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2013年“卓越联盟”自主招生数学试卷评析


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福建中学数学

2014 年第 1、2 期

立足选拔,关注公平的基础上,能够“常考常新”,落 实专业素养考查,为我省基础教育事业输送大批优 秀人才.
参考文献 [1]福建教育厅.2013 年福建省中小学新任教师公开招聘考试中学数学学

科考试大纲[EB/OL]. http://jsz

k.fjzk.com.cn/jcms.php?id=1214&m5=9bbccf2121966e70453db43e7 d123e90 [2]林文广. 教师招考命题质量控制的研究[J]. 教育与教学研究, 2009 (12) : 12-13 [3]刘凤丹.数学教师错误分析能力[J].教育时空,2010(10) :163

2013 年“卓越联盟”自主招生数学试卷评析
祝敏君 1,2 倪莹莹 1 1 福建师范大学数学与计算机科学学院(350007) “卓越联盟”由北京理工大学、 重庆大学、 大连理 工大学、东南大学、哈尔滨工业大学、华南理工大 学、天津大学、同济大学、西北工业大学等九所以 理工科为特色的国家 “985 工程” 大学所组成.2013 年 12 月 22 日,“卓越联盟”发布了“2014 年自主选拔 录取实施公告”, 明确指出 2014 年九校将继续联合开 展选拔录取工作,选拔具有学科特长、创新潜质的 优秀学生. 而这其中最引起关注的莫过于“卓越联盟” 的笔试(学科基础测试)将定于 2014 年 3 月 1 日进 行,这意味着考试时间将与两大联盟“北约”、“华约” 再一次撞车. 对于占据“半壁江山”的数学学科而言, 三大联盟 的考查方式则显得颇有些耐人寻味. “华约”不分文理 科,“北约”文理仅一题不同,而“卓越”则相当于文理 分科, 同题一般不超过四题. 本文将就 2013 年“卓越 联盟”自主招生数学试卷作相关评析,仅供广大师生 参考. 题 1 (理科) 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数,则( A. f ( 2
1 + + 2

陈清华 1 2 福建省闽侯县第一中学(350100)
+ 1 2 )
n ?1

. ,则 log a b , log b a , log a

a 的大小关 b

系为(

a < log b a < log a b b a B. log a b < log b a < log a b a C. log a b < log a < log b a b a D. log a < log a b < log b a b 1 1 1 1 + + + ≤ 2(1 ? n ) = 1 解析 由 a1 ? 2 a2 ? 2 an ? 2 2

A. log a

1 ,及对数函数性质,易得 log a b > 1 , 2n ?1 a a log a < 0 . 0 < log b a < 1 , 故有 log a < log b a < log a b , b b +

1 + + 2

) < f ( ? log 5) < f ( ?3) B. f ( ?3) < f ( 2 ) < f ( ? log 5 ) C. f ( ?3) < f ( ? log 5 ) < f ( 2 ) D. f ( 2 ) < f ( ?3) < f ( ? log 5 )
0.7 2 0.7 2 0.7 2 0.7 2



解析 由 f ( x ) 为 R 上的偶函数,可得 f ( ?3) = 是增函数, 且 20.7 < log 2 5 < 3 , 故 f ( 20.7 ) < f ( ? log 2 5 ) <
f ( ?3) ,答案为 A.

f ( 3) , f ( ? log 2 5 ) = f ( log 2 5 ) .又 f ( x ) 在 ( 0 , + ∞) 上

(文科)

1 1 + + a1 ? 2 a2 ? 2

+

1 1 ≤ 2(1 ? n ) = 1 an ? 2 2

答案为 A. 评析 本题主要考查考生对于函数基本性质的 灵活运用,突出数形结合思想.此类题型是考生平 时常接触的,因而对于此类题型的一般解法考生大 多心中有数. π 题 2 已知函数 f ( x) = sin(ω x + ? )(ω > 0 , 0 <? < ) 2 ? π ? 的图象经过点 B ? ? , 0 ? ,且 f ( x ) 的相邻两个零点的 ? 6 ? π 距离为 ,为得到 y = f ( x) 的图象,可将 y = sin x 图 2 象上所有的点( ) π A.先向右平移 个单位长度,再将所得点的横 3 1 坐标变为原来的 倍,纵坐标不变 2 π B.先向左平移 个单位长度,再将所得点的横 3

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1 坐标变为原来的 倍,纵坐标不变 2 π C.先向左平移 个单位长度,再将所得点的横 3 坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变 π D.先向右平移 个单位长度,再将所得点的横 3 坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变 π 解析 由题意易得, 函数 f ( x) = sin(2 x + ) . 再根 3 据三角函数的平移、伸缩相关知识,易得答案为 B. 评析 本题主要考查三角函数图象变换的相关 知识,难度不大,考生平时若能扎实掌握基础知识, 解答此类题型应该是得心应手的. 题 3 (理科)如图,在 A , B , A B C , D , E 五个区域中栽种 3 种植 物,要求同一区域只种 1 种植物, C E D 相邻两区域所种植物不同,则不同 的栽种方案的总数为( ) A. 21 B. 24 C. 30 D. 48 解析 本题的区域较少,可作如下考虑:对于区 对于 B ,E 分两种情况考虑: ①B, 域 A 有三种方案, E 同色,此时有 3 × 2 × 2 = 12 种;② B , E 不同色, 此时有 3 × 2 × 3 = 18 种.故共有 30 种,答案为 C. 评析 本题考查排列组合相关知识,而涂色问题 作为排列组合问题中较为常见的题型,更应引起重 视.若在平时复习,考生能搭建起完善的知识网络 结构,多加思考,便可发现此题的区域栽种方式具 有递推关系,据此可将区域的个数推广到一般情况. 推广 采用数列递推的方式推广到 n 块不同区域 的情况;设栽种的方式有 an 种.对于区域 A 有三种

? a + b +1? a +1? b ? 得 f ( 0 ) ? f (1) = ab ? (1 ? a ) ? (1 ? b ) ≤ ? ? , 4 ? ? 1 当且仅当 a = b = 时,取“=”.答案为 A. 2 评析 本题主要考查均值不等式的灵活运用.此 类常用不等式的考查在自主招生考试中比较常见, 要求考生对此方面知识有所拓展,并能够掌握相关 技巧. 题 4 (理科)设函数 f ( x ) 在 R 上存在导数
f ′( x) ,对任意的 x ∈ R 有 f ( ? x ) + f ( x ) = x 2 ,且在
+ ∞ ) 上 f ′( x) > x .若 f ( 2 ? a ) ? f ( a ) ≥ 2 ? 2a ,则 (0 ,

实数 a 的取值范围为( A. [1 , + ∞)   C. ( ?∞ , 2]  



B. ( ?∞ , 1] D. [ 2 , + ∞)

1 解析 令 g ( x ) = f ( x ) ? x 2 , 2 1 则 g ( ? x ) = f ( ? x ) ? x2 . 2 2 又 f (?x) + f ( x) = x ,

则 g ( x ) + g ( ? x ) = f ( x ) + f ( ? x ) ? x2 = 0 , 即 g ( x) = g (?x) . 又 g ( 0 ) = 0 ,故 g ( x ) 为 R 上的奇函数. 又在 ( 0 , + ∞ ) 上, g ′ ( x ) = f ′( x ) ? x > 0 , 故 g ( x) 在 (0 , + ∞ ) 上单调递增, 故 g ( x ) 在 R 上单调递增. 又 g ( 2 ? a ) ? g ( a ) = f ( 2 ? a ) ? f ( a ) ? 2 + 2a , 若 f ( 2 ? a ) ? f ( a ) ≥ 2 ? 2a , 则有 g ( 2 ? a ) ? g ( a ) ≥ 0 , 即 2 ? a ≥ a ,解得 a ≤ 1 .答案为 B. 评析 本题主要考查函数基本性质、导数等相关 知识.考生需深刻挖掘题设条件,找出其中的提示 性条件,并依此构造函数,结合函数性质进行解 答.这对考生的能力提出了较高的要求,是一道综 合性较强的试题. π (文科)设函数 f ( x ) = x sin x .若 x1 , x2 ∈ [? , 2 π ] ,且 f ( x1 ) > f ( x2 ) ,则( ) 2 B. x1 + x2 > 0 A. x1 > x2 C. x1 < x2 D. x12 > x2 2 解析 由 f ′ ( x ) = sin x + x cos x ,可得:
? π ? 当 x∈?? , 0 ? , f ′ ( x ) < 0 , f ( x ) 单调递减. ? 2 ?

方案,对区域 B 有两种栽种方案,对区域 C 有两种 栽种方案……对第 n 个区域也有两种栽种方案, 共计 3 × 2n ?1 种方案.但这其中包含两种情况:最后一块区 域与 A 不同色(有 an 种)和最后一块区域与 A 同色 (有 an ?1 种) , 故有 an + an ?1 = 3 × 2 n ?1 ( n ≥ 3) , 又 a3 = 6 , 则 a4 = 18 , a5 = 30 . 则当 a ,b (文科) 设函数 f ( x ) = ( x ? a )( x ? b ) , 在区间 ( 0 , 1) 内变化时, f ( 0 ) ? f (1) 的最大值等于 ( ) A.
1 1 C. D.1 8 4 解析 由题意易得 f ( 0 ) = ab , f (1) = (1 ? a )(1 ? b) , 1 16

B.

则 f ( 0 ) ? f (1) = ab ? (1 ? a ) ? (1 ? b ) .再由均值不等式可

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福建中学数学 又 f ( ? x ) = x sin x = f ( x ) ,即 f ( x ) 为偶函数,
? π? 故当 x ∈ ? 0 , ? 时, f ′ ( x ) > 0 , f ( x ) 单调递增. ? 2? 故当 f ( x1 ) > f ( x2 ) 时, x12 > x2 2 ,答案为 D.

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π 1 π ? ,区域 D 的面积为 ,从而得所求概 2 2 2

的面积为 率为 1 ?

评析 本题主要考查函数基本性质、导数相关知 识,突出数形结合思想.考生若能发现偶函数的性 质并结合导函数工具研究函数相关性质,那么结果 也就呼之欲出了.但这必须以函数相关知识与方法 的扎实掌握为前提,同时也要求考生具有独立思考 的能力. 题 5 已知抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点是双曲 线 是
x2 y 2 ? = 1 的一个焦点,则双曲线的渐近线方程 8 p

1 . π 评析 本题考查几何概型中概率的计算,思路清

晰,要求考生正确作图,准确表示题设区域,并将 所求概率转化为平面区域的面积之比. 其中区域 S 的 面积计算是易错点. 题 8 如图,AE 是 O 的切 线, A 是切点, AD ⊥ OE 于点 D, 割线 EC 交 O 于 B ,C 两 点, 设 ∠ODC = α ,∠DBC = β , 则 ∠OEC = (用 α 、 β 表示) . 解析 先证明 O , D , B , C 共圆,因为在
RtΔOAE ,有 AD ⊥ OE ,故有 EA2 = OE ? DE (射影



?p ? 解析 由题意易得,抛物线的焦点为 ? , 0 ? ,双 ?2 ? p 曲线的焦点为 8 + p , 0 ,故有 = 8 + p ,解得 2 p = 8 .故双曲线的渐近线方程为 y = ± x .

(

)

定理) . 再 由 割 线 定 理 有 EA2 = EC ? EB , 故 有 OE ? DE = EC ? EB ,故 O , D , B , C 共圆.从而有 ∠ODC = ∠OBC = ∠OCB = α , ∠OCB = π ? β , 故
∠OEC = π ? α ? ( π ? β ) = β ? α .

评析 本题主要考查圆锥曲线中与参数相关的 基础知识,对于参加自主招生考试的考生而言,较 易上手. 题 6 (理科)设点 O 在 ΔABC 的内部,点 D ,E 分别为边 AC , BC 的中点,且 OD + 2OE = 1 ,则
OA + 2OB + 3OC =



评析 本题考查重点是初中平面几何的知识.善 于在圆中挖掘出线段的关系和角的关系是破解此题 的一大关键,但随着平几知识在高中的削减,解几 复习的盲目,这也正是考生日显薄弱的一大能力. 题 9 (理科)在 ΔABC 中,三个内角 A , B ,C 所对的边分别为 a , b, c. 已知 ( a ? c )( sin A + sin C ) =

(文科)设点 O 在 ΔABC 的内部,点 D , E 分 别为边 AC , BC 的中点,且 OA + 2OB + 3OC = 2 , 则 OD + 2OE = .

( a ? b ) sin B .
(I)求角 C 的大小; (II)求 sin A ? sin B 的最大值. 解析 (I) ( a ? c )( sin A + sin C ) = ( a ? b ) sin B
? ( a ? c )( a + c ) = ( a ? b ) b ? a 2 + b 2 ? c 2 = ab . π a 2 + b2 ? c 2 1 = ,解得 C = . 2ab 2 3 2π , (II)法 1 由(I)得, A + B = 3 ?2 ? ∴ sin A ? sin B = sin A ? sin ? π ? A ? ?3 ? ? 3 ? 1 = sin A ? ? ? 2 cos A + 2 sin A ? ? ? ? = 3 1 sin A ? cos A + sin 2 A 2 2 3 1 ? cos 2 A sin 2 A + = 4 4 1 ? π? 1 = sin ? 2 A ? ? + , 2 ? 6? 4

1 1 解析 由 OD = OA + OC ,2OE = OB + OC ,可 2 2 得 OA + 2OB + 3OC = 2 OD + 2OE .易得,答案分别

(

)

于是 cos C =

为 2 ,1 . 评析 本题文理本质上是同题(仅仅交换了条件 与结论) ,主要考查平面向量工具的使用.熟练掌握 三角形中的向量拆分技巧是解此类题型的关键,就 此题而言,只需找到向量间的关系便可直接得出答 案,避免了繁杂的计算,突出了向量的本质. 题 7 设曲线 y = 2 x ? x 2 与 x 轴所围成的区域为
D ,向区域 D 内随机投一点,该点落在 D 内任一小

区域的概率只与该小区域的面积成比例,则该点落 入区域 ( x , y ) ∈ D x 2 + y 2 < 2 内的概率为

{

解析 设 S = ( x , y) ∈ D x2 + y 2 < 2 , 易得区域 S

{

}



}

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π 时, 3 3 sin A ? sin B 取到最大值 . 4 法 2 根据三角和差化积公式有 1 sin A ? sin B = ? ? cos ( A + B ) ? cos ( A ? B ) ? ? 2? 1? 2π ? = ? ? cos ? cos ( A ? B ) ? 2? 3 ? 1 1 1 1 3 = + cos ( A ? B ) ≤ + = . 4 2 4 2 4 π 当且仅当 A = B = C = 时,取等号. 3 评析 本题考查解三角形相关知识,属于现行高

所以当 A = B = C =

的使用,更加凸显立体几何本身的特点.本题考查 线面平行的证明与直线与平面所成角的大小求值问 题, 关键在于要求考生具备一定的空间想象能力. 当 然,本题的空间直角坐标系已经显而易见,通过建 系使用向量法求解也可以. 题 10 设椭圆
x2 y2 + = 1 ( a > 2 )的离心率为 a2 4

3 ,斜率为 k 的直线 l 过点 E (0 , 1) ,且与椭圆相交 3 于 C , D 两点.

(I)求椭圆方程; (II)若直线 l 与 x 轴相交于点 G ,且 GC = DE , 求 k 的值; (III)设 A 为椭圆的下顶点, k AC , k AD 分别为 直 线 AC , AD 的 斜 率 , 证 明 对 任 意 的 k , 恒 有 k AC ? k AD = ?2 . 解析 (I)由已知可得:
a 2 ? b2 3 ,b = 2, = a 3 x2 y 2 ∴ a = 6 ,所以椭圆的方程为 + = 1. 6 4 (II)易得直线 l 的方程为 y = kx + 1 ,

中教材的公式要求范围.其中,第一小题考查正弦 定理和余弦定理的交汇应用;第二小题主要考查三 角函数恒等变换公式.解题过程中渗透着化归与转 化思想,对考生的基本计算能力有一定的要求.倘 若考生对三角函数的积化和差公式有所了解,亦可 用积化和差公式进行求解, 过程将更加简洁明了. 由 此可见,备考自主招生考试需关注的知识面更广泛, 数学能力要求更高. (文科) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AA1 ⊥ 底面 ABC ,BC ⊥ AC ,BC = AC = 2 , AA1 = 3 ,D 为 棱 AC 的中点. (I)证明 AB1 // 平面 BDC1 ; ( II )求直线 AB1 与平面 BCC1 B1 所成角的正切 值.

离心率 e =

设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,
? x2 y2 = 1, ? + 联立方程组 ? 6 4 ? y = kx + 1 , ? 整理可得 (2 + 3k 2 ) x 2 + 6kx ? 9 = 0 .

交 BC1 于点 E , 则 E 为 B1C 解析 (I) 连接 B1C , 中点.连接 DE ,由于 D 为棱 AC 的中点,所以在 ΔACB1 中, AB1 // DE ,又因为 DE ? 平面 BDC1 ,且
AB1 ? 平面 BDC1 ,所以 AB1 // 平面 BDC1 .

(II)∵ AA1 ⊥ 底面 ABC , CC1 // AA1 ,
∴ CC1 ⊥ 底面 ABC ,故 CC1 ⊥ AC .

6k , 2 + 3k 2 又直线 l 与 x 轴交于点 G ,且 k ≠ 0 , ? 1 ? ∴G ? ? , 0 ? .再由 GC = DE , ? k ? 1 ? ? 可得 ? x1 + , y1 ? = ( ? x2 , 1 ? y2 ) , k ? ? 1 6k 1 故 x1 + x2 = ? ,∴ ? =? , 2 k 2 + 3k k

从而有 x1 + x2 = ?

又∵ BC ⊥ AC ,于是 AC ⊥ 平面 BCC1 B1 ,
∴∠AB1C 是直线 AB1 与平面 BCC1 B1 所成的角.

6 . 3 (III)由 A(0 , ? 2) ,

解得 k = ±

在 Rt△ ACB1 中, AC = 2 ,
B1C = BC 2 + BB12 = 13 ,

可得 k AC = 又 x1 x2 =

y1 + 2 y +2 , k AD = 2 , x1 x2

故 tan ∠AB1C =

2 2 13 AC . = = 13 B1C 13

评析 作为文科试题,离开了建系在立体几何中

?9 ?6 k , x1 ? x2 = , 2 2 + 3k 2 + 3k 2 ( y + 2)( y2 + 2) (kx1 + 3)(kx2 + 3) = 于是 k AC ? k AD = 1 x1 x2 x1 x2

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?18k 2 +9 2 k x1 x2 + 3k ( x1 + x2 ) + 9 = = k 2 + 2 + 3k = ?2 . ?9 x1 x2 2 + 3k 2
2

2014 年第 1、 2期 得 0 < y < x ,命题得证.

评析 圆锥曲线中的定值问题是高考考查的重 点.本题的三个小问层层递进,从标准方程到特殊 条件下的直线方程,再到探求一般情况下具有的共 同特点.虽然较为常规,却能抛开繁杂的计算和高 难度的思维,通过对考生基础知识、基本思想、基 本能力的考查,将数学能力的考查落到实处.显然, 与高考中的圆锥曲线解答题相比,自主招生考试中 的圆锥曲线并没有“为难”考生. 题 11 (理科)设 x > 0 , 1 (I)证明 e x > 1 + x + x 2 ; 2 1 2 y x (II)若 e = 1 + x + x e ,证明: 0 < y < x . 2 1 ? ? 解析 (I)设 f ( x) = e x ? ?1 + x + x 2 ? , 2 ? ? x x ∈ [0 , + ∞ ) ,则 f ′( x) = e ? (1 + x) . 令 g ( x) = e x ? (1 + x) , x ∈ [ 0 , + ∞) , 则 g ′( x) = e x ? 1 . 当 x > 0 时,∵ e x > 1 ,∴ g ′( x) > 0 ,
∴ g ( x) 在 [ 0 , + ∞ ) 上单调递增.

评析 通过构造函数,利用导数工具研究函数的 单调性和函数的最值问题,俨然已成为高中数学中 解决函数问题的基本方法.本题的第一小题,通过 研究导函数的导数即二阶导数来判断导函数的符 号,进而研究原函数的性质,可谓将导数法的运用 发挥到了极致.在此基础上,第二小题引入双变量 方程作为题设条件,考生需巧妙利用第一小题结论 进行不等式的转化,并从中构造出符合题意的函数, 难度较大,对考生的思维能力提出了较高要求. 实际上,本题的第一小题是高等数学中泰勒展 开式 e x = 1 + x +
x 2 x3 + + 2! 3!

的前三项.这与南开大学

2010 年自主招生考试中的试题有异曲同工之妙,求 证: sin x > x ?
x3 ? π? , x∈?0, ? . 6 ? 2? x3 x5 + + 3! 5!

其中 sin x 的泰勒展开式为 sin x = x ?
+ ( ?1)
n +1

x 2 n ?1 + ( 2n ? 1)!

,本题取的是前两项.可见,在

于是有 f ′( x) = g ( x) > g (0) = 0 , x ∈ (0 , + ∞) . 从而可知 f ( x) 在 [ 0 , + ∞ ) 上单调递增, 又 f (0) = 0 ,∴ f ( x) > 0 , x ∈ (0,+ ∞) , 1 即 e x > 1 + x + x 2 , x ∈ (0 , + ∞) . 2 1 ? ? (II)设 h( x) = e x ? ?1 + x + x 2 e x ? , x ∈ (0 , + ∞) , 2 ? ? 1 ? ? 则 h′( x) = e x ? ?1 + xe x + x 2 e x ? . 2 ? ? 1 2 x? ? x x 令 p( x) = e ? ?1 + xe + x e ? , x ∈ (0 , + ∞) , 2 ? ? 1 则 p ′( x) = ?2 xe x ? x 2 e x < 0 , x ∈ (0 , + ∞) . 2 + ∞ ) 上单调递减, 所以 p( x) 在 [ 0 , 从而 h′( x) = p( x) < p(0) = 0 ,
∴ h( x ) 在 [ 0 , + ∞ ) 上单调递减, ∴ h( x) < h(0) = 0 , 2(e x ? 1 ? x ) + ∞) . < e x , x ∈ (0 , x2 2(e x ? 1 ? x) < ex , 结合(I)有 e0 = 1 < e y = x2

自主招生考试中以高数背景作为命题素材屡见不 鲜,考生若能掌握一定的高数知识,居高临下,以 高观点看初等问题定会豁然开朗. (文科)设数列 {an } 满足 0 < an ≤ 1 , n ∈ N* ,定 义函数 f n ( x ) = x + a1 x 2 + a2 x 3 + 间 (0 , 1) 内有唯一解 xn ; (II)对于(I)中的数列 { xn } ,证明 xn > xn +1 >
1 ( n ∈ N* ) . 2
+ an x n +1 , n ∈ N* .

(I)对于每一个 n ∈ N* ,证明方程 f n ( x) = 1 在区

解析 (I)设 Fn ( x) = f n ( x) ? 1 , 则 Fn (0) = f n (0) ? 1 = ?1 < 0 ,
Fn (1) = f n (1) ? 1 = 1 + a1 + + an ? 1 = a1 + + an > 0 ,

故存在 xn ∈ (0 , 1) ,使得 Fn ( xn ) = f n ( xn ) ? 1 = 0 , 即 f n ( xn ) = 1 . 又∵ Fn′( x) = f n′( x) = 1 + 2a1 x + 3a2 x 2 + 从而 Fn ( x) 在 (0 , 1) 内单调递增,
1) 内的唯一解. 所以 xn 是 f n ( x) = 1 在 (0 ,

+ (n + 1)an x n ,

且 an > 0 , n ∈ N* , x ∈ (0 , 1) ,∴ Fn′( x) > 0 .



(II)∵ f n ( xn ) ? f n ( xn +1 )
2 3 = 1 ? ( xn +1 + a1 xn +1 + a2 xn +1 +
n +1 + an xn +1 )

2 3 n+1 n+ 2 n+2 = 1? (xn+1 + a1xn + an xn +1 + a2 xn+1 + +1 + an+1 xn+1 ) + an+1 xn+1
n+2 n+2 = 1 ? f n +1 ( xn +1 ) + an +1 xn +1 = an +1 xn +1 > 0 ,

2014 年第 1、 2期 又由(I)知, f n ( x) 在 (0 , 1) 内单调递增, 故 xn > xn +1 (n ∈ N ) .
*

福建中学数学 法 1 (用数学归纳法证明) 当 n = 1 , 2 时,命题显然成立; 假设当 n = k ( k ≥ 2 )时, ak ≥ 2k ?1 + 2 , 则当 n = k + 1 时, ak +1 = ak2 ? kak ? 2

13

由于对任意的 n ∈ N* ,
a ? ? 1 a a2 ?1? f n ( xn ) ? f n ? ? = 1 ? ? + 1 + 3 + + nn +1 ? 2 2 2 2 2 ?2? ? ? 1 ? 1 ?1 1 1 ≥ 1 ? ? + 2 + 3 + + n +1 ? = n +1 > 0 . 2 2 ? 2 ?2 2
1) 内单调递增, 又由(I)知, f n ( x) 在 (0 , 1 故 xn > (n ∈ N* ) . 2

= ak (ak ? k ) ? 2 ≥ (2k ?1 + 2) ? (2k ? k ) ? 2 ≥ 2k + 2 .

法 2 当 n ≥ 4 时, an +1 ? 2 = an ( an ? n ) ? 4
≥ 2n ( 2n ? n ) ? 4 = 2n 2 ? 4 > 2 ( n ? 2 )( n + 2 ) ,

综上可知,对任意的 n ∈ N* ,有 xn > xn +1 >

1 . 2

因此命题得证. 评析 本题是 2002 年一道全国高考试题改编: 设数列 {an } 满足: an +1 = an 2 ? nan + 1(n = 1 , 2, 3, ) , (I) 当 a1 = 2 时, 求 a2 ,a3 ,a4 , 并由此猜测 an 的一个通项公式; (II)当 a1 ≥ 3 时,证明对所有的 n ≥ 1 ,有(i) 1 1 1 1 1 an ≥ n + 2 ; (ii) + + + + ≤ . 1 + a1 1 + a2 1 + a3 1 + an 2 其中,第二小题在不等式证明中使用放缩法, 这要求考生具有敏捷的数学观察力和熟练的代数变 形能力, 同时还要注意恰当的“放缩度”, 技巧性要求 较高.需要指出的是,此题所涉及的放缩方式并不 唯一. 在数列与不等式交汇处巧命试题,利用不等式 放缩进行求解,此类题型即使是在目前的高考压轴 题中也是较为少见的.但在自主招生考试中却依旧 考查,这体现的是作为理工科高校联盟——“卓越联 盟”对考生数学能力的较高要求,彰显的是自主招生 考试的无限魅力. 且 a1 = 3 , (文科) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,
S n = an +1 + 2n ? 3 , n ∈ N* .

评析 这是函数与数列交汇的综合性试题,要求 n 有正确的理解,充分 考生对函数中的两个变量 x , 考查了考生思维的灵活性和严谨性,达到了考查创 新思维的目的.其中,第一小题需结合函数零点存 在性定理与单调函数在某区间中有解必唯一的性 质,利用导数工具进行求解.第二小题要利用第一 小题的结论即 f n ( xn ) = 0 ,兼顾数列的下标 n 构造数 列不等式,并通过放缩进行求解.对于数列与函数 这两个高中数学的重点考查内容,如何理解数列是 一种特殊的函数是突破此类题型的一大关键. 题 12 (理科)已知数列 {an } 中, a1 = 3 , an +1 =
an 2 ? nan + α , n ∈ N* , α ∈ R .

(I)若 an ≥ 2n 对 n ∈ N* 都成立,求 α 的取值范 围; (II) 当 α = ?2 时, 证明
< 2(n ∈ N* ) .
+ ∞) . 解析 (I) α 的取值范围为 [?2 , 1 1 + + a1 ? 2 a2 ? 2 + 1 an ? 2

(I)求 {an } 的通项公式; (II)设 bn = 2n + ( ?1) λ an .若对所有的 n ∈ N* ,
n

必要性:由 a2 = a2 2 ? a1 + α ≥ 4 ? α ≥ ?2 . 充分性: (用数学归纳法证明) 当 n = 1 ,2 时,命题显然成立; 假设当 n = k (k ≥ 2) 时, ak ≥ 2k 成立, 则当 n = k + 1 时, ak +1 = ak2 ? kak + α ≥ (2k ) 2 ? k ? 2k + α
≥ 2k ? 2 ≥ 2(k + 1) .
2

都有 bn +1 > bn ,求实数 λ 的取值范围. 解析 (I) 由 a1 = 3 , 及 S n = an +1 + 2n ? 3 , 得 a2 = 4 . 当 n ≥ 2 , n ∈ N* 时, S n = an +1 + 2n ? 3 , S n ?1 = an + 2(n ? 1) ? 3 , 两式相减得 an +1 = 2an ? 2 ,即 an +1 ? 2 = 2(an ? 2) ,
∴ an = 2n ?1 + 2(n ≥ 2) ,显然 n = 1 时也成立.
∴ {an } 的通项公式为 an = 2n ?1 + 2 .

因此充分性得证. (II)将命题加强至
1 ? ≤ 2 ?1 ? n 2 ? 1 1 + + a1 ? 2 a2 ? 2 + 1 an ? 2

(II)由 an = 2n ?1 + 2 ,可得:
bn = 2n + (?1) n λ (2n ?1 + 2) , bn +1 = 2n +1 + (?1) n +1 λ (2n + 2) .

1 1 ? ? = 1 + + + n ?1 . 2 2 ? 1 1 只需要证明 ≤ n ?1 ,即 an ≥ 2n ?1 + 2 an ? 2 2

两式相减,并由 bn +1 > bn 可得:
bn +1 ? bn = 2n + (?1) n +1 λ (3 × 2n ?1 + 4) > 0 .

14 当 n 为偶数时, 2n > λ (3 × 2n ?1 + 4) ,
∴λ < 2 . 3 × 2n ?1 + 4
n

福建中学数学

2014 年第 1、 2期

? ? 2n 易知 ? ? 单调递增, n ?1 ?3× 2 + 4 ? 22 2 ∴λ < = . 2 ?1 3× 2 + 4 5 当 n 为奇数时, 2n > ?λ (3 × 2n ?1 + 4) , ∴λ > ?2n . 3 × 2n ?1 + 4

? ?2n ? 易知 ? ? 单调递减, n ?1 × + 3 2 4 ? ? 1 2 2 ∴λ > =? . 1?1 7 3× 2 + 4 ? 2 2? 综上, λ 的取值范围是 ? ? , ? . ? 7 5? 评析 本题是对数列综合应用进行考查的综合 性试题,关注数列的单调性判断和 (?1) n 这一符号控

制器,将文科生的考查落在数学的基本概念上. 2013 年“卓越联盟”自主招生的数学试题与往年 相比增加了选择题,减少了高等数学知识的考查, 试题难度更加贴近高考.试卷覆盖了函数、三角、 数列、圆锥曲线、导数、向量和不等式等高中阶段 的主要知识点,基于高考,又高于高考.值得注意 的是,试卷的第 8 题考查的是初中平面几何知识, 理 12 题考查的是二阶导数应用,这折射出的是试卷 既关注中学阶段的衔接、也关注初等数学与高等数 学的衔接. 另一方面, 由于“卓越联盟”是由九所以理 工科为特色的国家“985 工程”大学所组成的,因而考 试也相应地具有明显的理工科特点——关注数学知 识的应用能力.注重基本数学素养的考查,避免繁 杂的计算和人为的高难度技巧,返璞归真,凸显数 学本质,强调数学应用,充分体现高校选拔“具有学 科特长、创新潜质”的优秀学生的要求.

自主招生考试数学解题“四意识”
林新建 2 吴建山 1 1 福建省龙海第二中学(363110) 2 福建省漳州第一中学(363000) 高校自主招生考试数学试题材料鲜活,内容丰 富,反映了高校对学生数学素养、数学能力的关 注.试题有较好的甄别性和较高的区分度,对数学 思想方法和思维策略的考查达到了相当高的层次. 这要求教师在解题教学时应着意提升学生的解 题意识,改善学生过分依赖题型记忆、复制模仿的 解题状况,培养学生在新颖的习题情境前,能根据 已有的数学经验有意识地剖析问题,使数学解题过 程成为思维品质不断优化的过程. 1 转换意识 解题需要套路.看到这道题,你的第一反应是 什么?迅速生成常规方案,也即第一方案. 为什么要有套路?因为很多试题是基本的、稳 定的,考查运算的敏捷性.没有套路,就没有速度. 问题是,当实施第一方案(套路)遇到障碍时, 我们的策略是什么? ——转换视角,生成第二方案. 转换视角,转换到哪里? ——转换到知识丰富领域,也就是说把问题转 换到我们最熟悉的领域. 处理难题, 从方法论的角度讲就是转换视角. 常 态方案不行,换一个方案行了;这种说法与思路不 通,换一个说法通了;在一个领域内繁复的问题, 换一个领域简单了. 对于难度大、综合性强的自主招生试题,更是 如此! 如若不是这样,靠什么考查能力?又凭什么说 自主招生考试是一种针对优等生群体的选拔性考试 呢? 例 1 (2010 年浙江大学自主招生试题)有小于 1 的正数:x1 , x2 , , xn , 且 x1 + x2 + + xn = 1 . 求证: 1 1 1 + + + > 4. x1 ? x13 x2 ? x23 xn ? xn 3 分析 本题证明需要用到柯西不等式或贝努利 不等式,难度大且异常繁琐.但若能注意到 x1 + x2 + + xn = 1 ,将则可将待证不等式转换为证

2013年“卓越联盟”自主招生数学试卷评析
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 祝敏君, 倪莹莹, 陈清华 祝敏君(福建师范大学数学与计算机科学学院 350007; 福建省闽侯县第一中学 350100), 倪莹莹,陈清华(福 建师范大学数学与计算机科学学院 350007) 福建中学数学 FUJIAN ZHONGXUE SHUXUE 2014(1)

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