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最新八下数学期末复习专题难点突破——最值问题


期末复习专题难点突破(三)——最值问题专题
一、运用两点之间线段最短,求最值(或两边之和大于第三边) 1.如图,∠MON=90° ,矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM,ON 上,当 B 在边 ON 上运 动时,A 随之在边 OM 上运动,矩形 ABCD 的形状保持不变,其中 AB=2,BC=1,运动 过程中,求点 D 到点 O 的最大距离.

/>2.如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 P 为边 AD 上一动点,AE⊥BP,垂足为 E,连 DE, 求 DE 的最小值.

3.如图,已知△ABC 中,∠ACB=90° ,BC=6,AC=12,点 D 在 AC 上,且 AD=8,将线段 AD 绕点 A 旋转至 AD′,F 为 B D′的中点,线段 CF 的最大值为多少?

4.如图,PA=2,PB =4,以 AB 为一边做正方形 ABCD,使 P,D 两点落在直线 AB 的两侧, 当∠APB 变化时. (1)当∠APB=90° 时,求 PD 的长; (2)求 PD 的最大值.

5.如图,四边形 ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线 BD 上任意一点,将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到 BN,连结 AM、CM、EN. (1)求证:△AMB≌△ENB; (2)①当 M 点在何处时,AM+CM 的值最小; ②当 M 点在何处时,AM+BM+CM 的值最小,并说 明理由. 6.如图,正方形 AOCB 的边长为 4,点 E(3、4) ,直线

1 y ? ? x ? 5 ,与线段 AB 相交于点 F,与 BC 交于 D 点. 2 (1)求点 F 的坐标。 (2)连接 OF,OE,探究∠AOF 与∠EOC 的数量关系,并证明。

(3)在 x 轴上找两点 M、N,使 MN=2,且使四边形 AMND 周长最小,求 M、N 两点坐 标.

7、如图,已知直线 a∥b,且 a 与 b 之间的距离为 4,点 A 到直线 a 的距离为 2,点 B 到直 线 b 的距离为 3,AB= .试在直线 a 上找一点 M,在直线 b 上找一点 N,满足 MN⊥a )

且 AM+MN+NB 的长度和最短,则此时 AM+NB=(

考点: 勾股定理的应用;线段的性质:两点之间线段最短;平行线之间的距离. 分析: MN 表示直线 a 与直线 b 之间的距离,是定值,只要满足 AM+NB 的值最小即可,作点 A 关于直线 a 的对称点 A′,连接 A′B 交直线 b 与点 N,过点 N 作 NM⊥ 直线 a,连接 AM,则 可判断四边形 AA′NM 是平行四边形,得出 AM=A′N,由两点之间线段最短,可得此时 AM+NB 的值最小. 过点 B 作 BE⊥ AA′, 交 AA′于点 E, 在 Rt△ ABE 中求出 BE, 在 Rt△ A′BE 中求出 A′B 即可得出 AM+NB. 解答: 解:作点 A 关于直线 a 的对称点 A′,连接 A′B 交直线 b 与点 N,过点 N 作 NM⊥ 直线 a,连 接 AM, ∵ A 到直线 a 的距离为2,a 与 b 之间的距离为4, ∴ AA′=MN=4,

∴ 四边形 AA′NM 是平行四边形, ∴ AM+NB=A′N+NB=A′B, 过点 B 作 BE⊥ AA′,交 AA′于点 E,

易得 AE=2+4+3=9,AB=2

,A′E=2+3=5,

在 Rt△ AEB 中,BE=

=



在 Rt△ A′EB 中,A′B= 故选 B.

=8.

点评: 本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离,解答本题的关键是找到点 M、点 N 的位 置,难度较大,注意掌握两点之间线段最短.

二、运用垂线段最短求最值 7.如图,△ABC 中,∠ABC=90° ,AB=6,BC=8,O 为 AC 的中点,过 O 作 OE⊥OF,OE、 OF 分别交射线 AB、BC 于 E、F,求 EF 的最小值.

最小值是 5 取 EF 中点 H,连接 BH,BO,和 OH 依据三角形两边之和大于第三边和直角三 角形中斜边上的中线等于斜边长的一半可得结果。 8. 已知线段 AB=4, 点 P 在 AB 上, 以 AP、 PB 为底边, 作等腰直角△APE 和等腰直角△PBF,

求 EF 的最小值.

三、运用配方法求最值 9.如图,正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 l1、l2、l3、l4 上,这四条直线中相邻 两条之间的距离依次为 h1、h2、h3 (h1>0,h2>0,h3>0) . (1)求证 hl=h3; (2)设正方形 ABCD 的面积为 S.求证 S=(h2 +h3)2+ h12 ;

3 (3)若要 h1 + h2 = 1 ,当 h1 多少时,说明正方形 ABCD 的面积为 S 有最小值,并求出其 2 最小值.


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