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江西省师大附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江西省师大附中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题只有一个选项符合题意.) 1. (5 分)已知集合 A={x|2x ﹣3x﹣2<0},集合 B={x| A.(﹣ ,2) B.(1,2) C.[1,2)
2

≥1},则 A∩B=() D.(﹣ ,1)

/>
2. (5 分)下列函数中,是奇函数,又在定义域内为减函数的是() A.y=( )
x

B.y=

C.y=﹣2x

3

D.y=log2(﹣x)

3. (5 分)已知集合 A={x∈Z||x﹣1|≤1},B={y∈N|y= 到集合 B 的映射个数为() A.16 B.27
0.8 7

,x∈[1,4]},则可建立从集合 A

C.64

D.81

4. (5 分)设 a=5 ,b=0.6 ,c=log0.74,则 a,b,c 的大小关系是() A.a<c<b B.c<a<b C.b<a<c D.c<b<a

5. (5 分)设 f(x)= A.log717 B. 2
2

,则 f[f(ln2+1)]=() C. 7 D.log7(8e +1)
2

6. (5 分)函数 f(x)=ax +2(a﹣3)x+1 在区间[﹣3,+∞)上递减,则实数 a 的取值范围是 () A.(﹣∞,0) B.[﹣ ,+∞) C.[﹣ ,0] D.(0,+∞)

7. (5 分)已知 f(x)是偶函数,且在(﹣∞,0]上是减函数,若 f( 则 x 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1]∪[ ,+∞) D.[﹣2,1] B.(﹣∞,﹣ ]∪[1,+∞)

)≥f(﹣4) ,

C. [﹣1,2]

8. (5 分)若函数 f(x)=log2a﹣1(a ﹣2a+1)的值为正数,则 a 的取值范围是() A.(0,2) B.(0, )∪(1,2) C. (﹣∞,0)∪(2,+∞)

2

D.( ,1)∪(2,+∞)

9. (5 分)若函数 f(x)=a (a>0,a≠1)是定义域为 R 的增函数,则函数 f(x)=loga(x+1) 的图象大致是()

﹣x

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)若函数 f(x)=|4x﹣x |+2 ﹣8 至少有 3 个零点,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣∞,3) B.(﹣∞,3] C.[2,3) D.[2,3]

2

a

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)函数 f(x)= +logx+3(x +x﹣2)的定义域为.
2

12. (5 分)里氏震级 M 的计算公式为:M=lgA﹣lgA0,其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最 大振幅,A0 是相应的标准地震的振幅, 9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的倍. 13. (5 分)函数 y=lo (2x ﹣5x﹣3)的单调递增区间为.
2

14. (5 分)若方程 x ﹣2mx+3=0 的两根满足一根小于 1,一根大于 2,则 m 的取值范围是. 15. (5 分)若函数 y=loga(ax +3ax+2)的值域为 R,则 a 的取值范围是.
2

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (12 分) (1) 计算: (0.25) ﹣ (
a b 0

) ﹣0.75+

+

+ln

+



(2)已知 14 =6,14 =7,用 a,b 表示 log4256. 17. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣(k﹣2)x+k +3k+5 有两个零点: (1)若函数的两个零点是﹣1 和﹣3,求 k 的值; 2 2 (2)若函数的两个零点是 α 和 β,求 α +β 的取值范围. 18. (12 分)已知 x 满足不等式 2(lo 的最值及相应的 x 的取值. x) +3≤lo
2 2 2

x ,求函数 f(x)=lo

7

(2x)?lo

(4x)

19. (12 分)已知不等式 的解集为 D,函数 f(x ﹣3)=ln
2

﹣lne≥0(0<a<1,e 为自然对数的底数) ,x∈D.

(1)求出 f(x)的解析式和定义域; (2)判断 f(x)的单调性,并用定义证明你的结论. 20. (13 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=a ﹣1,其中 a>0,a≠1. (1)求 f(x)的解析式; (2)解关于 x 的不等式﹣1<f(x﹣2)<6. 21. (14 分)已知 f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,且 f(2)=3.若对任意的 m,n∈[﹣2, 2],m+n≠0,都有
2 x

>0.

(1)判断函数 f(x)的单调性,并说明理由; (2)若 f(2a﹣1)<f(a ﹣2a+2) ,求实数 a 的取值范围; (3)若不等式 f(x)≤(5﹣2a)t+1 对任意 x∈[﹣2,2]和 a∈[﹣1,2]都恒成立,求实数 t 的取 值范围.

2014-2015 学年江西省师大附中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题只有一个选项符合题意.) 1. (5 分)已知集合 A={x|2x ﹣3x﹣2<0},集合 B={x| A.(﹣ ,2) B.(1,2) C.[1,2)
2

≥1},则 A∩B=() D.(﹣ ,1)

考点: 专题: 分析: 解答:

交集及其运算. 集合. 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,找出两集合的交集即可. 解:由 A 中不等式变形得: (2x+1) (x﹣2)<0,

解得:﹣ <x<2,即 A=(﹣ ,2) , 由 B 中不等式变形得: ﹣1≥0,即 = ≥ 0,

解得:x≤﹣2 或 x>1,即 B=(﹣∞,﹣2]∪(1,+∞) , 则 A∩B=(1,2) , 故选:B. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)下列函数中,是奇函数,又在定义域内为减函数的是() A.y=( )
x

B.y=

C.y=﹣2x

3

D.y=log2(﹣x)

考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 运用定义和常见函数的奇偶性和单调性,即可判断是奇函数,又在定义域内为减函 数的函数. 解答: 解:对于 A.为指数函数,没有奇偶性,则 A 错; 对于 B.f(﹣x)=﹣f(x) ,则为奇函数,在 x<0,x>0 上均为减函数,则 B 错; 对于 C.f(﹣x)=﹣f(x) ,则为奇函数,且 y′=﹣6x ≤0,即有减函数,则 C 对; 对于 D.定义域为(﹣∞,0) ,不关于原点对称,则不为奇函数,则 D 错. 故选 C. 点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断,注意运用定义和常见函数的奇偶性和单调 性,属于基础题和易错题. 3. (5 分)已知集合 A={x∈Z||x﹣1|≤1},B={y∈N|y= 到集合 B 的映射个数为() A.16 B.27 考点: 映射. 专题: 函数的性质及应用. ,x∈[1,4]},则可建立从集合 A
2

C.64

D.81

分析: 利用映射概念,要构成一个从集合 A 到集合 B 的映射,需要给集合 A 中的所有元素 在集合 B 中都找到唯一确定的像,然后利用分步乘法原理求解,同理得到从 B 到 A 的映射个 数. 解答: 解:A={x∈Z||x﹣1|≤1}={0,1,2}, B={y∈N|y= ,x∈[1,4]}={0,1,2,3}

根据映射的定义可知,对于集合 A 中的任何一个元素在 B 中都要有唯一的元素对应. 所以 A 中的 0 在 B 中的象可以是 0,1,2,3 其中的一个,共有四种结果. 同理给 A 中的元素 1,2 找到象与之对应的方法也分别有四中结果, ∴从集合 A 到集合 B 的映射个数为 4×4×4=64 故选 C. 点评: 本题考查映射的定义,属于一道基础题. 4. (5 分)设 a=5 ,b=0.6 ,c=log0.74,则 a,b,c 的大小关系是() A.a<c<b B.c<a<b C.b<a<c D.c<b<a 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 对于 a 和 b,运用指数函数的性质与 0,1 比较,可知 a>1,0<b<1,利用对数函数 的单调性得到 c<0,从而得到 a,b,c 的大小. 解答: 解:a=5 >5 =1,0<b=0.6 <0.6 =1 c=log0.74<log0.71=0, 所以,c<b<a. 故选 D. 点评: 本题考查了有理指数幂的化简求值和对数值的大小比较,考查了指数函数和对数函 数的单调性,该类大小比较问题,有时利用 0 和 1 当媒介,往往能起到事半功倍的效果,此题 是基础题
0.8 0 7 0 0.8 7

5. (5 分)设 f(x)= A.log717 B. 2

,则 f[f(ln2+1)]=() C. 7 D.log7(8e +1)
2

考点: 分段函数的应用;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 判断自变量的范围,然后利用分段函数逐步求解即可. 解答: 解:f(x)=
ln2+1﹣1

,∵ln2+1<2

∴f(ln2+1)=3e =6. 2 ∴f[f(ln2+1)]=f(6)=log7(8×6+1)=log77 =2. 故选:B. 点评: 本题考查分段函数的应用,函数值的求法,基本知识的考查.

6. (5 分)函数 f(x)=ax +2(a﹣3)x+1 在区间[﹣3,+∞)上递减,则实数 a 的取值范围是 () A.(﹣∞,0) B.[﹣ ,+∞) C.[﹣ ,0] D.(0,+∞)

2

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 当 a=0 时,f(x)=﹣6x+1,满足条件.当 a≠0 时,由条件利用二次函数的性质可得 ,由此求得 a 的范围,综合可得结论. 解答: 解:当 a=0 时,f(x)=﹣6x+1,满足在区间[﹣3,+∞)上递减. 当 a≠0 时,由于函数 f(x)=ax +2(a﹣3)x+1 的图象的对称轴方程为 x= 间[﹣3,+∞)上递减, ∴ ,求得﹣ ≤a<0.
2

,且函数在区

综上可得,﹣ ≤a≤0, 故选:C. 点评: 本题主要考查二次函数的性质的应用,体现了转化、分类讨论的数学思想,属基础 题.

7. (5 分)已知 f(x)是偶函数,且在(﹣∞,0]上是减函数,若 f( 则 x 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1]∪[ ,+∞) D.[﹣2,1] 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系解不等式即可. 解答: 解:∵f(x)是偶函数,且在(﹣∞,0]上是减函数, ∴f(x)在[0,+∞)上是增函数, 则不等式 f( 即
2

)≥f(﹣4) ,

B.(﹣∞,﹣ ]∪[1,+∞)

C. [﹣1,2]

)≥f(﹣4) ,等价为 f( ≥4,

)≥f(4) ,

则 2x ﹣x﹣1>2, 2 即 2x ﹣x﹣3>0, 解得 x<﹣1 或 x> ,

故选:A 点评: 本题主要考查不等式的求解,根据函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的 关键. 8. (5 分)若函数 f(x)=log2a﹣1(a ﹣2a+1)的值为正数,则 a 的取值范围是() A.(0,2) B.(0, )∪(1,2) C. (﹣∞,0)∪(2,+∞)
2

D.( ,1)∪(2,+∞)

考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数函数的性质即可得到结论. 解答: 解:由 f(x)=log2a﹣1(a ﹣2a+1)>0 得 log2a﹣1(a ﹣2a+1)>log2a﹣11, 2 2 若 2a﹣1>1,即 a>1 时,a ﹣2a+1>1,即 a ﹣2a>0,解得 a>2 或 a<0,此时 a>2, 若 0<2a﹣1<1,即 <a<1 时,a ﹣2a+1<1,即 a ﹣2a<0,解得 0<a<2,此时 <a<1, 综上 <a<1 或 a>2, 故选:D 点评: 本题主要考查对数函数的性质,利用分类讨论的思想是解决本题的关键. 9. (5 分)若函数 f(x)=a (a>0,a≠1)是定义域为 R 的增函数,则函数 f(x)=loga(x+1) 的图象大致是()
﹣x

2

2

2

2

A.

B.

C.

D.

考点: 指数函数的单调性与特殊点;对数函数的图像与性质. 专题: 数形结合. 分析: 先由条件得 a 的取值范围, 再结合对数函数的单调性及定义域来判断函数 f (x) =loga (x+1)的图象大致位置即可. 解答: 解:∵f(x)=a (a>0,a≠1) , ∴f(x)= ,
﹣x

∵定义域为 R 的增函数, ∴ ,

∴0<a<1, ∴函数 f(x)=loga(x+1)是定义域为(﹣1,+∞)的减函数, 故选 D. 点评: 本题主要考查了指数函数的单调性与特殊点、对数函数的图象,判断时要注意定义 域优先的原则. 10. (5 分)若函数 f(x)=|4x﹣x |+2 ﹣8 至少有 3 个零点,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣∞,3) B.(﹣∞,3] C.[2,3) D.[2,3] 考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 2 a 2 a 分析: 由题意,函数 f(x)=|4x﹣x |+2 ﹣8 至少有 3 个零点可化为 y=|4x﹣x |与 y=8﹣2 的 图象至少有 3 个交点,作图分析即可. 2 a 解答: 解:∵函数 f(x)=|4x﹣x |+2 ﹣8 至少有 3 个零点, 2 a ∴y=|4x﹣x |与 y=8﹣2 的图象至少有 3 个交点, 2 作 y=|4x﹣x |的图象如右图, 则可得, a 0<8﹣2 ≤4, 解得,a∈[2,3) ,
2 a

故选 C.

点评: 本题考查了方程的根与函数图象的关系,属于中档题. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)函数 f(x)= +logx+3(x +x﹣2)的定义域为(﹣3,﹣2)∪(1,2) .
2

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

分析: 要使函数有意义,则需

,运用指数函数的单调性、二次不等式的

解法即可得到定义域. 解答: 解:要使函数有意义,则需

,即有



解得﹣3<x<﹣2 或 1<x<2, 则定义域为: (﹣3,﹣2)∪(1,2) 故答案为: (﹣3,﹣2)∪(1,2) . 点评: 本题考查函数的定义域的求法,注意分式分母不为 0,偶次根式被开方式非负,对数 的真数大于 0,底数大于 0,且不为 1,属于基础题. 12. (5 分)里氏震级 M 的计算公式为:M=lgA﹣lgA0,其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最 4 大振幅,A0 是相应的标准地震的振幅,9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 10 倍.

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意,得出 lgA9﹣lgA0=9①,lgA5﹣lgA0=5②;由①、②求出 解答: 解:根据题意,得; lgA9﹣lgA0=9①, lgA5﹣lgA0=5②; 9 由①得,A9=A0?10 , 5 由②得,A5=A0?10 ; ∴ =10 ,
4 4

的值即可.

即 9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 10 倍. 4 故答案为:10 . 点评: 本题考查了对数函数的应用问题,解题时应根据题意列出对应关系,求出答案来, 是基础题.

13. (5 分)函数 y=lo

(2x ﹣5x﹣3)的单调递增区间为(﹣∞,﹣ ) .

2

考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 t=2x ﹣5x﹣3>0,求得函数的定义域,根据 y=lo 的减区间,再利用二次函数的性质可得结论. 解答: 解:令 t=2x ﹣5x﹣3>0,求得 x<﹣ ,或 x>3,故函数的定义域为{x|x<﹣ ,或 x>3},且 y=lo t,
2 2

t,本题即求函数 t 在定义域内

故本题即求函数 t 在定义域内的减区间. 再利用二次函数的性质可得函数 t 在定义域内的减区间为(﹣∞,﹣ ) , 故答案为: (﹣∞,﹣ ) . 点评: 本题主要考查复合函数的单调性,对数函数、二次函数的性质,体现了转化的数学 思想,属于基础题. 14. (5 分)若方程 x ﹣2mx+3=0 的两根满足一根小于 1,一根大于 2,则 m 的取值范围是(2, +∞) . 考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用.
2

分析: 直接利用根的分布,列出不等式组求解即可. 解答: 解: 方程 x ﹣2mx+3=0 的两根满足一根小于 1, 一根大于 2, 令f (x) =x ﹣2mx+3. 开 口向上, 所以 ,即: ,解得 m>2.
2 2

故答案为: (2,+∞) . 点评: 本题考查函数的零点与方程根的关系,基本知识的考查.
2

15. (5 分)若函数 y=loga(ax +3ax+2)的值域为 R,则 a 的取值范围是[ ,1)∪(1,+∞) .

考点: 函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

分析: 由题意可得
2

,从而解 a 的取值范围.

解答: 解:∵y=loga(ax +3ax+2)的值域为 R,





解得, ≤a<1 或 a>1, 故答案为:[ ,1)∪(1,+∞) . 点评: 本题考查了函数值域的求法.高中函数值域求法有:1、观察法,2、配方法,3、反 函数法,4、判别式法;5、换元法,6、数形结合法,7、不等式法,8、分离常数法,9、单调 性法,10、利用导数求函数的值域,11、最值法,12、构造法,13、比例法.要根据题意选择. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (12 分) (1) 计算: (0.25) ﹣ (
a b 0

) ﹣0.75+

+

+ln

+



(2)已知 14 =6,14 =7,用 a,b 表示 log4256. 考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用指数与对数的运算法则即可得出. (2)利用对数的换底公式、运算法则即可得出. 解答: 解: (1)原式=1﹣ + + + +

=1﹣8+1+ +12 = .
a b

(2)∵14 =6,14 =7,∴log146=a,log147=b. ∴log4256= = = = = .

点评: 本题考查了指数与对数的运算法则、对数的换底公式,属于基础题. 17. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣(k﹣2)x+k +3k+5 有两个零点: (1)若函数的两个零点是﹣1 和﹣3,求 k 的值; (2)若函数的两个零点是 α 和 β,求 α +β 的取值范围. 考点: 函数的零点. 专题: 计算题. 分析: (1)由题意得,函数的零点就是方程的根,即方程 x ﹣(k﹣2)x+k +3k+5=0 的两 个根是﹣1 和﹣3,根据根与系数的关系可得 k 的值, 2 2 (2)由题中条件:“函数的两个零点是 α 和 β”得 α 和 β 是方程 x ﹣(k﹣2)x+k +3k+5=0 的 2 2 两根,利用根与系数的关系表示出 α +β ,最后结合根的判别为非负数的条件求出一个二次函 数的最值即得. 解答: 解: (1) :∵﹣1 和﹣3 是函数 f(x)的两个零点 ∴﹣1 和﹣3 是方程 x ﹣(k﹣2)x+k +3k+5=0 的两个实数根(2 分) 则: 解的 k=﹣2(4 分)
2 2 2 2 2 2 2 2

(2) :若函数的两个零点为 α 和 β, 则 α 和 β 是方程 x ﹣(k﹣2)x+k +3k+5=0 的两根
2 2



(7 分)



∴ 即: (12 分)

(11 分)

点评: 本题主要考查了函数的零点,我们把函数 y=f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称 为这个函数的零点(the zero of the function) ,即方程的根. f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的解. 这样就为我们提供了一个通过函数性质确定方程的途径. 函数的零点个数就决定了相应 方程实数解的个数.

18. (12 分)已知 x 满足不等式 2(lo 的最值及相应的 x 的取值.

x) +3≤lo

2

x ,求函数 f(x)=lo

7

(2x)?lo

(4x)

考点: 指、对数不等式的解法;二次函数在闭区间上的最值. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 令 t=lo x,由条件可得(2t﹣1) (t﹣3)≤0,求得 t 的范围,可得 x 的范围.由函

数 f(x)=g(t)=(﹣1+t) (﹣2+t)= 的最值及相应的 x 的取值. 解答: 解:不等式 2(lo x) +3≤lo
2 7

﹣ ,再利用二次函数的性质求得 f(x)
2

x ,等价于 2(lo .

x) +3﹣7lo

x≤0,令 t=lo

x,

∴(2t﹣1) (t﹣3)≤0,∴ ≤t≤3,∴ ≤x≤ 则函数 f(x)=lo (2x)?lo

(4x)=g(t)=(﹣1+t) (﹣2+t)=

﹣ ,

故当 t= ,即 x=

时,f(x)=g(t)取得最小值为﹣ ;当 t=3,即 x= 时,f(x)=g(t)

取得最大值为 2. 点评: 本题主要考查对数不等式的解法,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于 基础题.

19. (12 分)已知不等式 的解集为 D,函数 f(x ﹣3)=ln
2

﹣lne≥0(0<a<1,e 为自然对数的底数) ,x∈D.

(1)求出 f(x)的解析式和定义域; (2)判断 f(x)的单调性,并用定义证明你的结论. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)由指数函数的单调性解出不等式,得到解集 D,再由换元法,求出 f(x)的解 析式和定义域; (2)运用函数的单调性的定义证明,注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤. 解答: 解: (1)不等式 等价于式 又 0<a<1,∴2x2﹣(2
0

﹣lne≥0(0<a<1) ≥a (0<a<1) , ﹣1)x﹣ ≤0,解得﹣ .

∴D=[﹣
2

].又 f(x ﹣3)=ln
2

2

,x∈D,

令 t=x ﹣3,则 x =t+3,由于 x∈D,∴t∈[﹣3,3], ∴f(t)=ln ,∴f(x)=ln ,x∈[﹣3,3],

(2)f(x)在[﹣3,3]上是单调递增函数. 理由如下:任取 m,n∈[﹣3,3],且 m<n, 则 f(m)﹣f(n)=ln =ln , ﹣ln

由于(m+4) (n+9)﹣(n+4) (m+9)=5(m﹣n)<0, 则(m+4) (n+9)<(n+4) (m+9) , 又(m+4) (n+9)>0, (n+4) (m+9)>0, 则 0< 则 f(m)﹣f(n)=ln <1, <0,

即 f(m)<f(n) ∴f(x)在[﹣3,3]上是单调递增函数. 点评: 本题考查函数的解析式的求法:换元法,考查函数的单调性的判断和证明,考查运 算能力,属于中档题. 20. (13 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=a ﹣1,其中 a>0,a≠1. (1)求 f(x)的解析式; (2)解关于 x 的不等式﹣1<f(x﹣2)<6. 考点: 指、对数不等式的解法;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)当 x<0 时﹣x>0,根据奇函数的性质和已知的解析式,求出当 x<0 时的解析 式,再用分段函数表示出来; (2)根据(1)求出的解析式,对 x﹣2 分类讨论并列出不等式组,根据指数函数的单调性分 类求解. 解答: 解: (1)当 x<0 时,﹣x>0, ∵f(x)是奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=a ﹣1, ﹣x ﹣x ∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣(a ﹣1)=﹣a +1 ∴f(x)= (6 分)
x x

(2)不等式﹣1<f(x﹣2)<6 等价于:











当 a>1 时,解得 由于 >0,





,此时不等式的解集为(2﹣

,2+

) ,

当 0<a<1 时,解得 由于 <0,





,此时不等式的解集为(﹣∞,2)∪[2,+∞)即 R. ,2+ ) ;

综上,当 a>1 时,不等式的解集为(2﹣

当 0<a<1 时,不等式的解集为 R. (13 分) 点评: 本题考查函数的奇偶性,指数函数的单调性,以及分类讨论思想和转化思想. 21. (14 分)已知 f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,且 f(2)=3.若对任意的 m,n∈[﹣2, 2],m+n≠0,都有
2

>0.

(1)判断函数 f(x)的单调性,并说明理由; (2)若 f(2a﹣1)<f(a ﹣2a+2) ,求实数 a 的取值范围; (3)若不等式 f(x)≤(5﹣2a)t+1 对任意 x∈[﹣2,2]和 a∈[﹣1,2]都恒成立,求实数 t 的取 值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 专题: 计算题;压轴题;函数的性质及应用. 分析: (1)设任意 x1,x2,满足﹣2≤x1<x2≤2,利用函数单调性的定义证明; 2 2 (2)由(1)知,f(2a﹣1)<f(a ﹣2a+2)可化为﹣2≤2a﹣1)<a ﹣2a+2≤2,从而解得. (3)不等式 f(x)≤(5﹣2a)t+1 对任意 x∈[﹣2,2]和 a∈[﹣1,2]都恒成立,fmax(x)≤(5 ﹣2a)t+1 对任意的 a∈[﹣1,2]都恒成立,令 g(a)=2ta﹣5t+2,a∈[﹣1,2],从而求 t. 解答: 解: (1)设任意 x1,x2,满足﹣2≤x1<x2≤2,由题意可得 f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2)= (x1﹣x2)<0,

即 f(x1)<f(x2) , ∴f(x)在定义域[﹣2,2]上是增函数. 2 (2)由(1)知,f(2a﹣1)<f(a ﹣2a+2)可化为 2 ﹣2≤2a﹣1)<a ﹣2a+2≤2, 解得 0≤a<1, ∴a 的取值范围为[0,1) . (3)由(1)知,不等式 f(x)≤(5﹣2a)t+1 对任意 x∈[﹣2,2]和 a∈[﹣1,2]都恒成立, fmax(x)≤(5﹣2a)t+1 对任意的 a∈[﹣1,2]都恒成立,

∴3≤(5﹣2a)t+1 恒成立, 即 2ta﹣5t+2≤0 对任意的 a∈[﹣1,2]都恒成立, 令 g(a)=2ta﹣5t+2,a∈[﹣1,2], 则只需 ,

解得 t≥2, ∴t 的取值范围是[2,+∞) . 点评: 本题考查了函数的单调性的判断与证明,同时考查了单调性的应用及恒成立问题, 属于难题.


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