当前位置:首页 >> 数学 >>

【步步高】2015届高考数学总复习 9.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 新人教B版


数学

R B(理)

§9. 4 直线与圆、圆与圆的 位置关系
第九章 平面解析几何

基础知识·自主学习
要点梳理
1.直线与圆的位置关系 设直线 l:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0), 圆:(x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0), d 为圆心(a,b)到直线 l 的

距离,联立直线和圆的方程,消元 后得到的一元二次方程的判别式为 Δ.
知识回顾 理清教材

方法 位置关系 相交 相切 相离

几何法 d < r d= r d > r

代数法 Δ > 0 Δ= 0 Δ < 0

基础知识·自主学习
要点梳理 知识回顾 理清教材 2.圆与圆的位置关系 2 设圆 O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r1 (r1>0), 圆 O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2 2 (r2>0).
方法 几何法:圆心距 d 与 代数法:两圆方程联立 位置关系 r1,r2 的关系 组成方程组的解的情况 相离 外切 相交 内切 内含

d>r1+r2 d=r1+r2
|r1-r2|<d<r1+r2

无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解
无解

d=|r1-r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) ×(3) ×(4) ×(5) √ (6) √

解析

C B 3
(- 3, 3)

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

已知直线 l:y=kx

+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2 =12. (1)试证明: 不论 k 为何实数, 直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最 短弦长.

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

已知直线 l:y=kx

+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2 =12. (1)试证明: 不论 k 为何实数, 直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最 短弦长.

直线与圆的交点个数即为直 线方程与圆方程联立而成的 方程组解的个数; 最短弦长可 用代数法或几何法判定.

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

已知直线 l:y=kx

+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2 =12.

方法一 (1)证明 ? ?y=kx+1, 由? 2 2 ? ? x - 1 ? + ? y + 1 ? =12, ?
消去 y 得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0,

2 2 因为 Δ = (2 - 4 k ) + 28( k +1)>0, (1)试证明: 不论 k 为何实数,

直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最 短弦长.

所以不论 k 为何实数, 直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解 设直线与圆交于 A(x1,y1)、 B(x2,y2)两点,

则直线 l 被圆 C 截得的弦长

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

已知直线 l:y=kx

|AB|= 1+k2|x1-x2|
=2 8-4k+11k2 =2 1+k2 4k+3 11- , 1+k2

+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2 =12.

4k+3 令 t= 则 tk2-4k+(t-3)=0, 2, 1+k (1)试证明: 不论 k 为何实数, 3 当 t=0 时,k=-4,当 t≠0 时,因 直线 l 和圆 C 总有两个交点;

(2)求直线 l 被圆 C 截得的最 短弦长.

为 k∈R,
所以 Δ=16-4t(t-3)≥0, 解得-1≤t≤4,且 t≠0,

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

已知直线 l:y=kx

+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2 =12.

4k+3 故 t= 此时|AB| 2 的最大值为 4, 1+k 最小为 2 7.

圆心 C(1,-1) |k+2| 圆C的 (1)试证明: 不论 k 为何实数, 到直线 l 的距离 d= 1+k2,
2 2 半 径 R = 2 3 , R - d = 12 - 直线 l 和圆 C 总有两个交点; k2+4k+4 11k2-4k+8 , 2 = 2 1 + k 1 + k (2)求直线 l 被圆 C 截得的最

方法二

(1)证明

短弦长.

而在 S=11k2-4k+8 中,

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

已知直线 l:y=kx

Δ=(-4)2-4×11×8<0,

+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2 故 11k2-4k+8>0 对 k∈R 恒成立, =12.
所以 R2-d2>0,即 d<R,所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两

(1)试证明: 不论 k 为何实数, 个交点.

直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)解 由平面几何知识, (2)求直线 l 被圆 C 截得的最 短弦长.
知|AB|=2 R2-d2 =2 8-4k+11k2 ,下同方法一. 1+k2

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

已知直线 l:y=kx

+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2 方法三 (1)证明 因为不论 k 为何 =12. (1)试证明: 不论 k 为何实数,
实数, 直线 l 总过点 P(0, 1), 而|PC| = 5<2 3=R, 所以点 P(0,1)在圆 C 的内部,即不论 k 为何实数,直线 l

直线 l 和圆 C 总有两个交点; 总经过圆 C 内部的定点 P.
直线 l 和圆 C (2)求直线 l 被圆 C 截得的最 所以不论 k 为何实数,

短弦长.

总有两个交点.

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

已知直线 l:y=kx
(2)解 由平面几何知识知过圆内定 点 P(0,1)的弦,只有和 AC (C 为圆 心)垂直时才最短,而此时点 P(0,1)

+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2 =12.

(1)试证明: 不论 k 为何实数, 为弦 AB 的中点,由勾股定理,知 直线 l 和圆 C 总有两个交点; |AB|=2 12-5=2 7, (2)求直线 l 被圆 C 截得的最 短弦长.
即直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7.

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

已知直线 l:y=kx
2 2

+1,圆 C:(x-1) +(y+1) =12.

(1)利用圆心到直线的距离可判断直 线与圆的位置关系,也可利用直线 的方程与圆的方程联立后得到的一

(1)试证明: 不论 k 为何实数, 元二次方程的判别式来判断直线与 直线 l 和圆 C 总有两个交点; 圆的位置关系; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最 短弦长.
(2)勾股定理是解决有关弦问题的常 用方法.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则 P(a,b) ( B ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上都有可能 ( ) (2)直线 l:y-1=k(x-1)和圆 x2+y2-2y=0 的位置关系是 A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切

(3)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到 直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是_________.
解析 1 2 2 (1)由 2 2<1,得 a +b >1, a +b

∴点 P 在圆外.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则 P(a,b) ( B ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上都有可能 ( C ) (2)直线 l:y-1=k(x-1)和圆 x2+y2-2y=0 的位置关系是 A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切

(3)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到 直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是_________.

(2)圆 x2+y2-2y=0 的圆心是(0,1),半径 r=1,则圆心到直 |k| 线 l 的距离 d= 2<1.故直线与圆相交. 1+k

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则 P(a,b) ( B ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上都有可能 ( C ) (2)直线 l:y-1=k(x-1)和圆 x2+y2-2y=0 的位置关系是 A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切

(3)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到

(-13,13) . 直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是_________
(3)根据题意知,圆心 O 到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1,

|c| ∴ 2 2<1,∴|c|<13,∴c∈(-13,13). 12 +5

题型分类·深度剖析
题型二 圆的切线与弦长问题

【例 2】

已知点 M(3,1),直线

思维启迪

解析

思维升华

ax-y+4=0 及圆(x-1)2+ (y-2)2=4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相 切,求 a 的值. (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相 交于 A,B 两点,且弦 AB 的 长为 2 3,求 a 的值.

题型分类·深度剖析
题型二 圆的切线与弦长问题

【例 2】

已知点 M(3,1),直线

思维启迪

解析

思维升华

ax-y+4=0 及圆(x-1)2+ (y-2)2=4.

在求过某点的圆的切线方程时, 应首先确定点与圆的位置关系,

(1)求过 M 点的圆的切线方程; 再求直线方程.若点在圆上,则 (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相 过该点的切线只有一条;若点在 切,求 a 的值.
圆外,则过该点的切线有两条,

(3)若直线 ax-y+4=0 与圆相 此 时 应 注 意 斜 率 不 存 在 的 切 线.在处理直线和圆相交所得的 交于 A,B 两点,且弦 AB 的 弦的弦长问题时, 常考虑几何法. 长为 2 3,求 a 的值.

题型分类·深度剖析
题型二 圆的切线与弦长问题

【例 2】

已知点 M(3,1),直线

思维启迪

解析

思维升华

ax-y+4=0 及圆(x-1)2+ (y-2) =4.
2



(1)圆心 C(1,2),半径 r=2,

当直线的斜率不存在时,方程为 x=3. 由圆心 C(1,2)到直线 x=3 的距离

(1)求过 M 点的圆的切线方程; d=3-1=2=r 知, (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相 此时,直线与圆相切. 切,求 a 的值. (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相 交于 A,B 两点,且弦 AB 的 长为 2 3,求 a 的值.
当直线的斜率存在时,设方程为 y-1=k(x-3),
即 kx-y+1-3k=0.

|k-2+1-3k| 3 由题意知 =2,解得 k=4. 2 k +1

题型分类·深度剖析
题型二 圆的切线与弦长问题

【例 2】

已知点 M(3,1),直线

思维启迪

解析

思维升华

ax-y+4=0 及圆(x-1)2+ (y-2)2=4.

3 ∴圆的切线方程为 y-1= (x-3), 4

(1)求过 M 点的圆的切线方程;

即 3x-4y-5=0.

(2)若直线 ax-y+4=0 与圆相 故过 M 点的圆的切线方程为 x=3 切,求 a 的值.
或 3x-4y-5=0.

|a-2+4| (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相 (2)由题意得 a2+1 =2, 4 交于 A,B 两点,且弦 AB 的 解得 a=0 或 a= . 3

长为 2 3,求 a 的值.

题型分类·深度剖析
题型二 圆的切线与弦长问题

【例 2】

已知点 M(3,1),直线

思维启迪

解析

思维升华

ax-y+4=0 及圆(x-1)2+

(3)∵圆心到直线 ax-y+4=0 的 |a+2| (y-2)2=4. 距离为 2 , a +1 (1)求过 M 点的圆的切线方程; |a+2| 2 2 3 2 (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相 ∴( 2 ) +( ) =4, 2 a +1 切,求 a 的值. 3 解得 a=- . 4 (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相

交于 A,B 两点,且弦 AB 的 长为 2 3,求 a 的值.

题型分类·深度剖析
题型二 圆的切线与弦长问题

【例 2】

已知点 M(3,1),直线

思维启迪

解析

思维升华

ax-y+4=0 及圆(x-1)2+ (y-2)2=4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相 切,求 a 的值.

(1)求过某点的圆的切线问题时,应 首先确定点与圆的位置关系,再求 直线方程.若点在圆上(即为切点), 则过该点的切线只有一条;若点在 圆外,则过该点的切线有两条,此 时应注意斜率不存在的切线.

(3)若直线 ax-y+4=0 与圆相 (2)求直线被圆所截得的弦长时, 通常考 交于 A,B 两点,且弦 AB 的 虑由弦心距垂线段作为直角边的直角 长为 2 3,求 a 的值.
三角形,利用勾股定理来解决问题.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 已知点 P(0,5)及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.
解 (1)如图所示,|AB|=4 3,将圆 C 方程化为标准 方程为(x+2)2+(y-6)2=16,
∴圆 C 的圆心坐标为(-2,6),半径 r=4,设 D 是线段 AB 的中点,则 CD⊥AB,

∴|AD|=2 3,|AC|=4.C 点坐标为(-2,6).
在 Rt△ACD 中,可得|CD|=2.

设所求直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y-5=kx,即 kx-y+5=0. |-2k-6+5| 3 由点 C 到直线 AB 的距离公式: 2 = 2 , 得 k = 4. k +?-1?2

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 已知点 P(0,5)及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.
故直线 l 的方程为 3x-4y+20=0.
又直线 l 的斜率不存在时,也满足题意, 此时方程为 x=0.

∴所求直线 l 的方程为 x=0 或 3x-4y+20=0. (2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x,y),
→ → 则 CD⊥PD,即CD· PD=0,

∴(x+2,y-6)· (x,y-5)=0,
化简得所求轨迹方程为 x2+y2+2x-11y+30=0.

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

圆与圆的位置关系
思维启迪 解析 答案 思维升华

(1)已知两圆 C1:x2+y2- 2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x +2y-8=0, 则两圆公共弦所在的 直线方程是________________. (2)两圆 x2+y2-6x+6y-48=0 与 x2+y2+4x-8y-44=0 公切线的 条数是________. (3)已知⊙O 的方程是 x2+y2-2= 0,⊙O′的方程是 x2+ y2- 8x+ 10=0,由动点 P 向⊙O 和⊙O′ 所引的切线长相等,则动点 P 的 轨迹方程是____________.

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

圆与圆的位置关系
思维启迪 解析 答案 思维升华

(1)已知两圆 C1:x2+y2- 2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x +2y-8=0, 则两圆公共弦所在的 直线方程是________________. (2)两圆 x2+y2-6x+6y-48=0 与 x2+y2+4x-8y-44=0 公切线的 条数是________. (3)已知⊙O 的方程是 x2+y2-2= 0,⊙O′的方程是 x2+ y2- 8x+ 10=0,由动点 P 向⊙O 和⊙O′ 所引的切线长相等,则动点 P 的 轨迹方程是____________.

求动点的轨迹方程关键是 寻找与动点有关的等量关 系, 然后将等量关系用坐标 表示出来.

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

圆与圆的位置关系
思维启迪 解析 答案 思维升华

(1)已知两圆 C1:x2+y2- 2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x +2y-8=0, 则两圆公共弦所在的 直线方程是________________. (2)两圆 x2+y2-6x+6y-48=0 与 x2+y2+4x-8y-44=0 公切线的 条数是________. (3)已知⊙O 的方程是 x2+y2-2= 0,⊙O′的方程是 x2+ y2- 8x+ 10=0,由动点 P 向⊙O 和⊙O′ 所引的切线长相等,则动点 P 的 轨迹方程是____________.

(1)两圆的方程相减得:x-2y+4 =0.

(2) 两 圆 圆 心 距 d = 74 < 66 + 64,

∴两圆相交, 故有 2 条切线.

(3)⊙O 的圆心为(0,0), 半径为 2, ⊙O′的圆心为(4,0),半径为 6, 设点 P 为(x,y),由已知条件和圆 切线性质得 x2+y2-2=(x-4)2+ 3 2 y -6,化简得 x=2.

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

圆与圆的位置关系
思维启迪 解析 答案 思维升华

(1)已知两圆 C1:x2+y2- 2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x +2y-8=0, 则两圆公共弦所在的 x-2y+4=0 直线方程是________________ . (2)两圆 x2+y2-6x+6y-48=0 与 x2+y2+4x-8y-44=0 公切线的 2 条数是________ . (3)已知⊙O 的方程是 x2+y2-2= 0,⊙O′的方程是 x2+ y2- 8x+ 10=0,由动点 P 向⊙O 和⊙O′ 所引的切线长相等,则动点 P 的 3 x=2 轨迹方程是____________ .

(1)两圆的方程相减得:x-2y+4 =0.

(2) 两 圆 圆 心 距 d = 74 < 66 + 64,

∴两圆相交, 故有 2 条切线.

(3)⊙O 的圆心为(0,0), 半径为 2, 设点 P 为(x,y),由已知条件和圆 切线性质得 x2+y2-2=(x-4)2+ 3 2 y -6,化简得 x= . 2

⊙O′的圆心为(4,0),半径为 6,

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

圆与圆的位置关系
思维启迪 解析 答案 思维升华

(1)已知两圆 C1:x2+y2- 2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x +2y-8=0, 则两圆公共弦所在的 x-2y+4=0 直线方程是________________ . (2)两圆 x2+y2-6x+6y-48=0 与 x2+y2+4x-8y-44=0 公切线的 2 条数是________ . (3)已知⊙O 的方程是 x2+y2-2= 0,⊙O′的方程是 x2+ y2- 8x+ 10=0,由动点 P 向⊙O 和⊙O′ 所引的切线长相等,则动点 P 的 3 x= 2 轨迹方程是____________ .

判断两圆的位置关系时常用几 何法,即利用两圆圆心之间的 距离与两圆半径之间的关系, 一般不采用代数法.若两圆相 交,则两圆公共弦所在直线的 方程可由两圆的方程作差消去 x2,y2 项得到.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知两圆 C1:x2+y2-2x+10y-24=0,C2:x2 +y2+2x+2y-8=0,则以两圆公共弦为直径的圆的方程是
2 2 ( x + 2) + ( y - 1) =5 ___________________________ .

解析 圆 C1 的圆心为(1,-5),半径为 50,圆 C2 的圆心为 (-1,-1),半径为 10,则两圆心连线的直线方程为 2x+y+ 3=0,由两圆方程作差得公共弦方程为 x-2y+4=0,两直线 的交点(-2,1)即为所求圆的圆心,由垂径定理可以求得半径为 5,即所求圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.

题型分类·深度剖析
高频小考点8 高考中与圆交汇问题的求解
一、圆与集合的交汇问题 典例:(5 分)设 M={(x,y)|y= 2a2-x2,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y- 3)2= a2,a>0},则 M∩N≠?时,a 的最大值与最小值分别为________、________.

思 维 启 迪





温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
高频小考点8 高考中与圆交汇问题的求解
一、圆与集合的交汇问题 典例:(5 分)设 M={(x,y)|y= 2a2-x2,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y- 3)2= a2,a>0},则 M∩N≠?时,a 的最大值与最小值分别为________、________.

思 维 启 迪





温 馨 提 醒

本题条件 M∩N≠?反映了两个集合所表示的曲线之间 的关系,即半圆与圆之间的关系,因此可以直接利用 数形结合的思想求解.

题型分类·深度剖析
高频小考点8 高考中与圆交汇问题的求解
一、圆与集合的交汇问题 典例:(5 分)设 M={(x,y)|y= 2a2-x2,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y- 3)2= 2 2-2 2 2+2 、________. a2,a>0},则 M∩N≠?时,a 的最大值与最小值分别为________

思 维 启 迪





温 馨 提 醒

因为集合 M={(x,y)|y= 2a2-x2,a>0},

所以集合 M 表示以 O(0,0)为圆心,半径为 r1= 2a 的上半圆.
同理,集合 N 表示以 O′(1, 3)为圆心,半径为 r2=a 的圆上 的点.

这两个圆的半径随着 a 的变化而变化,但|OO′|=2.如图所示, 当两圆外切时,由 2a+a=2,得 a=2 2-2;
当两圆内切时,由 2a-a=2,得 a=2 2+2.

所以 a 的最大值为 2 2+2,最小值为 2 2-2.

题型分类·深度剖析
高频小考点8 高考中与圆交汇问题的求解
一、圆与集合的交汇问题 典例:(5 分)设 M={(x,y)|y= 2a2-x2,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y- 3)2= 2 2-2 2 2+2 、________. a2,a>0},则 M∩N≠?时,a 的最大值与最小值分别为________

思 维 启 迪





温 馨 提 醒

本题主要考查集合的运算及圆与圆相切的相关知识,考查考生综 合运用知识解决问题的能力.借助数形结合的思想方法求解本题 较为简捷, 在求解时要注意对 M∩N≠?的意义的理解, 若题中未 指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,例如 A?B,则 A=? 或 A≠?两种可能,应分类讨论.本题的设计亮点就是将集合的 关系与圆的位置关系较好地结合起来.

题型分类·深度剖析
高频小考点8 高考中与圆交汇问题的求解
二、圆与线性规划的交汇问题 ?2x-y+2≥0, ? 典例:(5 分)如果点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ?x+y-2≤0 ? =1 上,那么|PQ|的最小值为________. 上,点 Q 在曲线 x2+(y+2)2

思 维 启 迪





温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
高频小考点8 高考中与圆交汇问题的求解
二、圆与线性规划的交汇问题 ?2x-y+2≥0, ? 典例:(5 分)如果点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ?x+y-2≤0 ? =1 上,那么|PQ|的最小值为________. 上,点 Q 在曲线 x2+(y+2)2

思 维 启 迪





温 馨 提 醒

求解本题应先画出点 P 所在的平面区域,再画出点 Q 所在的 圆, 最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离 的最值问题,即可求出|PQ|的最小值.

题型分类·深度剖析
高频小考点8 高考中与圆交汇问题的求解
二、圆与线性规划的交汇问题 ?2x-y+2≥0, ? 典例:(5 分)如果点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ?x+y-2≤0 ? =1 上,那么|PQ|的最小值为________. 上,点 Q 在曲线 x2+(y+2)2

思 维 启 迪





温 馨 提 醒

?2x-y+2≥0, ? 由点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ?x+y-2≤0 ?
画出点 Q 所在的圆,如图所示.

上,

画出点 P 所在的平面区域. 由点 Q 在圆 x2+(y+2)2=1 上,
由题意,得|PQ|的最小值为圆心(0,-2)到直线 x-2y+1=0 的距离减去半径 1.

题型分类·深度剖析
高频小考点8 高考中与圆交汇问题的求解
二、圆与线性规划的交汇问题 ?2x-y+2≥0, ? 典例:(5 分)如果点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ?x+y-2≤0 ? 上,点 Q 在曲线 x2+(y+2)2

5-1 . =1 上,那么|PQ|的最小值为________

思 维 启 迪





温 馨 提 醒

|0-2×?-2?+1| 又圆心(0, -2)到直线 x-2y+1=0 的距离为 = 2 2 1 +2 5,此时垂足 (-1,0)在满足条件的平面区域内,故 |PQ|的最小 值为 5-1.

题型分类·深度剖析
高频小考点8 高考中与圆交汇问题的求解
二、圆与线性规划的交汇问题 ?2x-y+2≥0, ? 典例:(5 分)如果点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ?x+y-2≤0 ? 上,点 Q 在曲线 x2+(y+2)2

5-1 . =1 上,那么|PQ|的最小值为________

思 维 启 迪





温 馨 提 醒

本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识,并考查考生综合应用知识 解决问题的能力. 本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来, 为我们展现了数学知识相互交汇的新天地,求解时既要注意使用线性规划的 基本思想,又要利用圆上各点的特殊性.实际上是对数形结合思想的提升, 即利用线性或非线性函数的几何意义,通过作图来解决最值问题.

题型分类·深度剖析
高频小考点8 高考中与圆交汇问题的求解
三、圆与不等式的交汇问题 典例:(5 分)(2012· 天津)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x- 1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是 A.[1- 3,1+ 3] C.[2-2 2,2+2 2] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) ( )

思 维 启 迪





温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
高频小考点8 高考中与圆交汇问题的求解
三、圆与不等式的交汇问题 典例:(5 分)(2012· 天津)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x- 1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是 A.[1- 3,1+ 3] C.[2-2 2,2+2 2] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) ( )

思 维 启 迪





温 馨 提 醒

圆与不等式的交汇实质上反映了圆的独特性质,即圆内点、圆 外点的性质,直线与圆相交、相离的性质,圆与圆的相交、相 离的性质等,这些问题反映在代数上就是不等式的形式.

题型分类·深度剖析
高频小考点8 高考中与圆交汇问题的求解
三、圆与不等式的交汇问题 典例:(5 分)(2012· 天津)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x- 1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是 A.[1- 3,1+ 3] C.[2-2 2,2+2 2] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) (

D )

思 维 启 迪





温 馨 提 醒

|m+n| 圆心(1,1)到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 的距离为 =1, ?m+1?2+?n+1?2
1 所以 m+n+1=mn≤4(m+n)2,

所以 m+n≥2+2 2或 m+n≤2-2 2.

题型分类·深度剖析
高频小考点8 高考中与圆交汇问题的求解
三、圆与不等式的交汇问题 典例:(5 分)(2012· 天津)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x- 1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是 A.[1- 3,1+ 3] C.[2-2 2,2+2 2] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) (

D )

思 维 启 迪





温 馨 提 醒

直线与圆位置关系的考查,一般是已知位置关系求参数值,均值不等式的 考查一般是给出参数关系,利用均值不等式求最值或范围.而本题却以直 线与圆的位置关系给出参数之间的数量关系,利用均值不等式转化,结合 换元法把关系转化为一元二次不等式, 从而求得 m+n 的取值范围, 这一交 汇命题新颖独特,考查知识全面,难度中等,需要熟练掌握各知识才能逐 一化解.

思想方法·感悟提高
1.过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率 k,由垂直关系知切线斜率为 1 -k ,由点斜式方程可求切线方程.若切线斜率不存在,则 由图形写出切线方程 x=x0.

方 法 与 技 巧

2.过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法 (1)几何方法 当斜率存在时,设为 k,切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 kx -y+y0-kx0=0.由圆心到直线的距离等于半径,即可得出 切线方程. (2)代数方法 设切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 y=kx-kx0+y0,代入圆 方程,得一个关于 x 的一元二次方程,由 Δ=0,求得 k, 切线方程即可求出.

思想方法·感悟提高
3.两圆公共弦所在直线方程的求法 若两圆相交时,把两圆的方程作差消去 x2 和 y2 就 得到两圆的公共弦所在的直线方程.

方 法 与 技 巧

4.圆的弦长的求法 (1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l, ?l? 则?2?2=r2-d2. ? ? (2)代数法:设直线与圆相交于 A(x1,y1),B(x2,y2) ? ?y=kx+b, 两点, 解方程组? 消 y 后得关 2 2 2 ? ??x-x0? +?y-y0? =r , 于 x 的一元二次方程,从而求得 x1+x2,x1x2,则弦 长为|AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2](k 为直线斜率).

思想方法·感悟提高

1.求圆的弦长问题,注意应用圆的性质解题,即用圆心

失 误 与 防 范

与弦中点连线与弦垂直的性质, 可以用勾股定理或斜 率之积为-1 列方程来简化运算.
2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条;过圆外一点 作圆的切线有且只有两条,若仅求得一条,除了考 虑运算过程是否正确外,还要考虑斜率不存在的情 况,以防漏解.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1.圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+(y-3)2=1 的内公 切线有且仅有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 ( B ) D.4 条

解析 圆心距为 3,半径之和为 2,故两圆外 离,内公切线条数为 2.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2.(2012· 重庆)对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 的位置关系一定是 A.相离 C.相交但直线不过圆心 B.相切 D.相交且直线过圆心 ( C )

解析 ∵x2+y2=2 的圆心(0,0)到直线 y=kx+1 的距离
|0-0+1| 1 d= 2 = 2≤1, 1+k 1+k

又∵r= 2,∴0<d<r.
∴直线与圆相交但直线不过圆心.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3. 直线 l 过点 A(2,4)且与圆 x2+y2=4 相切, 则 l 的方程为( D ) A.3x-4y+10=0 C.x-y+2=0 B.x=2 D.x=2 或 3x-4y+10=0

解析 显然 x=2 为所求切线之一;

另设 y-4=k(x-2),即 kx-y+4-2k=0,

|4-2k| 3 而 2 =2,k=4,即切线为 3x-4y+10=0, k +1
∴x=2 或 3x-4y+10=0 为所求.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

4.(2013· 山东)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点 分别为 A,B,则直线 AB 的方程为 A.2x+y-3=0 C.4x-y-3=0
解析 如图所示: 1 由题意知:AB⊥PC,kPC=2,

( A )

B.2x-y-3=0 D.4x+y-3=0

∴kAB=-2,

∴直线 AB 的方程为 y-1=-2(x-1),即 2x+y-3=0.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5.已知直线 y=kx+b 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点, → → 2 当 b= 1+k 时,OA· OB等于 ( A ) A.1
解析

B. 2

C.3

D.4

设 A(x1,y1),B(x2,y2),将 y=kx+b 代入 x2+y2

=1 得(1+k2)x2+2kbx+b2-1=0,

b2-1 2kb 故 x1+x2=- 2,x1x2= 2, 1+k 1+k → → 从而OA· OB=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2
2 2 2 2 k b 2 b 2 =b2-1- 2+b = 2-1=1. 1+k 1+k

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

6.若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4x-x2有公共点,则 b 的取
1-2 2≤b≤3 . 值范围是______________

解析

由 y=3- 4x-x2,得(x-2)2+

(y-3)2=4(1≤y≤3).

∴曲线 y=3- 4x-x2是半圆, 如图中实线所示.

|2-3+b| 当直线 y=x+b 与圆相切时, =2. 2 ∴b=1± 2 2. 由图可知 b=1-2 2.
? ? ∴b 的取值范围是??1-2 2,3??.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

7.若过点 A(a,a)可作圆 x2+y2-2ax+a2+2a-3=0 的两 条切线,则实数 a
? 3? ? (-∞,-3)∪?1,2? ? ? ? . 的取值范围为___________________

解析

圆方程可化为(x-a)2+y2=3-2a,

?3-2a>0 ? 由已知可得? 2 ? ?a >3-2a

3 ,解得 a<-3 或 1<a< . 2

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

8.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0 (a>0)的公共弦长
1 为 2 3,则 a=________.

解析

方程 x2+y2+2ay-6=0 与 x2+y2=4.

1 相减得 2ay=2,则 y= .由已知条件 a
即 a=1.

1 2 -? 3? = , a
2 2

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2 9.已知以点 C(t, t )(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O, A,与 y 轴交于点 O,B,其中 O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON, 求圆 C 的方程.

4 令 x=0,得 y1=0,y2= t ;令 y=0,得 x1=0,x2=2t,

4 (1)证明 ∵圆 C 过原点 O,∴OC =t + 2. t 22 2 4 2 设圆 C 的方程是(x-t) +(y- t ) =t +t2,
2 2

1 1 4 ∴S△OAB= OA· OB= ×| |×|2t|=4, 2 2 t

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2 9.已知以点 C(t, t )(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O, A,与 y 轴交于点 O,B,其中 O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON, 求圆 C 的方程.

即△OAB 的面积为定值.

(2)解 ∵OM=ON,CM=CN,∴OC 垂直平分线段 MN.
1 2 1 ∵kMN=-2,∴kOC=2. ∴ = t,解得 t=2 或 t=-2. t 2

当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1),OC= 5,

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2 9.已知以点 C(t, t )(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O, A,与 y 轴交于点 O,B,其中 O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON, 求圆 C 的方程.

1 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= < 5, 5
圆 C 与直线 y=-2x+4 相交于两点.

当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),OC= 5,

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2 9.已知以点 C(t, t )(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O, A,与 y 轴交于点 O,B,其中 O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON, 求圆 C 的方程.

9 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= > 5. 5 圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交,

∴t=-2 不符合题意,舍去.
∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.已知矩形 ABCD 的对角线交于点 P(2,0), 边 AB 所在直线的 方程为 x-3y-6=0,点(-1,1)在边 AD 所在的直线上. (1)求矩形 ABCD 的外接圆的方程; (2)已知直线 l:(1-2k)x+(1+k)y-5+4k=0(k∈R),求证: 直线 l 与矩形 ABCD 的外接圆恒相交, 并求出相交的弦长最 短时的直线 l 的方程.

解 (1)∵lAB:x-3y-6=0 且 AD⊥AB,
点(-1,1)在边 AD 所在的直线上,

∴AD 所在直线的方程是 y-1=-3(x+1),
即 3x+y+2=0.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.已知矩形 ABCD 的对角线交于点 P(2,0), 边 AB 所在直线的 方程为 x-3y-6=0,点(-1,1)在边 AD 所在的直线上. (1)求矩形 ABCD 的外接圆的方程; (2)已知直线 l:(1-2k)x+(1+k)y-5+4k=0(k∈R),求证: 直线 l 与矩形 ABCD 的外接圆恒相交, 并求出相交的弦长最 短时的直线 l 的方程.
? ?x-3y-6=0, 由? ? ?3x+y+2=0,

得 A(0,-2).

∴|AP|= 4+4=2 2,
∴矩形 ABCD 的外接圆的方程是(x-2)2+y2=8.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.已知矩形 ABCD 的对角线交于点 P(2,0), 边 AB 所在直线的 方程为 x-3y-6=0,点(-1,1)在边 AD 所在的直线上. (1)求矩形 ABCD 的外接圆的方程; (2)已知直线 l:(1-2k)x+(1+k)y-5+4k=0(k∈R),求证: 直线 l 与矩形 ABCD 的外接圆恒相交, 并求出相交的弦长最 短时的直线 l 的方程.
(2)直线 l 的方程可化为 k(-2x+y+4)+x+y-5=0,

l 可看作是过直线-2x+y+4=0 和 x+y-5=0 的交点 (3,2)的直线系,
即 l 恒过定点 Q(3,2),

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.已知矩形 ABCD 的对角线交于点 P(2,0), 边 AB 所在直线的 方程为 x-3y-6=0,点(-1,1)在边 AD 所在的直线上. (1)求矩形 ABCD 的外接圆的方程; (2)已知直线 l:(1-2k)x+(1+k)y-5+4k=0(k∈R),求证: 直线 l 与矩形 ABCD 的外接圆恒相交, 并求出相交的弦长最 短时的直线 l 的方程.

由(3-2)2+22=5<8 知点 Q 在圆 P 内,
设 l 与圆 P 的交点为 M,N, 所以 l 与圆 P 恒相交.
则|MN|=2 8-d2(d 为 P 到 l 的距离),

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.已知矩形 ABCD 的对角线交于点 P(2,0), 边 AB 所在直线的 方程为 x-3y-6=0,点(-1,1)在边 AD 所在的直线上. (1)求矩形 ABCD 的外接圆的方程; (2)已知直线 l:(1-2k)x+(1+k)y-5+4k=0(k∈R),求证: 直线 l 与矩形 ABCD 的外接圆恒相交, 并求出相交的弦长最 短时的直线 l 的方程.
设 PQ 与 l 的夹角为 θ, 则 d=|PQ|· sin θ= 5sin θ,

当 θ=90° 时,d 最大,|MN|最短.
1 此时 l 的斜率为 PQ 的斜率的负倒数,即-2, 1 故 l 的方程为 y-2=- (x-3),x+2y-7=0. 2

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x+4y+4 =0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为 A.x2+y2-2x-3=0 C.x2+y2+2x-3=0 B.x2+y2+4x=0 D.x2+y2-4x=0 ( D )

解析 设圆心为(a,0),且 a>0,
则(a,0)到直线 3x+4y+4=0 的距离为 2,
|3×a+4×0+4| 14 即 = 2 ? 3 a + 4 = ± 10 ? a = 2 或 a =- (舍去), 2 2 3 3 +4

则圆 C 的方程为(x-2)2+(y-0)2=22,

即 x2+y2-4x=0.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.圆(x-3)2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 1 的点有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ( C )

|9+12-11| 解析 因为圆心到直线的距离为 =2, 5

又因为圆的半径为 3,所以直线与圆相交, 由数形结合知,

圆上到直线的距离为 1 的点有 3 个.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.(2013· 江西)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A、B 两 点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率 等于 3 A. 3
解析

( 3 B.- 3 3 C.± 3 D.- 3

)

1 ∵S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB

1 1 =2sin∠AOB≤2. π 当∠AOB=2时,S△AOB 面积最大.
2 此时 O 到 AB 的距离 d= . 2

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.(2013· 江西)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A、B 两 点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率 等于 3 A. 3 3 B.- 3 3 C.± 3 ( B ) D.- 3

设 AB 方程为 y=k(x- 2)(k<0),
即 kx-y- 2k=0.

| 2k| 2 3 3 由 d= 2 = 得 k=- .(也可 k=-tan∠OPH=- ). 3 3 k +1 2

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.(2012· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+ 15=0,若直线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1
4 3 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________ .

解析 圆 C 的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0).
由题意知(4,0)到 kx-y-2=0 的距离应不大于 2,

|4k-2| 4 2 即 2 ≤2.整理,得 3k -4k≤0.解得 0≤k≤3. k +1
4 故 k 的最大值是3.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5 .已知集合 A = {(x , y)|x - y + m≥0} ,集合 B = {(x , y)|x2 +

m<- 2 . y2≤1}.若 A∩B=?,则实数 m 的取值范围是__________
解析 如图,A={(x,y)|x-y+m≥0}表示直

线 x-y+m=0 及其右下方区域, B={(x, y)|x2 + y2≤1} 表示圆 x2 + y2 = 1 及其内部,要使 A∩B=?,则直线 x-y+m=0 在圆 x2+y2=1 |0-0+m| 的下方,即 >1,故 m<- 2. 2

练出高分

B组

专项能力提升
5 6 7

1 2 3 4 6.已知圆 O:x2+y2=4 和点 M(1,a).

(1)若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切,求实数 a 的值, 并求出切线方程. (2)若 a= 2, 过点 M 的圆的两条弦 AC, BD 互相垂直, 求|AC| +|BD|的最大值.

解 (1)由条件知点 M 在圆 O 上,
所以 1+a2=4,则 a=± 3.
3 当 a= 3时,点 M 为(1, 3),kOM= 3,k 切=- 3 , 3 此时切线方程为 y- 3=- (x-1).即 x+ 3y-4=0, 3 3 当 a=- 3时,点 M 为(1,- 3),kOM=- 3,k 切= 3 .

练出高分

B组

专项能力提升
5 6 7

1 2 3 4 6.已知圆 O:x2+y2=4 和点 M(1,a).

(1)若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切,求实数 a 的值, 并求出切线方程. (2)若 a= 2, 过点 M 的圆的两条弦 AC, BD 互相垂直, 求|AC| +|BD|的最大值.

3 此时切线方程为 y+ 3= 3 (x-1). 即 x- 3y-4=0.
所以所求的切线方程为 x+ 3y-4=0 或 x- 3y-4=0.

(2)设 O 到直线 AC,BD 的距离分别为 d1,d2(d1,d2≥0),
2 2 则 d2 1+d2=OM =3.

2 又有|AC|=2 4-d2 1,|BD|=2 4-d2,

练出高分

B组

专项能力提升
5 6 7

1 2 3 4 6.已知圆 O:x2+y2=4 和点 M(1,a).

(1)若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切,求实数 a 的值, 并求出切线方程. (2)若 a= 2, 过点 M 的圆的两条弦 AC, BD 互相垂直, 求|AC| +|BD|的最大值.
2 所以|AC|+|BD|=2 4-d2 1+2 4-d2.
2 2 2 则(|AC|+|BD|)2=4×(4-d1 +4-d2 2+2 4-d1· 4-d2 )=4×[5+ 2 2 2 2 2 2 16-4?d1 +d2 2?+d1d2]=4×(5+2 4+d1d2).

因为

2 2d1d2≤d2 1+d2=3,所以

9 2 2 d1d2≤ , 4

6 当且仅当 d1=d2= 时取等号, 2

练出高分

B组

专项能力提升
5 6 7

1 2 3 4 6.已知圆 O:x2+y2=4 和点 M(1,a).

(1)若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切,求实数 a 的值, 并求出切线方程. (2)若 a= 2, 过点 M 的圆的两条弦 AC, BD 互相垂直, 求|AC| +|BD|的最大值.

所以

5 2 2 4+d1d2≤ , 2
2

5 所以(|AC|+|BD|) ≤4×(5+2×2)=40.

所以|AC|+|BD|≤2 10,
即|AC|+|BD|的最大值为 2 10.

练出高分

B组

专项能力提升

6 7 5 1 2 3 4 7.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交

点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; → → (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且OA· OB=0, 求 a 的值.
解 (1)曲线 y=x2-6x+1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交 点为(3+2 2,0),(3-2 2,0).
故可设圆 C 的圆心为(3,t),

则有 32+(t-1)2=(2 2)2+t2,解得 t=1.
则圆 C 的半径为 32+?t-1?2=3.

所以圆 C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.

练出高分

B组

专项能力提升

6 7 5 1 2 3 4 7.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交

点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; → → (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且OA· OB=0, 求 a 的值.
? ?x-y+a=0, ? (2)设 A(x1, y1), B(x2, y2), 其坐标满足方程组: 2 2 ? ??x-3? +?y-1? =9.

消去 y,得到方程 2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.

由已知可得,判别式 Δ=56-16a-4a2>0.
8-2a+ 56-16a-4a2 8-2a- 56-16a-4a2 因此 x1= ,x2= , 4 4

练出高分

B组

专项能力提升

6 7 5 1 2 3 4 7.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交

点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; → → (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且OA· OB=0, 求 a 的值.

a2-2a+1 从而 x1+x2=4-a,x1x2= . 2 → → ∵OA· OB=0,∴OA⊥OB,
可得 x1x2+y1y2=0,
又 y1=x1+a,y2=x2+a,



所以 2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.



由①②得 a=-1,满足 Δ>0,故 a=-1.


相关文章:
...9.4直线与圆、圆与圆的位置关系教学案 理 新人教A版...
2014届高考数学一轮复习 第九章解析几何9.4直线与圆圆与圆的位置关系教学案 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。9.4 直线与圆圆与圆的位置关系 考纲...
...配套文档 9.3 直线与圆、圆与圆的位置关系
2016步步高高考数学大一轮总复习(人教新课标...配套文档 9.3 直线与圆圆与圆的位置关系_数学_...3 4.已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,...
...平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 理
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆圆与圆的位置关系 _数学_高中教育_教育专区。【步步高】 (江苏专用)2017 ...
【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:9.4 直线与...
【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:9.4 直线与圆圆与圆的位置关系]_数学_高中教育_教育专区。【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:9.4 直线与...
...届高三数学一轮复习《直线与圆、圆与圆的位置关系》...
(聚焦典型)2014高三数学一轮复习直线与圆圆与圆的位置关系 新人教B版_数学_高中教育_教育专区。[第 48 讲 直线与圆圆与圆的位置关系] (时间:45...
2016高考数学大一轮复习 9.4直线与圆、圆与圆的位置关...
2016高考数学大一轮复习 9.4直线与圆圆与圆的位置关系教师用书 苏教版_数学_高中教育_教育专区。§9.4 直线与圆圆与圆的位置关系 1.判断直线与圆的...
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第九章 ...
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第九章...§ 9.4 直线与圆圆与圆的位置关系 1. 直线与...(0,0)为圆心,半径为 r1= 2a 的上半圆. 同理,...
...届高三数学一轮复习《直线与圆、圆与圆的位置关系》...
(聚焦典型)2014高三数学一轮复习直线与圆圆与圆的位置关系 新人教B版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。[第 48 讲 直线与圆圆与圆的位置关系]...
...平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 文
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第...9.4 直线与圆圆与圆的位置关系 文_数学_高中...2016高三人教B版数学(... 暂无评价 20页 ¥1...
...课时作业:9-4 直线与圆、圆与圆的位置关系]
【高考调研】2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:9-4 直线与圆圆与圆的位置关系]_高中教育_教育专区。【高考调研】2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:9...
更多相关标签: