当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2013届高考数学(理)一轮复习单元测试第5章平面向量


2013 届高考数学(理)一轮复习单元测试 第五章平面向量
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)
1 . (2012 广东理)若向量 BA ? ? 2,3? , CA ? ? 4,7 ? ,则 BC ?

??? ?

??? ?

??? ?

D. ? ?6, ?10 ?



A. ? ?2, ?4 ?

B. ? 2, 4 ?

C. ? 6,10 ?

? 2、 【2012 韶关第一次调研理】平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2,0) , b ? 1 ,

则 a ?b ?( A. 3

) B. 7 C. 3 D. 7

3 . 2012 重 庆 理 ) 设 (

x, y ? R, 向 量 a ? ?x,1?, b ? ?1, y ?, c ? ?2,?4? , 且 a ? c, b // c , 则
( )

a ? b ? _______
A. 5 B. 10 C. 2 5 D.10

4、 【2012·泉州四校二次联考理 5】定义: a ? b = a ? b ? sin? ,其中 ? 为向量 a 与 b 的夹角, 若 a ? 2 , b ? 5 , a ? b ? ?6 ,则 a ? b 等于( A. ? 8 B. 8 C. ? 8 或 8

? ?

? ?

?

?

?

?

? ?

? ?

) D. 6 )

5、 (2012 黄冈市高三上学期期末)若 AB ? BC ? AB ? 0 ,则 ?ABC 必定是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

? ??? ??? ????2 ? ?

D.等腰直角三角形

6、 2012浙江宁波市期末】 ?ABC 中, D为BC中点, ?A ? 120 ? ,AB ? AC ? ?1 , AD 【 在 若 则 的最小值是 ( (A) ) (B)

1 2

3 2
??
? ?

(C)

2
? ? ? ?

(D)

2 2

7 . (2012 辽宁理)已知两个非零向量 a,b 满足 a +b = a -b ,则下面结论正确

A. a // b

? ?

B. a ? b

?

?

C. a = b

D. a +b= a-b

? ? ? ?

→ → → → → 8.若 O 为平面内任一点且(OB+OC-2OA)· -AC)=0,则△ABC 是( (AB A.直角三角形或等腰三角形

)

第1页

B.等腰直角三角形 C.等腰三角形但不一定是直角三角形 D.直角三角形但不一定是等腰三角形 9. 【2012 北京海淀区期末】如图,正方形 ABCD 中,点 E , F 分别是 DC , BC 的中点,那 么 EF =
D

??? ?

E

C F

A

B

10、 (2012 湖南理)在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB ?BC = 1 则 BC ? ___ . A. 3 B. 7 C. 2 2 D. 23

??? ??? ? ?





11 、( 2012 天 津 理 ) 已 知 △ABC 为 等 边 三 角 形 ,

AB=2 , 设 点 P,Q 满 足 ? ? ?? ? ???? ? ?? ???? ??? ??? ? ? 3 AQ A P ? A ,B =(1 ? ? ) AC , ? ? R ,若 BQ ? CP= ? ,则 ? = = ( ) 2
1 2
B.

A.

1? 2 2

C.

1 ? 10 2

D.

?3 ? 2 2 2

12 . (2012 安徽理)在平面直角坐标系中, O(0,0), P(6,8) ,将向量 OP 按逆时针旋转

??? ?

3? 后, 4

得向量 OQ ,则点 Q 的坐标是( A. (?7 2, ? 2)

????

) C. (?4 6, ?2) D. (?4 6, 2)

B. (?7 2, 2)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) ? ? ? ? ? ? ? 13、 (2012 新课标理)已知向量 a, b 夹角为 45 ,且 a ? 1, 2 a ? b ? 10 ;则 b ? _____
14. 【2012 黑龙江绥化市一模理】已知向量 a ? (2, 4) , b ? (1,1) ,若向量 b ? (? a ? b) ,则 实数 ? 的值为___. 15、 (2012 粤西北九校联考理)已知向量 a = ( x ? 1,2), b = (4, y ) ,若 a ? b ,则 9 ? 3 的最小
x y

?

?

?

? ?

?

?

?

?

值为

BC 16. (2012 江苏)如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , ? 2 ,点 E 为 BC 的 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 中点,点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的值是___.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤)
17、 (本小题满分 10 分)【山东省济宁市鱼台二中 2012 届高三 11 月月考】 已知向量 a =(sin ? ,

第2页

1), b =(1,cos ? ),- (1) 若 a ⊥ b ,求 ? ;

?
2

?? ?

?
2



(2) 求| a + b |的最大值.

18、(本小题满分 12 分) 【广东省惠州市 2012 届高三一模(四调)考试(理数) 】16. (本小 题满分 12 分) 设向量 m ? cos x , x) x ? (0, ? ) , n ? (1, ( sin , (1)若 | m ? n |? 5 ,求 x 的值; (2)设 f ( x) ? (m ? n) ? n ,求函数 f ( x) 的值域.

?

?

3) .

?

?

?? ? ?

19、(本小题满分 12 分)(山东省济宁市鱼台一中 2012 届高三第三次月考) 、已知向量 a =

?

? (cos? , sin? ) , ? ? [0, ? ] ,向量 b =( 3 ,-1)
(1)若 a ? b ,求 ? 的值?; (2)若 2a ? b ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围。

?

?

?

?

20、(本小题满分 12 分)【广东省广州市金山中学 2012 届高三下学期综合测试理】 已知 AB ? (6,1), BC ? ( x, y ), CD ? (?2,?3) , (1)若 BC // DA ,求 x 与 y 之间的关系式;

(2)在(1)的前提下,若 AC ? BD ,求向量 BC 的模的大小。

21.(本小题满分 12 分)若 a,b 是两个不共线的非零向量,t∈R. 1 (1)若 a,b 起点相同,t 为何值时,a,tb, (a+b)三向量的终点在一直线上? 3 (2)若|a|=|b|且 a 与 b 夹角为 60° 为何值时,|a-tb|的值最小? ,t

第3页

22.(本小题满分 12 分) (上海市闵行区 2011 届高三下学期质量调研) 已知 O 是线段 AB 外一点,若 OA ? a , OB ? b . (1)设点 P 、 Q 是线段 AB 的三等分点,试用向量 a 、 b 表示 OP ? OQ ; (2)如果在线段 AB 上有若干个等分点,你能得到什么结论?请证明你的结论. 说明:第(2)题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.

??? ?

?

??? ?

?

?

?

??? ???? ?

第4页

祥细答案
1.【答案】A

??? ??? ??? ? ? ? 解析: BC ? BA ? CA ? ? ?2, ?4 ? .
2、 【答案】B
? 【解析】因为平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2,0) , b ? 1 ,

b 所以 a ? b ? a ? 2a ? ? b ? 7
2 2 2

3. 【答案】B

【解析】由 a ? c ? a ? c ? 0 ? 2 x ? 4 ? 0 ? x ? 2 ,由 b / / c ? ?4 ? 2 y ? y ? ?2 ,故

?

?

? ?

?

?

? ? | a ? b |? (2 ? 1) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 10 .
4、 【答案】B 【 解 析 】 由 a ? 2 , b ? 5 , a ? b ? ?6 , 得 cos? ? ? , sin ? ?

?

?

? ?

? ? ? ? 4 a ? b = a ? b ? sin? = 2 ? 5 ? ? 8 5
5、 【答案】 B

3 5

4 , 所 以 5

【解析】本题主要考查向量的运算、向量垂直的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.

??? ??? ??? 2 ? ? ? ??? ???? ??? ? ? ? ??? ???? ? ??? ???? ? AB ? BC ? AB ? 0 ? AB ? ( BC ? AB) ? 0 ? AB ? AC ? 0 ? AB ? AC
则 ?ABC 必定是直角三角形。 6、 【答案】D 【解析】由题 D 为 BC 中点,故 AD ?

? 1 ??? ???? ( AB ? AC ) ,所以 2 ???? ? ? ??? ???? ???? ? ? 1 ??? ???? 1 ???? 1 ???? ???? 1 | AD |2 ? ( AB ? AC ) 2 ? (| AB |2 ?2 AB ? AC ? | AC |2 ) ? (2| AB || AC | ?2) ? 4 4 4 2 ,选 D。
? ? ? ?

????

7、 【答案】B

【解析 1】 a +b = a -b ,可以从几何角度理解,以非零向量 a,b 为邻边做平行四边形,对角线 长分别为 a +b , a -b ,若 a +b = a -b ,则说明四边形为矩形,所以 a ? b ,故选 B. 【解析 2】已知得 a+b = a-b ,即 a -2ab+ b = a +2ab+ b ? ab=0 ? a ? b ,故 选 B. 8、答案 C → → → → → → → → → 解析 由(OB+OC-2OA)(AB-AC)=0 得(AB+AC)· -AC)=0, (AB →2 →2 → → ∴AB -AC =0,即|AB|=|AC|, ∴AB=AC. 9、 【答案】D

??

? ? ? ?

? ?

? ?

?

?

? ?2

? ?2

?2

?? ? 2

?2

?? ? 2

??

?

?

第5页

【解析】 EF = 10、 【答案】A

??? 1 ??? 1 ??? ???? ? ? ? DB = ( AB - AD) ,选 D。 2 2
??? ??? ? ?
??? ??? ? ? ??? ?

【解析】由下图知 AB?BC = AB BC cos(? ? B ) ? 2 ? BC ? ( ? cos B ) ? 1 .

? cos B ?
cos B ?

1 ?2 BC

.















AB 2 ? BC 2 ? AC 2 ,解得 BC ? 3 . 2 AB ? BC

11、【答案】A 【 【解析】∵ BQ = AQ ? AB = (1 ? ? )AC ? AB , CP = AP ? AC = ? AB ? AC , 又∵ BQ ? CP = ?

??? ???? ??? ? ?

? ? ???? ??? ??? ??? ???? ?

??? ???? ?

??? ???? ? 3 ,且 | AB|=| AC|=2 , 2 ??? ???? ? ??? ???? ??? ???? ? ? < AB, AC >=600 , AB ? AC =| AB?|| AC|cos 600 =2 ,

??? ??? ? ?

B

3 , 2 ??? ? ??? ???? ? ???? 3 ?| AB|2 +(? 2 ? ? ? 1) AB ? AC +(1 ? ? )| AC|2 = , 2 3 1 2 所以 4? +2(? ? ? ? 1)+4(1 ? ? )= ,解得 ? = . 2 2
∴ [(1 ? ? ) AC ? AB](? AB ? AC )= ?

???? ??? ?

??? ???? ?

P C Q A

二、填空题
13、 【答案】 3 2 【解析】 2a ? b ? 10 ? (2a ? b)2 ? 10 ? 4 ? b ? 4 b cos 45? ? 10 ? b ? 3 2 14、 【答案】 ?

? ?
1 3

? ?

?2

?

?

【解析】因为向量 b ? (? a ? b) ,所以 b ? (?a ? b ) ? 0 , ? ? ?

?

? ?

?

?

?

1 3

第6页

15、 【答案】6

? ? 【解析】若 a ? b ,向量 a = ( x ? 1,2), b = (4, y ) ,所以 a ? b ? 0 ,所以 2 x ? y ? 2 ,由基本不
等式得 9 ? 3 ? 6
x y

?

?

16. 【答案】 2 .

? ? ?? ? ? ? ? ??? ??? ? ? 【 解 析 】 由 A B A ? 2 , 得 AB ? AF ?cos ?FAB ? 2 , 由 矩 形 的 性 质 , 得 ? F
??? ? AF ?cos ?FAB =DF .
∵ AB ? 2 ,∴ 2 ?DF ? 2 ,∴ DF ? 1 .∴ CF ? 2 ? 1 .

??? ??? ? ? 记 AE 和BF 之间的夹角为 ?,?AEB ? ? , ?FBC ? ? ,则 ? ? ? ? ? .
又∵ BC ? 2 , E 为 BC 的中点,∴ BE ? 1. 点 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ∴ AE ? BF = AE ? BF ?cos ? = AE ? BF ?cos ?? ? ? ? = AE ? BF ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? = AE cos ? ? BF ?cos ? ? AE sin ? ? BF sin ? =BE ?BC ? AB?CF ? 1 ? 2 ? 2
三、解答题 17. 解:(1)若 a ? b ,则 sin? ? cos? ? 0 即 tan? ? ?1 (2) a ? b ? 当? ?
?
4

?

2 ?1 ? 2 .

?

而 ? ? (? , ) ,所以 ? ? ?
2 2

? ?

?
4

3 ? 2(sin? ? cos? ) ?

3 ? 2 2 sin(? ?

?
4

)

时, a ? b 的最大值为 2 ? 1

18、解: (1)? m ? n ? (cos x ? 1, sin x ? 3), 由 | m ? n |? 5 得 cos x ? 2cos x ? 1 ? sin x ? 2 3 sin x ? 3 ? 5
2 2

?? ?

?

?

整理得 cos x ? ? 3 sin x 显然 cos x ? 0 ∴ tan x ? ? ∵ x ? (0, ? ) ,∴ x ?

3 3

5? 6

第7页

19、解:(1)∵ a ? b ,∴ 3 cos? ? sin ? ? 0 ,得 tan? ? 3 ,又 ? ? [0, ? ] ,所以 ? ? (2)∵ 2a ? b = (2 cos? ? 3 ,2 sin ? ? 1) ,

?

?

? ?

π ; 3

? ? 20、解:(1) AD AB BC CDx 4y 2 ? ? ?, ?) (
? //DA BC ,∴x(2-y)-y(-x-4)=0
∴x+2y=0 (2) AC( ? ,y? ), BD x 2y? ) ?x 6 1 ? ?, 3 (

? ? ,? ?BD0 AC BD AC ? ,∴(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0
又∵x+2y=0,∴(-2y+6)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0 2 即 y -2y-3=0,解得 y=3 或 y=-1. 即 BC?(?6,3 或(2,-1) )

?BC?3 5 或 5 | |
1 21、解 (1)设 a-tb=m[a- (a+b)],m∈R, 3 2 m 化简得( m-1)a=( -t)b, 3 3 2 3 m-1=0 m= , 3 2 ∵a 与 b 不共线,∴ ? m 1 -t=0 t= . 3 2 1 1 ∴t= 时,a,tb, (a+b)的终点在一直线上. 2 3 2 (2)|a-tb| =(a-tb)2=|a|2+t2|b|2-2t|a||b|cos60° =(1+t2-t)|a|2.

? ? ?

? ? ?

第8页

1 3 ∴当 t= 时,|a-tb|有最小值 |a|. 2 2 22. 解: (1)如图:点 P 、 Q 是线段 AB 的三等分点 OP ? OA ? AP

??? ?

??? ??? ? ?

??? 1 ??? ??? ? ? ? ??? 2 ? 1 ? ? ???? 1 ? 2 ? ? OA ? (OB ? OA) ,则 OP ? a ? b ,同理 OQ ? a ? b , (2 分) 3 3 3 3 3 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 所以 O P? O Q a b (4 分)
? ? a?b (2)层次 1:设 A1 是 AB 的二等分点,则 OA1 ? ; O 2
设 A1、A2、A3 是 AB 的四等分点,则 B Q A1 P A

? ? ???? ???? ???? 3 ? a ? b ? ? ? OA1 ? OA2 ? OA3 ? 等等(结论 2 分,证明 2 分) 2
层次 2:设 A1 , A2 ,? , An ?1 是 AB 的 n 等分点, 则 OAk ? OAn ? k ? OA ? OB 等; (结论 2 分,证明 4 分) 层次 3:设 A1 , A2 ,? , An ?1 是 AB 的 n 等分点, 则? OA1 ? OA2 ? ? ? OAn ?1 ?

???? ?????? ?? ?? ? ?

???? ???? ?

??????

n ?1 ? ? ( a ? b) ; 2

证: A1 , A2 ,? , An ?1 是线段 AB 的 n(n ? 3) 等分点,先证明这样一个基本结论:

???? ?????? ??? ??? ? ? ? ? OAk ? OAn ? k ? OA ? OB (1 ? k ? n ? 1, n、k ? N* ) .
由 OAk =OA ? AAk , OAn ? k =OB ? BAn ?k ,因为 AAk 和 BAn ? k 是相反向量, 则 AAk ? BAn ? k ? 0 , 所以 OAk ? OAn ? k ? OA ? OB . 记 S ? OA1 ? OA2 ? OA3 ? ? ? OAn ? 2 ? OAn ?1 , S ? OAn ?1 ? OAn ? 2 ? ? ? OA2 ? OA1

???? ??? ???? ?????? ??? ?????? ? ? ? ? ? ???? ?????? ?

???? ?

??????

???? ?????? ? ?

??? ??? ? ?

???? ???? ???? ? ?

?????? ?????? ?

?????? ?????? ?

???? ???? ? ??? ??? ? ?

相加得 2S ? (OA1 ? OAn ?1 ) ? (OA2 ? OAn ?2 ) ? ? ? (OAn ?1 ? OA1 ) ? (n ? 1)(OA ? OB)

???? ??????

???? ?????? ? ?

?????? ????

???? ???? ? ?????? n ? 1 ? ? ? OA1 ? OA2 ? ? ? OAn?1 ? ( a ? b) 2

第9页


相关文章:
2013年高考数学(理)一轮复习单元测试(配最新高考+模拟)第五章 平面向量)
2013 届高考数学(理)一轮复习单元测试 第五章平面向量一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1 .(2012 广东理)若向量 BA ? ? 2,3...
2013届高考数学(理)一轮复习单元测试(配最新高考+模拟)第五章平面向量
2013 届高考数学(理)一轮复习单元测试 第五章平面向量一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1 .(2012 广东理)若向量 BA ? ? 2,3...
2013年高考数学(理)第五章 平面向量试卷)
2013 届高考数学(理)一轮复习单元测试 第五章平面向量一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1 .(2012 广东理)若向量 BA ? ? 2,3...
2013年高考总复习数学理精练:第五章平面向量检测(附答案)(答案含详解)
2013 年高考一轮复习数学北师(江西版)理第五章平面向量 检测 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在...
2013年高考数学(文)一轮复习单元测试(配最新高考+模拟)第五章 平面向量)
2013 届高考数学()一轮复习单元测试 第五章平面向量一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1 .(2012 重庆文)设 x ? R ,向量 a...
2013届高考数学(文)一轮复习单元测试(配最新高考+模拟)第五章平面向量
2013 届高考数学()一轮复习单元测试 第五章平面向量一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) , 1 .(2012 重庆文) 设 x ? R ,向量...
2013届高考数学第一轮复习教案第26讲 平面向量的数量 积及应用
www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州佳教育 2013 年普通高考数学一轮复习精品学案第 26 讲 平面向量的数量积及应用一.课标要求: 1.平面向量的数量...
2015届高考数学(理)一轮复习单元测试(配最新高考+模拟)第五章平面向量
2014 届高考数学(理)一轮复习单元测试 第五章平面向量一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1. 【山东省诸城市 2013 届高三 12 月...
2014届高考数学(理)一轮复习单元测试(配最新高考+模拟)第五章平面向量 Word版含答案]
2014 届高考数学(理)一轮复习单元测试 第五章平面向量一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1. 【山东省诸城市 2013 届高三 12 月...
更多相关标签: