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上海市2012届高三4月二模数学卷填、选较难题详解(精品 )


上海市 2012 届高三 4 月二模卷填、选较难题详解
CM(崇明)
4 13.(理)某公司向市场投放三种新型产品,经调查发现第一种产品受欢迎的概率为 5 ,第二、

第三种产品受欢迎的概率分别为 m、n,且不同种产品是否受欢迎相互独立.记 ? 为公司向 市场投放三种新型产品受欢迎的数量,其分布列为

?
p 则 m+n= 1 .
[来源

0
2 45

1 a

2 d

3
8 45

8 4 2 2 4 2 解:p( ? =0)=(1- 5 )(1-m)(1-n)= 45 ?1-(m+n)+mn= 9 ①,p( ? =3)= 5 mn= 45 ?mn= 9 ②,②代入①,

得 m+n=1. 13.(文)某班班会准备从含甲、乙的 7 名学生中选取 4 人发言,要求甲、乙两人至少有一人参加, 且若甲、 乙同时参加,则他们发言时顺序不能相邻,那么不同的发言顺序种类为 600 .
[学

解:类①:甲、乙两人中恰有一人参加,有 C2C5 P4 种;
2 2 2 2 1 3 4 2 2 2 2 类②:甲、乙两人同时参加,有 C2 C5 P2 P3 种. ∴共有 C2C5 P4 + C2 C5 P2 P3 =600 种.

1

3

4

14.(理)给出定义:若 m ? 1 ? x ? m ? 1 (其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作 2 2 {x}=m,在此基础上给出下列关于函数 f (x)=|x-{x}|的四个命题:①函数 y=f (x)的定义域为 R, 值域为 [0, 1 ] ;②函数 y=f (x)在 [? 1 , 1 ] 上是增函数;③函数 y=f (x)是周期函数,最小正周期为 2 2 2

1 ;④函数 y=f (x)的图像关于直线 x ? k (k ? Z ) 对称.其中正确命题的序号是 ①③④ . 2
解:m=1 时,x?( 1 , 3 ],f (x)=|x-1|=f1(x),m=2 时,x?( 3 , 5 ],f (x)=|x-2|= f2(x),显然,f2(x)的图 2 2 2 2 像是由 f1(x)的图像右移 1 个单位而得,一般得,m=k 时,x?( 2 k2?1 , 2 k2?1 ],f (x)=|x-k|=fk(x), m=k+1 时,x?( 2 k2?1 , 2 k2? 3 ],f (x)=|x-k-1|=fk+1(x),fk+1(x)的图像是由 fk(x)的图像右移 1 个单位 而得,于是可画出 f (x)的图像如右: 由图像可知①、③、④是正确命题.
-2 ? 3 2 -1 ? 1 O 2

y

1 2

1

3 2

2

x

14.(文)设 M 为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数 ? 和向量 a ?M,都有 ? a ?M, 则称 M 为“点射域” ,在此基础上给出下列四个向量集合:① {( x, y) | y ? x2};

?x ? y ? 0 2 2 2 2 ② {( x, y ) | ? } ;③ {( x, y) | x ? y ? 2 y ? 0} ;④ {( x, y) | 3x ? 2 y ?12 ? 0} . x? y?0 ?
其中平面向量的集合为“点射域”的序号是 ② . 解:对于①,取 a =(1,2)? {( x, y) | y ? x2},但 3a =(3,6)? {( x, y) | y ? x2}(∵6<32),∴①不是;

?x ? y ? 0 ??x ? ?y0 ? 0 ? x ? y0 ? 0 对于②, a =(x0, y0)? {( x, y ) | ? ,对任意 ? >0,有 ? 0 , } ,则 ? 0 ?x0 ? ?y0 ? 0 x0 ? y0 ? 0 ?x ? y ? 0 ? ? ?x ? y ? 0 即 ? a ? (?x0 , ?y0 ) ? {( x, y ) | ? } ,∴②是; ?x ? y ? 0

对于③,取 a =(1,1)? {( x, y) | x2 ? y2 ? 2 y ? 0} ,但 1 a ? ( 1 , 1 ) ? {( x, y) | x2 ? y2 ? 2 y ? 0} (∵ 2 2 2

( 1 ) 2 ? ( 1 ) 2 ? 2 ? 1 ? 0} ,∴③不是; 2 2 2
对于④,取 a =(1,0)? {( x, y) | 3x2 ? 2 y2 ?12 ? 0} ,但 3a =(3,0)? {( x, y) | 3x2 ? 2 y2 ?12 ? 0} , ∴④不是. 综上知,只有②是. 18.(理)若已知曲线 C1: x2 ?
y2 8

? 1( x ? 0, y ? 0) ,圆 C2: ( x ? 3)2 ? y2 ? 1,斜率为 k(k>0)的

直线 l 与圆 C2 相切,切点为 A,直线 l 与曲线 C1 相交于点 B,|AB|= 3 ,则直线 AB 的斜率 为 ( C ) A.1 B. 1 2 C.
3 3

D. 3

解:圆心 C2(3,0),线段 BA 为圆 C2 的切线,则|AB|= (BC2 )2 ? AC2 ? (BC2 )2 ? 1 ? 3 ?|BC2|=2,∵C2(3,0)恰为双曲线的焦点,右顶点(1,0)到右焦点(3,0)的距离为 2,而右顶点 是双曲线右支上离右焦点最近的点,∴B 即为右顶点(1,0),易知∠ABC2= ? ,∴k=tan ? = 6 6
3 3

.

?x ? 2 y ? 3 ? 0 18.(文)已知变量 x、y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 ,若目标函数 z=y-ax 仅在点(-3,0)处取到最大 ? ? y ?1 ? 0 ? 值,则实数 a 的取值范围为 ( C ) 1 1 A.(3,5) B.(-1,2) C.( 2 ,+? ) D.( 3 ,1)

解:画出区域,得边界三角形的顶点为 A(-3,0),B(0,1),C(-1,1). 目标函数 z=y-ax 必在 A、B、C 三点处取到最大值, ? z ? z B ? 0 ? a ( ?3) ? 1 ? a ? 0 由题设,应有 ? A ?? -3 ? z A ? zC ?0 ? a ( ?3) ? 1 ? a ( ?1) ? 3a ? 1 ?? ?a> 1 . 2 ?3a ? 1 ? a CY(长宁) 13.(理)设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ? 的零点的个数为 7 . 解:由 y ? 2 f ( x) ? 3 f ( x) ? 1 ? 0 ?f(x)= 或 f(x)=1,
2 1 2

y x-2y+3=0 x-3y+3=0 1.5 y-1=0 1 O x

? | lg x |, x ? 0 , 则关于 x 的函数 y ? 2 f 2 ( x) ? 3 f ( x) ? 1 ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? y
1 -2 -1 O 1
f(x)=1 f(x)=1/2

x

如图画出 f(x)的图像,由 f(x)= ?x 有 4 个值;
1 2

由 f(x)=1?x 有 3 个值,故共有 7 个零点. 13.(文)已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=0,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和 直线 l2 的距离之和的最小值是 1 . l 解:设 P(x1,y1),则 y ? 4x1 ,d1+d2=
2 1
| 4 x1 ? 3 y1 ? 6| 5

? x1 ,∵P 与原点同在直 ? x1 =
2 y1 ?3 y1 ? 6 5

y

1

线 l1 下方,∴4x1-3y1+6>0,∴d1+d2=
2 = 210 (9 y1 ? 12 y1 ? 24) ? 1 20

4 x1 ? 3 y1 ? 6 5

?

2 y1 4

P O l2 x

[9( y1 ? 2 ) 2 ? 4 ? 24] ,当 y1= 2 时,(d1+d2)min=1. 3 3

14.如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA、PB、PB 两两垂直,且 PA=3,PB=2,PC=1.设 M 是底面 ABC 内一点,定义 f(M)=(m, n, p), 其中 m、 p 分别是三棱锥 M-PAB、 n、 三棱锥 M-PBC、 三棱锥 M-PCA 的体积.若 f(M)=( 1 , x, y),且 1 ? x 2
a y

? 8 恒成立,则正实数 a 的最小值为 1 .
3

P

1 2 C M B

A

解:由题意,三棱锥 P-ABC 的体积 V= 1 ? 1 ? PA? PB? PC ? 1 , 3 2 又 f(M)=( 1 , x, y),∴ 1 +x+y=1?2x+2y=1,∴ 1 ? x 2 2 =2+2a+
2y x
a y

? ( 1 ? a )(2 x ? 2 y) x y

? 2 ax ≥2+2a+2 4a =2+2a+4 a ≥8?a+2 a -3≥0?( a +3)( a -1) ≥0?a≥1. y

17.(理)已知向量 OB ? ( 2,0) , | CA |? 2 , OC ? (2,2) ,则 OA 与 OB 夹角的最小值和最 大值依次是 ( C ) y ? ? 5? ? 5? 5? ? A.0, 4 B. 4 , 12 C. 12 , 12 D. 12 , 2 解:设 A(x, y),由题意,得(x-2)2+(y-2)2=2,即 A 点轨迹是 以(2,2)为圆心, 2 为半径的圆,如图,∠COA1=∠COA2= ? , 6
O A2 2 C(2,2 A1 B(2,0) )

x

? ∠COB= ? , OA 与 OB 夹角的最小值是∠BOA1= ? - ? = 12 ,最大值是∠BOA2= ? + ? = 5? . 4 4 6 4 6 12

17.(文)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足 PA ? ?2 PM , 则 PA ? ( PB ? PC ) 等于
4 A. 9

A
4 D.- 9

(D)

B. 4 3

C.- 4 3

P B M C

解:如图, PB ? PC ? 2PM ? ?PA ,
4 ∴ PA ? ( PB ? PC ) = ? PA ? ?(? 2 AM ) ? ? 9 . 3 2 2

18.(理)已知有相同两焦点 F1、F2 的椭圆 x ? y ? 1(m ? 1) 和双曲线 xn ? y ? 1(n ? 0) ,P 是它 m
2

2

2

2

们的一个交点,则△F1PF2 的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

( B ) D.随 m, n 变化而变化

解:由对称性,不妨设 P 在第一象限,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,由两曲线的定义,知:

?r1 ? r2 ? 2 m ? r1 ? m ? n ?? ? r 2 ? r22 ? 2(m ? n) ? 2([(m ?1) ? (n ? 1)] ? 2(c2 ? c2 ) ? 1 ? r1 ? r2 ? 2 n ?r2 ? m ? n

? (2c)2 ? PF1⊥PF2?△F1PF2 为 Rt△.
FX(奉贤) 12.(理)关于 x 的方程 x ? m ? x 2 ? 4 没有实数解,则实数 m 的 取值范围是 m<-2,或 0≤m<2 . 解:令 f(x)= x 2 ? 4 ,g(x)=x+m,画出两函数图像如右图, 由图可知,方程没有实数解时,m<-2,或 0≤m<2. 12.(文)从 1 , 1 , 2, 3 中随机抽取一个数记为 a,从 ?? 1, 1, ? 2, 2? 3 2
y 2 -2 O -2 y=g(x) y=f(x) 2 x

?

?

中随机抽取一个数记为 b,则函数 y ? a x ? b 的图象经过第三 象限的概率是 3/8 . 解:记 f ( x) ? a x ? b ,a?
1 1 1 1 C 2 ?C1 ? C 2 ?C2 1 1 C 4 ?C 4

?1 , 1 , 2, 3?,b? ?? 1, 1, ? 2, 2?其图象经过第三象限,则有两种情况: 3 2

①若 a= 1 或 1 ,则 f(0)<0?b<-1?b=-2;②a=2 或 3,则 f(0)≤0?b≤-1?b=-1 或-2. 3 2 故概率 p=
3 ?8.

13.(理)已知某随机变量 ? 的概率分布列如右表, 其中 x>0, y>0, 随机变量 ? 的方差 D? ? 1 ,则 x = 2 1/4 .

?
p

1 x

2 y

3 x

解:由题设,得 x+y+x=1?y=1-2x, E? ? 1 ? x ? 2 ? y ? 3 ? x ? 4 x ? 2(1 ? 2 x) ? 2 ,

D? ? (1 ? 2) 2 ? x ? (2 ? 2) 2 ? y ? (3 ? 2) 2 x ? 2 x ? 1 ? x ? 1 . 2 4
?x ? y ? 2 ? 0 ? 13.(文)过平面区域 ? y ? 2 ? 0 内一点 P 作圆 O : x2 ? y2 ? 1 的两条切线,切点分别为 A、B, ?x ? y ? 2 ? 0 y ?
记∠APB=?,当?最小时,此时点 P 坐标为 解:∵∠APB=2∠APO,而 sin∠APO=
|OA| |OP|

. ,
P -2

?

1 |OP|

2 A O -2

故?最小?∠APO 最小?sin∠APO 最小?|OP|最大,易知 P 在 直线 x-y+2=0 和 y+2=0 的交点(-4,-2)处时满足题意.

B

x

14.(理)若点集 A ? {( x, y) | x2 ? y2 ? 1 , B ? {( x, y) | ?1 ? x ? 1, ? 1 ? y ? 1} ,则点集 } Q ? {( x, y) | x ? x1 ? x2 , y ? y1 ? y2 , ( x1, y1 ) ? A, ( x2 , y2 ) ? B} 所表示的区域的面积为 12+? .
2 2 解:(理)x1=x-x2,y1=y-y2,代入 x1 ? y1 ? 1,得 ( x ? x2 )2 ? ( y ? y2 )2 ? 1 , 表示以点(x2,y2)为圆心,1 为半径的圆以及内部,而点(x2,y2)?B,即点 K (x2,y2)在正方形 MNKL 的周界及内部, -2 -1 如图为点集 Q 所表示的区域,它包含 12 个单位正方形和 4 个四分 L 之一圆弧,故面积为 12+?. 14.(文)操作变换记为 P ( x, y) ,其规则为: P ( x, y) ? ( x ? y, x ? y) ,且规定: 1 1

y

2 1 O -1 -2 1 M N 2

P ( x, y) ? P (P ?1( x, y)) , n 是大于 1 的整数,如: P (1,2) ? (3,?1) , 1 n 1 n P2 (1,2) ? P ( P (1,2)) ? P (3,?1) ? (2,4) ,则 P2012(1,?1) ? (21006,-21006) . 1 1 1
解: P (1,?1) ? (0,2) , P (1,?1) ? P (0,2) ? (2,?2) ? (21,?21) , 1 2 1

P (1,?1) ? (0,4) , P (1,?1) ? (4,?4) ? (22 ,?22 ) , 3 4 P (1,?1) ? (0,8) , P6 (1,?1) ? (8,?8) ? (23 ,?23 ) ,?, P2 0 1 2(1,?1) ? (21 0 0 6,?21 0 0 6) 5
18.(理)已知:P 为椭圆 x ? 25
2

y2 9

? 1 上(异于顶点)的任意一点,过椭圆的右顶点 A 和上顶点 B 分别

作与 x 轴和 y 轴的平行线交于 C,过 P 引 BC、AC 的平行线交 AC 于 N,交 BC 于 M,交 AB 于 D、E,矩形 PMCN 的面积是 S1,三角形 PDE 的面积是 S2,则 S1: S2 为 ( A ) A.1 B.2 C. 1 D.与点 P 的坐标有关 2 解:设 P(5cos?,3sin?),则|PM|=3-3sin?,|PN|=5-5cos?, S1=15(1-sin?)(1-cos?)=15(1+cos?sin?-cos?-sin?),
x 直线 AB 的方程为 5 ? y 3

y

B

? 1,
O

令 x=5cos?,得 yE=3-3cos?;令 y=3sin?,得 xD=5-5sin?, ∴|PE|=3sin?-3+3cos?,|PD|=5cos?-5+5sin?, S2= 1 (3sin?-3+3cos?)(5cos?-5+5sin?)= 15 (cos?+sin?-1)2 2 2 18.(文)平行于 x 轴的直线 l1 与椭圆 C: x ? 25
2

M C P N D E A

x

= 15 (cos2?+sin2?+1+2cos?sin?-2cos?-2sin?)=15(1+cos?sin?-cos?-sin?)=S1. 2
y2 9

? 1 交于左右 A、B 两点,
( C ) D.不是一个定值
y A O C B x

平行于 y 轴的直线 l2 与椭圆 C: x ? 25
2

y 9

2

? 1 交于上下 C、D 两点,
C.30

则四边形 ACBD 面积的最大值为 A.15 B.60

解:设 A(-x1,y1),C(x2,y2),则 B(x1,y1),D(x2,-y2)(x1>0,y2>0),SACBD= 1 |AB||CD| 2 = 1 ? 2x1 ? 2 y2 ? 2x1 y2 ? 2 ? 5 ? 3 ? 30. 2

HK(虹口) 13.(理)函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 4 x, x ? 0 ?4 x ? x , x ? 0
2

,则不等式 f (2 ? x2 ) ? f ( x) 的解集是 (-2, 1) .
y O x

解:由图像可知,f(x)是奇函数,且在 R 上为增函数,
2 2 ∴y? 2 ? x ? x ? x ? x ? 2 ? 0 ? ? 2 ? x ? 1 .

13.(文)函数 f ( x) ? ? 解:① ? x ? 0 ?
2

? x 2 ? 4 x, x ? 0
2 ?4 x ? x , x ? 0

,则不等式 f ( x) ? ?5 的解集是 (-1,+?) . ? ?1 ? x ? 0 . 由①、②求并,得 x ? ?1 .

? x ? 4 x ? ?5

? x ? 0 ;② ? x ? 0 ?
2

2 ? 4 x ? x ? ?5
2

b 14.(理)a、b?R,a>b 且 ab=1,则 a a ? b 的最小值等于 2 2 . ?
2 2 ? b2 2 ? 解: a a ?b ? ( a ?ba)?b 2ab ? (a ? b) ? a ?b ? 2 2 ,当 ?a ? b ? 2 ,即 ?a ? ? ? ?

6? 2 2 6? 2 2

? 或 ?a ? ? ?b ? ?

? 6? 2 2 ? 6? 2 2

时成立等号.

?ab ? 1

?b ? ?

17. P 为双曲线 x2 ? 12 ? 1 上一点,F1、F2 分别是左、右焦点,若 | PF1 |:| PF2 |? 3 : 2 ,则△PF1F2 的面积是 A. 6 3 B. 12 3 C. 12 D. 24 ( C )

y2

解:由 | PF1 |:| PF2 |? 3 : 2 ,可设 | PF1 |? 3k ? r1 , | PF2 |? 2k ? r2 ,由定义, r ? r2 ? 2a ? 2 , 1
2 2 2 2 ∴k=2?r1=6,r2=4, r1 ? r2 ? 52 ? ( 2 13 ) ? ( 2c ) ? PF ? PF2 ?S= S ? 1 r r2 ? 12 . 1 2 1

18.等差数列{an}中, 如果存在正整数 k 和 l(k≠l), 使得前 k 项和 Sk ? A. Sk ?l ? 4 B. Sk ?l ? 4
k l l ?k ?

k l

l , l 项和 Sl ? k , ( A ) 前 则

C. Sk ?l ? 4
( k ? l )(k ? l ) kl

D. S k ? l 与 4 的大小关系不确定
al ?1 ? a k 2
2

解:不妨设 k>l, Sk ? Sl ? ?
al ?1 ? a k 2

,即 al ?1 ? al ? 2 ? ? ? ak ?
al ?1 ? ak 2
2

(k ? l ) ?

( k ? l )(k ? l ) kl

?

k ?l kl

,∴ Sk ?l ?

a1 ? ak ?l 2

(k ? l ) ?

(k ? l ) ? (k ?l ) ? k kl

?l 2 ? 2kl kl

l ? k ? k ?2?4. l

HPJD(黄浦嘉定) 12. (理)设集合 P={1,x},Q={1,2,y},其中 x、y?{1,2,3,4,5,6,7,8,9},且 P?Q.若将满足上述条件 的每一个有序整数对(x, y)看作一个点,则这样的点的个数为 14 . 解:①x=2,则 y 可取 3-9 中任何一个,有 7 个点;②x=y,可取 3-9 中任何一个,有 7 个点. 故共有 7+7=14 个点. 13.(文)某高级中学举行高二英语演讲比赛,共有 9 人参加决赛(其中高二(2)班 2 人,其他班级有 7 人), 比赛的出场顺序按抽签方式产生, 则比赛出场顺序是 “高二(2)班 2 人比赛序号不相连” 的概率是 7/9 .(结果用最简分数表示)
7 2 解: “高二(2)班 2 人比赛序号不相连”的比赛出场顺序和数为 P7 ? P (先排其他班的 7 人,再在 8 8

个空挡处插入 2 人),所以概率 p=

P77 ? P82 P99

?

7 9

13.(理)已知函数 f ( x) ?| x2 ? 2ax ? a | ( x ? R) ,给出下列四个命题: ① 当且仅当 a=0 时,f(x)是偶函数;② 函数 f(x)一定存在零点; ③ 函数在区间(-?, a]上单调递减;④ 当 0<a<1 时,函数 f(x)的最小值为 a-a2. 那么所有真命题的序号是 ①④ . 解: f ( x) ?| ( x ? a)2 ? (a ? a2 ) | ,对称轴 x=a,∴①真; 当 a-a2>0,即 0<a<1 时, f ( x) ? ( x ? a)2 ? (a ? a2 ) ? a ? a2 ? 0 ,故②不真,④真; 当 a-a2<0,即 a<0 或 a>1 时,f(x)区间(-?, a]上先减后增,故③不 真. 14. (理)已知△FAB,点 F 的坐标为(1,0),点 A、B 分别在图中抛物线
Q
O

y

N

A F

y ? 4x 及圆 ( x ?1) ? y ? 4 的实线部分上运动,且 AB 总是平
2 2 2

B M

x

行于 x 轴,那么△FAB 的周长的取值范围为 (4,6) . 解:抛物线的准线 x=-1 恰为圆的切线,画出 f(x)的图像, ∴△FAB 的周长 L=BQ+BF=BQ+2, B 点的两个临界位置可以是 而 第 14 题 N(1,2)和 M(2,0),∴BQ?(2,4)?L?(4,6). 17.(理)已知△ABC 的三边分别是 a、b、c,且 a≤b≤c(a、b、c?N*),若当 b ? n (n?N*)时, 记满足条件的所有三角形的个数为 an,则数列{an}的通项公式为 (B) A.an=2n-1 B. an=
n ( n ?1) 2

C. an=2n+1

D. an=n

解:法 1:n=1 时,(a,b,c)=(1,1,1),∴a1=1,故 C 错; n=2 时,(a,b,c)=(1,2,2)、 (2,2,2)、(2,2,3),∴a2=3,故 D 错; n=3 时,(a,b,c)=(1,3,3)、(2,3,3)、(2,3,4)、(3,3,3)、(3,3,4),(3,3,5),∴a2=6,故 A 错. 法 2:由三角形两边之和大于第三边,知 a+n>c≥n,故:a 取 1,则 c 可取 n,有 1 种取法; a 取 2, c 可取 n、 则 n+1, 2 种取法; 取 3, c 可取 n、 有 a 则 n+1、 n+2, 3 种取法; 有 ?; a 取 n,则 c 可取 n、n+1、?、n+n-1,有 n 种取法, 所以满足题意的三角形共有 1+2+?+n=
n ( n ?1) 2

个(n?N*).

18.已知 O、A、B、C 是同一平面上不共线的四点,若存在一组正实数 ?1 、 ?2 、 ?3 ,使得

?1OA ? ?2 OB ? ?3 OC ? 0 ,则三个角∠AOB、∠BOC、∠COA
A.都是钝角 B.至少有两个钝角 C.恰有两个钝角 D.至多有两个钝角
2

( B )

解: ?1 OA ? ?2 OB ? ?3 OC ? 0 ? ?1 OA ? OC ? ?2 OB ? OC ? ??3 OC ? 0 ,即

?1 | OA | ? | OC | ? cos ?COA ? ?2 | OB | ? | OC | ? cos ?BOC ? 0 ,
∵ ?1 | OA | ? | OC | >0 且 ?2 | OB | ? | OC | >0,∴ cos?COA与 cos?BOC中至少有一个为负 数,即∠COA 与∠BOC 中至少有一个为钝角,同理,∠AOB 与∠BOC 中至少有一个为钝角, ∠AOB 与∠COA 中至少有一个为钝角,故三个角∠AOB、∠BOC、∠COA 中至少有两个为 钝角. JA、YP、QP、BS(静安、杨浦、青浦、宝山) 1 1 13.若正实数 x , y 满足: 1? x ? 1? y ? 1 ,则 xy 的取值范围为 [9,+?) . 2
1 1 解: 1? x ? 1? y ? 1 ?2+2y+2+2x=(1+x)(1+y)=1+x+y+xy?xy=3+(x+y)≥3+2 xy ,令 xy =t>0, 2

代入,得 t2-2t-3≥0? t≥3? xy≥9.

14.设双曲线 x4 ? y ? 1 的右焦点为 F,点 P1、P2、?、Pn 是其右上方一段(2≤x≤2 5 ,y≥0)上的
2

2

点,线段|PkF|的长度为 ak(k=1,2,3,?,n).若数列{an}成等差数列且公差 d?( 1 , 5
y

5 5

),则 n 最大

Pn

O

2F

2 5

x

取值为 14 . 解:以 x=2 5 代入双曲线方程,得 Pn(2 5 ,2). d?( 1 , 5 n-1=
5 )?an↑,(an)min=a1=c-a= 5 a n ? a1 1 ,而 , d d

5 -2,(an)max=an=|PnF|=3,

5 ? ?5

∴n-1< 5(an ? a1 ) ≤5[3-( 5 -2)]=5(5- 5 )=25-5 5 ?n<26-5 5 =14.82,∵n?N*,Nmax=14.

18.(理)已知点 O 为△ABC 的外心,且 | AB |? 6 , | AC |? 2 ,则 AO ? BC 的值为 A.16 B.-16 C.
64 3

(B)
A 2 C

D.-

64 3

解:取 BC 中点 D,由 OB=OC,知 OD⊥BC? OD ? BC ? 0 , ∴ AO ? BC = ( AD ? DO ) ? BC = AD ? BC ? DO ? BC
2

6 O B
2

D

= AD ? BC ? 0 = 1 ( AC ? AB ) ? ( AC ? AB ) ? 1 ( AC ? AB ) ? 1 (4 ? 36) ? ?16 2 2 2 18.(文)如图所示,点 P 是函数 y=2sin(?x+?)(x?R, ?>0)的图像 的最高点,M、N 是该图像与 x 轴的交点,若 PM ? PN ? 0 , 则?的值为 A. ? 8 B. ? 4 C.4 D.8
y P M O N x

(B)

解:由题意知△MPN 是以 MN 为斜边的等腰直角三角形,∴|MN|=2yp=4? T ? 4 ?T=8, 2 ∴ 2? ? 8 ? ? ? ? . ? 4 MH(闵行) 12.(理)已知曲线 C: x2 ? y2 ? 9( x ? 0, y ? 0) 与函数 y=lnx 及函数 y=ex 的图像分别交于点
2 2 A(x1, y1)、B(x2, y2),则 x1 ? x2 的值为 9 . 解:∵函数 y=lnx 及函数 y=ex 是一对反函数,∴两者图像关于直线 y=x 对称,而圆 C 也是关于直 线 y=x 对称,故两个交点 A(x1, y1)、B(x2, y2)关于直线 y=x 对称,∴x2=y1, 2 2 2 2 ∴ x1 ? x2 = x1 ? y1 ? 9 .

12.(文)已知曲线 C: x2 ? y2 ? 9( x ? 0, y ? 0) 与直线 x ? y ? 4 相交于点 A(x1, y1)、B(x2, y2), 则 x1y2+ x2y1 值为 9 .
2 2 解:易知交点 A(x1, y1)、B(x2, y2)关于直线 y=x 对称,∴y2=x1,x2=y1,∴x1y2+x2y1= x1 ? y1 ? 9 .
3 x 4 x 13.(理)问题“求方程 3x+4x=5x 的解”有如下的思路:方程 3x+4x=5x 可变为 ( 5 ) ? ( 5 ) ? 1 ,考察 3 x 4 x 函数 f ( x) ? ( 5 ) ? ( 5 ) 可知,f (2)=1,且函数 f (x)在 R 上单调递减,∴原方程有唯一解 x=2.

仿照此解法可得到不等式:x6-(2x+3)>(2x+3)3-x2 的解是 x<-1 或 x>3 . 解:变形不等式为(x2)3+x2>(2x+3)3+(2x+3)(*),考察函数 f(x)=x3+x,则 f (x)在 R 上单调递增, 故 f (u)> f (v)? u> v,把不等式(*)中的 x2 看作 u,2x+3 看作 v,则有 x2>2x+3?x<-1 或 x>3.
3 x 4 x 13.(文)问题“求不等式 3x+4x≤5x 的解”有如下的思路:不等式 3x+4x≤5x 可变为 ( 5 ) ? ( 5 ) ? 1 , 3 x 4 x 考察函数 f ( x) ? ( 5 ) ? ( 5 ) 可知,函数 f ( x) 在 R 上单调递减,且 f (2)=1,∴原不等式的解是

x≥2. 仿照此解法可得到不等式:x3-(2x+3)>(2x+3)3-x 的解是
3 3 3



解:变形不等式为 x +x>(2x+3) +(2x+3)(*),考察函数 f(x)=x +x,则 f (x)在 R 上单调递增, 故 f (u)> f (v)? u> v,把不等式(*)中的 x 看作 u,2x+3 看作 v,则有 x>2x+3?x<-3. 14.(理)若 f ( x) ?
x , x ?1

f1 ( x) ? f ( x) , f n ( x) ? f n ?1[ f ( x)](n ? 2, n ? N ? ) ,
2012 .

则 f(1)+f(2)+?+f(2012)+f1(1)+f2(1)+?+f2012(1)=

解: f1( x) ? f ( x) ?

x x ?1

, f 2 ( x) ? f1[ f ( x)] ?
f ( x) 2 f ( x ) ?1

f ( x) f ( x ) ?1

?

x 1? x x ?1 1? x

?

x 2 x ?1 , f ( x) 3 f ( x ) ?1

f3 ( x) ? f 2 [ f ( x)] ?
一般地, fk ( x) ? 18.方程
x| x| 16

?

x 1? x 2x ?1 1? x

?

x 3 x ?1

, f 4 ( x) ? f 3[ f ( x)] ?

?

x 1? x 3x ?1 1? x

?

x 4 x ?1



x kx ?1

? fk (1) ?

1 k ?1

,而 f (k ) ? kk 1 ,∴ f (k ) ? fk (1) ? 1 ,故原式=2012. ?

?

y| y| 9

? ?1的曲线即为函数 y=f(x)的图像,对于函数 y=f(x),有如下结论:①f(x)在 R

上单调递减;②函数 F(x)=4f(x)+3x 不存在零点;③y=f(|x|)的最大值为 3;④若函数 g(x)和 f(x)的图 像关于原点对称,则 y= g(x)由方程 (A) ③④.
y| y| 16

?

x| x| 9

? 1 确定.其中所有正确的命题序号是
(C) ①④. (D) ①②.

( D )

(B) ②③.

解:由方程可画出 y=f(x)的图像,易知①正确; 对于②,令 F(x)=0,即 4f(x)+3x=0? f(x)= ? 3 x , 4 注意到 y ? ? 3 x 是一、四象限两部分双曲线的渐近线, 4 ∴方程 f(x)= ? 3 x 无解,故②正确; 4
-4 -3

y O x
y??3 x 4

y O x
-3
y??3 x 4

? f ( x ), x ? 0 对于③,y=f(|x|)= ? ,是偶函数,其图像如右, ? f ( ? x ), x ? 0
∴y=f(|x|)的最大值应为-3,③不正确; 对于④,在 y=f(x)中,以(-x,-y)代(x,y),得
? x| x| 16

|x ? ? y9| y| ? ?1 ,即 x16| ?

y| y| 9

? 1 ,此方程

确定了函数 y= g(x),故④不正确. 综上可知,①②正确. PD(浦东) 12.(理)毕业生小王参加人才招聘会, 分别向 A、 两个公司投递个人简历.假定小王得到 A 公司面 B 1 试的概率为 3 ,得到 B 公司面试的概率为 p,且两个公司是否让其面试是独立的。记 ? 为小王得 到面试的公司个数.若 ? ? 0 时的概率 p( ? ? 0 )= 1 ,则随机变量 ? 的数学期望 E( ? )= 2 解:p( ? ? 0 )= ? (1-p)= ?1-p= ? p= ,∴p( ? ? 1 )= ? + ?
5 7 1 1 p( ? ? 2 )= ? 1 = 12 ,E( ? )=0? 1 +1? 12 +2? 12 = 12 . 4 2 1 2 1 3 2 3 1 2 3 4 1 4 1 3 3 4 2 3 1 4 5 = 12 ,

7/12 .

13.(理)手机产业的发展催生了网络新字“孖”.某学生准备在计算机上作出 其对应的图像,其中 A(2, 2),如图所示.在作曲线段 AB 时,该学生想把函数

y
B

y ? x 2 , x ? [0, 2] 的图像作适当变换, 得到该段函数的曲线.请写出曲线段 AB
在 x ? [ 2, 3] 上对应的函数解析式为 y ?
1

1

2

A

2 ( x ? 2) 2 ? 2 .

1

O

2 3 x

解: y ? x 2 , x ? [0, 2] 时递增,图像的两端点为(0,0)、(2, 2 ) ,变换后的端点 (0,0)变为(2,2),(2, 2 ) 变为(3,
2 +2),则需要横向的压缩,
1 1 1

∴设 x?[2,3]时,对应的函数解析式为 y ? a( x ? 2) 2 ? 2 , 以(3, 2 ) 代入,得 2 ? 2 ? a(3 ? 2) 2 ? 2 ? a ?

2 ,∴ y ? 2 ( x ? 2) 2 ? 2 . 2 2 2 2 ? 2 14. 在证明恒等式 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1)(n ? N ) 时,可利用组合数表示 n , 6
2 2 1 ? 3 3 3 3 即 n ? 2Cn ?1 ? Cn (n ? N ) 推得.类似地, 在推导恒等式 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? [

n ( n ?1) 2 2

] (n ? N ? )

3 1 时,也可以利用组合数表示 n 推得.则 n = n 3 ? 6Cn ?1 ? Cn .

3

3

解: Cn ?1 ?
3

( n ?1) n ( n ?1) 1? 2?3

3 3 1 ? 1 (n3 ? n) ? n 3 ? n ? 6Cn ?1 ? n 3 ? 6Cn ?1 ? Cn . 6
2 2 2

17.若双曲线 C1 :

x2 2 a1

y y x ? b 2 ? 1(a1 ? 0, b1 ? 0) 和双曲线 C2 : a 2 ? b 2 ? 1(a2 ? 0, b2 ? 0) 的焦点相同,
1 2 2

且 a1 ? a2 给出下列四个结论:① a ? a ? b ? b
2 1 2 2 2 2

a1 2 1 ;② a 2

?

b2 b1

;③双曲线 C1 与双曲线 C2 一定没 ( B )

有公共点;④ a1 ? a2 ? b1 ? b2 .则其中所有正确的结论序号是 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④
2 2 2 2 2 2 2 2 解:由题设, c1 ? c2 ? a1 ? b12 ? a2 ? b2 ? a1 ? a2 ? b2 ? b12 ,∴①正确; 2 2 2 取 a1 ? 4 , a2 ? 3 , b1 ? 3 , b2 ? 4 ,满足 a1 ? a2 且 a1 ? b12 ? a2 ? b2 ,

但 a1 ?
a
2

4 3

2 ? b1 ,且 a1 ? a2 ? 7 ? b1 ? b2 ,故②与④都不正确,所以只留下选项 B. b
2

? x2 ? y2 ? 1 2 2 可证明③正确:由 ? a12 b12 ? x2 ? ?x a1 y ? a 22 ? b22 ? 1 ?
?
2 2 a 2 ? a1 2 2 a1 a 2 2 2 1 2

y2 b12

?

x2 2 a2

y ? b 2 ? ( a12 ? a12 )x2 ? ( b12 ? b12 ) y2
2

2

1

2

1

2

2 2 2 2 x 2 ? bb 2?b21 y 2 (*),由 a1 ? a2 ? 0 及 a1 ? b12 ? a2 ? b2 知,方程(*)左边是负数,而右 b

边是正数,故方程无解. 18.已知函数 f ( x) ? ?

?2 x, 0 ? x ? 1 2 ,且 f1 ( x) ? f ( x) , fn ( x) ? f ( fn?1( x)), n ? 1,2,3,?. 2 ? 2 x, 1 ? x ? 1 2 ?
( C D.2(2n -1)个
1 y=f1(x) y 图 1:n=1 时 y=x

则满足方程 f n ( x) ? x 的根的个数为 A.2n 个 B. 2n2 个 C. 2n 个 解:只要考虑 y ? f n (x) 与 y ? x 的图像的交点的个数. n=1 时,由图 1 知 y ? f1 ( x) 与 y ? x 的图像有 2 个交点; n=2 时, f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ? ?

)

?2 f ( x), 0 ? f ( x) ? 1 2 , 2 ? 2 f ( x), 1 ? f ( x) ? 1 2 ?

O y 1
1 2

1 2

1 y=x

x

如图 2,原线段 OA1 与 D1C1,现分别变为线段 OA2 和 D1A2; 原折线 A1B1C1,现变为折线 A2B2C2, 由图可知 y ? f 2 ( x) 与 y ? x 的图像有 22 个交点? 一般地, y ? f n (x) 的图像是把 y ? fn?1 ( x) 的图像横向倍增

图 2:n=2 时 A2 B1 C2 C1 B2
1 2 3 4

y=f1(x) A1
1 4

O

D1 1

x

而得,即每一个上三角波都倍增为两个上三角波,故与直线 y ? x 的图像的交点个数也翻了 一番,交点个数成公比为 2 的等比数列,首项为 2,故有 2n 个交点. PT(普陀) 12.(理) 某学生在参加语、数、外三门课程的学业水平考试 ? 0 1 2 3 3 4 2 中,取得 A 等第的概率分别为 5 、 5 、 5 ,且三门课程的成 6 24 p( ? ) a b 125 125 绩是否取得 A 等第相互独立。记 ? 为该生取得 A 等第的课 程数,其分布律如表所示,则数学期望 E ? 的值为
37 58 24 E ? =1? 125 +2? 125 +3? 125 =1.8. 4 5 3 5 2 5 4 5 3 5 2 5 4 5

.

3 37 6 37 58 2 24 解: a=p( ? =1)= ?(1- )?(1- )+(1- )? ?(1- )+(1- )?(1- 5 )? 5 = 125 , b=1- 125 - 125 - 125 = 125 ,

13.(理) 点 Q ( x, y ) 是函数 y ?| 最小值是 解: y ?|
x2 2

x2 2

? 1 | 图像上的任意一点,点 P (0,5) ,则 P、Q 两点之间距离的 y
5 P Q 1 O x

11 . ? 1 ? x22 , ? 2 ? x ? 2 ? ? 1 |? ? x 2 ,其图像如右, ? 2 ? 1, x ? ? 2 or x ? 2 ?

由图知,若 ? 2 ? x ? 2 ,则|PQ|小=4; 若 x ? ? 2 ,或 x ?

2 ,则 y ?

x2 2

? 1 ? x2 ? 2 y ? 2 ,

∴|PQ|2= x2 ? ( y ? 5)2 ? 2 y ? 2 ? y2 ?10y ? 25 ? y2 ? 8 y ? 27 ? ( y ? 4)2 ? 11, 当 y=4 时,|PQ|小= 11 ,∵ 11 <4,∴|PQ|min= 11 . 14.(理) 由 8 个整数形成的样本数据中,至少有六个互不相同的整数,若平均数、中位数、 唯一的众数和全距(即样本中最大数与最小数之差)都是 8,则可能成为样本数据中的 最大整数是 13 . 解:8 个整数的样本数据中,唯一的众数是 8,∴8 至少出现了两次,∵至少有六个互不相同的整 数,故 8 至多出现 3 次,又中位数是 8,且中位数是第 4、第 5 个数,故第 4、第 5 个数都是 8,于是只有如下排法时符合要求,且使最大数取最大值:5,6,7,8,8,8,9,13. XH、SJ、JS(徐汇、松江、金山) 12.( 理 ) 若 函 数 y=f(x)(x?R) 满 足 f(x-2)=f(x) , 且 x?[-1,1] 时 , f(x)=1-x2 , 函 数

? lg(x ? 1), x ? 1 ? g ( x) ? ? ? 1 , x ? 0 ,则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?5,6] 内的零点的个数为 9 . x ?0, 0 ? x ?1 ? y 解:令 h( x) ? 0 ,得 f ( x) ? g ( x) ,画出两函数的图像, 1 由图像可知,函数 y ? f (x) 与 y ? g (x ) 在区间 [?5,6] 内的交点有 9 个, -1 O 1 x -5 -3 5 6 2 3 故函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?5,6] 内的零点有 9 个.
? a1 1 a1 2 ? ? a2 1 a2 2 x 13.(理) 已知函数 f ( x) ? 1? x ,在 9 行 9 列的矩阵 ? ? ? ? ?a ? 9 1 a9 2 i 的元素 aij ? f ( j ) ,则这个矩阵中所有数之和为 81/2 .
解: aij ? f ( ij ) ? 1?j i ?
j i

a1 3 ? a1 9 ? ? a2 3 ? a2 9 ? 中,第 i 行第 j 列 ? ? ?? ? a9 3 ? a9 9 ? ?

i i? j

, a ji ? f ( i ) ?
j

j i

1? i

j

? i ?j j ,∴ aij ? a ji ? 1 ,故在求和中可看作
y2 b2

每一个元为 1 ,∴总和为 81 . 2 2
x 14.(理) 如图,点 P(x,y)(x>0,y>0)是双曲线 a 2 ?
2

? 1(a ? 0, b ? 0) 上的动点,F1、F2 是双曲线的

焦点,M 是∠F1PF2 的平分线上一点,且 F2 M ? MP ? 0 .某同学用以下方法研究|OM|:延长 F2M 交 PF1 于点 N,可知△PNF2 为等腰三角形,且 M 为 F2N 的中点,得|OM|= 1 |NF1|=?=a. 类似地: 2
x 点 P(x,y)(x>0,y>0)是椭圆 a 2 ?
2

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 上的动点,F1、F2 是椭圆的焦点,M 是∠F1PF2 的
a 2 ? b2 ).
y P N M F2 x F1 O F2 x

平分线上一点,且 F2 M ? MP ? 0 ,则|OM|的取值范围是 (0,
y N O P M

.

F1

解:延长 F2M 交 PF1 于点 N,可知△PNF2 为等腰三角形,且 M 为 F2N 的中点,

得|OM|= 1 |NF1|= 1 (|PF1|-|PF2|)= 1 (2a-2|PF2|)=a-|PF2|,∵P(x,y)(x>0,y>0)是椭圆位于第一象限 2 2 2 上的点,∴a-c<|PF2|<a,∴a - a < a-|PF2|< a-(a-c)? 0< a-|PF2|< c,即|OM|?(0,
a 2 ? b2 ).

16.(理)设 A(a,1)、B(2,b)、C(4,5)为坐标平面上三点,O 为坐标原点。若 OA 与 OB 在 OC 上的投 影相同,则 a 与 b 满足的关系式为 (A)5a-4b=3 (B)4a-5b=3 (C)4a-5b=14 解:由题意,得 OA?OC ?
|OC| OB?OC |OC|

( (D)5a+4b=14

B )

?(a,1)?(4,5)= (2,b)?(4,5)?4a+5=8+5b?4a-5b=3.

YP(杨浦) 12.(理)设幂函数 f ( x) ? x3 ,若数列{an}满足:a1=2012,且 an+1=f(an)(n?N*),则数列的通项 an=

2 0 13 2

n?1


n?1

3 3 3 9 3 9 3 27 3 解:an+1=f(an)= a ,∴ a2 ? a1 , a3 ? a2 ? ( a1 ) ? a1 , a4 ? a3 ? (a1 ) ? a1 ,…, 3 n

3 一般可得 an ? a1

3 ? 2012 .

n?1

13. 对任意一个非零复数 z,定义集合 Az ? {? | ? ? z n , n ? N ?} ,设?是方程 x2+1=0 的一个根, 若在 A?中任取两个不同的数,则其和为零的概率为 P= (结果用分数表示). 解:?=?i,A?={i, -1, -i, 1},任取两个不同的数,其和为零的取法只有 2 种,即 i、-i 或 1、-1, p= 22 ? 1 . 3
C4

1 14. 函数 y ? 1? x 的图像与函数 y ? 2 sin ?x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和

y

等于 4 . 解:画出两函数的图像,可知两图像均关于点(1,0)中心对称, 故它们的交点也关于点(1,0)中心对称,且它们有 4+4=8 个 交点,∴交点的横坐标之和为 8? 1 =4. 2

2

-2 -1 -2

1

2

3

4

x

18. 已知点 A(-1,-1).若曲线 G 上存在两点 B、C,使△ABC 为正三角形,则称 G 为 ? 型曲线.给 定下列三条曲线: ①y=-x+3(0≤x≤3); ② y ?
1 2 ? x2 (? 2 ? x ? 0) ; ③ y ? ? x ( x ? 0) .

( C ) 其中, ? 型曲线的个数是 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 解:对于①,设线段 y=-x+3(0≤x≤3)的两个端点为 M(3,0)、N(0,3),则 A(-1,-1)位于线段 MN 的垂
AM ? AN cos∠MAN= | AM |?| AN | ? 直平分线 l 上, AN AM ? (4,1) , ? (1,4) , 4? 4 17? 17 8 ? 17 ? 1 ?∠MAN> ? , 2 3

故可把 AM、AN 沿直线 l 对称往里收缩得 AB、AC,使△ABC 为正三角形,∴①为 ? 型曲线. 对于②, y ?

2 ? x2 (? 2 ? x ? 0) 表示在第二象限的四分之一圆弧,
2 ),A(-1,-1)恰在四分之一圆弧
M -1 A

y N

其两个端点 M(- 2 , 0)、N(0,

所在的圆上,A 点对弧 MN 上的点的最大张角为∠MAN= 1 ∠MON 2 =45?<60?,故在弧 MN 上不存在点 B、C,使△ABC 为正三角形, 即②不是 ? 型曲线.

O -1

x

对于③,设 P(x, y)为 y ? ? 1 ( x ? 0) 上的点,则 x PA =(x+1) +(y+1) =(x+1) +( ? +1) =x +2x+1+
2 2 2 2

y

1 x

2

2

1 x2

? +1
2 x
2

O -1 B A M -1 P0 C N x

=(x +

2

1 x2

)+2(x- )+2=(x-

1 x

1 2 1 x ) +2(x- x
5 ?1 时, 2

)+4=(x- +1) +3,

1 x

当 x- 1 +1=0(x>0),即 x= x

|PA|min= |P0A|= 3 ,现构造一个 60?的角 MAN,其两边 AM、 AN 在直线 AP0 两侧,设 AM、AN 与曲线 y ? ? ( x ? 0) 的交
1 x

点为 B、C,∵当 P 在 P0 处沿曲线 y ? ? 1 ( x ? 0) 往上或往 x 下运动时,|PA|都是由 3 连续增大而趋于正无穷大,∴总可 把∠MAN 绕 A 适当转动,使 AB=AC,故③是 ? 型曲线. ZB(闸北) 13. (理)若 2 x - 1 + x - a

2 对任意实数 x 恒成立, 则实数 a 的取值范围为 (-?,-1]∪[3,+?) . ì ? 4 - 2 x, x 1 解:原不等式化为 x - a ? 2 2 | x - 1| ,令 f ( x ) = 2 - 2 | x - 1|= í , ? 2 x, x < 1 ? g ( x) =| x - a | ,则不等式成为 g ( x) ? f ( x) 对任意实数 x 恒成立, y 2 等价于 g (x) 的图像不在 f (x ) 图像的下方,
如图可知,a≤-1 或 a≥3 为所求.
a -1 O 1 2 3 a x

14.(理)对于任意的平面向量 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,定义新运算 ? : a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 y2 ) .若

a, b, c 为平面向量, k ? R ,则下列运算性质一定成立的所有序号是 ①④
① a ?b ? b ?a ; ② (k a) ? b ? a ? (k b) ; ④ a ? (b ? c) ? (a ? b) ? c ; ⑤ a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c .



③ k (a ? b) ? (k a) ? (k b)

解:对于①, a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 y2 ) = ( x2 ? x1 , y2 y1 ) ? b ? a ,∴①成立; 对于②,取 k=0,则 (k a ) ? b ? ( x2 ,0) , a ? ( k b) ? ( x1,0) ,∴②不一定成立; 对于③,k (a ? b) ? k ( x1 ? x2 , y1 y2 ) ? (kx1 ? kx2 , ky1 y2 ) ,( k a ) ? ( k b ) ? (kx1 ? kx2 , k 2 y1 y2 ) , ∴③不一定成立; 对于④, a ? (b ? c) ? ( x1, y1 ) ? ( x2 ? x3 , y2 y3 ) ? ( x1 ? x2 ? x3 , y1 y2 y3 ) ,

(a ? b) ? c ? ( x1 ? x2 , y1 y2 ) ? ( x3 , y3 ) ? ( x1 ? x2 ? x3 , y1 y2 y3 ) ,∴④一定成立;
对于⑤, a ? (b ? c) ? ( x1, y1 ) ? ( x2 ? x3 , y2 y3 ) ? ( x1 ? x2 ? x3 , y1 y2 y3 ) ,

a ? b ? a ? c ? ( x1 ? x2 , y1 y2 ) ? ( x1 ? x3 , y1 y3 ) ? (2 x1 ? x2 ? x3 , y12 y2 y3 ) ,
∴⑤不一定成立. 综上,只有①④成立.
* 1 18. 设 {an } 是公比为 q 的等比数列, 首项 a1 = 64 , 对于 n ? N , n = log 1 an , 当且仅当 n = 4 时, b
2

数列 {bn } 的前 n 项和取得最大值,则 q 的取值范围为 A. (3,2 3 ) B. (3,4) C. ( 2 2 , 4) D. (2 2 ,3 2 ) ?? í

( C

)

解:设 {bn } 的前 n 项和为 Sn,由题意, ? í

ì S4 > S3 ? S4 > S5 ?

?? í

ì b4 > 0 ? b5 < 0 ?

ì log 1 a4 > 0
2

? log 1 a5 < 0 ? 2

?? í

ì 0 < a4 < 1 ? a5 >1 ?

ì 0 < 1 ?q 3 1 ì q3 < 64 ?? ?? ?2 2 <q <4 . í 1 64 4 í 4 ? 64 ?q 1 ? q > 64 ? ?


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