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湖南省永州市2015届高三第一次模拟考试数学理试题 Word版含答案


绝密· 启用前

永州市 2015 年高考第一次模拟考试


命题人:申俭生(永州三中) 审题人:唐作明(永州市教科院) 注意事项:

学(理科)
王勇波(祁阳一中) 陈全伟(江华一中)

1、本试卷分试题卷和答题卷,考试结束后,只交答题卷. 2、本试卷满分 150 分,考试时量 120 分钟. 参考公式: 锥体的体积公式 V=

如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件 A,B 相互独 立,那么 P(AB)=P(A)P(B). 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.复数 z ? 1 ? 2i ,则 z 的模为 A. ? 1 ? 2 B. 3 C. 1 ? 2 D. 5

1 Sh,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3

2 2.已知集合 A ? { y y ? x ? 2, x ? R} , B ? {y y ? 4 ? x, x ? R} ,则 A ? B ?

A. {3,6} 3.

B. {?2,1}

C. { y y ≥ 2}

D. R

?

?
2 ?

?
2

cos xdx =
B. 1
2

A. 0

C. 2

D. 3

4.命题“ ?x ? [?2, 1] , x ? a ≤ 0 ”为真命题的一个必要不充分条件是 A. a ≥ 4 B. a ≥ 1 C. a ≤ 4 D. a ≤ 1

5.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,则下列四个命题中,真命题是 A. l // m ? ? ? ? C. l ? m ? ? // ? B. ? ? ? ? l // m D. l ? m ? ? ? ?
开始 输入 a,b

6.已知函数 y ? f ( x) ? x 是偶函数,且 f ( 2) ? 1 ,则 f (?2) ? A.-3 B.-1 C.1 D.2


否 a≥b?

7.定义运算 a ? b 为执行如图所示的程序框图输出的 S 值,则

7? ( 2 cos ) ? t an 的值为 3 4
A.4 B.2 C .1 D.―1

?

S=a(a-b) 输出 S 结束

S=b(a+1)

(第 7 题图)

-1-

8.一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟子,现从三个 方向看,三种视图如下所示,则这张桌子上碟子的个数为 A.11 B.12 C.13 D.14
俯视图 主视图

左视图

(第 8 题图)

9.已知两定点 A(-1,0)和 B(1,0),动点 P(x,y)在直线 l:y=x+2 上移动,椭圆 C 以 A,B 为 焦点且经过点 P,则椭圆 C 的离心率的最大值为 A.

5 5

B.

2 2

C.

2 10

D.

2 5 ?1
y B A C O 1 x

10. 定义在区间[0,1]上的函数 f ( x ) 的图象如右图所示, 以A (0,f ( 0) ) , B(1, f (1) ) ,C(x, f ( x) )为顶点的?ABC 的面积记为函数 S ( x) , 则函数 S ( x) 的导函数 S ?( x ) 的大致图象为
S'(x) 1 x
S'(x)

S'(x)

S'(x)
1

(第 10 题图)

O

O

1

x

O

1

x

O

x

A

B

C

D

二、填空题(本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分,把答案填在答 题卡中对应题号的横线上. ) (一)选做题(请考生在第 11、12、13 三题中任选两题作答,如全做则按前两题计分). 11 . 极 坐 标 系 中 , 圆 是 .
D E A O C B l

? 2 ? 2? sin ? ? 3 的 圆 心 到 直 线 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 ? 0 的 距 离

12.如图,圆 O 的直径 AB ? 8 ,C 为圆周上一点, BC ? 4 ,过 C 作 圆的切线 l ,过点 A 作直线 l 的垂线 AD , D 为垂足, AD 与圆 O 交于点 E ,则线段 DE 的长度为 13.若 a, b, c ? R ? ,且 为 . .

1 1 2 c 的最小值 ? ? ? 1,则a ? b ? 2 a b c

(第 12 题图)

(二)必做题(14~16 题) 14.已知函数 f ? x ? ? ln

?

? 1? 1 ? x 2 ? x ? 2,.则f ? lg 3? ? f ? lg ? ? ? 3?

?



?x ≤ y 15.设实数 x, y 满足 ? y ≤ 6 ? 2 x ,向量 a = (2x ? y, m) , b = (?1, 1) .若 a ? ?x ≥1 ? 的最小值为 .

b ,则实数 m

-2-

16 .若 x0 是函数 f ( x) ? 2x ? x ? 3 的零点,则 [ x0 ] (表示不超过 x0 的最大整数)的值 为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a ? c ? b ? ac .
2 2 2

(Ⅰ ) 求 B; (Ⅱ ) 若 f ( x) ?

3 ? sin ?x ? 2 3 sin 2

?x
2

( ? >0) 的图象的一个对称中心到其最近的对

称轴的距离为 ? ,求 f ( A) 的值域.

18.(本小题满分 12 分)2014 年 9 月 4 日国务院新闻办公室举行《关于深化考试招生制度改革 的实施意见》情况发布会,宣告新的高考制度改革正式拉开帷幕.该《实施意见》提出了 “两依据、一参考”,其中一个依据是高考成绩,另一个依据是高中学业水平考试成绩.强 调了把高中学业水平考试作为考察学生学业完成情况的一个重要方式.近日,某调研机构 在某地区对“在这种情况下学生的课业负担是否会加重?”这一问题随机选择 3600 人进行 问卷调查.调查结果统计如下: 会 2100 在校学生 600 社会人士 不会 120 x 不知道 y z

已知在全体被调查者中随机抽取一人,抽到持“不会”意见的人的概率为 0.05 . (Ⅰ ) 求 x 和 y ? z 的值; (Ⅱ ) 在持“不会”意见的被调查者中,用分层抽样的方法抽取 6 个人,然后把他们随机分成 两组,每组 3 人,进行深入交流,求第一组中社会人士人数 ? 的分布列及数学期望.

-3-

.(本小题满分 12 分)如图甲,在平面四边形 PABC 中,PA=AC=2,∠P=45o,∠B=90o,∠ PCB=105o,现将四边形 PABC 沿 AC 折起,使平面 PAC⊥平面 ABC(如图乙) ,D,E 分 别是棱 PB 和 PC 的中点. (Ⅰ ) 求证: BC⊥平面 PAB; (Ⅱ ) 求平面 ADE 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.
P E D C A C B A P

B (第 19 题图甲)

(第 19 题图乙)

20.(本小题满分 13 分) 如图,椭圆 ? :

A2 分别为椭圆 ? 的左、右顶点, l1 与椭圆 ? 相交于 A,B 两点(点 A 在第二象限) . (Ⅰ ) 求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程; (Ⅱ ) 设动直线 l 2 : x ? x2 (?2 ? x ? 2, x1 ? x2 ) 与椭圆 ? 相交 于 C,D 两点,△OAB 与△OCD 的面积相等.
2 2 证明:|OA| +|OD| 为定值.

x2 y2 ? ? 1 ,动直线 l1 : x ? x1 (?2 ? x ? 0) ,点 A1, 4 3
l1
y

A

A1 B

O

A2 x

(第 20 题图)

21. (本小题满分 13 分) 正项等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,且 a2 , a1 + a2 , a3 成等差数列. (Ⅰ ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ ) 设 bn ? (1 ?

2 2 1 ) ? a(1 ? ) ( n ? N? ) ,若 a ? [0,2] ,求数列 {bn } 的最小项. an an

22.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax , a 为常数.
2

(Ⅰ )讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ )若函数 f ( x ) 有两个零点 x1 、 x2 ,试证明: x1 x2 ? e .

-4-

永州市 2015 年高考第一次模拟考试

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) DCCBA ABBCD 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) (一)选做题(11-13 题,考生只能从中选做 2 题,如果全做则按前两题计分) 11. 2 12.2 13.16

(二)必做题(14-16 题) 14.60 15.-2 16.-3 或 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分) 解:(Ⅰ )由 a ? c ? b ? ac ,得 cos B ?
2 2 2

a2 ? c2 ? b2 1 ? , 2ac 2

又∵0 ? B ? ? ,∴B ? (Ⅱ ) f ( x) ?

?
3

……………………………………………………………6 分

3 ? sin ?x ? 2 3 sin 2

?x
2

? 3 cos?x ? sin ?x
? 2 cos( ?x ?

?
6

) …………………………………………………………………8 分

∵ f ( x) 的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ? , ∴T ? 4? ? ∴? ? ∵B ?

2?

?



1 1 ? 1 ? ,即 f ( x) ? 2 cos( x ? ) , f ( A) ? 2 cos( A ? ) , 2 2 6 2 6

?
3

,∴

?
6

?

∴ f ( A) ? 2 cos(

1 ? A ? ) ? (0, 3 ) 2 6

1 ? ? A ? ? ……………………………………………………10 分 2 6 2
………………………………………………12 分

18.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ )设事件 A 表示从全体被调查者中随机抽取一人, 则 P ( A) ?

∴x ? 60 …………………………………………………………………………………3 分 ∴ y ? z ? 3600? 2100? 600? 180 ? 720 …………………………………………4 分 (Ⅱ )依题意,用分层抽样的方法从持“不会”意见的被调查者中抽取 6 个人,
-5-

120 ? x ? 0.05 ,……………………………………………………………2 分 3600

则在此 6 人中,在校学生 4 人,社会人士 2 人,……………………………………6 分 则把他们平均分成两组的所有可能的情况总数为: 2 ?
3 C6 ? 20 ……………………7 分 2

则第一组中社会人士人数 ? 的所有可能值为:0,1,2. ∴P(? ? 0) ?

3 C4 C 1 ? C 2 12 3 4 1 ? ? , P(? ? 1) ? 2 4 ? ? , 20 20 5 20 20 5 2 1 C2 ? C4 4 1 P(? ? 2) ? ? ? , 20 20 5 ∴ 随机变量 ? 的分布列为

?
p

0

1

2

1 5

3 5

1 5

……………………………………………10 分

∴ 随机变量 ? 的期望值为

1 3 1 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 1 ……………………………………………………………12 分 5 5 5
19.(本小题满分 12 分) (Ⅰ )证明: 平面 PAC⊥ 平面 ABC,并交于 AC,PA⊥ AC,有 PA⊥ 平面 ABC, 故 PA⊥ BC,又由图甲知 BC⊥ BA,PA∩AB=A,所以 BC⊥ 平面 PAB;…………6 分 (Ⅱ )方法一:如图所示,以点 B 为坐标原点,分别以射线 BA,BC 为 x,y 轴,以垂直平 面 ABC 向上方向为 z 轴, PA=2,则 BC=1,BA= 3 ,A( 3 ,0,0) ,P( 3 ,0,2) ,

3 3 1 ,0,1) ,E( , ,1) ,………………………7 分 2 2 2 3 P 1 AD ? (? , 0,1) , DE ? (0, , 0) , 2 2 z E 设平面 ADE 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,
C(0,1,0) ,D(
y D ? 3 x m ? AD ? ( x, y, z ) ? (? , 0,1) ? 0 C ? A ? 2 则? , 1 B ? m ? DE ? ( x, y, z ) ? (0, , 0) ? 0 ? ? 2 ? 3 ? x?z ?0 ? ? 2 , y ? 0 ,令 x ? 2 ,则 z ? 3 , m ? (2,0, 3) ,……………9 分 ? ? 1 y?0 ? ? 2 | m?n | 3 21 平面 ABC 的法向量 n ? (0,0,1) , cos ? m, n ?? .…11 分 ? ? 7 | m|?| n | 7 ?1

故所求二面角的余弦值为

21 .……………………………………………………12 分 7
z E
-6-

方法二:如图所示,以点 A 为坐标原点,分别以射线 AC,AP 为 x,z 轴,以垂直平面 APC 向外方向为 y 轴, PA=2,则 BC=1,BA= 3 ,A(0,
P

0, 0) ,

C x B

D A y

P (0, 0, 2) , B ( 分

3 3 3 3 , , 0) , C (2, 0, 0) , D ( , , 1) , E (1, 0, 1) , ……………………7 2 2 4 4

3 3 AD ? ( , ,1) , AE ? (1,0,1) , 4 4 设平面 ADE 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,
? 3 3 ,1) ? 0 ?m ? AD ? ( x, y, z ) ? ( , 则? , 4 4 ? m ? AE ? ( x, y, z ) ? (1, 0,1) ? 0 ?
?3 x ? 3 y ? 4 z ? 0 3 ? ,令 x ? 1 ,则 z ? ?1 , y ? , ? 3 x ? z ? 0 ? ? 3 故 m ? (1, , ?1) ,…………………………………………………………………9 分 3 | m?n | 1 21 平面 ABC 的法向量 n ? (0,0,1) , cos ? m, n ?? .…11 分 ? ? 7 | m|?| n| 7 ?1 3 21 故所求锐二面角的余弦值为 .…………………………………………………12 分 7
说明:过 A 作 BC 的平行线即为二面角的棱,由几何法作出二面角的平面角从而求出正确 结果也可得满分. 20.(本小题满分 13 分) 解:设 A( x1, y1), B( x1, ? y1) ,又 A1 (?2,0), A2 (2,0) ,

y1 ( x ? 2) x1 ? 2 ? y1 直线 A2 B 的方程为: y ? ( x ? 2) x1 ? 2
则直线 A 1 A 的方程为: y ? 由① ② 得: y 2 ?

① ② ③

? y1 ( x 2 ? 4) 2 x1 ? 4
x12 y12

2

? ? 1, 4 3 x12 x2 y 2 2 ? ? 1( x ? ?2, y ? 0) ……………………6 分 ∴ y1 ? 3(1 ? 得: ) ,代入③ 4 3 4 (2)证明:设 C( x2 , y2 ) , 由 ?OAB 与 ?OCD 的面积相等,得 2 2 2 2 x1 y1 ? x2 y2 ? x1 ? y1 ? x2 ? y2 , 因为点 A, C 均在椭圆上,
∴3x1 (1 ?
2

由点 A ? x1 ,y1 ? 在椭圆 ? 上,故可得

) 4 由 x1 ? x2 ,所以 x12 ? x22 ? 4 . 4
-7-

x12

) ? 3x2 2 (1 ?

x2 2

∴ y12 ? y22 ? 3 , ∴ OA ? OD
2 2

? 7 为定值 …………………………………………………………13 分

21.(本小题满分 13 分)
2 (a1 ? a2 ) = a2 + a3 ,a3 =2 a1 ? a2 , 解: (1) 由 a2 ,S2 ,a3 成等差, 有 2 S2 = a2 + a3 ,

a1q2 =2 a1 ? a1q , q2 ? q ? 2 ? 0 , q ? ?1 , q ? 2 ,由 an ? 0 , q ? 2 .
故 an ? 2
n

…………………………………………………………………………5 分

(2)方法一: bn ? (1 ?
2

2 2 1 1 1 1 1 ) ? a(1 ? n ) ,令 n ? t ? { , , , n 2 2 2 2 4 8

,

1 , }, 2n

则 bn ? (1 ? 2t ) ? a(1 ? t ) = 4t 2 ? (a ? 4)t ? a ? 1 ,

a?4 4?a ? ,……………………………………………………………7 分 ?8 8 4?a 3 3 ① 当 0 ≤ a ? 1 时,对称轴 t ? > ,数列 {bn } 单调递增,最小项为 b1 ? a ; 8 8 2
对称轴 t ? …………………………………………………………………………9 分

4?a 3 1 1 = ,恰好位于 与 的中间,则 b1 ? b2 ,故 n ? 1 时, 8 8 2 4 3 数列 {bn } 单调递增,最小项为 b1 ? b2 ? ;……………………………………11 分 2 4?a 1 3 1 1 1 ?[ , ) , ③ 当 1 ? a ≤ 2 时, 对称轴 t ? 位于 与 之间而靠近于 , 故 n ? 1 时, 8 4 8 2 4 4 5 1 数列 {bn } 单调递增, b1 ? b2 ,最小项为 b2 ? a ? .……………………13 分 4 4
② 当 a ? 1 时,对称轴 t ? 方法二:由 bn ? (1 ? 则 bn ?1 ? (1 ?

2 2 1 2 1 ) ? a(1 ? ) ? (1 ? n ) 2 ? a(1 ? n ) , an an 2 2

1 ), 2 2n ?1 2 1 2 1 bn ?1 ? bn ? (1 ? n ?1 ) 2 ? a(1 ? n ?1 ) ? (1 ? n ) 2 ? a(1 ? n ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 = (2 ? n ?1 ? n )( n ? n ?1 ) ? a( n ?1 ? n ) 2 2 2 2 2 2 1 1 4 4 ? ( n ?1 ? n )(a ? 4 ? n ?1 ? n ) , 2 2 2 2 1 1 由 n ?1 ? n ? 0 ,……………………………………………………………………7 分 2 2 4 4 4 4 4 4 ① 当 a ? 4 ? n ?1 ? n ? 0 , 得 a ? 4 ? n ?1 ? n ,函数 f (n) ? 4 ? n ?1 ? n 单调递 2 2 2 2 2 2
n ?1

2

) 2 ? a (1 ?

增,即 a ? f (1) =1, bn?1 ? bn ? 0 ,数列 {bn } 单调递增,
-8-

3 a ;…………………………………………………………………9 分 2 4 4 4 4 ② 当 a ? 1 时, b2 ? b1 ? 0 , n ? 1 , a ? 4 ? n ?1 ? n ? n ?1 ? n ? 3 ? 0 , bn?1 ? bn ? 0 , 2 2 2 2 3 故 n ? 1 时,数列 {bn } 单调递增,最小项为 b1 ? b2 ? ; ………………………11 分 2 1 1 4 4 5 5 ③由 b3 ? b2 ? ( 3 ? 2 )(a ? 4 ? 3 ? 2 ) ? 0 , 求 得 a ? , 则 当 1 ? a ≤ 2 ? 时 , 2 2 2 2 2 2 3 5 1 1 1 b1 ? a , b2 ? a ? , b1 ? b2 ? a ? ? 0 , b1 ? b2 , 2 4 4 4 4 4 4 4 4 n ? 1 ,a ? 4 ? n ?1 ? n ≤ n ?1 ? n ? 2 ? 0 , 得 bn?1 ? bn ? 0 , 故 n ? 1 时, 数列 {bn } 单 2 2 2 2 5 1 调递增,最小项为 b2 ? a ? .…………………………………………………13 分 4 4
最小项为 b1 ?

22.(本小题满分 13 分)

X

1 1 ? 2ax 2 解: (1)定义域为 (0, ??) , f ( x) ? ? 2ax ? , ……………………2 分 x x
?

当 a ≤ 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增; ………………………4 分 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

2a 1 2a ,当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) ? 2a 2a 2a

单调递增,当 x ? ( 2 )设 x1 ? x2 ,

2a 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减.………………………6 分 2a

ln x1 ? ax12 ? 0 , ln x2 ? ax22 ? 0 ,?ln x1 ? ln x2 ? ax12 ? ax22 ,
ln x1 ? ln x2 , x12 ? x2 2

ln x1 ? ln x2 ? ax12 ? ax22 ,则 a ?

欲证明 x1 x2 ? e ,即证 ln x1 ? ln x2 ? 1, 因为 ln x1 ? ln x2 ? a( x1 ? x2 ) ,
2 2

∴ 即证 a ?

1 x12 ? x22



∴ 原命题等价于证明

ln x1 ? ln x2 1 x1 x12 ? x22 ? ,即证: ln ? ? x1 ? x2 ? 0? , x2 x12 ? x22 x12 ? x2 2 x12 ? x2 2

-9-

x t2 ?1 2 令 1 =t ,则 t ? 1,设 g ? t ? ? ln t ? ? ln t ? ? 1 ? t ? 1? , x2 t2 ?1 t2 ?1

1 4t (t 2 ? 1)2 ∴g ? ? t ? ? ? ? ≥0 , t (t 2 ? 1)2 t (t 2 ? 1)2
∴g ? t ? 在 ?1, +? ? 单调递增,又因为 g ?1? =0 , ∴g ? t ? ? g ?1? ? 0 , ∴ln t ?

t2 ?1 t2 ?1

,所以 x1 x2 ? e .……………………………………………………13 分

- 10 -



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