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圆锥曲线中离心率的解法(教师版)


圆锥曲线中离心率的解法(教师版)
椭圆的离心率 0 ? e ? 1 ,双曲线的离心率 e ? 1 ,抛物线的离心率 e ? 1 . 一、直接求出 a 、 c ,求解 e 已知圆锥曲线的标准方程或 a 、 c 易求时,可利用率心率公式 e ? 例 1:已知双曲线

c 来解决。 a

x2 ? y 2 ? 1 ( a ? 0 )的一

条准线与抛物线 y 2 ? ?6x 的准线重合,则该双曲线的离心 2 a 率为 . 3 a2 c2 ?1 3 解:抛物线 y 2 ? ?6x 的准线是 x ? ,即双曲线的右准线 x ? ? ? ,则 2c 2 ? 3c ? 2 ? 0 , 2 c c 2 c 2 3 解得 c ? 2 , a ? 3 , e ? ? a 3 变式练习 1:若椭圆经过原点,且焦点为 F1 ?1,0? 、 F2 ?3,0? ,则其离心率为 . 解:由 F1 ?1,0? 、 F2 ?3,0? 知 2c ? 3 ? 1 ,∴ c ? 1 ,又∵椭圆过原点,∴ a ? c ? 1 , a ? c ? 3 ,∴ a ? 2 , c 1 c ? 1 ,所以离心率 e ? ? a 2
变式练习2:如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为 解:由题设 a ? 2 , 2c ? 6 ,则 c ? 3 , e ? .

c 3 ? a 2

二、构造 a 、 c 的齐次式,解出 e 根据题设条件,借助 a 、 b 、 c 之间的关系,构造 a 、 c 的关系(特别是齐二次式),进而得到关于 e 的 一元方程,从而解得离心率 e 。

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )的两焦点,以线段 F1 F2 为边作正三角形 MF1 F2 , a2 b2 若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 . c 解:如图,设 MF1 的中点为 P ,则 P 的横坐标为 ? ,由焦半径公式 PF ? ?ex p ? a , 1 2 2 c ? c? c ? ? ? ? ? ? ? a ,得 ? c ? ? 2? c ? ? 2 ? 0 ,解得 即 ? ? ? ? a ? 2? ?a? ?a? c e ? ? 1 ? 3 ( 1? 3 舍去), a
例 2:已知 F1 、F2 是双曲线 变式练习 1:设双曲线

x2 y2 ? ? 1( 0 ? a ? b )的半焦距为 c ,直线 L 过 ?a,0? , ?0, b ? 两点.已知原点到 a2 b2


直线的距离为

3 c ,则双曲线的离心率为 4

解:由已知,直线 L 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 ,由点到直线的距离公式,得

ab a2 ? b2
4 2

?

3 c, 4

2 2 2 2 4 又 c ? a ? b , ∴ 4ab ? 3c ,两边平方,得 16a c ? a ? 3c ,整理得 3e ? 16e ? 16 ? 0 ,
2 2 2

?

?

2 得e ? 4或e ?
2

4 c2 a2 ? b2 b2 2 ? 1 ? 2 ? 2 ,∴ e 2 ? 4 ,∴ e ? 2 ,又 0 ? a ? b ,∴ e ? 2 ? 3 a a2 a
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三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解 例 3:设椭圆的两个焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若 ?F1 PF2 为等腰直角 三角形,则椭圆的离心率是________。 解: e ?

c 2c 2c 2c 1 ? ? ? ? ? 2 ?1 a 2a PF1 ? PF2 2 2c ? 2c 2 ?1

四、根据圆锥曲线的统一定义求解 例4:设椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的右焦点为 F1 ,右准线为 l1 ,若过 F1 a2 b2
.

且垂直于 x 轴的弦的长等于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是

解:如图所示, AB 是过 F1 且垂直于 x 轴的弦,∵ AD ? l1 于 D ,∴ AD 为 F1 到准线 l1 的距离,根据椭

1 AB 1 2 ? ? 圆的第二定义, e ? AD AD 2 AF1
变式练习:在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1 ,则该椭圆的 离心率为 . 解: e ?

AF2 AD

?

2 2 2 ? 1 2
3a x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双 2 2 a b

2

五、构建关于 e 的不等式,求 e 的取值范围 例 5:若双曲线

曲线的离心率的取值范围是 【解析】 ? ex0 ? a ? e ?

3 a 3 a ? a ? ? a ? 3e2 ? 5e ? 2 ? 0 , 2 c 2 1 ? e ? 2 或 e ? ? (舍去) ?e ? (2, ??) . , 3 ???? ???? ? ? 例 6:已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF ? 2 ? 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范 1 MF
围是 . 【解析】由题, M 的轨迹为以焦距为直径的圆,由 M 总在椭圆内部,知:

c ? b ? c 2 ? b2 ? a 2 ? c 2 ? e2 ?
例 7:设 a ? 1 ,则双曲线 【解析】 e ? 1 ?

1 2 ) ,又 e ? (0,1) ,所以 e ? (0, 2 2


x2 y2 ? ? 1的离心率 e 的取值范围是 a 2 (a ? 1)2

(a ? 1)2 1 ? ( ? 1)2 ? 1 . 2 a a 1 ? a ? 1,? 0 ? ? 1 ,根据二次函数值域可得 2 ? e ? 5 . a
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例 8:设 F1、F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,若在其右准线上存在点 P ,使线段 PF1 a 2 b2

2

的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是 【解析】 设若 P 为右准线与 x 轴的交点,可知

1 a ? c ? 2c ,即 e 2 ? , 3 c 2 a 3 ? c ? 2c ,所以离心率的取值范围为 [ ,1) . 又 P 在右准线上可知 c 3

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