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1.1.1变化率问题+1.1.2导数的概念


1.1.1变化率问题

导数研究的问题

变化率问题

研究某个变量相对于另一个变量变化 的快慢程度.

微积分主要与四类问题的处理相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函 数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; ? 二、求曲线的切线; ? 三、求已知函数的最大值与最小值; ? 四、求长

度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究 函数增减、变化快慢、最大(小)值等 问题最一般、最有效的工具。
?

问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何 描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是 4 3 V(r ) ? ? r . 3 3 3V 随着 . 若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 r (V) ? 4? 气球体积 当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了 逐渐变大, r (1) ? r (0) ? 0.62(dm), 它的平均 r (1) ? r (0) 气球的平均膨胀率为 ? 0.62(dm/L ), 膨胀率逐 1? 0 当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了 渐变小

r (2) ? r (1) ? 0.16(dm),

气球的平均膨胀率为

r (2) ? r (1) ? 0.16(dm/L ), 2 ?1

思考?
?

当空气容量从V1增加到V2时,气球的 平均膨胀率是多少?

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

问题2 高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单 位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系

h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

h(2) ? h(1) 在1≤ t ≤2这段时间里, v ? ? ?8.2(m/s ); 2 ?1 探 65 究: 计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度, 49 并思考下面的问题:
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运 动状态, 那么: h(0.5) ? h(0) 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v ? ? 4.05(m/s ); 0.5 ? 0

定义:
f ( x2 ) ? f ( x1 ) 称为函数 f (x)从x1到 x2 平均变化率:式子 x2 ? x1 的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ y= f (x2) – f (x1) ,则

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? y ? x2 ? x1 ?x

理解: 1,式子中△x 、△ y的值可正、可负,但的 △x值不能为0, △ y的值可以为0 2,若函数f (x)为常函数时, △ y =0 3, 变式

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ? x) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ?x

思考?
?

观察函数f(x)的图象
Y=f(x) x2-x1 f(x2)-f(x1) f(x1) A x O x1 x2

f(x2 ) ? f ( x1 ) 平均变化率 y x2 ? x1 f(x )
2

B

表示什么?
直线AB的斜 率

练习:
1.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万 元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果? 2.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在

下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.
(1) [ –3 , –1] ; (2) [ 0 , 5 ] .

做两个题吧!
1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 Δy/Δx=( D ) A 3 B 3Δx-(Δx)2 C 3-(Δx)2 D 3-Δx
? ?

2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx

小结:
?

1.函数的平均变化率

?y ? ?x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

?

2.求函数的平均变化率的步骤:

(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1);

(2)计算平均变化率

?y ? ?x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

一、复习 1.平均变化率:
?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x ) ? f ( x1 ) ? ? (?x ? 0) ?x x2 ? x1 ?x
Y=f(x) y

平均变化率的几何意义:

割线的斜率

f(x2) f(x2)-f(x1)=△y A

B

f(x1)
O

x2-x1=△x x x1 x2

理解: 1,式子中△x 、△ y的值可正、可负,但的 △x值不能为0, △ y的值可以为0 2,若函数f (x)为常函数时, △ y =0 3, 变式

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ? x) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ?x

?

求函数的平均变化率的步骤:

(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1);

(2)计算平均变化率

?y ? ?x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

1.1.2 导数的概念
?

又如何求 瞬时速度呢?

在高台跳水运动中,平 均速度不能反映他在 这段时间里运动状态, 需要用瞬时速度描述 运动状态。我们把物 体在某一时刻的速度 称为瞬时速度.

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋

势.

?如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

求:从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
?h v? ?t h( 2 ? ?t ) ? h( 2) ? ? ?13.1 ? 4.9?t ?t

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋

势.

?如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内

△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = – 0.01时, v ? ?13.051
当△t = – 0.001时, v ? ?13.0951
△t = – 0.00001, v

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = 0.01时, v ? ?13.149 当△t =0.001时, v ? ?13.1049

当△t = –0.0001时, v ? ?13.09951 当△t =0.0001时, v ? ?13.10049

? ?13.099951

△t = 0.00001,

v ? ?13.100049

△t = – 0.000001, v

……

? ?13.0999951 △t =0.000001, v ? ?13.1000049
……

从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

?h v? ? ?13.1 ? 4.9?t ?t 当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于

2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 v 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的

瞬时速度是 –13.1.

h(2 ? ?t ) ? h(2) lim ? ?13.1 ?t ?0 ?t
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– v 13.1”.

探 究: 1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?

h(t0 ? ?t ) ? h(t0 ) lim ?t ?0 ?t ? 4.9(?t ) 2 ? (9.8t0 ? 6.5)?t ? lim ?t ?0 ?t ? lim (?4.9?t ? 9.8t0 ? 6.5)
?t ?0

? ?9.8t0 ? 6.5

定义:

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

f (x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? x ?x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?( x0 )
或 y ? | x ? x0 , 即

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

1. f ?( x0 )与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不相同。 2. f ?( x0 )与?x的具体取值无关。

3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。

定义:

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

f (x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? x ?x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?( x0 )
或 y ? | x ? x0 , 即

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ); ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ; 2. 求平均变化率 ?x ?x ?f 3. 求值 f ?( x0 ) ? lim .
?x ?0

?x

口诀:一差、二化、三极限

题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: ? C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是 f ?(2)和 f ?(6). 根据导数的定义,

f (2 ? ?x) ? f (2) 4?x ? (?x) 2 ? 7?x ? ? ?x ? 3 ?x ?x ?y ? lim (?x ? 3) ? ?3. 所以, f ?(2) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 同理可得 f ?(6) ? 5.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说 明在第2h附近, 原油温度大约以3 ? C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 ? C / h的速率上升.

应用: 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产 品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度 ? (单位: )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, C 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说明它 们的意义.

练习:

2 .已知

y?

x , 求y

'

解: ?y ?

x ? ?x ? x , x ? ?x ? x ?x

?y ? ?x
'

?y x ? ?x ? x ?y ? ? ?x ?x 1 1 ? ? ,当?x ? 0时的值。 x ? ?x ? x 2 x

课后思考题: 1

2.函数f(x)=|x|在点x0=0处是否有导数?若有,求出来 若没有,请说明理由.


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