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概率第三章知识点


第三章复习 1. 联合分布函数: F ( x, y ) = P { X ≤ x, Y ≤ y}

F ( x, y ) 性质:
① 单调不减性:

F ( x, y )分别对x和y是单调不减的函数,即 对于任意固定的y,当x1 < x2时F ( x1 , y ) ≤ F ( x2 , y ), 对于任意固定的x, 当y1 &

lt; y2时F ( x, y1 ) ≤ F ( x, y2 ).

② 归一性: 0 ≤ F ( x, y ) ≤ 1 , F ( x, ?∞) = F (?∞, y ) = F (?∞, ?∞) = 0 , F (+∞, +∞) = 1 , ③ 右连续性:

F ( x, y )分别是x和y的右连续函数,即 F ( x + 0, y ) = F ( x, y ), F ( x, y + 0) = F ( x, y ).

④ P { x1 < x ≤ x2 , y1 < y ≤ y2 } = F ( x2,y 2 ) ? F ( x2,y1 ) ? F ( x1,y2 ) + F ( x1,y1 ) ≥ 0
+ ∞) 边缘分布: FX ( x) = p{X ≤ x} = p{X ≤ x,Y < +∞} = F ( x,

FY ( y ) = p {Y ≤ y} = p { X < +∞,Y ≤ y} = F (+∞,y )

2.二维离散型随机变量
联合分布律: P( X = xi , Y = y j ) = pij , i, j = 1, 2, 。性质 p i j ≥ 0 ,

∑∑ p
i =1 j =1

+∞ +∞

ij

=1

边缘分布律: pi i = P( X = xi ) = ∑ pij , i = 1, 2,.... , p. j = P(Y = yi ) = ∑ pij , j = 1, 2,....
j
i

3. 二维连续型随机变量 联合概率密度: F ( x , y ) =

∫ ∫
?∞

y

x ?∞

f ( u , v ) dudv ,

f ( x, y ) 的性质:
① f ( x, y ) ≥ 0 , ②

∫ ∫
?∞

+∞

+∞ ?∞

f ( x , y ) dxdy = 1 ,
? 2 F ( x,y ) = f ( x,y ) ?x?y

③ 若 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处连续,则有 ④ P {( X , Y ) ∈ D} = ∫∫ f ( x, y )dxdy 。
D

设 G = {( x, y ) : f ( x, y ) ≠ 0},
(1)画出使f ( x, y ) ≠ 0的区域G;

计算概率P{( X , Y ) ∈ D}的步骤:

(2)画出D ∩ G; 将二重积分 f ( x, y )dxdy在D ∩ G上化为累次积分进行计算。 ∫∫
D

边缘概率密度: f X ( x) = ∫

+∞

?∞

f ( x, y )dy , fY ( y ) = ∫

+∞

?∞

f ( x, y )dx

二维均匀分布: 设G为平面上的有界区域, ( X , Y )的联合概率密度为
?1 ? , ( x, y ) ∈ G , f ( x, y ) = ? S G ? 0, 其他, ? 其中SG = ∫∫ dxdy为区域G的面积
G

(了解)二维正态分布: 二维连续型随机变量( X , Y )的联合概率密度为

? ?? x ? μ ? 2 1 ? 1 ?? f ( x, y ) = exp ?? ? 2 2 2(1 ) ρ σ ? ? 2πσ 1σ 2 1 ? ρ ? ?? 1 ? ? 2 2 ρ ( x ? μ1 )( y ? μ2 ) ? y ? μ2 ? ? ? ? ? +? ? ??, σ 1σ 2 ? σ2 ? ? ?? ? ? ∞ < x < +∞, ?∞ < y < +∞, 则( X , Y )~N ( μ1 , μ2 , σ 12 , σ 12 , ρ ) 注:1)二维正态分布的边缘分布是一维正态分布 ) X 与Y 独立) (X ,Y)服从二维正态分布时,ρ = 0( X 与Y 不相关) ? f ( x, y ) = f X ( x) fY ( y( 2) 4.独立性 1

离散型随机变量 pij = pi i pi j ? X , Y 独立 连续型随机变量 f ( x, y ) = f X ( x) fY ( y ) ? X , Y 独立 结论: 矩形区域上均匀分布的边缘分布仍是均匀分布,且 X , Y 独立 非矩形区域上均匀分布的边缘分布不是均匀分布,且 X , Y 不独立 若 X 1 ~ N ( μ1 , σ 12 ) , X 2 ~ N ( μ2 , σ 2 2 ) ,且 X 1 与 X 2 独立,则
2 X 1 + X 2 ? N ( μ1 + μ2 , σ 12 + σ 2 )

若 X i ~ N ( μi , σ i 2 ), i = 1

n ,且 X 1 … X n 相互独立,则
n

C1 X 1 +

+ Cn X n ? N (∑ Ci μi , ∑ Ci2σ i2 )
i =1 i =1

n

若 X 1 … X n 相互独立,且同分布,即 X i ~ N ( μ , σ 2 ), i = 1

n ,记

1 n σ2 X = ∑ X i ,则 X ? N ( μ , ) n i =1 n


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