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《实数指数幂及其运算》 课件


课头训练
1.给出下列4个等式:

?a a ③3 a 3 ? a;④ (3 a ) 3 ? a.其中恒成立的个数为(

2

? a; ② ( a )
B. 2

2

)

A. 1

C. 3
4

/>
D. 4

1 2.已知 a ? ,则化简 2
A. C.

(2a ? 1) 2
B.? D. ?

的结果是(

)

2a ? 1

2a ? 1

1 ? 2a

1 ? 2a

1、整数指数幂 在初中,我们研究了正整数指数幂:一个数a的n次幂等于 n个a的连乘积,即: 指数



a ? a ? a ? ......a
n

底数

n个

运算法则:

() 1 a a ? a
m n
m n

m?n

(2)(a ) ? a m a m?n (3) n ? a (m ? n,a ? 0) a
(4)(ab) ?
m

nm

a b

m m

运算法则:

() 1 a a ? a
m n
m n

m?n

(2)(a ) ? a m a m?n (3) n ? a (m ? n,a ? 0) a
(4)(ab) ?
m

nm

a b

m m

如果将运算法则(3)中的“m>n”这一条件去
掉,则正整数指数幂将推广到什么?

例:

a 0 3? 3 ?a ?a 3 a

3

a 3? 5 ?2 ? a ? a 5 a

3

正整数指数幂推广到整数指数幂

规定: a ?1
0

(a ? 0)

a

?n

1 (a ? 0,n ? N ?) ? n a

整数指数幂的运算法则:

当m、n ? Z , a ? 0时,

() 1 a a ? a m?n n (2)(a m) ? a nm m a m?n (3) n ? a a
m n

(4)(ab) ?
m

a b

m m

实例训练:

8 ? 1
0
0

(? 8) ? 1
0

(a ? b) ?

1

10 ?

?3

1 ? 0.001 3 10

1 ?6 1 1 1 ? 3 (? ) ? 1 ? ? 64 (2 x) ? 2 ?3 x ?3 ? 1 2 (? ) 6 8x3
2

x ?2 x ( 2 ) ? ?4 r r
0.0001 ? 10?4

3

?6

64 1 4 6 r ? x ? 6 1 x r4

a 2 ?2 ?1 ? a b c 2 bc

2

2、分数指数幂 (1)方根 定义:如果存在实数x,使得xn=a,那么x叫做a的n次方根,

其中n>1,且n∈N*.求a的n次方根,叫做把a开n次方,称
作开方运算.

x ? a ; (当n是奇数)
n

x ?a
n

x ? ? n a . (当n是偶数,且a>0)

让我们认识一下这个式子:

根指数
根式 探究:
n

n

a
n

被开方数

a n 表示an的n次方根,等式
n

a n ? a 一定成立吗?

如果不一定成立,那么

a n 等于什么?

n

?a, (当n为奇数) ? n a ?? ?a, a ? 0, ?| a |? ?? a, a ? 0.(当n为偶数) ? ?

(2)分数指数幂 求下列各式的值:(其中a>0)
10 5

(1).5 a 10 (2). a (3). a
4 8 12

(1) a ? (a ) ? a ? a
5 10 5 2 5 2

(2) a8 ? (a 4 ) 2 ? a 4 ? a

8 2

(3) 4 a12 ? 4 (a 3 ) 4 ? a 3 ? a

12 4

观察以上式子,并总结出规律:

当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写
成分数作为指数的形式(分数指数幂形式). 根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写 成分数指数幂的形式?
即:a = a (a > 0, n ? N+ , n 1)
n m m n

性质:正数的分数指数幂的意义为:

a ? a (a ? 0, m, n ? N
n m

m n

*

m ,且 为既约分数) n

正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同。
? m n

即: a

?

1 a
m n

m (a ? 0, m, n ? N ,且 为既约分数) n
*

规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。

规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换 提醒:
的,分数指数幂只是根式的一种新的写法,而不是
m n

a 由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理数
指数幂是有意义的,整数指数幂的运算性质,可以推广 到有理数指数幂,即:

即: a

?

?

1

m n

(a ? 0, m, n ? N ?)

(1)a a ? a (a ? 0, r , s ? Q )
r s

r ?s

(2)(a r ) s ? a rs (a ? 0, r , s ? Q) (3)(ab) r ? a r b r (a ? 0, b ? 0, r ? Q)

3、无理指数幂 探究: 在前面的学习中,我们已经把指数由正整数推广到 了有理数,那么,能不能继续推广到实数范围呢? a>0,p是一个无理数时,ap的值就可以用两个指数为 p的不足近似值和过剩近似值构成的有理数列无限逼近而 得到(这个近似结果的极限值就等于ap),故ap是一个确定 的实数.而且有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂

也适用.这样指数的概念就扩充到了整个实数范围.

例1 求值

? 1 ? ? 16 ? 8 ; 25 ; ? ? ; ? ? ? 2 ? ? 81 ?

2 3

1 ? 2

?5

?

3 4

思路分析:根据分数指数幂的运算性质进行化简,对于
指数是负的一般化为正的处理,同时注意结果必须是最 简形式。

解:

( 1 ) 8 ? (2 3) ? 2 (2) 25
? 1 2 2 ? 1 2

2 3

2 3

3?

2 3

? 22 ? 4
1 2? (? ) 2

? (5 ) ? 5

1 ?5 ? 5
?1

1 ?5 ?5 (3)( ) ? (2 ?1) ? 2 5 ? 32 2 3 3 (? ) 16 ? 4 2 4? 2 ?3 27 4 (4)( ) ? ( ) ? ( ) ? 81 3 3 8

方法点拨:在进行指数的有关运算时,一般思路是化负指
数为正指数,化根式为分数指数幂,并且灵活运用指数幂 的运算性质进行化简。 变式训练1:求下列各式的值(式子中字母都大于零)

(1) 3 (?8)3 (3) 4 (3 ? ? ) 4

(2) (?10) 2 (4) (a - b) 2 (a ? b).

例2

计算下列各式(式中字母都是正数)
2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6

(1)( 2a b )( ?6a b ) ? ( ?3a b ) (2)( m n )
1 4 ? 3 8 8

思路分析:本题考查运用分数指数幂的定义和运算性质

进行计算,第(1)小题是仿照单项式乘除法进行的,首
先将系数相乘除,然后将同底数的幂相乘除;第(2)小 题是先按积的乘方计算,再按幂的乘方计算,在计算过

程中要特别注意符号。

解: ?a (1)原式 ? ?2 ? ( ? 6) ? ( ? 3)
1 4 8 ? 3 8 8

2 1 1 ? ? 3 2 6

?b
?3

1 1 5 ? ? 2 3 6

? 4ab 0 ? 4a

(2)原式 ? (m ) ( n ) ? m n
2

m2 ? 3 n

方法点拨:这类题目在运算上除了要注意运算顺序以外,
还应注意将系数和字母分开计算,以免算错。

变式训练2

(1)( 25- 125) ? 25
3 4

(2)

a

2 2

a a

3

( a ? 0)

例3、利用科学计算器计算(精确到0.001)

0.21.52 ;3.14 ? 2 ;3.1 ;5 2 .
? 思路分析:本题考查了无理指数幂及科学计算器的使用.
解:
按键 0.2 ? 1.52 ? 3.14 ? (? )2 ? 3.1? ( 2 ab / c ) 3 ? 5? 2 ? 显示 0.086609512 0.101423993 2.12605484 9.738517742

2 3

方法点拨:对于复杂的无理指数幂的运算,可通过计算
器来处理,培养学生的动手能力,让学生体会信息技术 在数学中的应用。

变式训练3、利用科学计算器计算函数值. 已知f ( x) ? 2.72 x , 求f (?3), f ( ?2), f ( ?1), f (1), f (2), f (3)(精确到0.001) .

例4

化简下列各式:
( 1 ) 5x
1 2 ? 2 3

y

1 2 1 3 1 ? 6

1 ?1 5 x y )( ? x y 4 6 m ? m ?1 ? 2 ( 2) . 1 1 (? m
? 2

; )

? m2

? 思路分析:本题考查了分数指数幂的定义及运算性质.
? ?1? ? ? 24 3 3 2 解: ( 1 )原式 ? ?5? x ? y 2 6 ? 24 x 0 y 6 ; 5 2 1 1 1 1 1

(2)原式 ?

( m ) ? 2m ? m
2

1 2

1 2

?

1 2

? (m )

?

1 2

2

m ?m

1 2

1 ? 2

?

(m ? m ) 2 m ?m
1 2 1 ? 2

1 2

?

1 2

?m ?m

1 2

?

1 2

方法点拨:这类题目的化简充分运用了分数指数幂的运 算性质,找准底数相同的项,进行同类的运算.这类题目

貌似复杂,实则简单。
变式训练4、计算下列各式

(1)

a ?b
1 2

1 2

1 2 1 2

?

a ?b
1 2

1 2

1 2 1 2

a ?b a ?b 2 ?2 2 ?2 (2)( a ? 2 ? a ) ? (a ? a )

整数指数幂

根式

两个等式

分数指数幂

有理数指数幂

无理数指数幂

(1) a r a s ? a r ? s ( a ? 0, r , s ? R ) (2)(a r ) s ? a rs ( a ? 0, r , s ? R ) (3)(ab) r ? a r b r ( a ? 0, b ? 0, r ? R )


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