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2012年浙江省高中数学竞赛试题[完美排版]


2012 年浙江省高中数学竞赛试题
说明:本试卷分为 A 卷和 B 卷:A 卷由本试卷的 22 题组成,即 10 道选择题,7 道填空题,3 道解答题和 2 道附加题;B 卷由本 试卷的前 20 道题组成,即 10 道选择题,7 道填空题和 3 道解答题

一、选择题(本大题共有 10 小题,每小题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号

内,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 1.已知 i 为虚数单位,则复数 (A)i (B) ?i

1 ? 2i ?( ) i?2 4 3 4 3 (C) ? ? i (D) ? ? i 5 5 5 5

2.下列函数中,既是奇函数,又在区间上单调递增的函数为( ) (A) y ? x 2 ? x (B) y ? x ? 2sin x (C) y ? x3 ? x (D) y ? tan x 3.已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,则命题 p :| a ? b |? 1,是命题 q : ? ? [

?

?

?

?

? 5?

, ) 的( ) 2 6

(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充分且必要条件(D)非充分非必要条件 4.已知集合 P ? {x |1 ? x ? 2}, M ? {x | 2 ? a ? x ? 1 ? a} ,若 P ? M ? P ,则实数 a 的的取值范围是 ( ) (A) (??,1] (B) [1, ??) (C) [?1,1] (D) [?1, ??)

3 ? ? sin( x ? ) ? cos( ? x) 的最大值为( ) 2 2 6 13 13 13 (A) (B) (C) (D) 13 4 4 2
5.函数 y ? 6.如图,四棱锥 S-ABCD 的地面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下了结论中不正确的是( ) (A)AB⊥SA (B)BC∥平面 SAD (C)BC 与 SA 所成的角等于 AD 与 SC 所成单调角 (D)SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 7.程序框图如图所示,若 f ( x) ? x2 , g ( x) ? log2 x ,输入 x 的值为 0.25,则输出结果为( ) (A)0.24(B)-2(C)2(D)-0.25 8.设 i, j 分别为平面直角坐标系 x,y 轴上的单位向量,且 | a ? i | ? | a ? 2 j |? 5 ,则 | a ? 2i | 取值范围为 )

??

? ?

?

?

?

?



6 5 6 5 ,2 2] (C) [ 5,4] (D) [ ,3] 5 5 x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,点 A 的坐 9.已知 F1 , F2 分别为双曲线 C : 9 27 9 135 ) ,则的平分线与 x 轴交点 M 的坐标为( ) 标为 ( , 2 2 (A) (2,0) (B) (?2,0) (C) (4,0) (D) (?4,0) 2 10.设 f ( x) ? x ? bx ? c ,若方程 f ( x) ? x 无实根,则 f ( f ( x)) ? x 方程( )
(A) [2 2,3] (B) [ (A)有四个相异实根(B)有两个相异实根(C)有一个实根(D)无实数根 二、填空题(本大题共有 7 个小题,将正确的答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分) 11.设直线 y ? ax ? 4 与 y ? 8 x ? b 关于直线 y ? x 对称,则 a ? _____, b ? _______. 12.已知

1? | cos x | ? sin x ,则 x ? ________ . 1? | cos x |
1

2 13.已知 x ? R ,则 x( x ? 1) ? arcsin x ? x ? 1 的值为__________.

14.已知实数 a, b, c, c 满足 (a ? c)2 ? (b ? d )2 ,则的最小值为__________.
2011

15.设 {an } 为等比数列,且每项都大于 1,则 lg a1 lg a2012

? log a lg a
i ?1 i

1

的值为_______.

i ?1

1 1 ( x ? )4 ? ( x 4 ? 4 ) x x 的最小值为__________. 16.设 x ? 0 ,则 f ( x) ? 1 3 1 3 (x ? ) ? (x ? 3 ) x x 17.如图是一个 3 ? 3 残缺的幻方,此幻方每一行及每一条对角线上的三个数之和
有相等的值,则 x 的值为_____ 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 17 分,共计 51 分) 18.已知实数 x1, x2 , x3 ,...x10 满足

?| x ? 1|? 4, ?| x ? 2 |? 6 ,求 x , x , x ,...x
i ?1 i i ?1 i

10

10

1

2

3

10

的平均值 x .

x2 y 2 ? ? 1 长轴上一个动点,过 P 点斜率为 k 的直线交椭圆与 A,B 两点.若 19.设 P 为椭圆 25 16 | PA |2 ? | PB |2 的值仅依赖于 k 而与 P 无关,求 k 的值.

20.设 p, q ? Z ,且 q ? p .试证对 n ? Z ,存在 N ? Z ,使 ( p ?
2

?

?

?

p 2 ? q ) n ? N ? N 2 ? q n ,且

(p ?

p 2 ? q )n ? N ? N 2 ? q n .

2


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