ? 4k 2 ? 4k ? 0

{?1} 值范围是 ______

2、已知关于x的一元二次方程x2 ? 2ix ? (a ? 1) ? 0有实数解,则实数a的取

? a ? (??, ?2] 典型错解 ? x02 ? 2ix0 ? (a ? 1) ? 0 正确解: 设方程的实根为x0 ? x02 ? a ? 1 ?2x0i ? 0
? ? 4i 2 ? 4(a ? 1) ? 0
? ?? ?

x02 ? a ? 1 ? 0

2x0 ? 0

? a ? ?1

3、已知方程x2 ? ax ? b ? 0(a, b ? R)的一个根为 ? 3i, 求a, b. 1
解: 方程的另一根为 1 ? 3i

? a ? ?2

b? 4

4、已知方程x2 ? 4x ? k ? 0有一个虚根1 ? 2i, 求k.
方程的另一根为 1+2i ? k ? 5 典型错解 解: 正解: 1 ? 2i代入x2 ? 4x ? k ? 0 ? k ? ?(1 ? 2i)2 ?(1 ? 2i) ? 7 ? 4i 把

5、已知关于x的实系数方程x2 ? kx ? k 2 ? 3k ? 0有一模为 的虚根,求实数k. 1
解: 设方程的两个虚根分别为 z , z 3 ? 13 2 ? 1? k ? ? z ? z ? k ? 3k 2 3 ? 13 2 2 ? ? k ? 4(k ? 3k ) ? 0 ? k ? (??,0) ? (4, ??) ? k ? 2

6、若方程x2 ? x ? p ? 0有两个根?、?,且 | ? ? ? |? 3, 求实数p.
解: ?、? 为实根 (1) ? ? 1? 4 p ? 0 ? p ?
1 4

?? ? ? ? ?1 2 ? ? ? ? ? (? ? ? ) 2 ? 4? ? ? ? 1 ? 4 p ? 9 ? p ? ?2 ? ?? ? ? ? p
(2)?、?为虚根 ? ? ? ? 设? =a ? bi, ? ? a ? bi(a, b ? R) 1 ? ? 1? 4 p ? 0 ? p ? 4 ?? ? ? ? 2a ? ?1? a ? ? 1 1 2 3 2 5 2 ? 2 2 ? p ?( ) ?( ) ? ?? ? ? ? a ? b ? p 2 2 2 3 ? ? ? ? ? ? 2b ? 3 ? b ? 2
2 2 2 | 解法二:? ? ? |? 3 ?| ? ? ? | ? 9 ?| (? ? ? ) | ?| (? ? ? ) ?4?? | ?|1 ? 4p |

? p?

5 或?2 2

7、设a ? R, 方程x2 ? 2x ? a ? 0的两根x1, x2 , 求 | x1 | ? | x2 | .
解 : (1)x1、x2为实根 ? ? ? 4 ? 4a ? 0 ? a ? (??,1]

? 4 0 ? a ?1 ? ( x1 ? x2 ) ?2x1x2 ?2 | x1x2 |? 4 ? 2(| a | ?a) ? ? ? 4 ? 4a a ? 0 ? 2 0 ? a ?1 ?| x1 | ? | x2 |? ? ? 2 1? a a ? 0
2

? (| x1 | ? | x2 |)2 ? x12 ? x22 ?2 | x1x2 |

(2)x1、x2为虚根 ? ? ? 4 ? 4a ? 0 ? a ?(1, ??) 且x2 ? x1
? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? a ?| x1 | ? | x2 |? 2 a
2 2

? 2 0 ? a ?1 综上 | x1 | ? | x2 |? ? 2 1 ? a a ? 0 ? ? a ?1 ? 2 a

7、设a ? R, 方程x2 ? 2x ? a ? 0的两根x1, x2 , 求 | x1 | ? | x2 | .
解 : (1)x1、x2为实根 ? ? ? 4 ? 4a ? 0 ? a ? (??,1]

x1 ? x2 ? a ? 0 x1 ? x2 ? a ? 0

| x1 | ? | x2 |? x1 ? x2 ? 2

0 ? a ?1

| x1 | ? | x2 |? | x1 ? x2 |? 4 ? 4a a ? 0

? 2 0 ? a ?1 ?| x1 | ? | x2 |? ? ? 2 1? a a ? 0
(2)x1、x2为虚根 ? ? ? 4 ? 4a ? 0 ? a ?(1, ??) 且x2 ? x1
? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? a ?| x1 | ? | x2 |? 2 a
2 2

? 2 0 ? a ?1 综上 | x1 | ? | x2 |? ? 2 1 ? a a ? 0 ? ? a ?1 ? 2 a

8、设非零复数z1 , z2 ,且z1 , z2满足z12 ? kz1 z2 ? z2 2 ? 0, z z 解 : z12 ? kz1z2 ? z22 ? 0 z2 ? 0 ? ( 1 )2 ?k 1 ?1 ? 0 z2 z2 z1 z1 z z ? ? 1?| 1 |2 ? 1 ?| 1 |? 1?| z1 |? | z2 | ? z2 z 2 z2 z2

z1 为虚数求证:z1 |?| z2 | . . | z2

9、设非零复数z1 , z2 ,且z1 , z2满足100 z12 ? kz1 z2 ? z2 2 ? 0, z2 求所有满足条件的虚数 的实部的和. z1 z z 解 :100z12 ? kz1z2 ? z22 ? 0 z1 ? 0 ? ( 2 )2 ?k 2 ?100 ? 0 z1 z1 ? ? ? k 2 ? 400 ? 0 ? k ? {1, 2,3, ???,19}
19(1 ? 19) z1 z1 ? 190 ? ? k ? 所有实部的和为 2 z 2 z2

z2 为虚数当k ? N ?时, . z1

10、设非零复数z1 , z2对应复平面上的点为Z1和Z 2 , 且z1 , z2满足z12 ? 2 z1 z2 ? 4 z2 2 ? 0, 设O为复平面原点. (1)试判断?Z1OZ 2的形状;(2)若z1 ? 2 z2 ? ?1 ? i, 求S ?Z1OZ2 . z1 2 z1 z1 2 2 解 : z1 ? 2z1z2 ? 4z2 ? 0 z2 ? 0 ? ( ) ?2 ?4 ? 0 ? ? 1 ? 3i z2 z2 z2 z1 ?| |? |1 ? 3i | ? 2 ?| z1 |? 2 | z2 | ?| OZ1 |? 2 | OZ2 | z2 z1 ? (1? 3i) z2 ? z1 ? z2 ? ? 3iz2 ? | z1 ? z2 |? 3 | z2 |

?| Z1Z2 |? 3 | OZ2 |?| OZ1 |2 ?| Z1Z2 |2 ? | OZ2 |2
? ?Z1OZ2为RT ?

z1 ? (1? 3i) z2 ? z1 ? 2z2 ? [(1 ? 3)i]z2 ?2z2 ? [?1 ? 3i]z2 ? ?1 ? i 2 6 2 ?| OZ2 |? ?| Z1Z2 |? ?| [?1 ? 3i]z2 |? | ?1 ? i | ?| z2 |? 2 2 2 3 ? S?Z1OZ2 ? 4

11、关于x的方程2x2 ? 3ax ? a 2 ? a ? 0至少有一个模为1的根, 试确定实数a的值。 解: 1 ? ? 0时, 方程至少有一个绝对值为1的根, ()
? a 2 ? 2a ? 2 ? 0 ? a无实数解 以x ? 1代入得: 2 ? 3a ? a ? a ? 0
2

以x ? ?1代入得:2-3a ? a 2 ? a ? 0

? a 2 ? 4a ? 2 ? 0 ? a ? 2 ? 2

(2)? ? 0时, 方程有一对模为1的共轭虚根,

设两根为x1 , x2 , 则x2 ? x1 ,
2

x1 ? x2 ? 1

? x1x2 ? 1

a ?a ? ? 1 ? a ? 2或a ? ?1 2

当a ? ?1时, ? ? 0;

当a ? 2时, ? ? 0.

综上所述, a ? 2 ? 2或a ? ?1

复系数一元二次方程
12、解方程:x2 ? 3x ? 3 ? i ? 0 解:? ? 9 ? 4(3 ? i) ? ?3 ? 4i 设a ? bi(a、b ? R)是 ? 3 ? 4i的平方根
?a 2 ? b 2 ? ?3 ?a ? 1 ?a ? ?1 或? ?(a ? bi)2 ? ?3 ? 4i ? ? ? ?b ? 2 ?b ? ?2 ?2ab ? 4

? x1,2 ?

3 ? (1 ? 2i ) 2

即方程两根为x1 ? 2 ? i, x2 ? 1 ? i (注:不为共轭虚根)

解方程: ? i) x2 ? (1 ? i) x ? (2 ? 6i) ? 0 (1 解:? ? (1 ? i)2 ? 4(1 ? i)(2 ? 6i) ? ?16 ? 30i ? ( 3 ? 5i )2 (1 ? i) ? (3 ? 5i) ? x1 ? 2, x2 ? ?2 ? i x1,2 ? 2(1 ? i)

13、已知关于x的方程(4 ? 3i) x2 ? mx ? (4 ? 3i) ? 0有实根,求 | m |min .
设方程的实根为x0 ( x0 ? 0) ? (4 ? 3i) x02 ? mx0 ? (4 ? 3i) ? 0 解: ?4 ? 3i ? mx0 ? ?(4 ? 3i) x02 ?(?4 ? 3i) ? m ? ?(4 ? 3i) x0 ? x0 4 3 ? m ? ?(4 x0 ? ) ?( ? 3x0 )i x0 x0
?| m |?

4 2 3 (4 x0 ? ) ?( ? 3x0 ) 2 ? x0 x0

25 25x0 ? 2 ?14 ?| m |min ? 8 x0
2

14.已知关于x的二次方程:x 2 ? (2 ? i ) x ? 4ab ? (2a ? b)i ? 0(a、b ? R) (1)当方程有实根时,求点(a, b)的轨迹. (2)求方程实数根的取值范围. 解: 设实根为x0 , 则x02 ? (2 ? i) x0 ? 4ab ? (2a ? b)i ? 0 (1)

? ( x02 ? 2x0 ? 4ab) ? ( x0 ? 2a ? b)i ? 0
? x0 2 ? 2 x0 ? 4ab ? 0 ? ?? ? x0 ? 2a ? b ? 0 ? x0 ? b ? 2a 代入上式 ?

1 2 (a ? ) (b ? 1)2 2 2 2 ?1 即(b ? 1) ? (2a ?1) ? 2 ? ? 1 2 2 1 1 6 点的轨迹为以( , ?1)为中心,焦点为( , ? ? 1)、 2 2 2 1 6 ( , ? 1)的椭圆. 2 2

? (b ? 2a)2 ? 2(b ? 2a) ? 4ab ? 0

14.已知关于x的二次方程:x 2 ? (2 ? i ) x ? 4ab ? (2a ? b)i ? 0(a、b ? R) (1)当方程有实根时,求点(a, b)的轨迹. (2)求方程实数根的取值范围. 解: 设实根为x0 , 则x02 ? (2 ? i) x0 ? 4ab ? (2a ? b)i ? 0 (2)

? ( x02 ? 2x0 ? 4ab) ? ( x0 ? 2a ? b)i ? 0
? x0 2 ? 2 x0 ? 4ab ? 0 ? ?? ? x0 ? 2a ? b ? 0 ? b ? x0 ? 2a 代入上式 ?

x02 ? 2x0 ? 4a( x0 ? 2a) ? 0 ? 8a2 ? 4x0a ? ( x02 ? 2x0 ) ? 0 ? ? 16x02 ? 32( x02 ? 2x0 ) ? 0

? ? ? x02 ? 4x0 ? 0 ? x0 ?[?4,0]

15.实系数方程ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)有虚根,且虚根的立方为实数, 求证 : b2 ? ac

证明: 设两虚根为?、?, 则? ? ?,

设? ? R,则? ? ? ? ?) ? ? ( 3 3 ?? ? ? 2 2 ? ? ? ?)(? ? ?? ? ? ) 0 ( ? 2 2 ?? ? ?, ? ? ? ?? ? ? ? 0 2 ? ? ? ?)? ?? ? 0 (
3
3 3

3

3

b 2 c b c ? - )? ? 0 ? 2 ? ( a a a a

2

? b ? ac
2

16.解方程 z ? z
解:令z ? x ? yi,( x, y ? R)

??

2

? x2 ? y 2 ? x ( x ? yi)2 ? x ? yi ? ? ??2 xy ? y (1) y ? 0 ? x2 ? x ? x ? 1或0
? z1 ? 1或z2 ? 0
(2) x ? ? 1 1 1 3 ? ? y2 ? ? ? y?? 2 4 2 2

1 3 1 3 ? z3 ? ? ? i或z4 ? ? ? i 2 2 2 2

17.解方程z 2 ? 4 z ? 3 ? 0 解:z2 ? 4 z ? 3 ? 0 ? z 2 ? 4 z ? 3? R ? z ? R或z为纯虚数
()z ? R 1

z ? 4 z ? 3 ? 0 ? z ? 4 z ? 3 ? 0 ? ( z ?1)( z ? 3) ? 0
2
2

? z ? ?1或 ? 3

(2)z为纯虚数 令z =ti(t ? R, t ? 0)

z ? 4 z ? 3 ? 0 ? ?t ? 4 t ? 3 ? 0 ? t ? 4 t ? 3 ? 0
2 2
2

? t ? ?2 ? 7 ? z ? ?(?2 ? 7)i
综上:z ? ?1, ?3, ?(2 ? 7)i

18.已知复数z1 , z2满足条件 z1 ? 2, z2 ? 2, 是否存在非零实数m, 1 1 使得 z1 ? z2 = , z1 z2 ? 同时成立?若存在,求出m的取值范围, m m 若不存在,说明理由.
解: 假设满足条件的m存在,

1 1 由已知 z1z2为实数, ? z1 z2 ? z1 z2 = , 又 z1 ? z2 = , m m 1 1 2 ? z1、z2是方程x ? x ? ? 0 (*)的两根, m m
问题转化为: 方程(*)有两个模小于2的复数根时, 实数m是否存在, 若存在, 求出m的取值范围, 若不存在, 说明理由.

1 1 ? z1、z2是方程x ? x ? ? 0 (*)的两根, m m 问题转化为: 方程(*)有两个模小于2的复数根时, 实数m是否存在,
2

若存在, 求出m的取值范围, 若不存在, 说明理由. 1 2 4 1 ()当? ? 0,( ) ? ? 0,即m ? 时, 1 m m 4 2)内, z ( 2), z1、z2为实数,1、z2 ? ? 2, 即方程两根在(? 2,

1 1 记(x) x ? x ? f ? m m?
2

??0 ? ? (? 2) 0 ? ? f ? 则 ? (2) 0 f ? ? ??2 ? ? 1 ? 2 ? 2m ?

1 m? ? 4 ? ?4 ? 2 ? 1 ? 0 ? m m ?? ?4 ? 2 ? 1 ? 0 ? m m ? 1 ? ?2 ? ? ?2 2m ?

3 ?m?? 4

1 1 ? z1 ? z2是方程x ? x ? ? 0 (*)的两根, m m 问题转化为: 方程(*)有两个模小于2的复数根时, 实数m是否存在,
2

若存在, 求出m的取值范围, 若不存在, 说明理由. 1 2 4 1 (2)当? ? 0,( ) ? ? 0,即m ? 时, m m 4

1 z1、z2为一对共轭虚数, z1 ? z2 ? z1 z2 ? m

由 z1 ? 2, z2 ? 2,
3 1 ? m ? ? 或m ? 4 4

1 1 则 ?2 ?m? , 4 m

19.如果1 ? i是方程2x3 ? 7 x2 ? 10 x ? 6 ? 0的一个根,求其余的根.
解: 方程的必有根 1 ? i ? 方程左边必含有因式 [ x ?(1+i )] ? [ x ?(1 ? i)] 即x2 ? 2x ? 2

2x3 ? 7 x 2 ? 10 x ? 6 ? ? 2 x ? 2x ? 2

2x ? 3

? 方程还有根

3 2


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